圓的知識點總結(jié)匯編

學(xué)習(xí)好資料圓的知識總結(jié)（一）的有關(guān)質(zhì)［知識納］1.圓的有關(guān)概：圓、圓、半徑圓的內(nèi)、圓的部、心圓、圓；弦、直、弦心、弧、圓、優(yōu)、劣、等弧弓形、形的高圓的內(nèi)三角形三角形外接圓三角的外心圓內(nèi)接邊形、邊形的接圓；圓角、圓角、圓接四邊的外。2.圓的對稱性圓是軸稱圖形經(jīng)過圓的每一直線是它的稱軸，有無數(shù)對稱軸圓是以心為對中心的心對稱形；圓具有轉(zhuǎn)不變。3.圓的確定不在同條直線的三點定一個。4.垂直于弦的徑垂徑定垂直弦的直平分這弦，且平分所對的條??；推論平分弦不是直）的直垂直于，并平分弦對的兩弧；弦的垂平分線過圓心并且平弦所的兩條；平分弦對的一弧的直垂直平弦，且平分所對的一條弧垂徑定及推論可理解為個圓和條直線備下面?zhèn)€條中的任兩個，可推出外三個過圓心②直于弦③平分（是直徑；④平分所對的?。虎莘窒宜牧?。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料推論圓的兩條平行弦夾的弧等。5.圓心角、弧弦、弦距之間關(guān)系定理在同圓或圓中，等的圓角所的弧相，所對弦相等所對弦的弦心距等。推論在同圓或圓中，果兩個心角兩條弧兩條弦兩條弦弦心中有一組量等，那它們所應(yīng)的其各組都分別等。此定理推論可理解成在同圓等圓，滿足面四個件中的何一個能推出另三個：兩個圓角相等②兩圓心角對的弧等；③個圓心角或條弧所的弦相；④兩弦的心距相。圓心角度數(shù)等它所對弧的度。6.圓周角定理一條弧所的圓周等于它對的心角的半；推論1同弧或等所對的周角相等；同圓或圓中，等的圓角所的弧也相等；推論2半圓（或徑）所的圓周角是角；°的圓周角所對的弦是直徑推論3如果三角一邊上中線等于這的一半那么這三角形直角角形。圓周角度數(shù)等它所對弧的度的一。7.圓內(nèi)接四形的性圓內(nèi)接邊形的角互補并且任一個角都等它的內(nèi)角?！?.軌跡軌跡符合某一件的所的點組的圖，叫做合這個件的點軌跡（1）面內(nèi)，一定點距離等定長的的軌，是以個定點圓心，長為徑的圓；（2）面內(nèi)，已知線兩個端的距離等的的軌跡是這條段的垂平分；（3）面內(nèi)，已知角邊的距相等的的軌，是這角的平線。［例題析］例已知：如圖1，在O中，半徑OM弦點N。圖若＝，，求的長；若半徑OM＝R，∠120°求長。解：①AB，半徑OM⊥AB，∴BN∵＝1由勾股理得OA＝2∴＝OM＝ON1②∵半OMAB且∠＝120∴∠AOM＝60°更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料∵OAcosAON＝OM°＝∴說明：圖1一般地若∠AOB°，⊥于NAO＝，＝h，則AB＝2Rsinn＝n例2.已知：如圖，在△ABC，∠，∠＝25°，以點C圓心、半徑作C，交于點，求

的度數(shù)圖2分析：為弧與徑定理關(guān)；與心角圓周角關(guān)；與、弦心有關(guān)；與弧間還存著和、、倍、的關(guān)系因此道題有多解法僅選幾供參考解法一（用垂定理求如圖－，過點CCE于點交

于點圖－1∴又∵∠°，∠＝25°，∴∠°∴的度數(shù)為°，∴的度數(shù)為。解法二（用圓角求）圖22，延長AC交⊙點，連結(jié)ED更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖－2∵AE是直徑，∴ADE＝90°∵∠90，∠25，∴∠∠B＝25°∴的度數(shù)為°。解法三（用圓角求）圖23，連結(jié)CD圖－3∵∠90，∠25，∴∠65∵CA＝CD，∴∠ADC∠A＝65∴∠50，∴

的度數(shù)50。例已知：如圖3，△ABC接于⊙且＝⊙O半徑等6cm，O到的距離于求的長析：因不知道A是角還是角，因圓心可能在角形內(nèi)，還可在三角外部，以需分種情況行討論略解：1）假若∠是銳角△ABC是銳角三角形。如圖，由可知點A優(yōu)弧BO

