高中數(shù)學(xué)用空間向量解立體幾何問題方法歸納

高中數(shù)學(xué)用空間向量解立體幾何問題方法概括版高中數(shù)學(xué)用空間向量解立體幾何問題方法概括版21/21高中數(shù)學(xué)用空間向量解立體幾何問題方法概括版???????????????????????最新料介紹???????????????????用空間向量解立體幾何題型與方法平行垂直問題基礎(chǔ)知識(shí)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝01、以下列圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PA＝AB＝1，BC＝2.求證：EF∥平面PAB；求證：平面PAD⊥平面PDC.[證明]以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)11系以下列圖，則，P(0,0,1)，所以E，1，，2211，PB＝(1,0，－1)，PD＝(0,2，－1)，AP＝F0，1，，EF＝－，0，022(0,0,1)，AD＝(0,2,0)，DC＝(1,0,0)，AB＝(1,0,0)．1由于EF＝－AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.2AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.由于AP·DC＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD·DC＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.由于DC?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.1???????????????????????最新料介紹???????????????????使用空間向量方法證明線面平行時(shí)，既可以證明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的方向向量平行，爾后依照線面平行的判判定理獲取線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，爾后使用判判定理進(jìn)行判斷，也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，以下列圖，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，所以BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)，B1DBA0，B1DBD0＋4－40，即B1D⊥BA，BD⊥BD.·＝·＝＝1BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.aa(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，1，4，F(xiàn)(0,1,4)，則EG＝，1，1，EF＝(0,1,1)，22BD·EG＝0＋2－2＝0，BD·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.11EF又EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(shí)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成|a·b|的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.|a||b|(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為|n·a|θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.|n||a|(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量n1，n2，2???????????????????????最新料介紹???????????????????|n1·n2|若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；|n1||n2||n1·n2|若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.|n1||n2|1、如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，D是BC的中點(diǎn)．求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．[解](1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以A1B＝(2,0，－4)，C1D＝(1，－1，－4)．·18310由于cos〈A1B，C1D〉＝＝20×18＝，|A1B||C1D|10310所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.10(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，由于AD＝(1,1,0)，AC1＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·AC＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，AD1n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量．取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2＝(0,1,0)．設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.由|cosθ|＝n1·n2225＝＝，得sinθ＝.|n1||n2|9×133所以，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為5.32、如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)證明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值．3???????????????????????最新料介紹???????????????????[解](1)證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B.由于CA＝CB，所以O(shè)C⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB.由于OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線為AB，所以O(shè)C⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC兩兩相互垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA的方向?yàn)閤軸的正方向，|OA|為單位長(zhǎng)，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題設(shè)知A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(－1,0,0)．