數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分

§1

第一型曲面積分

第一型曲面積分的典型物理背景是求物質(zhì)曲面的質(zhì)量.由于定積分、重積分、第一型曲線積分與第一型曲面積分它們同屬“黎曼積分”，因此具有相同實(shí)質(zhì)的性質(zhì).一、第一型曲面積分的概念二、第一型曲面積分的計(jì)算返回§1第一型曲面積分第一型曲面積分的典型物理背示小曲面塊的面積，為中任意一點(diǎn)，

其中

為曲面塊的分割，表

一、第一型曲面積分的概念類似第一型曲線積分,當(dāng)質(zhì)量分布在某一曲面塊

S，

量為極限為分割的細(xì)度，即為諸中的最大直徑.

且密度函數(shù)

在S上連續(xù)時，曲面塊S

的質(zhì)示小曲面塊的面積，為中任意一點(diǎn)，其中為曲面塊的分割，表上任取一點(diǎn)若存在極限

定義在

S

上的函數(shù).對曲面

S

作分割

T,它把S分成n個小曲面塊記小曲面塊

的面積,分割

T的細(xì)度

在

定義1

設(shè)

S

是空間中可求面積的曲面,為且與分割的取法

無關(guān),則稱此極限為上的第一型曲面積分,記作上任取一點(diǎn)若存在極限定義在S上的函數(shù).對曲面S于是,前述曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為:特別地,當(dāng)時,曲面積分就是曲面

塊的面積.

于是,前述曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為:特別地,二、第一型曲面積分的計(jì)算第一型曲面積分需要化為二重積分來計(jì)算.定理

22.1設(shè)有光滑曲面為

S

上的連續(xù)函數(shù),則(

定理證明與曲線積分的定理20.1相仿,不再詳述.)二、第一型曲面積分的計(jì)算第一型曲面積分需要化為二重積分來計(jì)算例1計(jì)算被平面所截得的頂部

(圖22-1).為

定義域解曲面的方程為圓域由于例1計(jì)算被平面所截得的頂部(圖22-1).因此由公式

(2)

求得因此由公式(2)求得例2

計(jì)算其中為圓錐面被圓柱面所割

下的部分

(圖22-2).解對于圓錐面

有

例2計(jì)算其中為圓錐面被圓柱面所割下的因此用二重積分的極坐標(biāo)變換,在平面上的投影為而因此用二重積分的極坐標(biāo)變換,在平面上的投影為而數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分例3計(jì)算曲面積分其中是球面

解：記根據(jù)計(jì)算公式

(2),并使用極坐標(biāo)變換,可得

例3計(jì)算曲面積分其中是球面解：記數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分對于由參量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面積分的計(jì)算公式則為其中對于由參量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面積分的計(jì)算公式螺旋面(圖22-3)的一部分:例2計(jì)算其中

S

為解先求出螺旋面(圖22-3)的一部分:例2計(jì)算其中S為然后由公式

(3)

求得:然后由公式(3)求得:數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分例3計(jì)算曲面積分其中是球面

解(

解法一)

記根據(jù)計(jì)算公式

(2),并使用極坐標(biāo)變換,可得

例3計(jì)算曲面積分其中是球面解(解法一)記數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分(解法二

)

的參數(shù)方程為按

(3)式計(jì)算如下:(解法二)的參數(shù)方程為按(3)式計(jì)算如下:數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分(解法三

)

令由于關(guān)于平面對稱,且在對稱點(diǎn)與

處有因此即類似地,有由此得到(解法三)令由于關(guān)于平面對稱,且在對稱點(diǎn)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分質(zhì)量分布的密度函數(shù)為試導(dǎo)出曲面塊

S復(fù)習(xí)思考題1.

設(shè)可求面積的曲面的方程為的重心和轉(zhuǎn)動慣量公式.2.

試討論第一型曲面積分的輪換對稱性.3.

給出第一型曲面積分的中值定理,并加以證明.4.模仿定理

20.1的證明,寫出定理

22.1的證明.質(zhì)量分布的密度函數(shù)為試導(dǎo)出曲面塊S復(fù)習(xí)思考題1.§2

第二型曲面積分

第二型曲面積分的典型物理背景是計(jì)算流體從曲面一側(cè)流向另一側(cè)的流量.與第二型曲線積分相類似,

第二型曲面積分與曲面所取的方向有關(guān),這就需要先定義“曲面的側(cè)”.一、曲面的側(cè)二、第二型曲面積分的概念三、第二型曲面積分的計(jì)算四、兩類曲面積分的聯(lián)系§2第二型曲面積分第二型曲面積分的典型物理背景是計(jì)一、曲面的側(cè)

設(shè)連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點(diǎn)處的法線有兩個方向：當(dāng)取定其中一個指向?yàn)檎较驎r,另一個指向就是負(fù)方向.又設(shè)為

S上任一點(diǎn),L為S上任一經(jīng)過點(diǎn)且不超出S邊界的閉曲線.當(dāng)

S上的動點(diǎn)

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動一周而回到時,如果有如下特征:出發(fā)時

M與取相同的法線方向,而回來時仍保持原來的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側(cè)的.一、曲面的側(cè)設(shè)連通曲面S上到處都有連續(xù)變動的切平面否則,若由某一點(diǎn)出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時,其法線方向與出發(fā)時的方向相反,則稱S是單側(cè)曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面.單側(cè)曲面的一個典型例子是默比烏斯(Mobius)帶.它的構(gòu)造方法如下:取一矩形長紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉(zhuǎn)后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).否則,若由某一點(diǎn)出發(fā),沿S上某一封閉曲線回到默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德國)默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè),

另一側(cè)稱為下側(cè).當(dāng)

S為封閉曲面時,法線方向朝外的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè).

