第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件

第3章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與性能分析信息學(xué)院·周瑋zhouwei@二○一○年四月計算機控制系統(tǒng)第3章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與性能分析信息學(xué)院·周瑋二1本章內(nèi)容:線性常系數(shù)差分方程脈沖傳遞函數(shù)

計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析計算機控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程分析

計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)過程分析

計算機控制系統(tǒng)的頻域特性分析本章內(nèi)容:線性常系數(shù)差分方程23.2線性常系數(shù)差分方程1、離散系統(tǒng)

離散時間系統(tǒng)（簡稱離散系統(tǒng)）就是輸入和輸出均為離散信號的物理系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)上，離散系統(tǒng)可以抽象為一種系統(tǒng)的離散輸入信號和系統(tǒng)的離散輸出信號之間的數(shù)學(xué)變換或映射。圖3.1離散系統(tǒng)3.2線性常系數(shù)差分方程1、離散系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)（簡稱離3線性離散系統(tǒng)：變換函數(shù)D滿足疊加原理。輸入為：則輸出為：線性離散系統(tǒng)：變換函數(shù)D滿足疊加原理。輸入為：則輸出為：4線性常系數(shù)離散系統(tǒng)：D的參數(shù)不隨時間變化，或變化范圍很小，可以忽略不計。線性常系數(shù)離散系統(tǒng)一般采用差分方程來描述。線性常系數(shù)離散系統(tǒng)：D的參數(shù)不隨時間變化，或線性52、差分方程

n階后向非齊次差分方程：或：其中：2、差分方程n階后向非齊次差分方程：或：其中：6n階前向非齊次差分方程：其中：（滿足因果關(guān)系的需要）前向差分方程：后向差分方程：初始條件為零n階前向非齊次差分方程：其中：（滿足因果關(guān)系的需要）前向差73、差分方程求解

迭代法求解適合于計算機求解，可以編制程序。例3.1一階差分方程的迭代公式求差分方程的解。3、差分方程求解迭代法求解適合于計算機求解，可以編制程序。8解：設(shè)u(0)是給定的邊界條件，則……解：設(shè)u(0)是給定的邊界條件，則……9通解或自由變量特解或強制分量其中為齊次方程的特征根。通解或自由變量特解或強制分量其中10練習(xí)題：用迭代法求解如下差分方程已知初始條件為練習(xí)題：用迭代法求解如下差分方程已知初始條件為11經(jīng)典法求解適合于齊次差分方程，不適合非齊次差分方程。n階線性齊次差分方程為：即（1）經(jīng)典法求解適合于齊次差分方程，不適合非齊次差分方程。n階線12設(shè)其通解形式為代入方程（1），得到即方程（2）稱為齊次方程（1）的特征方程，其根稱為差分方程的特征根。（2）設(shè)其通解形式為代入方程（1），得到即方程（2）稱為齊次方程（13通解為：當(dāng)λ無重根時：當(dāng)λ有重根時：(λ1有m重根)通解為：其中系數(shù)ci由初始條件確定。通解為：當(dāng)λ無重根時：當(dāng)λ有重根時：(λ1有m重根)通解為：14例3.3用經(jīng)典法求解如下差分方程已知初始條件為解：特征方程為：解得特征根為：例3.3用經(jīng)典法求解如下差分方程已知初始條件為解：特征方程15于是齊次方程通解為：由初始條件確定c1和c2：從而得到：所以差分方程的通解為：于是齊次方程通解為：由初始條件確定c1和c2：從而得到16z變換法求解步驟：（1）對差分方程求z變換，得到函數(shù)的z變換表達式如F(z)；（2）通過z反變換求出采樣函數(shù)f*(t)。z變換法求解步驟：17例3.4求解齊次差分方程初始條件：解：由z變換超前定理得到例3.4求解齊次差分方程初始條件：解：由z變換超前定理得18于是得到：代入初始條件得：整理后得：于是得到：代入初始條件得：整理后得：19利用部分分式法可化成：查z變換表得：利用部分分式法可化成：查z變換表得：20例3.5求解下列非齊次差分方程初始條件：輸入條件：解：求z變換并代入初始條件得到：例3.5求解下列非齊次差分方程初始條件：輸入條件：解：21整理得到：應(yīng)用留數(shù)法直接進行z反變換，得到于是得到：整理得到：應(yīng)用留數(shù)法直接進行z反變換，得到于是得到：22例3.6用z變換求解如下差分方程已知初始條件為例3.6用z變換求解如下差分方程已知初始條件為23z變換滯后定理：如果t<0時，f(t)=0，則如果t<0時，，則z變換滯后定理：如果t<0時，f(t)=0，則如果t<0時24解：由z變換滯后定理得到：式中的u(-1)，u(-2)可由原式和初始條件解出。解：由z變換滯后定理得到：式中的u(-1)，u(-2)可由25第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件26于是得到：代入初始條件整理得：利用部分分式法進行z反變換，最終得到：于是得到：代入初始條件整理得：利用部分分式法進行z反變換，最27用z變換方法求解下列差分方程：練習(xí)題：用z變換方法求解下列差分方程：練習(xí)題：283.3脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義