則BC＝(1,0，3)，BB1＝AA1＝(－1，3，0)，A1C＝(0，－3，3)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，n·＝0，x＋3z＝0，BC可取n＝(3，1，－1)．則0.即nBB1＝－x＋3y＝0.·n·101故cosn，A1C＝－.|n||A1C|5所以A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為10.5運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：①建立合適的空間直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤轉(zhuǎn)變成幾何結(jié)論．求空間角應(yīng)注意：①兩條異面直線所成的角α不用然是直線的方向向量的夾角β，即cosα＝|cosβ|.②兩平面的法向量的夾角不用然是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求．4???????????????????????最新料介紹???????????????????例3、如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AE＝ED＝3，SE⊥AD.證明：平面SBE⊥平面SEC；若SE＝1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值．解：(1)證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE?平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE.∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝3，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，BE⊥CE.又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC.∵BE?平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直線，，兩兩垂直．如圖，以E為原點(diǎn)，EB為x軸，為y軸，ESEBECECES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則E(0,0,0)，C(0,23，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以CE＝(0，－23，0)，CB＝(2，－23，0)，CS＝(0，－23，1)．設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x，y，z)，n·＝0，2x－23y＝0，CB令y＝1，得x＝3，z＝23，則即n·CS＝0.－23y＋z＝0.則平面SBC的一個(gè)法向量為n＝(3，1,23)．n·1設(shè)直線CE與平面SBC所成角的大小為θ，則sinθ＝||＝，|n|·||4CE1故直線CE與平面SBC所成角的正弦值為.4例4、如圖是多面體ABC-A1B1C1和它的三視圖．5???????????????????????最新料介紹???????????????????線段CC1上可否存在一點(diǎn)E，使BE⊥平面A1CC1？若不存在，請(qǐng)說明原由，若存在，請(qǐng)找出并證明；求平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值．解：(1)由題意知AA1，AB，AC兩兩垂直，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(－2,0,0)，C(0，－2,0)，C1(－1，－1,2)，則CC1＝(－1,1,2)，A1C1＝(－1，－1,0)，A1C＝(0，－2，－2)．設(shè)E(x，y，z)，則CE＝(x，y＋2，z)，EC1＝(－1－x，－1－y,2－z)．設(shè)CE＝λEC1(λ>0)，x＝－λ－λx，－2－λ2λ則y＋2－λ＝－λ－λ，則E，，，z＝2λ－λz，1＋λ1＋λ1＋λ2＋λ－2－λ2λBE＝，1＋λ，.1＋λ1＋λ2＋λ2＋λ·＝0，－＋＝0，BEA1C11＋λ1＋λ由得解得λ＝2，BE·＝0，－2－λ2λA1C＋＝0，1＋λ1＋λ所以線段CC1上存在一點(diǎn)E，CE＝2EC1，使BE⊥平面A1CC1.m·＝0，(2)設(shè)平面CAA1C1得C的法向量為m＝(x，y，z)，則由11m·A1C＝0，6???????????????????????最新料介紹???????????????????－x－y＝0，－2y－2z＝0，取x＝1，則y＝－1，z＝1.故m＝(1，－1,1)，而平面A1CA的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，則cos〈m，n〉＝m·n133＝＝，故平面C1A1C與平面A1CA夾角的余弦值為.|m||n|333利用空間向量解決研究性問題例1、如圖1，正△ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如圖2)．試判斷直線AB與平面DEF的地址關(guān)系，并說明原由；求二面角E-DF-C的余弦值；BP(3)在線段BC上可否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？若是存在，求出BC的值；若是不存在，請(qǐng)說明原由．[解](1)在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EF∥AB.又AB?平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，23，0)，E(0，3，1)，F(xiàn)(1，3，0)，DF＝(1，3，0)，DE＝(0，3，1)，DA＝(0,0,2)．平面CDF的法向量為DA＝(0,0,2)．設(shè)平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，DF·n＝0，x＋3y＝0，則即取n＝(3，－3，3)，DE·n＝0，3y＋z＝0，7???????????????????????最新料介紹???????????????????cos〈DA，n〉＝DA·n21E-DF-C的余弦值為21DA||n|＝，所以二面角.|77(3)存在．設(shè)P(s，t,0)，有AP＝(s，t，－2)，則AP·＝3t－2＝0，∴t＝DE23，3又BP＝(s－2，t,0)，PC＝(－s,23－t,0)，∵BP∥PC，∴(s－2)(23－t)＝－st，∴3s＋t＝223413.把t＝代入上式得s＝，∴BP＝BC，333∴在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE.BP1此時(shí)，＝.BC31論證、推理，只需經(jīng)過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.2題轉(zhuǎn)變成“點(diǎn)的坐標(biāo)可否有解，可否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法.