習(xí)慣上把上側(cè)

作為正側(cè),下側(cè)作為負(fù)側(cè);又把封閉曲面的外側(cè)作為正側(cè),

內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè).通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面,其法線方向與z二．第二型曲面積分的概念先考察一個計(jì)算流量的問題.設(shè)某流體以流速從曲面

S的負(fù)側(cè)流向正側(cè)

(圖22-5),其中P,Q,R為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù),求在單位時間內(nèi)流過曲面S的總流量E.設(shè)在S上任一點(diǎn)處的正向單位法向量為二．第二型曲面積分的概念先考察一個計(jì)算流量的問題.設(shè)某流體這里

,,

都是

x,y,z

的函數(shù).則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面塊的流量其中是任意取定的一點(diǎn);

是點(diǎn)處的單位法向量;分別是在坐標(biāo)面這里,,都是x,y,z的函數(shù).則于是單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正所以,單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第

側(cè)的流量也就近似等于上投影區(qū)域的近似面積,分別記作于是單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正所以,單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標(biāo)面上二型曲面積分.定義1

設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).對S作分割T,它把S分為分割T的細(xì)度為的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:分別表示若若在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無關(guān),則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個極限都存在,且與分割

T和點(diǎn)

的在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無關(guān),據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量即為又如,若空間中的磁場強(qiáng)度為則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量若以表示曲面S的另一側(cè),由定義易知第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質(zhì):1.

若

存在,

則有若以表示曲面S的另一側(cè),由定義易知第二型曲面積其中2.

若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面所組成,則有其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面所組成,則有三．第二型曲面積分的計(jì)算定理22.2

設(shè)是定義在光滑曲面

上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)(這時的法線方

向與軸正向成銳角),則有證由第二型曲面積分的定義,三．第二型曲面積分的計(jì)算定理22.2設(shè)是定義在光滑曲面由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,上也連續(xù).由二重積分的定義,這里由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

類似地,當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時,有所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一類似一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè).當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時,有這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè).當(dāng)例1

計(jì)算其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分別為部分并取球面在例1計(jì)算其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解曲面S它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限

部分.因積分是沿的下側(cè)進(jìn)行,故

它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分.因積分是其中例2

計(jì)算是由曲面所圍立體表面的外側(cè).解曲面其中其投影為其中例2計(jì)算是由曲面所圍立體表面的外側(cè).解曲面其投影為其投影為其投影為其投影為因此因此如果光滑曲面S由參量方程給出:

若在D上各點(diǎn)它們的函數(shù)行列式不同時為零,則分別有如果光滑曲面S由參量方程給出:若在D上各注

(5),(6),(7)三式前的正負(fù)號分別對應(yīng)S的兩個側(cè),所選定的正

特別當(dāng)平面的正方向?qū)?yīng)于曲面向一側(cè)時,式前取正號,否則取負(fù)號.其中S為橢球面例3

計(jì)算注(5),(6),(7)三式前的正負(fù)號分別對應(yīng)S的兩的上半部分,并取外側(cè).由(5)式有解把曲面表示為參量方程:的上半部分,并取外側(cè).由(5)式有解把曲面其中積分是在S的正側(cè)進(jìn)行.由上述的注,(8)式右端取正

號,

即其中積分是在S的正側(cè)進(jìn)行.由上述的注,(8)式右端取五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設(shè)S為光滑曲面,并以上側(cè)為正側(cè),R為S上的連續(xù)

函數(shù),曲面積分在

S

的正側(cè)進(jìn)行.因而有由曲面面積公式（第二十一章§6）,五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可其中

是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它

是定義在上的函數(shù).因?yàn)榉e分沿曲面正側(cè)進(jìn)行,

所以是銳角.又由S是光滑的,所以使這點(diǎn)的法線方向與z軸正向的夾角滿足等式

上連續(xù).應(yīng)用中值定理,在內(nèi)必存在一點(diǎn),

其中是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它或與z軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是現(xiàn)以的法線方向時,(10)式右端極限存在.因此由(9)式得當(dāng)?shù)玫交蚺cz軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時,左邊積分改變符號;右邊積分中角改為.因而也改變符號,

其中

,

分別是S上的法線方向與x軸正向和與y

所以右邊積分也相應(yīng)改變了符號.同理可證:這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時,左邊積分改變符號;右邊積分中軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函數(shù)之后,由

(11),(12),(13),(14)式便建立了兩種不同類型曲面積分的聯(lián)系.注當(dāng)曲面由表示,且取上側(cè)軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函因此上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影,從而使計(jì)算得到簡化.時,因此上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影,從而使計(jì)例4計(jì)算其中為的部分,并取上側(cè).

解例4計(jì)算其中為的部分,并取上側(cè).上面第二步計(jì)算后得到是利用了積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性,除了這一項(xiàng)外,其他各積分項(xiàng)全都等于零.上面第二步計(jì)算后得到§3

高斯公式與斯托克斯公式

高斯公式與斯托克斯公式都是格林公式的推廣.格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系;高斯公式建立了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的第二型曲面積分之間的關(guān)系;斯托克斯公式建立了空間曲面上的第二型曲面積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系.§3高斯公式與斯托克斯公式高斯公式與斯托克斯公式都一、高斯公式二、斯托克斯公式一、高斯公式二、斯托克斯公式一、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).(1)式稱為高斯公式.一、高斯公式定理22.3設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封證下面只證讀者可類似這些結(jié)果相加便得到了高斯公式(1).先設(shè)V是一個

xy

型區(qū)域,即其邊界曲面

S由曲面證明其余兩式:證下面只證讀者可類似這些結(jié)果相加便得到了高斯公式(及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積分的計(jì)算方法,有及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積其中都取上側(cè).又由于平面上投影面

