中南大學線性代數(shù)試卷

考試試卷1閉卷考試時間：100分鐘一、填空題(本題15分，每小題3分)1、設(shè)AA,A1 2

,A,A3

為四階方陣，其中Ai

(i1,2,3,4)為A的第i個列向量,B1

A,A2

A,A3

A,A4

A，則B 。12、設(shè)A為三階方陣，A為A的伴隨矩陣，且|A|3,則|(A)1| 。2 1 1 1 1 3、設(shè)A3 2 1 3 t，且R(2，則t 。 1 t 3 5 4、若nA有特征值,fA)Ak特征值 .

ak

Ak a1

Aa0

E必有5fx23y2z22axy2xz2yzfy24y2，1 2則a 。二、選擇題（本題15分，每題3分）1、設(shè)A是n階方陣，則|A0的必要條件是（ 。（A）A中兩行（元素對應(yīng)成比例； (B)A中有一行元素全為零； （C)任行元素為其余行的線性組合； 必有一行元素為其余行的線性組合。2、設(shè)A是n階對稱,B是n階反對稱,則下列矩陣中反對稱矩陣( ）(A）BAB； （B）ABA； （C）ABAB； (D）BABA.3、設(shè)向量組1

T，2

3T，3

，tT當t（ 向量組1 2 3線性相關(guān)。（A)5 （B)4 （C）3 （D）24A43,,Axb的3個線性無關(guān)的解向量，1 2 3k,k 為任意常數(shù)，則非齊次線性方程組Axb的通解為（ 。1 2（A）

3k2 1

) ； (B)21 2

k1

)；1 （C）2 2

k1

)k1 2

)；（D）2 1 2

k1

)k1 2

)。11 1 0 5、設(shè)方陣A1 k 0是正定矩陣，則必有（ 。 0 0 k2 k0； （B）k1； （C）k2； （D）k1.（8分）計算行列式101000x100，其中a0in1i00x1000x0a1an2an1

1 0 1

四（本題12分） 設(shè)AXEA2X，且A0 2 0，求矩陣X及X， 1 0 其中X為X1的伴隨矩陣，E 五（本題14分）設(shè)向量組 T， T， 5T不能由向量組1 2 3 T,1

,3T,3

,,kT線性表示。 求向量組的1 2 3一個極大無關(guān)組；（2）求k的值；（3)將向量

用，，1 1 2

線性表示。x x六、(本題14分）設(shè)齊次線性方程組（Ⅰ）為x1

0，已知齊次線性方程組（Ⅱ）x 02 4的通解為k01

k,,T（1（Ⅰ的基礎(chǔ)解系2（Ⅰ）2和（Ⅱ）是否有非零公共解?若有,則求出所有非零公共解，若沒有，則說明理由.0七（本題14分) 設(shè)矩陣A1000

1 0 000000101,0,x11（1）已知A的一個特征值為，求x; 2求方陣P，使APTAP為對角陣八（本題8分） 試證明：1AA n階矩陣 bb

b b b1 b b 的最大特征值為a21(n)b],其中0b1。b b 1參考答案一、填空題（15分3分）10；21；、4；f(；5。9二、選擇題（本題15分每題3分)、D； 、B； 、A； 、C；、B.（8分）解：從第一行開始，每行乘x后逐次往下一行加，再按最后一行展開得：原式=axn1axn2a xa 。0 1 n2 n1（12分AXEA2X,AEXA2E,001A001AE1010,(AEX100 AE0 3 0 1 0 2 0 1 1

1 1 由于X90，(X1)X1X1

X 0 3 0。X91 0 2X9 （14分)解：(1）A,,,A1RA3，1 2 3則,,1 2 3

,,1 2 3

是向量組，，1 2

的一個極大無關(guān)組；（2）43維向量1

，，2 3

(i1,2,3)線性相關(guān)，若，，1 2

線性無關(guān)，則

，，i 1 2 3

線性表示，與題設(shè)矛盾；1 1 3，，1 2

線性相關(guān)，從而|，，1 2

|1 2 4k50,k5。1 3 k1 0 1 1 0 0 2(3）B,

,,

) 0 1 0 4 ,

4

。 0 1 3 1 2 3

1 1 5 0 0 1 1 1 2 31 1 0 0 1 0 0 1六（本題14分）解（）A0 1 0

，所以方程組（Ⅰ）的 1 0 1 0 1基礎(chǔ)解系為：0T, ,T；1 2（2）設(shè)

,0Tk,,Tkk，即1 2 31 4 200101k 1010110011201k120010

2

，1 2 1

k3

1 2 1 0

0 1 0

0 1k

0 1 0 1

0 0 0 0 4

故上述方程組的解為k(1,1,1,1)T,于是方程組（Ⅰ）和（Ⅱ）所有非零公共解為：k(1,1,1,1)T(k0為任意常數(shù)).七、本題14分）（） 1 0 01 0 0 1 1