線性離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，一個系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出脈沖序列的變換與輸入脈沖序列的變換之比，被定義為該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)。用公式表示：3.3脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義線292、脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)的方法：

由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)W(z)由拉氏變換求出W(z)由差分方程求出W(z)2、脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)的方法：30由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)，可以從概念上掌握脈沖傳遞函數(shù)的物理意義。當(dāng)輸入信號被采樣后脈沖序列為，它可表示為:由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)，可以從概念上掌握脈沖31這一系列脈沖作用于連續(xù)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）W(s)時，該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出等于各脈沖響應(yīng)之和，如圖：這一系列脈沖作用于連續(xù)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）W(s)時，該32如在時間間隔內(nèi)，作用于的輸入脈沖為，則的輸出響應(yīng)為：式中：為系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的單位脈沖響應(yīng)滿足如下關(guān)系：如在時間間隔內(nèi)，33在時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)是在兩個輸入脈沖作用下：一個是時的脈沖作用，它產(chǎn)生的脈沖響應(yīng)依然存在；另一個是時的脈沖作用，所以在此區(qū)間的脈沖響應(yīng)為：式中：在時間間34所以當(dāng)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入為一系列脈沖時，輸出應(yīng)為各個脈沖響應(yīng)之和。在時刻，輸出的脈沖值是kT時刻和kT時刻以前的所有輸入脈沖在該時刻脈沖響應(yīng)的總和，故：由卷積定理可得：整理所以當(dāng)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入為一系列脈沖時，輸出應(yīng)為各個脈沖響應(yīng)之35由拉氏變換求出W(z)即：W(s)W(z)z變換的部分分式法留數(shù)計算法由拉氏變換求出W(z)即：W(36由差分方程求出W(z)由差分方程求出W(z)37求下列系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)W(z)：(1)(2)練習(xí)題：求下列系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)W(z)：(1)(2)練習(xí)題：383、離散系統(tǒng)的方框圖分析（一）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)的情況：求法：中間有采樣開關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。3、離散系統(tǒng)的方框圖分析（一）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各39第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件40串聯(lián)各環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的情況：求法：中間沒有采樣開關(guān)時，其總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘后再取z變換。串聯(lián)各環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的情況：求法：中間沒有采樣開關(guān)時，其41第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件42例3.7已知，試求中間有采樣開關(guān)和沒有采樣開關(guān)時的解：中間有采樣開關(guān)時：例3.7已知43二者脈沖傳遞函數(shù)不同但極點相同中間沒有采樣開關(guān)時：二者脈沖傳遞函數(shù)不同但極點相同中間沒有采樣開關(guān)時：44（二）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)兩個并聯(lián)環(huán)節(jié)的情況：（二）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)兩個并聯(lián)環(huán)節(jié)的情況：45（三）反饋連接環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)通過反饋形成閉環(huán)連接時，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取，同樣也必須注意到在閉環(huán)的各個通道，以及各環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)。幾種典型閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：（1）誤差離散系統(tǒng)（2）具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)（3）具有干擾的離散系統(tǒng)（三）反饋連接環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)通過反饋形成閉46誤差離散系統(tǒng)具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng)。與分別表示正向通道與反饋通道的傳遞函數(shù)。誤差離散系統(tǒng)具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng)。47z變換z變換輸出函數(shù)的拉氏變換為：誤差信號的拉氏變換為：z變換z變換輸出函數(shù)的拉氏變換為：誤差信號的拉氏變換為：48誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：49具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)該系統(tǒng)的正向通道中，有脈沖傳遞函數(shù)為D(z)的數(shù)字校正裝置，可由計算機軟件來實現(xiàn)，其作用與連續(xù)系統(tǒng)中的串聯(lián)校正裝置相同。如下圖所示：具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)該系統(tǒng)的正向通道中，有脈沖傳遞50輸出函數(shù)的拉氏變換為：z變換誤差信號的拉氏變換為：z變換輸出函數(shù)的拉氏變換為：z變換誤差信號的拉氏變換為：z變換51誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：52具有干擾的離散系統(tǒng)該系統(tǒng)連續(xù)部分的擾動輸入信號N(s)，對輸出量的影響常是衡量系統(tǒng)性能的一個重要指標(biāo)。分析方法與連續(xù)系統(tǒng)一樣。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：圖3.9擾動輸入時離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖具有干擾的離散系統(tǒng)該系統(tǒng)連續(xù)部分的擾動輸入信號N(s)，53為了求輸出與擾動之間的關(guān)系，首先將圖3.9變換為圖3.10（認(rèn)為R(s)=0）。圖3.10擾動輸入時的等效結(jié)構(gòu)圖為了求輸出與擾動之間的關(guān)系，首先將圖3.9變換為圖3.10（54由圖3.10得到輸出信號的拉氏變換式為:z變換式為：所以注意采樣開關(guān)的位置，位置不同，所得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)就不相同。