其中都取上側(cè).又由于平面上投影面從而得到對于不是

xy型區(qū)域的情形,一般可用有限個光滑積為零,所以曲面將它分割成若干個

xy

型區(qū)域來討論.從而得到對于不是xy型區(qū)域的情形,一般可用有限例1

計(jì)算其中

S是邊長為

a的正立方體表面并取外側(cè).解應(yīng)用高斯公式,例1計(jì)算其中S是邊長為a的正立方體表面并取外側(cè)注若在高斯公式中

則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域

V

的體積的公式:例2計(jì)算其中為曲面上的部分,并取

上側(cè).注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面并取下側(cè),則構(gòu)成一封閉曲面.于是解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的

靜電場中,電場強(qiáng)度向外穿過任何包含在其內(nèi)

而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充分小的球面使全部

落在所包含的區(qū)域內(nèi)部,并將坐標(biāo)原點(diǎn)取在處.由電學(xué)知識,在點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為設(shè)其中易驗(yàn)證(參見圖22-8

)部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充所以穿過的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑為的球體.在與所圍的空間區(qū)域上應(yīng)用高斯公式,其邊

界的外測是的外側(cè)和的內(nèi)側(cè).因?yàn)樗源┻^的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑所以穿過的電通量為所以穿過的電通量為二、斯托克斯公式先對雙側(cè)曲面

S的側(cè)與其邊界曲線

L的方向作如下規(guī)定:設(shè)有人站在

S上指定的一側(cè),若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€

L

的正向;若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的右方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€

L的負(fù)向.這個規(guī)定也稱為右手法則,如圖

22-9所示.二、斯托克斯公式先對雙側(cè)曲面S的側(cè)與其邊界曲線L定理22.4

設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:定理22.4設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.證先證其中曲面

S由方程確定,它的正側(cè)法線方(3)

其中S的側(cè)與L的方向按右手法則確定.證先證若

S在

xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線

現(xiàn)由第二型曲線積分定義及格林公式有向數(shù)為方向余弦為所以若S在xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線所以因?yàn)樗砸驗(yàn)橛捎?/p>

從而由于從而將

(3),(4),(5)三式相加,即得公式

(2).如果

S不能以的形式給出,則可用一些光滑曲線把

S分割為若干小塊,使每一小塊能用這綜合上述結(jié)果,便得到所要證明的(3)式.當(dāng)曲面

S表示為時,同樣可證

將(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2)為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫成如下形式:例4計(jì)算其中種形式來表示.因而這時

(2)式也能成立.與各坐標(biāo)面的交線,取圖

22-8所示的方向.為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫成如下形式:例4計(jì)算其中種解應(yīng)用斯托克斯公式推得:解應(yīng)用斯托克斯公式推得:車胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線積分相仿,空間曲線積分與路線的無關(guān)性也有下面相應(yīng)的定理.不經(jīng)過

V以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于

V的一點(diǎn).例如:兩同心球面所界定的區(qū)域仍是單連通的;而形如區(qū)域

V稱為單連通的,如果

V內(nèi)任一封閉曲線皆可注上述之單連通,又稱為“按曲面單連通”.其意義是:對于

V內(nèi)任一封閉曲線

L,均能以

L為邊界,

繃起一個位于

V中的曲面.車胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線積分相仿,空間曲線與路線無關(guān);(i)

對于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線

L有(ii)

對于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線

L,曲線積分定理22.5

設(shè)為空間單連通區(qū)域.若函數(shù)P,

個條件是等價的:Q,R在

上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四與路線無關(guān);(i)對于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲例5

驗(yàn)證曲線積分與路線無關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)這個定理的證明與定理

21.12相仿,這里不重復(fù)了.在

內(nèi)處處成立.(iii)

內(nèi)某一函數(shù)

u的全微分,即例5驗(yàn)證曲線積分與路線無關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)這個定取如圖

22-11,從沿平行于

x軸的直線到

所以曲線積分與路線無關(guān).現(xiàn)在求原函數(shù):解對于顯然有取如圖22-11,從沿平行于x軸的直線到所再沿平行于y

軸的直線到最后沿平行于

z軸的直線到

于是再沿平行于y軸的直線到最后沿平行于z軸的直線到于為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一任意常數(shù).其中是一個常數(shù).若取為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一任意?！?

場論初步

在物理學(xué)中,曲線積分和曲面積分有著廣泛的應(yīng)用.物理學(xué)家為了既能形象地表達(dá)有關(guān)的物理量,又能方便地使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行邏輯表達(dá)和數(shù)據(jù)計(jì)算,使用了一些特殊的術(shù)語和記號,在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了場論.一、場的概念;二、梯度場;三、散度場;四、旋度場;

五、管量場與有勢場.§4場論初步在物理學(xué)中,曲線積分和曲面積一、場的概念

若對全空間或其中某一區(qū)域

V中每一點(diǎn)

M,

都有一個數(shù)量

(或向量)與之對應(yīng),則稱在

V上給定了一個

數(shù)量場

(或向量場).例如:溫度和密度都是數(shù)量場,

M的位置可由坐標(biāo)確定.因此給定了某個數(shù)量場就總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每

重力和速度都是向量場.在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)

等于給定了一個數(shù)量函數(shù)

在以下討論中

一、場的概念若對全空間或其中某一區(qū)域V中每一點(diǎn)M,個向量場都與某個向量函數(shù)相對應(yīng).