EA00

0 0 1

x 1

1

1 121(1)2x0,將2x1；（2）由A

1 0 0 0 0 0,AATA

0 0 01 0 00 0 1 1 0 0 2 20 0 1 1 0 0 2 0 A O令A(yù)TAA2 1 ，顯然ATA和A也是實對稱陣，

是單位陣,O A 2 12由E

2 40,

的特征值

4，2 2

2

2 1 2A屬于2

對應(yīng)的特征向量為1

)T，單位化： 1

2 2， )T，2 2222A屬于2

對應(yīng)的特征向量為2

)T,:2

( ，)T，2 21 0 0 00 1 0

1 0 0 02 2取P0 0 2，則有APTAPPT(AT)P0 1 0 0。22 222

0 0 0 0 2 0 0

2 2

0 0 0 4八、(8分）證明：由

a2a2baa2a2ba2ba2a2ba2ba2ba2ba2ba2ba2ba2EA

a2a2b

a2n)a2b0得A的特征值1

a2(n2

3

a2(1b),0ba20,1 2

，3 n故A的最大特征值是 a2(n。1考試試卷2閉卷考試時間：100分鐘一、填空題（本題15分，每小題3分）1、若n階行列式零元素的個數(shù)超過個，則行列式為 。12、若A為4階矩陣，且A

，則(3A)12A*= 。2k11

11111 3、設(shè)A=11

1k1，且R(A）=3,則k= .11k1、已知向,=（1,2,，=(1,, ，設(shè)A=T，則An= 。1235、設(shè)A為n階方陣，A 0,A為A的伴隨矩陣,E為n階單位陣,若A有特征值,則（A

E必有特征值 。二、選擇題(本題15分,每題3分）1、設(shè)A，B,C為n階方,E為n階單位陣，且ABC=E，則下列各式中（ ）不成立。(A)CAB=E （B）B1A1C1E（C)BCA=E （D）C1A1B1E2、設(shè)A,B均為n階非零矩陣，且AB=O，則它們的秩滿足（ (A）必有一個等于零 （B)都小于n（C)一個小于n，一個等于n 都等于n3、下列命題中正確的( ）（A）在線性相關(guān)的向量組中，去掉若干個向量后所得向量組仍然線性相關(guān)（B)在線性無關(guān)的向量組中,去掉每個向量的最后若干分量后仍然線性無關(guān)任何n+kn(k1）必然線性相關(guān)若只有kk1 2

,km

全為零時,等式k1 1

km

k1

k 0m m才成立，且1,2m線性無關(guān)，則12m線性無關(guān)4、設(shè)1，2,則3=（ 時有1,23為R3的基（A)（B)（C）（D）2 1 0 5、設(shè)二次型的矩陣為A1 1 2 ，且此二次型的正慣性指數(shù)為3，則（ ） 0 2 k （A）〉8 (B)〉7 （C)〉6 〉51111 1 1 1111 1 1 ,111111n1 0 1 四、(10 分) 設(shè)AXE=A2X ,且A0 2 0，求矩陣X及(X1) 1 0

,其中X1)為X1E為單位矩陣。（14分)設(shè)有向量組1 7 2 5 3

0

1

11 2,

14，

0，4

6，0 3 1 0 3 1 （1）求該向量組的秩；(2)求該向量組的一個最大無關(guān)組，并把其余向量分別用求得的最大無關(guān)組線性表出.（本題14分）設(shè)向量,),(1求3階方陣A的特征值與特征向量（2）求一正交矩陣Q,使QTAQ為對角矩陣。（14）A

1 11222 2222

1 ， 2問abc為何值時A是正交矩陣；1(2)當AAX1的解。11（8分）n維列向量組1

，2

線性無關(guān)的充要條件是T1

T1

T1 nDTD2 1

T2 2

T2 n 0 T Tn 1 n 2

Tn 其中T表示向量的轉(zhuǎn)置，i1,2,,n。i i參考答案（每小題3分，共計15分）321、0； 、81

; 、-3;1 1 1 A 2 3 2A4、A3n12 1

23 ； 、

1。32 3231 31 （每小題3分，共計15分)1、D 、B 、C D A（10）P117)100...100...120...122...............122...解： Dn

c1 c1 ......cn

...2

2n1,D

展開式中正、負項總數(shù)分別為xx1 21

,則xx1

n!，xx1

2n1,于是正項總數(shù)為x1

(2n12。（10）AXEA2XAEXA2

E,001AE1010,AE1002 0 1XAE0 3 0； 由于X90,

1 0 2

2 0 1X X

1 1 X1

XX

X

0 3 0.。91 0 2 （14解：將矩陣,1 2

,,3

化為最簡形階梯形矩陣17251725110130110301 30 1 0 12 14

6

0 1 1

3，

0 0 1 10 3 1 2 0 0 0 0 0 0

0 0 0 (1）,1 2

,,3

3;(2）,,1 2

為所求的一個最大線性無關(guān)組，且4

23

13

。3（14）1 1 1 解：A=T1 1 1，2(0 1 1 1

1 1 （1）A；由AX=00k1l00 0 1為不全為零的任意常數(shù)，由(3EX03c1,c 為任意非零常數(shù).