由圖3.10得到輸出信號的拉氏變換式為:z變換式為：所以注55表3.1幾種采樣系統(tǒng)z變換表3.1幾種采樣系統(tǒng)z變換56練習(xí)題：P1073.4（1）（2）（3）（4）練習(xí)題：P1073.4（1）（2）（3）（4）574、計算機控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)是由數(shù)字計算機部分和連續(xù)對象部分構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，典型的計算機控制系統(tǒng)通常如圖3.11所示，為單位反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)。圖3.11計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4、計算機控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)是由數(shù)字計算機58數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)：連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)：即：數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)：連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)：即：59計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：特征方程閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為：計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：603.4計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析分析策略：s平面上穩(wěn)定性分析z平面上穩(wěn)定性分析映射3.4計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析分析策略：s平面上穩(wěn)定性分析61連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)1、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)1、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件62若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：極點具有負(fù)實部，即極點均分布在平面的左半平面。若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：極點具有負(fù)實部，即極點均分布在平面的左半平63離散系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)離散系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)64若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：即：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)。若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：即：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點位于z平面上以652、s平面與z平面的映射分析復(fù)變量s與z的關(guān)系為：，T為采樣周期。當(dāng)時，，其幅值為，當(dāng)s位于s平面虛軸的左半部時，為負(fù)數(shù)，這時，反之，若s位于虛軸的右半部時，為正數(shù)，。2、s平面與z平面的映射分析復(fù)變量s與z的66圖3.12s平面到z平面的映射圖3.12s平面到z平面的映射67圖3.13s平面上的極點與z平面的對應(yīng)關(guān)系圖3.13s平面上的極點與z平面的對應(yīng)關(guān)系681245312345s平面z平面s平面上的極點與z平面的對應(yīng)關(guān)系演示1245312345s平面z平面s平面上的極點與z平面的對應(yīng)695圖3.14s平面上的極點到z平面的映射5圖3.14s平面上的極點到z平面的映射70根據(jù)s平面和z平面的映射關(guān)系，標(biāo)出s平面極點在z平面的大致位置15234根據(jù)s平面和z平面的映射關(guān)系，標(biāo)出s平面極點在z平面的大致位71例3.9分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性T=1s解：例3.9分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性T=1s解：72閉環(huán)特征方程解方程由于所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。閉環(huán)特征方程解方程由于所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。733、采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系采樣周期閉環(huán)系統(tǒng)極點分布閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性零階保持器越小越好3、采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系采樣周期閉環(huán)系統(tǒng)極點分布閉環(huán)系統(tǒng)74例3.10判斷圖3.16所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時的穩(wěn)定性，圖中取K=1。圖3.16計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)例3.10判斷圖3.16所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=75解：考慮零階保持器時對象的傳遞函數(shù)模型為：其脈沖傳遞函數(shù)模型為：解：考慮零階保持器時對象的傳遞函數(shù)模型為：其脈沖傳遞函數(shù)模型76則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：其特征方程為：即：則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：其特征方程為：即：77（1）T=1s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周期T=1s時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（1）T=1s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周78（2）T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周期T=4s時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（2）T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周79不考慮零階保持器的影響對象的離散化傳遞函數(shù)模型為：特征根為：由于因此無論采樣周期取何值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。