的中點因為BCAB根據(jù)垂定理推可知DO延長線必過點A，結(jié)∵BO＝6OD2∴在Rt△ADB中，ADDOAO628∴圖3

圖3－（2）∠A鈍角，則△ABC鈍角三形，如3－添加輔助線求出在ADB中，AD＝AO6－＝更多精品文檔

，學(xué)習(xí)好資料∴綜上所AB＝小結(jié)：是與三形外接有關(guān)的題，定要首判斷三形的形，確定心與角形的置關(guān)系防止丟或多解例4.已知：如圖4AB⊙O直徑，CDAB，CD長線上點，⊙O于。求證：AE·EFEC圖分析：證的等式AE·EFEC中，有條線段EFED△，另兩線段AE沒有在一三角中，欲其置三角形，只要加輔助設(shè)法證明△FED△可。證明：結(jié)AC∵四邊接于圓∴∠∠∠∠DCA∵直徑AB⊥CD∴∴∠∠∴∠＝∠CEA∴△△∴，∴EFED小結(jié)：邊形內(nèi)于圓這條件，常不在已知件中明給出的而是隱在圖之中，分析已條件時千萬不忽略一重要件。例已知：如5，AM是⊙的直徑，過O一點BNAM垂足為N，其延長線交⊙于點，弦交點E。圖如果CDAB，求證：EN＝NM如果弦CDAB點F且＝求證＝EF·ED如果弦CD點C旋，并且延長線于點F且AB那么（2）的論是否成立？成立，證明；不成，請說理由。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料證明：連結(jié)（如圖51圖－1∵AM是直徑，∴ABM＝90°∵CD⊥AB，∴∥CD∴∠∠又⊥∴CN＝BN∴Rt△CEN≌△∴NM（2連結(jié)，AC如圖5－2）圖－∵點是直平分線AM上一點∴BEEC∵CD＝AB，∴∴∠∠又＝AEAE∴△△∴∠＝∠ACD∠∵∠公共角∴△BED∽△FEB∴BE

2

＝·，∴

2

＝·（3結(jié)論成立。圖5－3圖5－證明：（2）證△ABE≌△ACE∴BE＝CE，且∠ABE∠又∵＝CD∴∴∠∠∴∥∴∠∠180°而∠∠180°∴∠∠而∠公共角∴△△更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料∴BE

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＝·，∴

2

＝·（二）線與圓關(guān)系1.直線與圓位置關(guān)直線和的位置相離相切相交公共點個數(shù)012公共點稱無切點交點直線名無切線割線圓心到線的距離半徑關(guān)系2.切線的判經(jīng)過半的外端且垂直這條半的直是圓的線。3.切線的性圓的切垂直于過切點半徑；推論經(jīng)過圓心垂直于線的直必經(jīng)過點；推論經(jīng)過切點垂直于線的直必經(jīng)過心。此定理推論可解為以三個條中任其中兩就可推第三個：①垂直于切線；經(jīng)過切；③經(jīng)圓心。4.切線長定從圓外點引圓兩條切，它們切線相等，心和這點的連平分兩切線的夾角5.弦切角定弦切角于它所的弧對圓周角推論如果兩個弦角所夾弧相等那么這兩個切角也等；弦切角度數(shù)等它所夾弧的度的一。6.和圓有關(guān)比例線（1相交弦定理圓內(nèi)兩條相弦，被點分成兩條段長的相等；（2推論如果弦與直徑直相交那么弦一半是分直徑成的兩線段的例中項切割線理從圓外一點圓的切和割線切線長這點到割線圓交點兩條線長的比中項；推論從圓外一點圓的兩割線，一點到每條線與圓交點的條線段長的積等。7.三角形的切圓有關(guān)概：角形的切圓三角形內(nèi)心圓的外三角形、邊形的切圓、圓的外多邊形作圖：一個圓使它和知三角的各都相切［例題析］例6.已知：如圖，⊙O的直徑，是AB長線上點，⊙O于，DEE。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖求證：CDB∠分析：⊙O直徑，聯(lián)想直徑的個性質(zhì)圖－1

