實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義學(xué)科組

高二數(shù)學(xué)組

主備人

田光海

執(zhí)教人課題

4.2.1

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意

課

型

新授課

時(shí)間2012.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)設(shè)想

義1.進(jìn)步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；2.初會(huì)解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題3.掌導(dǎo)數(shù)在日常生活中的重要作用，并能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)去解決生活中的實(shí)際問題4.通學(xué)習(xí)，感受學(xué)習(xí)的樂趣，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，樹立必勝的信念。重點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題．難點(diǎn)：建立函數(shù)模型，解有關(guān)函數(shù)的實(shí)際問題．教法學(xué)法指導(dǎo)：引導(dǎo)探究，講練結(jié)合多媒課演）教學(xué)程序與策略教過：多體件示一復(fù)引：極大：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x附有定義，如果對x附的所有的點(diǎn)，都有＜f(x)就f(x)是數(shù)f(x)的一個(gè)極大值記作y=f(x)x是大值點(diǎn)極?。阂话愕卦O(shè)數(shù)f(x)在x附有定義如對附的所有的點(diǎn)都f(x)＞).就說f(x)是函數(shù)f(x)一個(gè)極小值，記作y=f(x)，是極小值點(diǎn)極大與小統(tǒng)為極判x)極、小的方:0

個(gè)性化修改若滿足f0

，在x的側(cè)00

f(

的導(dǎo)數(shù)異號，則x是f(0

的極值點(diǎn)，

f(0

是極值并如果

f

在

x

0

兩側(cè)滿“正右負(fù)

x

0

是

f(

的極大值點(diǎn)，

f(0

是極大值如

f

在

x

0

兩側(cè)滿“負(fù)右正

x

0

是

f(的極小值點(diǎn)，

f(0

是極小值求導(dǎo)數(shù)x的極的驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)′()(2)求方程′(x的根(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格檢f(在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么()在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么x)在這個(gè)根處取得極小值如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，那么fx在這個(gè)根處無極值二講范：多體件示/

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義例1在長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，把它的邊沿虛線折起如)，做成一個(gè)無蓋的方底子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？【媒課演圖】

解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高60hcm，得2

0

x

x子容積

0V()2h

60x

22

3(060)．

3x2

60)令

V

3x2

＝，得x=0（舍去，并求得V(40)=16000由題意可知x過（接近0或過（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因000是最大

60-2x

x值

60-2x

60-2x答當(dāng)x=40cm時(shí)箱子容積最大最大容積是16000cm解法二：設(shè)箱高為cm，則箱底長為(60-2)cm，則得箱子容積

60-2x

xV(x))2xx

面解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過或過大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處．事實(shí)上可導(dǎo)函數(shù)

V()

2

h

60x

22

3

、V)(60)2x

在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例2圓形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才使所用的材料最省？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2πR

由V=Rh，得

h

2

，則S(R)=2R

2VV+2R=+2πR令s+4πR=0R/

實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義解得，

3

V，從而h==22

4VV=3=23)2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值所以它是最小值答當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最?。n練：1.函數(shù)y=2－x

－12+5在0，3］的最小值___________.2.函數(shù)fx)=sin2－在－

,］的最大值為；小_______.23.將正數(shù)a成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分_________.4.使內(nèi)接橢圓

22a2

=1的矩形面積最大，矩形的長_____，為____.5.在半徑為的內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细達(dá)__時(shí)，它的面積最大答：－152.四課?。?/p>

a－3.4.5.2

R⑴解有關(guān)函數(shù)最大值小的際問題要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式確函數(shù)的定義區(qū)間得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義．⑵根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時(shí)函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較．⑶相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較