等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 省賽獲獎(jiǎng)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和題型一：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用【例題1】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a(a＞0)，公比為q(q＞0)，前n項(xiàng)和為80，其中最大的一項(xiàng)為54，又它的前2n項(xiàng)和為6560，求a和q．【解析】由Sn=80，S2n=6560，故q≠1∵a＞0，q＞1，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為an．∴an=aqn-1=54 ④將③代入①化簡得a=q－1 ⑤由⑤，⑥聯(lián)立方程組解得a=2，q=3【訓(xùn)練1】求證：對(duì)于等比數(shù)列，有【解析】證明：∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)=Sn＋qnSn=Sn(1＋qn)類似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)【訓(xùn)練2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n－1，求{eq\f(1,an)}的前n項(xiàng)和Tn.分析：根據(jù)通項(xiàng)an與Sn的關(guān)系，可以求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，可以發(fā)現(xiàn){an}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知數(shù)列{eq\f(1,an)}也是等比數(shù)列，因此再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn＝2n1，知an＝Sn－Sn1＝2n1(*)，又a1＝S1＝1，滿足(*)，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n1.∴數(shù)列{eq\f(1,an)}是以首項(xiàng)為1，公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，則{eq\f(1,an)}的前n項(xiàng)和Tn＝eq\f(a1(1－qn),1－q)＝2－eq\f(1,2n1).【訓(xùn)練3】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝21，S6＝189，求Sn.【解析】設(shè)Sn＝A－Aqn，則由S3＝21，S6＝189，得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(21＝A－Aq6①,189＝A－Aq3②)，由②÷①得q3＋1＝9，所以q＝2，代入①得A＝－3.所以Sn＝3·2n－1.【訓(xùn)練4】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，S10=10，S30=70，則S40等于.【解析】由題意：得，S40=.【訓(xùn)練5】求和：【解析】=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①－=2\*GB3②得：【訓(xùn)練6】設(shè)等比數(shù)列的公比與前項(xiàng)和分別為和，且≠1，【解析】題型二：等比數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例題2】數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n．【解析】方法1利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若q=1，則Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1=Sn(1＋qn＋q2n)方法2利用等比數(shù)列的性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列∴(60－48)2=48·(S3n－60)∴S3n=63．方法2取特殊值法取n=1，則S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60∴a2=12∵{an}為等比數(shù)列S3n=S3=a1＋a2＋a3=63【訓(xùn)練1】已知等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，前2n項(xiàng)和為60，前3n項(xiàng)和63.求Sn的值?！窘馕觥扛鶕?jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，即Sn，60－Sn，3成等比數(shù)列，所以(60－Sn)2＝3·Sn，整理，得Sn2－123Sn＋3600＝0，解得Sn＝48或75.【訓(xùn)練2】一個(gè)有窮的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．【解析】設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，因?yàn)閍1=1，由已知可得q≠1．即公比為2，項(xiàng)數(shù)為8．【訓(xùn)練3】設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若=3，則=（）（A）2（B）（C）（D）3【答案】B；【解析】選B.設(shè)公比為q,則＝1＋q3＝3q3＝2于是.【訓(xùn)練4】設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為。若，則=【答案】3；【解析】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由得q3=3故a4=a1q3=3?！居?xùn)練5】已知是等比數(shù)列，，則=()（A）（B）（C）（D）【答案】C；【解析】由，解得數(shù)列仍是等比數(shù)列:其首項(xiàng)是公比為所以,，選C.題型三：等比數(shù)列綜合性問題【例題4】設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，，求證：成等比數(shù)列且公比為。【解析】證法一：關(guān)于的二次方程有實(shí)根，∴，∴則必有：，即，∴非零實(shí)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)公比為，則，代入∵，即，即。證法二：∵∴∴，∴，且∵非零，∴。【訓(xùn)練1】在等差數(shù)列中，=1，前項(xiàng)和滿足=1\*GB3①求數(shù)列的通項(xiàng)公式=2\*GB3②記，求數(shù)列的前項(xiàng)和?！窘馕觥?1\*GB3①設(shè)數(shù)列的公差為，由所以==2\*GB3②由，有所以=1\*GB3①=2\*GB3②=1\*GB3①－=2\*GB3②得【訓(xùn)練2】已知數(shù)列中，，，且．（Ⅰ）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．【解析】（Ⅰ）由題設(shè)，得，即．又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ），，，……．將以上各式相加，得．所以當(dāng)時(shí)，上式對(duì)顯然成立．（Ⅲ）由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得．所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．【訓(xùn)練3】設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，，且，，．（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)．【解析】（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．因?yàn)椋裕儆谑牵谟散冢俚茫海塾谑牵苡散埽鄣茫海菁磾?shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．（II）由①有，所以．由③有，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．所以，，．由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時(shí)，由，得，，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）【訓(xùn)練4】已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列．（I）證明：；（II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：．【解析】方法1：（I）由，有，．（=2\*ROMANII），，，．是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列．（=3\*ROMANIII）由（=2\*ROMANII）得，，于是