特征方程為：不考慮零階保持器的影響對象的離散化傳遞函數(shù)模型為：特征根為：803.5計算機控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)間接判別離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)直接求解特征方程求解很麻煩勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.5計算機控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)間接判別離散系統(tǒng)穩(wěn)定性811、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)s平面的特征根位置離散系統(tǒng)z平面的特征根位置連續(xù)系統(tǒng)w平面的特征根位置w變換雙線性變換性質(zhì)近似勞斯穩(wěn)定判據(jù)離散系統(tǒng)勞斯穩(wěn)定判據(jù)1、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)s平面的82w變換定義：其反變換為：頻域關(guān)系為：w變換定義：其反變換為：頻域關(guān)系為：83圖3.17z平面與w平面的映射關(guān)系圖3.17z平面與w平面的映射關(guān)系84單從考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度來看，w變換也可以定義如下：好處：與采樣周期T無關(guān)；缺點：頻率畸變增大單從考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度來看，w變換也可以定義如下：好處：與85勞斯穩(wěn)定性判據(jù)步驟：①根據(jù)特征方程寫出勞斯陣列：勞斯穩(wěn)定性判據(jù)步驟：①根據(jù)特征方程寫出勞斯陣列：86②陣列的前兩行是由特征方程的系數(shù)得到的，其余行計算如下：②陣列的前兩行是由特征方程的系數(shù)得到的，其余行計算如下：87③勞斯判據(jù)為：對于特征方程來說，具有正實部根的個數(shù)等于陣列中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。說明：勞斯陣列的特殊情況，如陣列第1列出現(xiàn)“0”的情況，參考《自動控制原理》內(nèi)容。③勞斯判據(jù)為：對于特征方程來說，具有正實部根的個數(shù)等于陣列88例3.11利用勞斯判據(jù)研究例3.10所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由例3.10可知，T=1s時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：w變換后為：即：例3.11利用勞斯判據(jù)研究例3.10所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：89勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列，系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列，系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。90同理，當(dāng)T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：進行w變換后得到：同理，當(dāng)T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：進行w變換后得到：91勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列系數(shù)不全大于零，有1次符號的變化，因此特征方程的特征根有1個位于w平面的右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列系數(shù)不全大于零，有1次符號的變化92練習(xí)題：利用下述w變換的定義：判斷上例系統(tǒng)的穩(wěn)定性。練習(xí)題：利用下述w變換的定義：判斷上例系統(tǒng)的穩(wěn)定性。932、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)朱利判據(jù)在z域直接進行只能判斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定勞斯判據(jù)在s域直接進行可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以判斷出不穩(wěn)定極點的個數(shù)2、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)朱利判據(jù)在z域直接進行只能判斷94朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為:其中朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為:其中95朱利陣列:朱利陣列:96注意：（1）表中最后一行包含3個元素，因此當(dāng)特征方程的階數(shù)n=2時，只需要1行；（2）當(dāng)n=3時，只需要3行;（3）前兩行不需要計算，只是將F(z)的原系數(shù)先倒排，然后順排；（4）從第三行開始，第一項用2行2列的行列式進行計算;（5）陣列中偶數(shù)行的元素就是前一行元素反過來的順序，如此計算到第2n-3行各項為止注意：（1）表中最后一行包含3個元素，因此當(dāng)特征方程的階數(shù)n97（6）奇數(shù)行元素的定義為：（6）奇數(shù)行元素的定義為：98朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：特征方程式：的根（極點）全部位于z平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是（）是下列條件必須全部滿足，此時系統(tǒng)穩(wěn)定。朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：特征方程式：的根（極點）全部位于z平面單位圓99系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足的條件：系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足的條件：100常用低階系統(tǒng)根據(jù)朱利陣列得到的穩(wěn)定條件：（1）一階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：常用低階系統(tǒng)根據(jù)朱利陣列得到的穩(wěn)定條件：（1）一階系統(tǒng)穩(wěn)定條101（2）二階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：（2）二階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：102（3）三階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：（3）三階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：103例3.13設(shè)某離散閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為試用朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則，判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：在上述條件下，朱利陣列為例3.13設(shè)某離散閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為試用朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則，104最后一行計算如下：最后一行計算如下：105①條件F(1)>0不滿足，因為②條件滿足，因為③即滿足④不滿足，因為結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。①條件F(1)>0不滿足，因為②條件106例3.14設(shè)某系統(tǒng)的特征方程為其中，采樣周期試確定出系統(tǒng)穩(wěn)定時Kp的范圍。解：將T和Ki