例2、.以下列圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；在AA1上可否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1-CD-C1的大小為60°？解：(1)證明：以下列圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，C1B1＝(0,2,0)，DC1＝(－1,0,1)，CD＝(1,0,1)．C1B1·CD＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得C1B1⊥CD，即C1B1⊥CD.DC1·CD＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得DC1⊥CD，即DC1⊥CD.又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D.又CD?平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D.8???????????????????????最新料介紹???????????????????2(2)存在．當(dāng)AD＝AA1時(shí)，二面角B1-CD-C1的大小為60°.原由以下：2AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的法向量為m＝(x，y，z)，m·＝02y＋2z＝0，CB1令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．則?m·＝0x＋az＝0，CD|·|11又∵CB＝(0,2,0)為平面C1CD的一個(gè)法向量，則cos60°＝＝＝，|m|·||22a＋2CB解得a＝2(負(fù)值舍去)，故AD＝2.∴在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意．2＝AA12空間直角坐標(biāo)系建立的創(chuàng)新問題空間向量在辦理空間問題時(shí)擁有很大的優(yōu)越性，能把“非運(yùn)算”問題“運(yùn)算”化，即經(jīng)過直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題．解決的要點(diǎn)環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標(biāo)系，所以建立空間直角坐標(biāo)系問題成為近幾年試題新的命題點(diǎn)．一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好例1、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，π∠ACB＝∠ACD＝，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB.3求PA的長(zhǎng)；求二面角B-AF-D的正弦值．學(xué)審題——審條件之審查圖形建系PA⊥面ABCD由條件知AC⊥BD―→DB，AC分別為x，y軸―→寫出A，B，C，D坐標(biāo)―――――→PPF＝CFFAF⊥PB0―→得P坐標(biāo)并求PA長(zhǎng)．設(shè)坐標(biāo)―→可得坐標(biāo)―→AFPB＝·(2)學(xué)審題由(1)―→AD，AF，AB的坐標(biāo)9???????????????????????最新料介紹???????????????????向量n1，n2分別為平面FAD、平面FAB的法向量且n·＝0―→求得n·n―→――――――――→n·＝01112求得夾角余弦．[解](1)如圖，連接BD交AC于O，由于BC＝CD，即△BCD為等腰三角形，又AC均分∠BCD，故AC⊥BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，AP的方向分別為x軸，y軸，zO-xyz，則OC＝CDcosπ軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系＝1.而AC＝4，得AO＝AC3π3，故A(0，－3,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，D(－－OC＝3.又OD＝CDsin＝3，30,0)．z.又AF因PA⊥底面ABCD，可設(shè)P(0，－3，z)．由F為PC邊中點(diǎn)，知F0，－1，2zPB＝(3，3，－)，⊥，故AFz2z＝23＝0，2，，·＝0，即6－＝0，2zAFPBPB2(舍去－23)，所以|PA|＝23.(2)由(1)知AD＝(－3，3,0)，AB＝(3，3,0)，AF＝(0,2，3)．設(shè)平面FAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，3x1＋3y1＝0，由n1·＝0，n1·＝0，得所以可取n1＝(3，3，－ADAF2y1＋3z1＝0，．3x2＋3y2＝0，由n2·AB＝0，n2·AF＝0，得故可取n2＝(3，－3，2)．2y2＋3z2＝0，n1·n21從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為cos〈n1，n2〉＝＝.|n1|·|n2|810???????????????????????最新料介紹???????????????????37故二面角B-AF-D的正弦值為.8AC⊥BD若圖中存在交于一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直，則以該點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.在沒有明顯的垂直關(guān)系時(shí)，要經(jīng)過其他已知條件獲取垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個(gè)合理的地址建立空間直角坐標(biāo)系，注意建立的空間直角坐標(biāo)系是右手系，正確確定坐標(biāo)軸的名稱.2、如圖，在空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝DA＝DC＝BE2.BE與平面ABC所成的角為60°，且點(diǎn)E在平面ABC內(nèi)的射影落在∠ABC的均分線上．(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．解：證明：(1)易知△ABC，△ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，DO，則BO⊥AC，DO⊥AC.∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC.作EF⊥平面ABC，則EF∥DO.依照題意，點(diǎn)F落在BO上，∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝3，∴四邊形DEFO是平行四邊形，DE∥OF.∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC.建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，可求得平面ABC的一個(gè)法向量為n1＝(0,0,1)．