最新北師大版初中九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)15-三角函數(shù)的應(yīng)用公開課課件

1.5三角函數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.5三角函數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第一1.正確理解方位角、仰角和坡角的概念；（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決方位角、仰角和坡角的問(wèn)題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解方位角、仰角和坡角的概念；（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)情境引入我們已經(jīng)知道輪船在海中航行時(shí)，可以用方位角準(zhǔn)確描述它的航行方向.那你知道如何結(jié)合方位角等數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，幫助輪船在航行中遠(yuǎn)離危險(xiǎn)嗎？情境引入我們已經(jīng)知道輪船在海中航行時(shí)，可以用方位角準(zhǔn)確描述引例如圖，一船以20nmile/h的速度向東航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，再測(cè)得燈塔C在北偏東30°方向上.已知燈塔C四周10nmile內(nèi)有暗礁，問(wèn)這船繼續(xù)向東航行，是否安全？ACB60°與方位角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題一講授新課D【分析】這船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔C到AB航線的距離是否大于10nmile.北東引例如圖，一船以20nmile/h的速度向東航行，解：由點(diǎn)C作CD⊥AB,設(shè)CD=x,則在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，解得所以，這船繼續(xù)向東航行是安全的.ACBD30°60°北東由AB=AD-BD,得解：由點(diǎn)C作CD⊥AB,設(shè)CD=x,則在Rt△ACD如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01海里）？65°34°PBCA試一試如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－6利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．方法歸納利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：方法歸納例1如圖所示，為了測(cè)量山的高度AC，在水平面B處測(cè)得山頂A的仰角為30°，AC⊥BC，自B沿著BC方向向前走1000m，到達(dá)D處，又測(cè)得山頂A的仰角為45°,求山高．(結(jié)果保留根號(hào))分析：要求AC，無(wú)論是在Rt△ACD中，還是在Rt△ABC中，只有一個(gè)角的條件，因此這兩個(gè)三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代數(shù)式表示BC和DC，由BD＝1000m建立關(guān)于AC的方程，從而求得AC.仰角和俯角問(wèn)題二例1如圖所示，為了測(cè)量山的高度AC，在水平面B處測(cè)得山頂A解：在Rt△ABC中，在Rt△ACD中，∴BD＝BC－DC解：在Rt△ABC中，在Rt△ACD中，∴BD例2如圖，飛機(jī)A在目標(biāo)B正上方1000m處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)C的俯角為30°，則地面目標(biāo)B，C之間的距離是________．解析：由題意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，【方法總結(jié)】解此類問(wèn)題，首先要找到合適的直角三角形，然后根據(jù)已知條件解直角三角形．例2如圖，飛機(jī)A在目標(biāo)B正上方1000m處，飛行員測(cè)得地面例3熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC．ABCDαβ仰角水平線俯角例3熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30解：如圖，α=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ解：如圖，α=30°,β=60°，AD＝120．答：建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗桿的高度為15.2m.練一練建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A利用坡角解決實(shí)際問(wèn)題三例4一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°，求路基下底的寬（精確到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD利用坡角解決實(shí)際問(wèn)題三例4一段路基的橫斷面是梯形，高為4米解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的寬約為22.93米．45°30°4米12米ABCEFD解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知41.如圖1，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45°，則船與觀測(cè)者之間的水平距離BC=_________米.2.如圖2，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為30°，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為60°，則建筑物CD的高為_____米.100當(dāng)堂練習(xí)圖1圖2BCBC1.如圖1，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一3.如圖3，從地面上的C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200米，點(diǎn)C在BD上，則樹高AB等于（根號(hào)保留）．4.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為（根號(hào)保留）．圖3圖43.如圖3，從地面上的C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹頂A仰角分別是45°和5.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為________.5.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km．即該船航行的距離為km．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．6.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成30°角的方向飛行，飛行到中途，再沿與原來(lái)的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行直到終點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程600km遠(yuǎn)了多少？解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AD＋BD＝AB，6.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝在Rt△ACD中，750－600＝150(km)．答：飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程600km遠(yuǎn)了150km.【方法總結(jié)】求一般三角形的邊長(zhǎng)或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝在Rt△ACD中，7.如下圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，測(cè)得電線桿底部B與鋼纜固定點(diǎn)O的距離為4米，鋼纜與地面的夾角∠BOA為60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點(diǎn)A到地面的距離AB是多少米（結(jié)果保留根號(hào)）．解：在Rt△ABO中，

∵tan∠BOA==tan60°=

∴AB=BO?tan60°=4×=4（米）答：這條鋼纜在電線桿上的固定點(diǎn)A到地面的距離AB是4米.7.如下圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，測(cè)得電線桿底部B與鋼纜固定8.水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度為1∶3，斜坡CD的坡度為1∶2.5，求：（1）壩底AD與斜坡AB的長(zhǎng)度（精確到0.1m）;