圖62

圖－3直徑上圓周角直角。連結(jié)則得RtABD垂徑定如圖6－若延長DE⊙O于則可得DE＝EF，；（3）過直外端的線與直垂直如圖6，過B作⊙的切線BM，則⊥。由CD是⊙O的切線聯(lián)想到線的三性質(zhì)：過切點半徑垂于切線如圖61，若結(jié)OD則CD弦切角于它所的弧對圓周角若連則∠∠A；切割線理。如6，＝CB·CA由ABE，聯(lián)想到下一些質(zhì)：Rt△DEB兩銳角余，即EDB＋∠EBD＝°；垂徑定。如圖－2，要延長DE交于F則可得相等的段，相的?。?）造與射定理相的基本形。即結(jié)AD則可得△ADB直角三角形是斜邊的高，可得到對相等銳角三個相的三角，還可用射影理、股定理、面公式等證明：結(jié)AD如圖6∵直徑，∴ADB°?！逥E⊥AB，∴∠EDB∠A∵CD是⊙O的線，∴CDB∠A∴∠此例題有許多法，比連結(jié)如圖6－1利用切的定義又比如長DE⊙O于，連結(jié)BF如圖6－，利用徑定理還可過點B作的切線交CD點M如圖6－，利切線長理，等，這諸證法讀者不試證之小結(jié)：例題證∠CDB∠，即證明BD∠平分線由此證可以聯(lián)到AD也是∠GDE的平分線。另外，過對此題的分和證明知，6－中隱含很多圖的性質(zhì)如相等銳角、相的線段相等的及相似角形等，為可將圖6－4分解成三基本圖。如圖65，以利于進(jìn)一步理解線段間的比關(guān)系。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖－4圖－5例已知：如圖點是半圓O的直徑延長線上的點，半圓于CCD于點若PA：PC1：，＝，求PCAPC長。圖證明：結(jié)CB∵PC切半圓于點，∴PCA∠B∵∠＝∠，∴△PAC△∴AC：BC＝：∴∵AB是半圓的直徑，∠ACB90又∵⊥AB∴∴AB＝AD＋＝∵更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料∴例8.已知：如圖8在Rt△ABC，∠＝，A平分線交點，為AB上的一，DE，以為圓心，DB長為半徑⊙。圖求證：1）⊙D的切線；（2）AB＋EB＝AC分析：1）欲證⊙D相，只要圓心AC距離等于的半徑BD。因此要作ACF（2要證＋ABEB明的關(guān)是證BEFC這又轉(zhuǎn)化證△EBD△CFD。證明：如圖，過DF⊥AC，垂足∵AD是∠平分線，DB⊥AB∴＝DF∴點到距離等于圓D的半徑∴AC是⊙D的線（2∵AB，⊙D半徑等于，∴AB是⊙D的線，∴AF∵在Rt△FCD中，EDCDFD∴△△∴＝∴AB＋BE＝＋AC小結(jié)：關(guān)切線判定，要有兩類型若要判的直線已知圓公共點可采用“連徑證垂”的方；若要定的線與已圓的公點沒有出，可用“圓心作垂線證垂線等于半”的方。此題屬于一類例9.已知：如圖9AB⊙O的弦P為BA長線上點，PE⊙O切于點EC為

中點，CE交于點。圖求證：分析：已知可PE

2

＝·PB因此要

2

＝PAPB只要證PE＝PF即證∠PFE＝∠更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料證明一如圖，作直徑CD，交點G連結(jié)∴∠90∵點為的中點∴CD⊥AB∴∠∠D∵PE為⊙O切，E切點∴∠∠D，∠PEF＝∵∠∠∴∠＝∠PEF∴PF∵PE

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＝·，∴

2

＝·證明二如圖9－1連結(jié)、AE圖－1∵點是的中點∴，∴∠CAB＝∠∵PE切⊙O于，∴∠＝C∵∠∠∠，∠∠∠∴∠∠∴＝∵PE

2

＝·，∴

2

＝·例10.（1）如圖10已知線AB過圓心交⊙O于、B，直線AF⊙O于F（與重），直⊙O于C、，交長線于E且與垂直，足為G連結(jié)AD圖求證：∠BAD∠②ADAE

圖1（2）問題（）中當(dāng)直線上平行動，與O切時，其它件不變①請你圖10中畫出變化的圖形并對圖10記字母；②問題1）中的兩個結(jié)論是成立？果成立請給證明；果不成，請說明理。證明：①連結(jié)∵AB是⊙O的徑，∴ADB90∴∠∠90更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料又∵是⊙O內(nèi)接四邊形∴∠∠B，∠BAD＝②連結(jié)CF∵∠∠∠∠FAB∴∠∠又∵∠∠F∴△△AFC∴，∴ADAF（2①見圖101②兩個論都成，證明下：①連結(jié)BC，∵AB是直徑，∴ACB＝90°∴∠∠90∵GC切⊙O于C∴∠∠∴∠∠即∠＝∠CAG②連結(jié)CF∵∠∠∠∠GAC∴∠∠∠∠ACG∠∠E＝∠ACG－∠∴∠∠E，△ACF∽，∴∴AC