可得C(－1,0,0)，B(0，3，0)，E(0，3－1，3)，則CB＝(1，3，0)，BE＝(0，－1，3)．設(shè)平面BCE的法向量為n2＝(x，y，z)，則可得n2·CB＝0，n2·BE＝0，即(x，y，z)·(1，3，0)＝0，(x，y，z)·(0，－1，3)＝0，可取n2＝(－3，3，1)．n1·n113故cos〈n1，n2〉＝＝.又由圖知，所求二面角的平面角是銳角，|n1|·|n2|13故二面角E-BC-A的余弦值為13.1311???????????????????????最新料介紹???????????????????專題訓(xùn)練1.以下列圖，在多面體ABCD－A1B1C1D1中，上、下兩個(gè)底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB∥A1B1，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；已知F是AD的中點(diǎn)，求證：FB1⊥平面BCC1B1.解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(xiàn)(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．AB1·DD1(1)∵AB1＝(－a，a，a)，DD1＝(0,0，a)，∴cos〈AB1，DD1〉＝＝|AB1|·|DD1|3，33所以異面直線AB1與DD1所成角的余弦值為.3證明：∵BB1＝(－a，－a，a)，BC＝(－2a,0,0)，F(xiàn)B1＝(0，a，a)，F(xiàn)B1·BB1＝0，∴∴FB1⊥BB1，F(xiàn)B1⊥BC.FB1·BC＝0.∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.求證：AA1⊥平面ABC；求二面角A1-BC1-B1的余弦值；(3)證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求BD的值．BC1解：(1)證明：由于四邊形AA1C1C為正方形，所以AA1⊥AC.12???????????????????????最新料介紹???????????????????由于平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC，所以AA1⊥平面ABC.由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由題知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，A1B＝(0,3，－4)，A1C1＝(4,0,0)．設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(x，y，z)，n·A1B＝0，3y－4z＝0，則即令z＝3，則x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．n·A1C1＝0.4x＝0.B1BC1m＝(3,4,0)n·m16同理可得，平面的一個(gè)法向量為．所以cos〈n，m〉＝＝.|n||m|25由題知二面角A-BC-B為銳角，所以二面角A-BC-B16的余弦值為.11111125證明：設(shè)D(x，y，z)是直線BC1上一點(diǎn)，且BD＝λBC1.所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD9所以·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.A1B259BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B.由于∈[0,1]，所以在線段25BD9此時(shí)，＝λ＝.BC1253．如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB＝2，DC＝1，BC＝5，AB＝AD＝2.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A-BD-C為60°，如圖(2)．13???????????????????????最新料介紹???????????????????求證：AE⊥平面BDC；求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．1解：(1)證明：取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.2由余弦定理知AE＝11312＋2－2×1×cos60°＝.222∵AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.∵AB＝AD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)．∴BD⊥AF.又BD＝2，DC＝1，BC＝5，∴BD2＋DC2＝BC2，BD⊥CD.又E為BC中點(diǎn)，EF∥CD，∴BD⊥EF.又EF∩AF＝F，∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，∵BD∩EF＝F，∴AE⊥平面BDC.3(2)以E為原點(diǎn)建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則A0，0，，211－1，，0，B1，－，0，221，01313D－1，－，DB＝(2,0,0)，DA＝1，，，AC＝－1，，－.22222設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，n·＝02x＝0，DB取z＝3，由得13n·＝0x＋y＋z＝0，22則y＝－3，又∵n＝(0，－3，3)．n·AC6∴cos〈n，AC〉＝＝－.|n||AC|4故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為10.414???????????????????????最新料介紹???????????????????4．以下列圖，在矩形ABCD中，AB＝35，AD＝6，BD是對(duì)角線，過點(diǎn)A作AE⊥BD，垂足為O，交CD于E，以AE為折痕將△ADE向上折起，使點(diǎn)D到點(diǎn)P的地址，且PB＝41.求證：PO⊥平面ABCE；求二面角E-AP-B的余弦值．解：(1)證明：由已知得AB＝35，AD＝6，∴BD＝9.在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，DOAD∴Rt△AOD∽R(shí)t△BAD，∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.ADBD在△POB中，PB＝41，PO＝4，BO＝5，∴PO2＋BO2＝PB2，∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，∴PO⊥平面ABCE.∵BO＝5，∴AO＝AB2－OB2＝25.以O(shè)為原點(diǎn)，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,4)，A(25，0,0)，B(0,5,0)，PA＝(25，0，－4)，PB＝(0,5，－4)．n1·PA＝0，25x－4z＝0，設(shè)n1＝(x，y，z)為平面APB的法向量．