（2）斜坡CD的坡角α（精確到1°）.EFADBC1:2.5236α解：(1)分別過(guò)點(diǎn)B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E、F,由題意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.8.水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡ABEFADBC1:2.5236α在Rt△ABE中在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得EFADBC1:2.5236α在Rt△ABE中在Rt△DC(2)斜坡CD的坡度為tanα=1：2.5=0.4，由計(jì)算器可算得答：壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長(zhǎng)約為72.7米．斜坡CD的坡角α約為22°.(2)斜坡CD的坡度為tanα=1：2.5=0.4，課堂小結(jié)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．課堂小結(jié)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：1.5三角函數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.5三角函數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第一1.正確理解方位角、仰角和坡角的概念；（重點(diǎn)）2.能運(yùn)用解直角三角形知識(shí)解決方位角、仰角和坡角的問(wèn)題.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解方位角、仰角和坡角的概念；（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)情境引入我們已經(jīng)知道輪船在海中航行時(shí)，可以用方位角準(zhǔn)確描述它的航行方向.那你知道如何結(jié)合方位角等數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，幫助輪船在航行中遠(yuǎn)離危險(xiǎn)嗎？情境引入我們已經(jīng)知道輪船在海中航行時(shí)，可以用方位角準(zhǔn)確描述引例如圖，一船以20nmile/h的速度向東航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，再測(cè)得燈塔C在北偏東30°方向上.已知燈塔C四周10nmile內(nèi)有暗礁，問(wèn)這船繼續(xù)向東航行，是否安全？ACB60°與方位角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題一講授新課D【分析】這船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔C到AB航線的距離是否大于10nmile.北東引例如圖，一船以20nmile/h的速度向東航行，解：由點(diǎn)C作CD⊥AB,設(shè)CD=x,則在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，解得所以，這船繼續(xù)向東航行是安全的.ACBD30°60°北東由AB=AD-BD,得解：由點(diǎn)C作CD⊥AB,設(shè)CD=x,則在Rt△ACD如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01海里）？65°34°PBCA試一試如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－6利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．方法歸納利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：方法歸納例1如圖所示，為了測(cè)量山的高度AC，在水平面B處測(cè)得山頂A的仰角為30°，AC⊥BC，自B沿著BC方向向前走1000m，到達(dá)D處，又測(cè)得山頂A的仰角為45°,求山高．(結(jié)果保留根號(hào))分析：要求AC，無(wú)論是在Rt△ACD中，還是在Rt△ABC中，只有一個(gè)角的條件，因此這兩個(gè)三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代數(shù)式表示BC和DC，由BD＝1000m建立關(guān)于AC的方程，從而求得AC.仰角和俯角問(wèn)題二例1如圖所示，為了測(cè)量山的高度AC，在水平面B處測(cè)得山頂A解：在Rt△ABC中，在Rt△ACD中，∴BD＝BC－DC解：在Rt△ABC中，在Rt△ACD中，∴BD例2如圖，飛機(jī)A在目標(biāo)B正上方1000m處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)C的俯角為30°，則地面目標(biāo)B，C之間的距離是________．解析：由題意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，【方法總結(jié)】解此類問(wèn)題，首先要找到合適的直角三角形，然后根據(jù)已知條件解直角三角形．例2如圖，飛機(jī)A在目標(biāo)B正上方1000m處，飛行員測(cè)得地面例3熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC．ABCDαβ仰角水平線俯角例3熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30解：如圖，α=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ解：如圖，α=30°,β=60°，AD＝120．答：建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗桿的高度為15.2m.練一練建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A利用坡角解決實(shí)際問(wèn)題三例4一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°，求路基下底的寬（精確到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD利用坡角解決實(shí)際問(wèn)題三例4一段路基的橫斷面是梯形，高為4米解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的寬約為22.93米．45°30°4米12米ABCEFD解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知41.如圖1，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一艘小船B，并測(cè)得它的俯角為45°，則船與觀測(cè)者之間的水平距離BC=_________米.2.如圖2，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角為30°，測(cè)得C點(diǎn)的俯角為60°，則建筑物CD的高為_____米.100當(dāng)堂練習(xí)圖1圖2BCBC1.如圖1，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測(cè)海平面上一3.如圖3，從地面上的C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200米，點(diǎn)C在BD上，則樹高AB等于（根號(hào)保留）．4.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為（根號(hào)保留）．圖3圖43.如圖3，從地面上的C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹頂A仰角分別是45°和5.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為________.5.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km．即該船航行的距離為km．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．6.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成30°角的方向飛行，飛行到中途，再沿與原來(lái)的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行直到終點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程600km遠(yuǎn)了多少？解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AD＋BD＝AB，6.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝在Rt△ACD中，750－600＝150(km)．答：飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程600km遠(yuǎn)了150km.【方法總結(jié)】求一般三角形的邊長(zhǎng)或高的問(wèn)