代入特征方程，得例3.14設(shè)某系統(tǒng)的特征方程為其中，采樣周期試確定出系統(tǒng)穩(wěn)107（1）條件滿足，且與Kp無關(guān)。（2）求出（3）由此求出結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定時，Kp的取值范圍為：（1）條件滿足，且與Kp無關(guān)。（2）求出（3）由此求出結(jié)1083.6計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。穩(wěn)態(tài)誤差指系統(tǒng)過渡過程結(jié)束到達穩(wěn)態(tài)以后，系統(tǒng)參考輸入與系統(tǒng)輸出之間的偏差。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量計算機控制系統(tǒng)準(zhǔn)確性的一項重要指標(biāo)。3.6計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)用1091、穩(wěn)態(tài)誤差與誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)對于單位階躍輸入，r(t)=1(t)，有位置誤差系數(shù)1、穩(wěn)態(tài)誤差與誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)對于單位階躍輸入，r(t)110速度誤差系數(shù)對于單位速度輸入，r(t)=t﹒1(t)，有速度誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)對于單位速度輸入，r(t)=t﹒1(t)，有速度111加速度誤差系數(shù)對于加速度輸入，加速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)對于加速度輸入，加速度誤差系數(shù)1122、系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)寫成如下形式：

r=0，則系統(tǒng)為0型系統(tǒng)

r=1，則系統(tǒng)為I型系統(tǒng)

r=2，則系統(tǒng)為II型系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)2、系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)寫成如下形式：113表3.2三種類型系統(tǒng)的誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差表3.2三種類型系統(tǒng)的誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差1143、采樣周期對穩(wěn)態(tài)誤差的影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T之間沒有必然的聯(lián)系：（1）如果被控對象中包含與其類型相同的積分環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差只與系統(tǒng)的類型、放大系數(shù)和信號的形式有關(guān)，而與采樣周期T無關(guān)；（2）如果被控對象中不包含足夠多的積分環(huán)節(jié)，則穩(wěn)態(tài)誤差將與采樣周期有關(guān)。采樣周期越小，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差相應(yīng)也就減小。3、采樣周期對穩(wěn)態(tài)誤差的影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T之間沒115例3.15輸入為單位速度輸入，分析采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系。圖中控制器傳遞函數(shù)和對象傳遞函數(shù)分別取如下兩種形式：（1）控制器為：對象模型為：（2）控制器為：對象模型為：例3.15輸入為單位速度輸入116解：第（1）種情況：I型系統(tǒng)解：第（1）種情況：I型系統(tǒng)117單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期無關(guān)。單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論118第（2）種情況：I型系統(tǒng)第（2）種情況：I型系統(tǒng)119單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期有關(guān)。單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論1203.7計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能主要用系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用下的相應(yīng)特性來描述，它反映了控制系統(tǒng)的動態(tài)過程。主要性能指標(biāo)用超調(diào)量、上升時間tr、峰值時間tp和調(diào)節(jié)時間ts表示，其定義與連續(xù)系統(tǒng)一致。注意：計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)特性是在z域進行分析，所得到的只是各采樣時刻的值，是連續(xù)系統(tǒng)暫態(tài)特性的近似。3.7計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能主121圖3.19系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性圖3.20系統(tǒng)階躍響應(yīng)的采樣連續(xù)系統(tǒng)計算機系統(tǒng)圖3.19系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性圖31221、z平面極點分布與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系在單位階躍輸入下，系統(tǒng)的輸出為：z平面上的極點i，可表示為：1、z平面極點分布與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系在單位階躍輸入下，系統(tǒng)的輸123（1）極點位于z平面實軸上的情況當(dāng)zi