1

1 11 1 11 1 2

2 6

1

1 1 （2）將1,01

2

2,

，將601

0 1

0 2

6 1 32132

3 1 1

1 6321單位化得 3，Q 632

1 2為所求正交陣。使1 1

0 2

30 QTAQ 0 3 3 （14（）若A是正交矩陣，則A的列向量兩兩正交，故有22 2a 2 022 1202a2 2 2c0解得a(2）

1b1c0A2221 1 1

1 T1 1

1 12222 12222

1

1 XA11AT11 1

1222

10 2

11

21

021 2

1 22 12 （8）A(,),1 2 n

21 aT T T ... T 1 1 1 1 2 1 naT

T

T

... TATA 2,,..., 2 1 2

2 n 1

n T T T ... T n n 1 n 2 n n由于ATAAT AA

D ，從而得,線性無關(guān)1 2 nA0A2

0D0?？荚囋嚲?閉卷考試時間：100分鐘一、填空題（本題15分，每小題3分）1 01fx)x23A

4 3，則f(A) 。2設(shè)B為n階矩陣如果有n階可逆矩陣P,使 成立則稱A與B相似。3、n元非齊次線性方程組Amn

xb有唯一解的充分必要條件是 。4fx,x,

)5x25x23x22x

6x

6x

，則二次型f對1 2 3

1 2

1 2 1 3 2 3應(yīng)的矩陣A 。5、設(shè)4階方陣A滿:A0,3EA0,AAT伴隨矩陣A*必有一個特征值為 。

2E，(其中E是單位矩陣）,則A的二、選擇題（本題15分,每題3分)1、已知4階方陣A的伴隨矩陣為A*，且A的行列式A3，則A( ）.（A)81 (B)27 12 92、設(shè)A、B都是n階方陣，且A與B有相同的特征值，并且A、B都有n個線性無關(guān)特征向量，( ）.（A）A與B相似 AB(C) AB,但AB0 A與B不一定相似，但AB3、設(shè)n階方陣A為正定矩陣，下面結(jié)不正確的是（ ）（A)A可逆 (B）A1也是正定矩陣(C）A0 （D）A的所有元素全為正4、若n階實方陣AA2，E為n階單位矩則( 。（A）R(A)R(AE)n (B）R(A)R(AE)n（C)RARAEn （DRARAE與n的大小0 0

1

15、設(shè)

0， 1，

1,

1，其中ccc

為任意常數(shù),則1 2

3

4

1 2 3 4c c

c

c123 123 下列向量組線性相關(guān)的為（ ）.(A）,,1 2 3

（B),,1 2 4

(C)1x aa x

,,3 4aa

(D）,,2 3 4三（10分）計算n(n2)階行列式D na ax，其余位置元素都為a,且xa。

D 的主對角線上的元素都為nx122（10分）3ABA1BA6ABAA00

00 041 0,求4170 7矩陣B。（10分）設(shè)方陣A滿足A2A2E0（其中E是單位矩陣，求A1,(A2E)1。六、(12分)A：1 2 1 34 1 5 6 ，

，

， ，1 1 2 3 3 4 4 7 2 1 1 0（1)求向量組A的秩；(2）A的一個最大線性無關(guān)組,并把不屬于該最大無關(guān)組的其它向量用該最大無關(guān)組線性表出。

1

1 0 0 0 七（14分）設(shè)矩陣A 1 與矩陣B0 1 0 1 1 0 0 2（1）求,；

（2)PP1APB。xaxa2x a31 1 2 1 3 1xaxa2x a3八（14分)設(shè)有線性方程組為1 2 2 2 3 2xaxa2x a31 3 2 3 3 3xaxa2x a31 4 2 4 3 4(1）證明：若aaaa兩兩不等，則此方程組無解；1 2 3 4）設(shè)aa k,a a k(k0)，且已知, 是該方程組的兩個解，其中1 3 2 4 1 2(1,1,1)T (1,1,1)T，寫出此方程組的通解。1 2參考答案（每小題3分，共計15分）2 0

5 1 3 1、4

8 6；、P1APB；、R(A)R(A,b)n、A1 5 3 ； 3 35、3.二、選擇:（每小題3分，共計15分）1、B 、A 、D 、C 、C（本題10分（見教材P44習題第5題）解：后面n11x(naD x(nxnx(na1 a

a 1 a aa 1 x a[x(n1)a]x 1 a xa[x(n1)a]00

xa0

0x

[x(n1)a](xa)n1.（10）2 0 0 1 0 01 1 0 01 6 0 0 B6(A1E)1

60 4 00 1 0 60 3 0 0 2 0。0 0 7 0 0 1 0 0 6 0 0 1 （10）P1181P1737)AE AE解： A2A