立體幾何專題精練異面直線所成的角和直線與平面所成的角

【正確原創(chuàng)】2022高考數(shù)學(xué)立體幾何專題精練（7）異面直線所成的角和直線與平面所成的角一、選擇題1.（10分）異面直線和所成的角為,則的范圍是(

)A.

B.

C.

D.2.（10分）已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形.若為底面的中心,則與平面的所成角的大小為(

)A.

B.

C.

D.3.（10分）如圖,已知是矩形所在平面外一點平面分別是的中點.若則與平面所成角的大小是(

)°

°

°

°4.（10分）在正方體中對角線所在直線與平面所成的角是(

)A.

B.

C.

D.5.（10分）正方體中,是的中點,則直線與平面所成角的正切值為(

)A.

B.

C.

D.6.（10分）如圖,在四棱錐中,平面,四邊形為正方形,則與底面的夾角的正弦值為(

)A.

B.

C.

D.7.（10分）在長方體中,,與平面所成的角為,則該長方體的體積為(

)A.

B.

C.

D.8.（10分）已知四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱長均相等,是線段上的點(不含端點).設(shè)與所成的角為與平面所成的角為,二面角的平面角為,則(

)A.

B.

C.

D.9.（10分）如圖,在長方體中,,則與平面所成角的正弦值為(

)

A.

B.

C.

D.10.（10分）正方體棱長為3,點在邊上,且滿足,動點在正方體表面上運動,并且總保持,則動點的軌跡的周長為(

)A.

B.

C.

D.二、填空題11.（10分）如圖,在底面為正方形的四凌錐中,,點為棱的中點,則異面直線與所成角的余弦值為___________.12.（10分）為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形的直角邊所在的直線與都垂直,斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:①當(dāng)直線與成角時,與成角;②當(dāng)直線與成角時,與成角;③直線與所成角的最小值為;④直線與所成角的最大值為.其中正確的是__________(填寫所有正確結(jié)論的編號)三、解答題13.（10分）在四邊形中,對角線垂直并相交于點,且將沿折到的位置,使得二面角的大小為(如圖).已知為的中點,點在線段上,且1.證明:直線平面;2.求直線與平面所成角的正弦值14.（10分）如圖,在三棱柱中,,,,在底面的射影為的中點,是的中點.

1.證明:平面;

2.求直線和平面所成角的正弦值.15.（10分）如圖所示的圓錐的體積為,圓的直徑點是的中點,點是母線的中點.1.求該圓錐的側(cè)面積2.求異面直線與所成角的大小.

參考答案一、選擇題1.答案：C解析：由異面直線的性質(zhì)知,的范圍是故選C.2.答案：B解析：如圖所示,過作平面于,則為平面的中心,連接,延長交于點,則即為與平面所成的角.由,得,即.又,

∴,∴,故選.

答案：C解析：如圖,取的中點,連接.,因為分別為的中點,,且又在矩形中,且且,四邊形.是平行四邊形,所以,與平面所成的角等于與平面所成的角.過點作,垂足為,則,因為平面,平面,為等腰直角三角形,因為為的終點故選C.4.答案：A解析：正方體中,平面是在平面內(nèi)的射影就是直線與平面所成的角,故選A5.答案：C解析：過作.于,由正方體的性質(zhì)知,平面,且為的中點,連接,則在平面內(nèi)的射影,所以為直線,與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為,則在中,,則:故選C6.答案：B解析：因為四邊形為正方形，且因為因為底面，底面設(shè)與底面的夾角為，則與底面的夾角的正弦值為故選B7.答案：C解析：分析:首先畫出長方體,利用題中條件,得到,根據(jù),求得,可以確定,之后利用長方體的體積公式詳解:在長方體中,連接,根據(jù)線面角的定義可知,因為,所以,從而求得,所以該長方體的體積為,故選C.點睛:該題考查的是長方體的體積的求解問題,在解題的過程中,需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積,而題中的條件只有兩個值,所以利用題中的條件求解另一條邊的長久顯得尤為重要,此時就需要明確線面角的定義,從而得到量之間的關(guān)系,從而求得結(jié)果.8.答案：D解析：本小題考查正四棱錐的性質(zhì),異面直線所成的角,直線與平面所成的角,二面角的概念、作法以及三角函數(shù)值的大小比較.由題意知該四棱錐為正四棱錐,設(shè)的中點分別為,連接,過點作直線的垂線交于點,設(shè)為在底面內(nèi)的射影,連接則因為因為平面平面,又平面因為,SQ^SO,EQ=O故有,由圖可知故選D答案：D解析：在平面內(nèi)過點作,連接。因為為長方體,所以面,從而,所以面,則就是與平面的所成角。因為,所以,從而在中,,故選D10.答案：A解析：二、填空題11.答案：解析：如圖所示,取的中點.連接則因為平行且等于,平行且等于,為異面直線與所成的角.在中,12.答案：②③解析：由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖。不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓。以為坐標(biāo)原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。則，直線的方向單位向量，，點起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，。設(shè)點在運動過程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，。那么在運動過程中的向量，。設(shè)與所成夾角為，則。故，所以③正確，④錯誤。設(shè)與所成夾角為，當(dāng)與所成夾角時，即，∵，∴，∴?！?，∴，此時與所成夾角。∴②正確，①錯誤。故填②③三、解答題13.答案：1.證明:如圖,取的中點,連接則,由題意知.又.,故,因此因為平面且平面,故平面平面,又

故平面平面,從而平面

2.易知,設(shè)點到平面的距離為,則由等體積法可得,故因此解析：14.答案：1.證明:如圖,設(shè)為的中點,連接,

由題意得平面,所以.

因為,所以.

故平面.

由分別為的中點,得且,

從而,且,

所以四邊形為平行四邊形.

于是.

又因為平面,

所以平面.

2.如圖,作,垂足為,連接,

因為平面,所以.

因為,所以平面.

所以,所以平面.

所以為直線和平面所成的角.

由,

得.

由平面,得,