在正實軸上時，θi=0，所以k增加時，yi(k)為單調(diào)衰減過程k增加時，yi(k)為單調(diào)發(fā)散過程k增加時，yi(k)不變（1）極點位于z平面實軸上的情況當(dāng)zi在正實軸上時，θ124當(dāng)zi

在負(fù)實軸上時，θi=π，所以k增加時，yi(k)為振蕩衰減過程k增加時，yi(k)為振蕩發(fā)散過程k增加時，yi(k)為等幅振蕩過程為正負(fù)交替的振蕩過程當(dāng)zi在負(fù)實軸上時，θi=π，所以k增加時，yi(k125（2）極點位于z平面復(fù)平面上的情況k增加時，yi(k)為振蕩衰減過程k增加時，yi(k)為振蕩發(fā)散過程k增加時，yi(k)為等幅振蕩過程（2）極點位于z平面復(fù)平面上的情況k增加時，yi(k126閉環(huán)極點分布與相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)形式閉環(huán)極點分布與相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)形式1272、采樣周期對暫態(tài)響應(yīng)的影響采樣周期周期的大小是影響計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)特性的重要參數(shù)。一般來說，采樣周期大對系統(tǒng)穩(wěn)定性不利，對系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)影響也不利。2、采樣周期對暫態(tài)響應(yīng)的影響采樣周期周期的大小是影響計算機控128例3.16計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，分析當(dāng)采樣周期T分別為0.5、1、2、3秒時，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)特性。例3.16計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示，分析當(dāng)采樣周期T129解：（1）T=0.5秒的情況解：（1）T=0.5秒的情況130（2）T=1秒的情況（2）T=1秒的情況131（3）T=2秒的情況（3）T=2秒的情況132（4）T=3秒的情況（4）T=3秒的情況1333.8計算機控制系統(tǒng)的頻域特性分析1、離散系統(tǒng)的頻域描述連續(xù)系統(tǒng)頻率特性：在正弦信號作用下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比隨輸入信號頻率變化的特性。離散系統(tǒng)頻率特性：與連續(xù)系統(tǒng)相同，但此時輸入及輸出信號均取離散值。3.8計算機控制系統(tǒng)的頻域特性分析1、離散系統(tǒng)的頻域描述連134由連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性：可以推得離散系統(tǒng)的頻率特性：正弦脈沖傳遞函數(shù)，其表達式為：幅頻特性相頻特性由連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性：可以推得離散系統(tǒng)的頻率特性：正弦脈沖傳135因此是ω的周期函數(shù)。由于周期為采樣頻率：因此是ω的周期函數(shù)1362、離散系統(tǒng)頻域穩(wěn)定性分析奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)（簡稱奈氏判據(jù)）：依據(jù)復(fù)變函數(shù)的幅角原理，利用開環(huán)頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、離散系統(tǒng)頻域穩(wěn)定性分析奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)137離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：開環(huán)特征多項式閉環(huán)特征多項式閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：F(z)或P(z)在單位圓外無零點。離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為138圖3.28離散系統(tǒng)的奈氏圍線奈氏圍線包圍的單位圓外區(qū)域圖3.28離散系統(tǒng)的奈氏圍線奈氏圍線包圍的單位圓外區(qū)域139若函數(shù)在奈氏圍線內(nèi)（即單位圓外）有Nz個零點（即閉環(huán)極點），NP

個極點（即開環(huán)極點），則的奈氏圖順時針繞(-1,j0)點的圈數(shù)N為：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：