這里

P,Q,R為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù),并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

設(shè)

L為向量場中一條曲線.若

L上每點(diǎn)

M處的切線

方向都與向量函數(shù)

在該點(diǎn)的方向一致,即個向量場都與某個向量函數(shù)相對應(yīng).磁力線等都是向量場線.注場的性質(zhì)是它本身的屬性,和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān).

引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來

進(jìn)行計(jì)算和研究它的性質(zhì).

則稱曲線

L為向量場

的向量場線.例如電力線、

磁力線等都是向量場線.注場的性質(zhì)是它本身的屬性,和坐標(biāo)系二、梯度場

在第十七章§3中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念,它

方向上的方向?qū)?shù).

gradu是由數(shù)量場

u派生出來的一個向量場,

稱為是由數(shù)量函數(shù)

所定義的向量函數(shù)

gradu的方向就是使方向?qū)荻葓?

由前文知道,

數(shù)達(dá)到最大值的方向,就是在這個方二、梯度場在第十七章§3中我們已經(jīng)介紹了梯度的概念,因?yàn)閿?shù)量場的等值面的法線方向?yàn)樗詆radu恒與

u的等值面正交.當(dāng)把它作為運(yùn)算符號來看待時,梯度可寫作

引進(jìn)符號向量

因?yàn)閿?shù)量場的等值面的法線方向?yàn)樗詆radu1.

若

u,v是數(shù)量函數(shù),則2.

若

u,v是數(shù)量函數(shù),則特別地有梯度有以下一些用表示的基本性質(zhì):注通常稱為哈密頓(Hamilton)算符(或算子)

,讀作“Nabla”.1.若u,v是數(shù)量函數(shù),則2.若u,v4.

若5.若則

這些公式讀者可利用定義來直接驗(yàn)證.3.

若

則4.若5.若則這些公式讀者可利用解若以上的單位向量,則有例1

設(shè)質(zhì)量為

m的質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn),質(zhì)量為

1的質(zhì)點(diǎn)

位于

記解若以上的單位向量,則有例1設(shè)它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力,方向朝著原點(diǎn),大小與質(zhì)量

的乘積成正比,與兩點(diǎn)間距離的平方成反比.

這說明了引力場是數(shù)量場的梯度場,因此常稱為引力勢.它表示兩質(zhì)點(diǎn)間的引力,方向朝著原點(diǎn),大小與質(zhì)量的乘積三、散度場為

V上的一個向量場.稱如下數(shù)量函數(shù):設(shè)為的散度.這是由向量場派生出來的一個數(shù)量場,也稱散度場,記作三、散度場為V上的一個向量場.稱如下數(shù)量函數(shù)高斯公式可寫成如下向量形式:設(shè)為曲面S

在各點(diǎn)的單位法向量,記,稱為

S的面積元素向量.于是對上式中的三重積分應(yīng)用中值定理,

使得

在

V中任取一點(diǎn)令

V收縮到高斯公式可寫成如下向量形式:設(shè)為曲面S在各點(diǎn)的單位法這個等式可以看作是散度的另一種定義形式.

則同時有對上式取極限,得到的不可壓縮流體,經(jīng)過封閉曲面

S的流量是

于是(2)式表明是流量對體積

V的變化率,

若

說明在每一單位時間內(nèi)有一定數(shù)

散度的物理意義聯(lián)系本章§2中提到的,流速為

并稱它為

在點(diǎn)的流量密度.這個等式可以看作是散度的另一種定義形式.則同時有對上稱這點(diǎn)為“匯”.

容易由定義直接推得散度的以下一些基本性質(zhì):量的流體流出這一點(diǎn),則稱這一點(diǎn)為“源”.

若

說明流體在這一點(diǎn)被吸收,則若在每一點(diǎn)都有

則稱為“無源場”.

的散度也可表示為矢性算符與的數(shù)性積:稱這點(diǎn)為“匯”.容易由定義直接3.若是一數(shù)量函數(shù),則算符

于是1.若

是向量函數(shù),則2.若是數(shù)量函數(shù),

是向量函數(shù),則3.若是一數(shù)量函數(shù),則算符于是1.若例2

求例1中引力場所產(chǎn)生的散度場.解因?yàn)?/p>

所以例2求例1中引力場所產(chǎn)生的散度場.解因此引力場在每一點(diǎn)處的散度都為零

(除原點(diǎn)沒有定義外

).因此引力場在每一點(diǎn)處的散度都為零(除原點(diǎn)沒有定為

V上的一個向量場.稱如下向量函數(shù):設(shè)場,也稱旋度場,記作四、旋度場

為的旋度.

是由向量場派生出來的一個向量為V上的一個向量場.稱如下向量函數(shù):設(shè)場為便于記憶起見,可用行列式形式來表示旋度:類似于用散度表示的高斯公式

(1),現(xiàn)在可用旋度來表示斯托克斯公式:為便于記憶起見,可用行列式形式來表示旋度:類似于用散度表示其中為前述對于曲面

S的面積元素向量;而則是對于曲線

L的弧長元素向量.

對后者說明如下:設(shè)是曲線

L在各點(diǎn)處的正向單位切向量,弧長元素向量即為把公式

(3)改寫成對上式中的曲面積分應(yīng)用中值定理,

使得

其中為前述對于曲面S的面積元素向量;而則在

S上任取一點(diǎn)令

S收縮到這個等式也可以看作是旋度的另一種定義形式.