＝AE·（即ADAE·）說明：題通過化圖形位置，查了生動手圖的能，并通探究式提問加強了學(xué)生證題的考，這是前熱的考題希望引大家的注。例如圖AB⊙直徑，O中點，BC垂足為圖由這些件，你推出哪正確結(jié)？（求，不標(biāo)注其字母，結(jié)論的程中所連助線不出現(xiàn)在論中，寫推過程，出4個結(jié)論即可）若∠ABC直角，他條件變，除述結(jié)外，你能推出些新的確結(jié)論并畫出形。分析：1）若連結(jié)，可證DE是⊙的切線若連結(jié)DB，由直AB點DAC中點，可BC∠A＝C。而且BC于點，又由雙垂形，可，（2）結(jié)DOOB方法同。答：下結(jié)論可選擇，圖111

等。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料圖1（1）DE⊙O的切線②＝③∠∠C④

2

＝BE·⑤CD

2

＝CE·⑥∠C∠90⑦（2）BE②＝BE③CE④DE⑤CB⊙O切線⑥B⑦∠＝∠45⑧∠C＝∠⑨CB＝CD·⑩(11)(12)說明：題是結(jié)開放的索性問，答不唯一尋找結(jié)的關(guān)鍵抓住命的條及其特（尤是利用殊幾何形的判和性，幾何中如：相等系、殊圖形兩圖形關(guān)系等（三）和圓的置關(guān)系［知識納］1.基本概念兩圓外、外切相交、切、內(nèi)的定。兩圓的切線、公切線內(nèi)公切、公線長的義。兩圓的心線、心距、共弦。2.圓和圓的置關(guān)系兩圓的置圓心距與兩圓的外公切內(nèi)公切線半徑r關(guān)系線條數(shù)切線條數(shù)條數(shù)外離224外切213相交

202內(nèi)切101內(nèi)含000相交兩的性質(zhì)相交兩的連心垂直分兩圓公共弦相切兩的性質(zhì)如果兩相切，么切一定在心線上［例題析］例已知兩圓切時圓心距10cm兩圓內(nèi)切時圓心為4cm，求兩半徑的。解：設(shè)圓的半分別為和rcm依題意得更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料答：大的半徑，小圓的徑為3cm。例已知：如兩圓相于、B，過點A直線交圓于、D，過的直線交兩圓E、。圖求證：CE∥FD。分析：證CEFD，通過角關(guān)系證行，只要證E∠BFD或∠＋∠＝，若證E＝∠BFD，需將∠BFD轉(zhuǎn)化成與⊙O有關(guān)的周角，圓內(nèi)接邊形的1角，只連結(jié)AB可；若證∠∠D180，也需結(jié)AB，得∠∠D∠EBA∠180°，則也得證。證明一（用同角證）結(jié)AB∵四邊接于⊙∴∠∠1又∵∠∠∴∠∠∴CE∥FD證明二（用同內(nèi)角證連結(jié)∵四邊接于⊙1∴∠＋∠＝，又∵B∠D∴∠＋∠＝，∴ECFD小結(jié)：圓相交，常添輔助線作兩的公共。（四）多邊形圓［知識納］1.基本概念正多邊、正多形的中、正多形的徑、正邊形的心距、多邊形中心以及平鑲嵌等2.正多邊形判定與質(zhì)（1）圓分成等份：依次連各分點得的多形是這圓的接正n邊形；經(jīng)過各點作圓切線，相鄰切的交為頂點多邊形這個圓外切正n邊形（2）何正多形都有個外接和一個切圓這兩個是同心。3.正多邊形有關(guān)計正邊形的半徑邊心距正n邊形分成2n個全等的直三角。如圖16示，設(shè)形的中角為更多精品文檔

，半徑邊長為，邊心距r周長為n學(xué)習(xí)好資料P面積為S，則由有關(guān)形的性可以推：nn圖（1

（2）

；（3；（4（5；（64.與圓有關(guān)計算

；

；（1圓的周長

；（2）弧長

；（3圓的面積

；（4）扇形面積

；（5弓形面積（如圖16）5.與圓有關(guān)作圖過不在一條直上的三作圓；作三角的內(nèi)切；等分圓（三、、十二四、八五等），作三角形正四邊、正六形。6.圓柱和圓錐側(cè)面展圖（1圓柱的側(cè)面：（2）錐的側(cè)積：

（r底面半徑，：圓柱）（L＝2πR，圓錐母線長r是底面半）。（側(cè)面展開圖形的圓角的度數(shù)，R母線長。更多精品文檔學(xué)習(xí)好資料［例題析］例14.已知：圖17，兩個同圓中，圓的弦AB與圓相切點CAB長為12cm求兩個所圍成環(huán)形面。圖