WK(z)的奈氏圖順時針繞(-1,j0)點的圈數(shù)為-NP，即逆時針繞(-1,j0)點NP圈。（此時NZ=0）

進一步，若NP=0，則WK(z)的奈氏圖不包圍(-1,j0)點，此時系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定。若函數(shù)在奈140離散系統(tǒng)奈氏判據(jù)為：若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定：開環(huán)系統(tǒng)在單位圓外有NP個極點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性逆時針繞(-1,j0)點NP圈。若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性逆時針繞(-1,j0)點NP圈。離散系統(tǒng)奈氏判據(jù)為：若開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定：開環(huán)系統(tǒng)在單位圓外有141例3.17設(shè)計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)頻率特性為：例3.17設(shè)計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為試用奈氏判據(jù)142圖3.29系統(tǒng)開環(huán)頻率特性結(jié)論：由圖可知，該系統(tǒng)開環(huán)頻率特性不包圍(-1,j0)點，所以系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。圖3.29系統(tǒng)開環(huán)頻率特性結(jié)論：1433、離散系統(tǒng)伯德圖（Bode）分析伯德圖（Bode）原理：利用開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能和暫態(tài)性能進行分析，是工程上常用的系統(tǒng)頻域特性的性能分析和校正環(huán)節(jié)設(shè)計方法。離散系統(tǒng)伯德圖：需要經(jīng)過w變換，將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性變成頻率的有理分式函數(shù)。3、離散系統(tǒng)伯德圖（Bode）分析伯德圖（Bode）原理：離144w變換（雙線性變換）：與s平面的頻率對應(yīng)關(guān)系：w變換（雙線性變換）：與s平面的頻率對應(yīng)關(guān)系：145圖3.30s－z－w平面的對應(yīng)關(guān)系圖3.30s－z－w平面的對應(yīng)關(guān)系146圖3.31離散系統(tǒng)各典型環(huán)節(jié)伯德圖圖3.31離散系統(tǒng)各典型環(huán)節(jié)伯德圖147例3.18畫出下圖所示系統(tǒng)的伯德圖。解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為例3.18畫出下圖所示系統(tǒng)的伯德圖。解：系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函148第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件149第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件150·本章結(jié)束··本章結(jié)束·151第3章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與性能分析信息學(xué)院·周瑋zhouwei@二○一○年四月計算機控制系統(tǒng)第3章計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與性能分析信息學(xué)院·周瑋二152本章內(nèi)容:線性常系數(shù)差分方程脈沖傳遞函數(shù)

計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析計算機控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程分析

計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)過程分析

計算機控制系統(tǒng)的頻域特性分析本章內(nèi)容:線性常系數(shù)差分方程1533.2線性常系數(shù)差分方程1、離散系統(tǒng)

離散時間系統(tǒng)（簡稱離散系統(tǒng)）就是輸入和輸出均為離散信號的物理系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)上，離散系統(tǒng)可以抽象為一種系統(tǒng)的離散輸入信號和系統(tǒng)的離散輸出信號之間的數(shù)學(xué)變換或映射。圖3.1離散系統(tǒng)3.2線性常系數(shù)差分方程1、離散系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)（簡稱離154線性離散系統(tǒng)：變換函數(shù)D滿足疊加原理。輸入為：則輸出為：線性離散系統(tǒng)：變換函數(shù)D滿足疊加原理。輸入為：則輸出為：155線性常系數(shù)離散系統(tǒng)：D的參數(shù)不隨時間變化，或變化范圍很小，可以忽略不計。線性常系數(shù)離散系統(tǒng)一般采用差分方程來描述。線性常系數(shù)離散系統(tǒng)：D的參數(shù)不隨時間變化，或線性1562、差分方程

n階后向非齊次差分方程：或：其中：2、差分方程n階后向非齊次差分方程：或：其中：157n階前向非齊次差分方程：其中：（滿足因果關(guān)系的需要）前向差分方程：后向差分方程：初始條件為零n階前向非齊次差分方程：其中：（滿足因果關(guān)系的需要）前向差1583、差分方程求解

