極值點偏移問題

極值點偏移問題總結(jié)一、判定方法1、極值點偏移的定義TOC\o"1-5"\h\z對于函數(shù)y=f3)在區(qū)間(。,b)只有一個極值點x，方程f3)=0的解分別為x、工,012且a<x<x<b,若氣+X2豐x，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極值點x偏移；20120若土±%>x，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極值點x左偏，簡稱極值點x201200左偏；若xi+x2<x，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極值點x右偏，簡稱極值點x201200右偏。2、極值點偏移的判定定理判定定理1對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0，方程f(x)=0的解分別為x、x，且a<x<x<b，1212若廣(工)>0，則=<(>)x，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極大(水)22012值點x右(左)偏；00若廣(二±4)<0，則x±4>(<)x，即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極大(水)22012值點x0左(右)偏。證明：(1)因為可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0，則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a,君)，單調(diào)遞減(增)區(qū)間為(%b)，又\o"CurrentDocument"x+xx+xx+xa<x<x<b，有2g(a,b)由于f()>0，酸2g(a,x)，所以122220二<(>)x，即函數(shù)極大(小)值點x右(左)偏。200

判定定理2對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0，方程TOC\o"1-5"\h\zf(x)=0的解分別為x、x，且a<x<x<b,1212(1)若f(x)<f(2x-x)，則氣+X2<(>)x即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極10220,12大(小)值點x右(左)偏；0(2)若f(x)>f(2x-x)，則氣+%>(<)x即函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x,x)上極10220,12大(小)值點x0左(右)偏。證明：(1)因為對于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)上只有一個極大(小)值點x0,區(qū)間為(x,b)，又0故x1<(>)2x0-x2,則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a,x0),單調(diào)遞減(增)a<x<x<b,有x<x,且區(qū)間為(x,b)，又0故x1<(>)2x0-x2,1210020102所以x二<(>)x,即函數(shù)極大(小)值點x右(左)偏.200結(jié)論(2)證明賂。二、運(yùn)用判定定理判定極值點偏移的方法方法概述：求出函數(shù)f(x)的極值點；構(gòu)造一兀差函數(shù)F(x)=f(x+x)一f(x-x)00確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性；結(jié)合F(0)=0,判斷F(x)的符號,從而確定f(x0-x),f(x0+x)的大小關(guān)系。抽化模型答題模版：若巳知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x),x為f(x)的極值點，求證：x+x<2x120120

討論函數(shù)f⑴的單調(diào)性并求出f⑴的極值點X0假設(shè)此處f(X)在(—8,X。)上單調(diào)遞減，在(X。,+8)上單調(diào)遞增。構(gòu)造F(x)=f(X+x)一f(X-x)；00注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成F(x)=f(x)一f(2x-X)0通過求導(dǎo)F'(x)談?wù)揊(X)的單調(diào)性，判斷處F(X)在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出f(X+x)與f(X0-X)的大小關(guān)系；假設(shè)此處F(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，那么我們便可以得出F(x)>F(0)=f(x)-f(x)=0，從而得到:x>X時,f(x+x)>f(X-x)TOC\o"1-5"\h\z(4)不妨激XVXVX，通過f(x)的單調(diào)性，f(X)=f(X),f(X+X)與f(X-x)的大小關(guān)

1021200系得出結(jié)論；(X2接上述情況：由于X>X時，f(X+X)>f(X-x)且XVXVX，f(X)=f(X)故00010212-x)>f[x-(x-x)]=f(2x-x)，又因為

0」020(X2f(X)在(-8,X)上單調(diào)遞減，從而得到XV2X-X，從而X+XV2X得證；102120x+X、_本］注咨乂+xipx+x(5)有要址明f，(122)V0還指進(jìn)一步討論fyf與X0的大小，得出122所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證；此處只需繼續(xù)證明：因為X+XV2X故X±4VX，由于f(X)在(-8,X)上單調(diào)遞減，120200故f'(二)V02說明：此類試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計算時須細(xì)心；此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f(X)的單調(diào)性、極值點，證明f(X0+x)與f(X0-x)或f(x)與f(2X0-x)的大水關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如X+xV2X或者牛VX的結(jié)論，讓你給出證明，此時自己應(yīng)主動把該小問12020分解為二間逐步解題。三、例(-)不含參數(shù)的的極值點偏移問題?1：(2010XXa21)已知函敏小)=￥心景)(1)求函")的單調(diào)區(qū)間和版值;(2)若x,且/(x)=/(%),求證：x+x>2121212解答：【法-1(1)f3=(1一,/'(X)=O,x=1；(-oo,l)僧(1,+00)減極大值/(!)=-e(2)g(jc)=f(l+x)-f(l-jc)=(1+x)e-(i+i)-(1一x)e-i+r,g\x)=xex-i-e-(i+x)g'(x)=0,x=0；(-oo,0)減；(0,+oo)增x>0時，g(x)>g(0)=0BP/(1+x)>/(I-x)X,不妨設(shè)X<X,由(1)知1<1,1>1,TOC\o"1-5"\h\z21212)=/Fi+G_i)]>fh-3-i)]=/(2-x)*12L2J22x>1,/.2-x<1,/(%)在(-00,1)上僧,2':■:x>2-x,BPx+x>2,1212【虹】Mfl%+%>2,艮|1證x>2-x1221由法一知0Vx<1,x>1,故2-x>1又因為f(x)在(1,+8)上是單調(diào)遞減的，只需證f(x2)<f(2-xi),又因為f(%)=f(x2)，故也即證f(%)<f(2—I】),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)—f(2—x),xe(0,1)由h'(x)=廣(x)—廣(2—x)=1—x(1一e2x—2)exh(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，h(x)<h(1)=0故原不等式x1+x2>2成立【法三】由f(x「=f(x2)得,xe-x.=xe—x2,化簡得ex2—x1=二①1不妨設(shè)x>x，由法一知0<x<1<x，令t=x—x，則t>0x=t+x21122121代入①得：et=4，反解出：x—，則x+x=2x+1=^+1x1et一1121et一11故要證x1+x2>2即證-2-+1>2，又因為et—1>0,等價于證明I：2t+(t-2)(et—1)>0②構(gòu)造函數(shù)g(t)=2t+(t-2)。一]Xt>0)，則g'(t)=(t—1)et+1,g"(t)=tet>0故g'(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g'(t)>g'(0)=0從而g(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(t)>g(0)=0【法四】由f(x「=f(x2)得，xe-x.=xe—x2,化簡得ex2—x1=二①，1兩邊同時取以e為底的對數(shù)：得x-x=ln筆=lnx-lnx,1x12+1從而x+x+)Inx-Inx=x+x血x=從而x+x12x一xx一xxxx21211—一11x