則同時有對上式取極限,得到為了由

(5)式直觀描述旋度的物理意義,不妨將其中的曲面塊

S改換為平面區(qū)域

D(

圖

22-12),這時

(5)在S上任取一點(diǎn)令S收縮到這個等式也可以看作是旋度式又被改寫為在流速場中,曲線積分是沿閉曲線

L

式又被改寫為在流速場中,曲線積分是沿閉曲線L的環(huán)流量,它表示流速為

的不可壓縮流體,在單位時間內(nèi)沿曲線

L流過的總量.這樣,

就反映了流體關(guān)于L所圍面積的平均環(huán)流密度.當(dāng)時,(6)式右邊這個極限,就是流速場在

點(diǎn)處按右手法則繞的環(huán)流密度.另一方面,(6)式左邊的是在上的投影.由此可見,當(dāng)所取的與的環(huán)流量,它表示流速為的不可壓縮流體,在單位時同向時,該投影為最大.綜合起來就可以說:這同時指出了旋度的兩個基本屬性:(i)

的方向是在點(diǎn)處環(huán)流密度最大的方向;(ii)

即為上述最大環(huán)流密度的數(shù)值.在上的投影.”

“流速場

在點(diǎn)處繞的環(huán)流密度,等于旋度

同向時,該投影為最大.綜合起來就可以說:這同時指為了更好地認(rèn)識旋度的物理意義及這一名稱的來源,

我們討論剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的問題.設(shè)一剛體以角速

與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則.

當(dāng)時,稱向量場為“無旋場”.

度繞某軸旋轉(zhuǎn),則的方向沿著旋轉(zhuǎn)軸,其指向若取定旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O

作為原點(diǎn)(圖22-13),剛體上任意一點(diǎn)P的線速度

為了更好地認(rèn)識旋度的物理意義及這一名稱的來源,我們討論剛體可表示為其中是P的徑向量,設(shè)

P的坐標(biāo)為,便有又設(shè)

于是可表示為其中是P的徑向量,設(shè)P的坐標(biāo)為就是旋轉(zhuǎn)的角速度這也說明了旋度這個名稱的應(yīng)用算符的旋度是旋度有如下一些基本性質(zhì):這結(jié)果表明線速度的旋度除相差一個常數(shù)因子外,

來源.

1.

若

是向量函數(shù),則就是旋轉(zhuǎn)的角速度這也說明了旋度這個名稱的應(yīng)用算符的旋度2.

若是數(shù)量函數(shù),

是向量函數(shù),則這些等式可通過梯度、散度、旋度等定義來驗(yàn)證.2.若是數(shù)量函數(shù),是向量函數(shù),則這些等式可通五、管量場與有勢場式知道,此時沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零.

中作一向量管

(圖22-14),即由向量線圍成的管狀的

若一個向量場的散度恒

為零,即我們曾

稱為無源場.從高斯公

我們又把稱作管量場.

這是因?yàn)?若在向量場

曲面.

用斷面去截它,以表示所截出的管五、管量場與有勢場式知道,此時沿任何封閉曲面的曲面積分的表面,這就得到了由所圍成的封閉曲面

S.于是由(1)式得出而向量線與曲面的法線正交,所以的表面,這就得到了由所圍成的封閉曲面S.于是由(1)式這等式說明了流體通過向量管的任意斷面的流量是

間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于

相同的,所以把場稱為管量場.如例2,由的梯度所成的引力場是一個管量場.若一個向量場的旋度恒為零,即我們在

前面稱

為無旋場.從斯托克斯公式知道,這時在空

這等式說明了流體通過向量管的任意斷面的流量是間單連通區(qū)域內(nèi)零,這種場也稱為有勢場.這是因?yàn)楫?dāng)時,由定理

22.5推得空間曲線積分與路線無關(guān),且存在某函數(shù),使得即則必存在某個勢函數(shù)u,使得這也是一

個向量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件.在例1

通常稱u為勢函數(shù).

因此若某向量場的旋度為零,

零,這種場也稱為有勢場.這是因?yàn)楫?dāng)時,由定理2中,引力勢就是勢函數(shù).所以因?yàn)楹愠闪?所以它也是引力

若一個向量場既是管量場,又是有勢場,則稱這個向場是有勢場的充要條件.量場為調(diào)和場.

上述例

2中講到的引力場就是調(diào)和場.若是一個調(diào)和場,則必有中,引力勢就是勢函數(shù).所以因?yàn)楹愠闪?所以即必有勢函數(shù)u滿足這時稱函數(shù)

u為調(diào)和函數(shù).顯然即必有勢函數(shù)u滿足§1

第一型曲面積分

第一型曲面積分的典型物理背景是求物質(zhì)曲面的質(zhì)量.由于定積分、重積分、第一型曲線積分與第一型曲面積分它們同屬“黎曼積分”，因此具有相同實(shí)質(zhì)的性質(zhì).一、第一型曲面積分的概念二、第一型曲面積分的計(jì)算返回§1第一型曲面積分第一型曲面積分的典型物理背示小曲面塊的面積，為中任意一點(diǎn)，

其中

為曲面塊的分割，表

一、第一型曲面積分的概念類似第一型曲線積分,當(dāng)質(zhì)量分布在某一曲面塊

S，

量為極限為分割的細(xì)度，即為諸中的最大直徑.

且密度函數(shù)

在S上連續(xù)時，曲面塊S

的質(zhì)示小曲面塊的面積，為中任意一點(diǎn)，其中為曲面塊的分割，表上任取一點(diǎn)若存在極限

定義在

S

上的函數(shù).對曲面

S

作分割

T,它把S分成n個小曲面塊記小曲面塊

的面積,分割

T的細(xì)度

在

定義1

設(shè)

S

是空間中可求面積的曲面,為且與分割的取法

無關(guān),則稱此極限為上的第一型曲面積分,記作上任取一點(diǎn)若存在極限定義在S上的函數(shù).對曲面S于是,前述曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為:特別地,當(dāng)時,曲面積分就是曲面

塊的面積.