則即n1·＝0，5y－4z＝0.PB取x＝25得n1＝(25，4,5)．又n2＝(0,1,0)為平面AEP的一個(gè)法向量，n1·n24461∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，|n1|·|n2|61×161461故二面角E-AP-B的余弦值為.6115???????????????????????最新料介紹???????????????????5.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝2，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點(diǎn)．求直線PB與平面POC所成角的余弦值；求B點(diǎn)到平面PCD的距離；6(3)線段PD上可否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q-AC-D的余弦值為？若存在，求出3PQ的值；若不存在，請(qǐng)說明原由．QD解：(1)在△PAD中，PA＝PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD.又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中，連接OC，易得OC⊥AD，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，∴PB＝(1，－1，－1)，易證OA⊥平面POC，∴OA＝(0，－1,0)是平面POC的法向量，PB·OA36cos〈PB，OA〉＝＝.∴直線PB與平面POC所成角的余弦值為.|PB||OA|33(2)PD＝(0,1，－1)，CP＝(－1,0,1)．設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為u＝(x，y，z)，u·CP＝－x＋z＝0，取z＝1，得u＝(1,1,1)．∴B點(diǎn)到平面PCD的距離為d＝則u·＝y(tǒng)－z＝0，PD|BP·u|3|u|＝.3(3)假設(shè)存在一點(diǎn)Q，則設(shè)PQ＝λ(0<λ<1)．∵PD＝(0,1，－1)，PD∴PQ＝(0，λ，－λ)＝OQ－OP，∴OQ＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．設(shè)平面CAQ的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)，又AC＝(1,1,0)，AQ＝(0，λ＋1,1－λ)，16???????????????????????最新料介紹???????????????????·AC＝x＋y＝0，則λ＋1y1－λz取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，·＝0.mAQ又平面CAD的一個(gè)法向量為n＝(0,0,1)，二面角Q-AC-D的余弦值為6，3|m·n|61所以|cos〈m，n〉|＝＝2，得3λ－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3(舍)，|m||n|33PQ1所以存在點(diǎn)Q，且＝.QD26．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.M是棱SB的中點(diǎn)．求證：AM∥平面SCD；求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值；設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為θ，求sinθ的最大值．解：(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1)．所以AM＝(0,1,1)，SD＝(1,0，－2)，CD＝(－1，－2,0)．設(shè)平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，SD·n＝0，x－2z＝0，則即令z＝1，則x＝2，y＝－1，CD·n＝0，－x－2y＝0.于是n＝(2，－1,1)．∵AM·n＝0，∴AM⊥n.又AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD.易知平面SAB的一個(gè)法向量為n1＝(1,0,0)．設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為φ，則|cosn1·n1，0，02，－1，126φ|＝＝1·6＝＝，即cosφ|n1|·|n|1·6317???????????????????????最新料介紹???????????????????6.36∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.3設(shè)N(x,2x－2,0)(x∈[1,2])，則MN＝(x,2x－3，－1)．又平面SAB的一個(gè)法向量為n1＝(1,0,0)，∴sinx，2x－3，－11，0，0xθ＝12·1＝＝x22x－325x2－12x＋101115－12·＋10·xx2＝1＝1.1113272－10x－12x＋510＋5x513，即x＝535當(dāng)＝5時(shí)，(sinθ)max＝.x377、如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，F(xiàn)A⊥CD.證明：在平面BCE上，必然存在過點(diǎn)C的直線l與直線DF平行；求二面角F-CD-A的余弦值．解：(1)證明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，∴平面BCE∥平面ADF.設(shè)平面DFC∩平面BCE＝l，則l過點(diǎn)C.∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，平面DFC∩平面ADF＝DF.∴DF∥l，即在平面BCE上必然存在過點(diǎn)C的直線l，使得DF∥l.∵FA⊥AB，F(xiàn)A⊥CD，AB與CD訂交，∴FA⊥平面ABCD.故以A為原點(diǎn)，AD，AB，AF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(xiàn)(0,0,2)，∴DF＝(－1,0,2)，DC＝(1,2,0)．18???????????????????????最新料介紹???????????????????設(shè)平面DFC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，n·DF＝0，x＝2z，則?不如設(shè)z＝1.·＝0x＝－2y，nDC則n＝(2，－1,1)，不如設(shè)平面ABCD的一個(gè)法向量為m＝(0,0,1)．m·n16F-CD-A為銳角，∴cos〈m，n〉＝＝＝，由于二面角|m||n|666∴二面角F-CD-A的余弦值為.68、.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝23，E是PB上任意一點(diǎn)．求證：AC⊥DE；15(2)已知二面角A-PB-D的余弦值為，若E為PB的中點(diǎn)，求EC與平面PAB所成角的5正弦值．解：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，∵DE?平面PBD，∴