1令t=土(t>1)，則欲證x+x>2等價于證明土lnt>2②，氣12t—1

構(gòu)造g(t)=(*+-I"="+」>i),t—[t—1yg0)=fg0)=f2—1—2tIntrG-l)2又令/?(0=r2-l-2rlnrG>l)ih\t)=2t-(21nt+l)=2(t-l-lnd，由于t-l>lnt對Vre(l,+00)恒成立，fih\t)>Q,h(t)在(1,+co)上單調(diào)遞增，h(t)>/z(l)=0,g'(0>0對Vre(1,+co)'HAZ,g。)在(l,+8)上單調(diào)遞增，g(f)>g(l)由洛必達(dá)法則知:limg(0=limG+1)lnr==limf1H+也卜2r->lf->lt—\—i\t—lz\t)fllg(0>2,質(zhì)證③式成立，也即原不等式成立?2：(2013文21)/⑴=1z±y，1+X2(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當(dāng)f(x)=/(x)3Ix)時,x+x<0'121212含參數(shù)的極值點偏移問含參教的極值點偏移間題，在原有的兩個變元?dú)猓セA(chǔ)上，有多了一個參教，故思路很自然的就會想到：想盡-切亦法消去參教，從而轉(zhuǎn)化成不含參教的問題去解決，成者以參教為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函教。例1巳知函教f(X)=x_aex有兩個不同的零點x,x，求證：x+x>2TOC\o"1-5"\h\z1212例2.巳知函教f(x)=lnx—ax,a為常教，若函教f(x)有兩個不同的零點『，求證：x-x>e2例3:巳知x,x是函教f(x)=ex-ax的兩個零點，且xVx1212求證：xi+x2>2x-xV1例4：巳知函教f(x)=x一eax(a>0)，若存在x,x(xVx),使f(x)=f(x)=0,求證:121212x—iVaex2變式訓(xùn)練：設(shè)函教f(x)=ex-ax+a(aeR)的圖像與x軸交于A(氣,0),B(x2,0)(氣Vx2)兩點，證明：f0*匚)V0求證：xxVx+x1212設(shè)函教f(x)=aInx-bx2,其圖像在點P(2,f(2))處切線的斜率為-3,當(dāng)。=2時，令g(x)=f(x)-kx,設(shè)x,x(xVx)是方程g(x)=0的兩個根，x是x,x的等差中1212012

項，求證：丁3)<00已知函數(shù)f(x)—alnx(asR)x若a—2,求函數(shù)f(x)在(1,°2)上的零點個數(shù)；若f(x)有兩零點x,x(xVx),求證：2vx+xV3ea-i-1121212巳知函數(shù)f(x)——x2+(1-a)x-aInx2討論f(x)的單調(diào)性；設(shè)a>0，證明:0VxVa時，f(a+x)Vf(a-x)含對數(shù)式的極值點偏移問題根據(jù)f(x)-f(x)建立等式，通過消參、恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，12利用對數(shù)平均不等式鏈求解。(a邳)lna—lnb(a邳)lna—lnb，a(a-b)兩個整數(shù).和b的對數(shù)平均定義：L(a,b)—\對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大水關(guān)系:例1：已知函數(shù)f(x)—lnx-ax2+(2-a)x(1)討論f(x)的單調(diào)性;⑵設(shè)a>0，證明：當(dāng)0vxv1時，f&+x)>f(L-x)；aaa(3)若函數(shù)＞-f(x)的圖像與x軸交于A,B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明：廣(％)V0含指數(shù)式的極值點偏移問題指數(shù)不等式：伽-en()在對數(shù)平均的定義中，設(shè)1=em,b=en，則E(a,b)=<m-n〃，根據(jù)對數(shù)平均em(m=n)不等式有如下關(guān)系：e甘<E(a,b)<史竺2例1(全國1卷2016理21)巳知函數(shù)f⑴=3-2)ex+a(x-1)2