于是,前述曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為:特別地,二、第一型曲面積分的計(jì)算第一型曲面積分需要化為二重積分來計(jì)算.定理

22.1設(shè)有光滑曲面為

S

上的連續(xù)函數(shù),則(

定理證明與曲線積分的定理20.1相仿,不再詳述.)二、第一型曲面積分的計(jì)算第一型曲面積分需要化為二重積分來計(jì)算例1計(jì)算被平面所截得的頂部

(圖22-1).為

定義域解曲面的方程為圓域由于例1計(jì)算被平面所截得的頂部(圖22-1).因此由公式

(2)

求得因此由公式(2)求得例2

計(jì)算其中為圓錐面被圓柱面所割

下的部分

(圖22-2).解對于圓錐面

有

例2計(jì)算其中為圓錐面被圓柱面所割下的因此用二重積分的極坐標(biāo)變換,在平面上的投影為而因此用二重積分的極坐標(biāo)變換,在平面上的投影為而數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分例3計(jì)算曲面積分其中是球面

解：記根據(jù)計(jì)算公式

(2),并使用極坐標(biāo)變換,可得

例3計(jì)算曲面積分其中是球面解：記數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分對于由參量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面積分的計(jì)算公式則為其中對于由參量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面積分的計(jì)算公式螺旋面(圖22-3)的一部分:例2計(jì)算其中

S

為解先求出螺旋面(圖22-3)的一部分:例2計(jì)算其中S為然后由公式

(3)

求得:然后由公式(3)求得:數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分例3計(jì)算曲面積分其中是球面

解(

解法一)

記根據(jù)計(jì)算公式

(2),并使用極坐標(biāo)變換,可得

例3計(jì)算曲面積分其中是球面解(解法一)記數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分(解法二

)

的參數(shù)方程為按

(3)式計(jì)算如下:(解法二)的參數(shù)方程為按(3)式計(jì)算如下:數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分(解法三

)

令由于關(guān)于平面對稱,且在對稱點(diǎn)與

處有因此即類似地,有由此得到(解法三)令由于關(guān)于平面對稱,且在對稱點(diǎn)數(shù)學(xué)分析課件第四版華東師大研制-第22章-曲面積分質(zhì)量分布的密度函數(shù)為試導(dǎo)出曲面塊

S復(fù)習(xí)思考題1.

設(shè)可求面積的曲面的方程為的重心和轉(zhuǎn)動慣量公式.2.

試討論第一型曲面積分的輪換對稱性.3.

給出第一型曲面積分的中值定理,并加以證明.4.模仿定理

20.1的證明,寫出定理

22.1的證明.質(zhì)量分布的密度函數(shù)為試導(dǎo)出曲面塊S復(fù)習(xí)思考題1.§2

第二型曲面積分

第二型曲面積分的典型物理背景是計(jì)算流體從曲面一側(cè)流向另一側(cè)的流量.與第二型曲線積分相類似,

第二型曲面積分與曲面所取的方向有關(guān),這就需要先定義“曲面的側(cè)”.一、曲面的側(cè)二、第二型曲面積分的概念三、第二型曲面積分的計(jì)算四、兩類曲面積分的聯(lián)系§2第二型曲面積分第二型曲面積分的典型物理背景是計(jì)一、曲面的側(cè)

設(shè)連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點(diǎn)處的法線有兩個方向：當(dāng)取定其中一個指向?yàn)檎较驎r,另一個指向就是負(fù)方向.又設(shè)為

S上任一點(diǎn),L為S上任一經(jīng)過點(diǎn)且不超出S邊界的閉曲線.當(dāng)

S上的動點(diǎn)

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動一周而回到時,如果有如下特征:出發(fā)時

M與取相同的法線方向,而回來時仍保持原來的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側(cè)的.一、曲面的側(cè)設(shè)連通曲面S上到處都有連續(xù)變動的切平面否則,若由某一點(diǎn)出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時,其法線方向與出發(fā)時的方向相反,則稱S是單側(cè)曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面.單側(cè)曲面的一個典型例子是默比烏斯(Mobius)帶.它的構(gòu)造方法如下:取一矩形長紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉(zhuǎn)后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).否則,若由某一點(diǎn)出發(fā),沿S上某一封閉曲線回到默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德國)默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè),

另一側(cè)稱為下側(cè).當(dāng)

S為封閉曲面時,法線方向朝外的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè).

習(xí)慣上把上側(cè)

作為正側(cè),下側(cè)作為負(fù)側(cè);又把封閉曲面的外側(cè)作為正側(cè),

內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè).通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面,其法線方向與z二．第二型曲面積分的概念先考察一個計(jì)算流量的問題.設(shè)某流體以流速從曲面

S的負(fù)側(cè)流向正側(cè)

(圖22-5),其中P,Q,R為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù),求在單位時間內(nèi)流過曲面S的總流量E.設(shè)在S上任一點(diǎn)處的正向單位法向量為二．第二型曲面積分的概念先考察一個計(jì)算流量的問題.設(shè)某流體這里

,,

都是

x,y,z

的函數(shù).則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面塊的流量其中是任意取定的一點(diǎn);

是點(diǎn)處的單位法向量;分別是在坐標(biāo)面這里,,都是x,y,z的函數(shù).則于是單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正所以,單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第

側(cè)的流量也就近似等于上投影區(qū)域的近似面積,分別記作于是單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正所以,單位時間內(nèi)由的負(fù)側(cè)的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:

分別表示在三個坐標(biāo)面上二型曲面積分.定義1

設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).對S作分割T,它把S分為分割T的細(xì)度為的投影區(qū)域的面積,它們的符號由的方向來確定:分別表示若若在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無關(guān),則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個極限都存在,且與分割

T和點(diǎn)

的在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無關(guān),據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量即為又如,若空間中的磁場強(qiáng)度為則按指定方向穿過曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量若以表示曲面S的另一側(cè),由定義易知第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質(zhì):1.

