偏導(dǎo)數(shù)與全微分(共42張PPT)

6.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分返回幫助偏導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算二階偏導(dǎo)數(shù)全微分小結(jié)與思考題第1頁，共42頁。一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例：研究弦在點(diǎn)處的振動(dòng)速度與加速度,就是將振幅中的x固定于處，求關(guān)于t的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).第2頁，共42頁。一、偏導(dǎo)數(shù)的概念返回下頁上頁第3頁，共42頁。返回下頁上頁第4頁，共42頁。返回下頁上頁第5頁，共42頁。偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處返回下頁上頁第6頁，共42頁。解返回下頁上頁第7頁，共42頁。證原結(jié)論成立．返回下頁上頁第8頁，共42頁。解返回下頁上頁第9頁，共42頁。不存在．返回下頁上頁第10頁，共42頁。證返回下頁上頁第11頁，共42頁。有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解返回下頁上頁第12頁，共42頁。例5解返回下頁上頁第13頁，共42頁。按定義可知：返回下頁上頁第14頁，共42頁。一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法4、多元函數(shù)全微分的概念；一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，返回下頁上頁第15頁，共42頁。純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)返回下頁上頁第16頁，共42頁。解返回下頁上頁第17頁，共42頁。解返回下頁上頁第18頁，共42頁。問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解返回下頁上頁第19頁，共42頁。證畢．返回下頁上頁第20頁，共42頁。由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得三、全微分

1、全微分的概念返回下頁上頁第21頁，共42頁。全增量的概念返回下頁上頁第22頁，共42頁。全微分的定義返回下頁上頁第23頁，共42頁。事實(shí)上返回下頁上頁第24頁，共42頁。2、可微的條件返回下頁上頁第25頁，共42頁。返回下頁上頁第26頁，共42頁。習(xí)慣上，記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．返回下頁上頁第27頁，共42頁。解所求全微分返回下頁上頁第28頁，共42頁。解返回下頁上頁第29頁，共42頁。解所求全微分返回下頁上頁第30頁，共42頁。全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用也可寫成返回下頁上頁第31頁，共42頁。解由公式得返回下頁上頁第32頁，共42頁。1、偏導(dǎo)數(shù)的定義2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）四、小結(jié)4、多元函數(shù)全微分的概念；5、多元函數(shù)全微分的求法；返回下頁上頁第33頁，共42頁。思考題返回下頁上頁第34頁，共42頁。求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．2、偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如在處３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．4、多元函數(shù)全微分的概念；如在處引例：研究弦在點(diǎn)處的振動(dòng)速度與加速度,但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？思考題解答不能.例如,返回下頁上頁第35頁，共42頁。練習(xí)題返回下頁上頁第36頁，共42頁。返回下頁上頁第37頁，共42頁。練習(xí)題答案返回