若

存在,

則有若以表示曲面S的另一側(cè),由定義易知第二型曲面積其中2.

若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面所組成,則有其中2.若曲面S是由兩兩無公共內(nèi)點(diǎn)的曲面所組成,則有三．第二型曲面積分的計(jì)算定理22.2

設(shè)是定義在光滑曲面

上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)(這時的法線方

向與軸正向成銳角),則有證由第二型曲面積分的定義,三．第二型曲面積分的計(jì)算定理22.2設(shè)是定義在光滑曲面由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,上也連續(xù).由二重積分的定義,這里由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

類似地,當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時,有所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一類似一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè).當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時,有這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè).當(dāng)例1

計(jì)算其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分別為部分并取球面在例1計(jì)算其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解曲面S它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限

部分.因積分是沿的下側(cè)進(jìn)行,故

它們在平面上的投影區(qū)域都是單位圓在第一象限部分.因積分是其中例2

計(jì)算是由曲面所圍立體表面的外側(cè).解曲面其中其投影為其中例2計(jì)算是由曲面所圍立體表面的外側(cè).解曲面其投影為其投影為其投影為其投影為因此因此如果光滑曲面S由參量方程給出:

若在D上各點(diǎn)它們的函數(shù)行列式不同時為零,則分別有如果光滑曲面S由參量方程給出:若在D上各注

(5),(6),(7)三式前的正負(fù)號分別對應(yīng)S的兩個側(cè),所選定的正

特別當(dāng)平面的正方向?qū)?yīng)于曲面向一側(cè)時,式前取正號,否則取負(fù)號.其中S為橢球面例3

計(jì)算注(5),(6),(7)三式前的正負(fù)號分別對應(yīng)S的兩的上半部分,并取外側(cè).由(5)式有解把曲面表示為參量方程:的上半部分,并取外側(cè).由(5)式有解把曲面其中積分是在S的正側(cè)進(jìn)行.由上述的注,(8)式右端取正

號,

即其中積分是在S的正側(cè)進(jìn)行.由上述的注,(8)式右端取五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設(shè)S為光滑曲面,并以上側(cè)為正側(cè),R為S上的連續(xù)

函數(shù),曲面積分在

S

的正側(cè)進(jìn)行.因而有由曲面面積公式（第二十一章§6）,五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可其中

是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它

是定義在上的函數(shù).因?yàn)榉e分沿曲面正側(cè)進(jìn)行,

所以是銳角.又由S是光滑的,所以使這點(diǎn)的法線方向與z軸正向的夾角滿足等式

上連續(xù).應(yīng)用中值定理,在內(nèi)必存在一點(diǎn),

其中是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它或與z軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是現(xiàn)以的法線方向時,(10)式右端極限存在.因此由(9)式得當(dāng)?shù)玫交蚺cz軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時,左邊積分改變符號;右邊積分中角改為.因而也改變符號,

其中

,

分別是S上的法線方向與x軸正向和與y

所以右邊積分也相應(yīng)改變了符號.同理可證:這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時,左邊積分改變符號;右邊積分中軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函數(shù)之后,由

(11),(12),(13),(14)式便建立了兩種不同類型曲面積分的聯(lián)系.注當(dāng)曲面由表示,且取上側(cè)軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函因此上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影,從而使計(jì)算得到簡化.時,因此上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影,從而使計(jì)例4計(jì)算其中為的部分,并取上側(cè).

解例4計(jì)算其中為的部分,并取上側(cè).上面第二步計(jì)算后得到是利用了積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性,除了這一項(xiàng)外,其他各積分項(xiàng)全都等于零.上面第二步計(jì)算后得到§3

高斯公式與斯托克斯公式

高斯公式與斯托克斯公式都是格林公式的推廣.格林公式建立了平面區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系;高斯公式建立了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的第二型曲面積分之間的關(guān)系;斯托克斯公式建立了空間曲面上的第二型曲面積分與其邊界曲線上的第二型曲線積分之間的關(guān)系.§3高斯公式與斯托克斯公式高斯公式與斯托克斯公式都一、高斯公式二、斯托克斯公式一、高斯公式二、斯托克斯公式一、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).(1)式稱為高斯公式.一、高斯公式定理22.3設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封證下面只證讀者可類似這些結(jié)果相加便得到了高斯公式(1).先設(shè)V是一個

xy

型區(qū)域,即其邊界曲面

S由曲面證明其余兩式:證下面只證讀者可類似這些結(jié)果相加便得到了高斯公式(及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積分的計(jì)算方法,有及垂直于的柱面組成(圖22-7),其中于是按三重積其中都取上側(cè).又由于平面上投影面

其中都取上側(cè).又由于平面上投影面從而得到對于不是

xy型區(qū)域的情形,一般可用有限個光滑積為零,所以曲面將它分割成若干個

xy

型區(qū)域來討論.從而得到對于不是xy型區(qū)域的情形,一般可用有限例1

計(jì)算其中

S是邊長為

a的正立方體表面并取外側(cè).解應(yīng)用高斯公式,例1計(jì)算其中S是邊長為a的正立方體表面并取外側(cè)注若在高斯公式中

則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)域

V

的體積的公式:例2計(jì)算其中為曲面上的部分,并取

上側(cè).注若在高斯公式中則有于是得到應(yīng)用第二型曲面積分計(jì)算空間區(qū)解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高斯公式以方便計(jì)算,可補(bǔ)充一塊平面并取下側(cè),則構(gòu)成一封閉曲面.于是解由于曲面不是封閉的,不能直接應(yīng)用高斯公式.為了能使用高而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的

靜電場中,電場強(qiáng)度向外穿過任何包含在其內(nèi)

而因此例3證明電學(xué)中的高斯定理:在由點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充分小的球面使全部

落在所包含的區(qū)域內(nèi)部,并將坐標(biāo)原點(diǎn)取在處.由電學(xué)知識,在點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為設(shè)其中易驗(yàn)證(參見圖22-8

)部的光滑封閉曲面的電通量都等于證以為球心作一半徑充所以穿過的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑為的球體.在與所圍的空間區(qū)域上應(yīng)用高斯公式,其邊

界的外測是的外側(cè)和的內(nèi)側(cè).因?yàn)樗源┻^的電通量為其中取外側(cè),是包圍的半徑所以穿過的電通量為所以穿過的電通量為二、斯托克斯公式先對雙側(cè)曲面

S的側(cè)與其邊界曲線

L的方向作如下規(guī)定:設(shè)有人站在

S上指定的一側(cè),若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的左方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€

L

的正向;若沿

L行走,指定的側(cè)總在人的右方,則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缇€

L的負(fù)向.這個規(guī)定也稱為右手法則,如圖

22-9所示.二、斯托克斯公式先對雙側(cè)曲面S的側(cè)與其邊界曲線L定理22.4

設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線.若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:定理22.4設(shè)光滑曲面S的邊界L是按段光滑的連續(xù)其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.證先證其中曲面

S由方程確定,它的正側(cè)法線方(3)

其中S的側(cè)與L的方向按右手法則確定.證先證若

S在

xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線

現(xiàn)由第二型曲線積分定義及格林公式有向數(shù)為方向余弦為所以若S在xy平面上的投影為區(qū)域平面上的投影為曲線所以因?yàn)樗砸驗(yàn)橛捎?/p>

從而由于從而將

(3),(4),(5)三式相加,即得公式

(2).如果

S不能以的形式給出,則可用一些光滑曲線把

S分割為若干小塊,使每一小塊能用這綜合上述結(jié)果,便得到所要證明的(3)式.當(dāng)曲面

S表示為時,同樣可證

將(3),(4),(5)三式相加,即得公式(2)為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫成如下形式:例4計(jì)算其中種形式來表示.因而這時

(2)式也能成立.與各坐標(biāo)面的交線,取圖

22-8所示的方向.為了便于記憶,斯托克斯公式也常寫成如下形式:例4計(jì)算其中種解應(yīng)用斯托克斯公式推得:解應(yīng)用斯托克斯公式推得:車胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線積分相仿,空間曲線積分與路線的無關(guān)性也有下面相應(yīng)的定理.不經(jīng)過

V以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于

V的一點(diǎn).例如:兩同心球面所界定的區(qū)域仍是單連通的;而形如區(qū)域

V稱為單連通的,如果

V內(nèi)任一封閉曲線皆可注上述之單連通,又稱為“按曲面單連通”.其意義是:對于

V內(nèi)任一封閉曲線

L,均能以

L為邊界,

繃起一個位于

V中的曲面.車胎狀的環(huán)形區(qū)域則是非單連通的.與平面曲線積分相仿,空間曲線與路線無關(guān);(i)

對于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線

L有(ii)

對于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線

L,曲線積分定理22.5

設(shè)為空間單連通區(qū)域.若函數(shù)P,

個條件是等價的:Q,R在

上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四與路線無關(guān);(i)對于內(nèi)任一按段光滑的封閉曲例5

驗(yàn)證曲線積分與路線無關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)這個定理的證明與定理

21.12相仿,這里不重復(fù)了.在

內(nèi)處處成立.(iii)

內(nèi)某一函數(shù)

u的全微分,即例5驗(yàn)證曲線積分與路線無關(guān),并求被積表達(dá)式的原函數(shù)這個定取如圖

22-11,從沿平行于

x軸的直線到

所以曲線積分與路線無關(guān).現(xiàn)在求原函數(shù):解對于顯然有取如圖22-11,從沿平行于x軸的直線到所再沿平行于y

軸的直線到最后沿平行于

z軸的直線到

于是再沿平行于y軸的直線到最后沿平行于z軸的直線到于為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一任意常數(shù).其中是一個常數(shù).若取為原點(diǎn),則得若取為任意點(diǎn),則為一任意常§4

場論初步

在物理學(xué)中,曲線積分和曲面積分有著廣泛的應(yīng)用.物理學(xué)家為了既能形象地表達(dá)有關(guān)的物理量,又能方便地使用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行邏輯表達(dá)和數(shù)據(jù)計(jì)算,使用了一些特殊的術(shù)語和記號,在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了場論.一、場的概念;二、梯度場;三、散度場;四、旋度場;

五、管量場與有勢場.§4場論初步在物理學(xué)中,曲線積分和曲面積一、場的概念

若對全空間或其中某一區(qū)域

V中每一點(diǎn)

M,

都有一個數(shù)量

(或向量)與之對應(yīng),則稱在

V上給定了一個

數(shù)量場

(或向量場).例如:溫度和密度都是數(shù)量場,

M的位置可由坐標(biāo)確定.因此給定了某個數(shù)量場就總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).同理,每

重力和速度都是向量場.在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)

等于給定了一個數(shù)量函數(shù)

在以下討論中

一、場的概念若對全空間或其中某一區(qū)域V中每一點(diǎn)M,個向量場都與某個向量函數(shù)相對應(yīng).

這里

P,Q,R為所定義區(qū)域上的數(shù)量函數(shù),