迭代法求解適合于計算機求解，可以編制程序。例3.1一階差分方程的迭代公式求差分方程的解。3、差分方程求解迭代法求解適合于計算機求解，可以編制程序。159解：設(shè)u(0)是給定的邊界條件，則……解：設(shè)u(0)是給定的邊界條件，則……160通解或自由變量特解或強制分量其中為齊次方程的特征根。通解或自由變量特解或強制分量其中161練習(xí)題：用迭代法求解如下差分方程已知初始條件為練習(xí)題：用迭代法求解如下差分方程已知初始條件為162經(jīng)典法求解適合于齊次差分方程，不適合非齊次差分方程。n階線性齊次差分方程為：即（1）經(jīng)典法求解適合于齊次差分方程，不適合非齊次差分方程。n階線163設(shè)其通解形式為代入方程（1），得到即方程（2）稱為齊次方程（1）的特征方程，其根稱為差分方程的特征根。（2）設(shè)其通解形式為代入方程（1），得到即方程（2）稱為齊次方程（164通解為：當(dāng)λ無重根時：當(dāng)λ有重根時：(λ1有m重根)通解為：其中系數(shù)ci由初始條件確定。通解為：當(dāng)λ無重根時：當(dāng)λ有重根時：(λ1有m重根)通解為：165例3.3用經(jīng)典法求解如下差分方程已知初始條件為解：特征方程為：解得特征根為：例3.3用經(jīng)典法求解如下差分方程已知初始條件為解：特征方程166于是齊次方程通解為：由初始條件確定c1和c2：從而得到：所以差分方程的通解為：于是齊次方程通解為：由初始條件確定c1和c2：從而得到167z變換法求解步驟：（1）對差分方程求z變換，得到函數(shù)的z變換表達式如F(z)；（2）通過z反變換求出采樣函數(shù)f*(t)。z變換法求解步驟：168例3.4求解齊次差分方程初始條件：解：由z變換超前定理得到例3.4求解齊次差分方程初始條件：解：由z變換超前定理得169于是得到：代入初始條件得：整理后得：于是得到：代入初始條件得：整理后得：170利用部分分式法可化成：查z變換表得：利用部分分式法可化成：查z變換表得：171例3.5求解下列非齊次差分方程初始條件：輸入條件：解：求z變換并代入初始條件得到：例3.5求解下列非齊次差分方程初始條件：輸入條件：解：172整理得到：應(yīng)用留數(shù)法直接進行z反變換，得到于是得到：整理得到：應(yīng)用留數(shù)法直接進行z反變換，得到于是得到：173例3.6用z變換求解如下差分方程已知初始條件為例3.6用z變換求解如下差分方程已知初始條件為174z變換滯后定理：如果t<0時，f(t)=0，則如果t<0時，，則z變換滯后定理：如果t<0時，f(t)=0，則如果t<0時175解：由z變換滯后定理得到：式中的u(-1)，u(-2)可由原式和初始條件解出。解：由z變換滯后定理得到：式中的u(-1)，u(-2)可由176第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件177于是得到：代入初始條件整理得：利用部分分式法進行z反變換，最終得到：于是得到：代入初始條件整理得：利用部分分式法進行z反變換，最178用z變換方法求解下列差分方程：練習(xí)題：用z變換方法求解下列差分方程：練習(xí)題：1793.3脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義

線性離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，一個系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出脈沖序列的變換與輸入脈沖序列的變換之比，被定義為該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)。用公式表示：3.3脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)的定義線1802、脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)的方法：

由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)W(z)由拉氏變換求出W(z)由差分方程求出W(z)2、脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)的方法：181由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)，可以從概念上掌握脈沖傳遞函數(shù)的物理意義。當(dāng)輸入信號被采樣后脈沖序列為，它可表示為:由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)，可以從概念上掌握脈沖182這一系列脈沖作用于連續(xù)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）W(s)時，該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出等于各脈沖響應(yīng)之和，如圖：這一系列脈沖作用于連續(xù)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）W(s)時，該183如在時間間隔內(nèi)，作用于的輸入脈沖為，則的輸出響應(yīng)為：式中：為系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的單位脈沖響應(yīng)滿足如下關(guān)系：如在時間間隔內(nèi)，184在時間間隔內(nèi)，系統(tǒng)是在兩個輸入脈沖作用下：一個是時的脈沖作用，它產(chǎn)生的脈沖響應(yīng)依然存在；另一個是時的脈沖作用，所以在此區(qū)間的脈沖響應(yīng)為：式中：在時間間185所以當(dāng)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入為一系列脈沖時，輸出應(yīng)為各個脈沖響應(yīng)之和。在時刻，輸出的脈沖值是kT時刻和kT時刻以前的所有輸入脈沖在該時刻脈沖響應(yīng)的總和，故：由卷積定理可得：整理所以當(dāng)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入為一系列脈沖時，輸出應(yīng)為各個脈沖響應(yīng)之186由拉氏變換求出W(z)即：W(s)W(z)z變換的部分分式法留數(shù)計算法由拉氏變換求出W(z)即：W(187由差分方程求出W(z)由差分方程求出W(z)188求下列系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)W(z)：(1)(2)練習(xí)題：求下列系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)W(z)：(1)(2)練習(xí)題：1893、離散系統(tǒng)的方框圖分析（一）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)的情況：求法：中間有采樣開關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。3、離散系統(tǒng)的方框圖分析（一）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)各190第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件191串聯(lián)各環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的情況：求法：中間沒有采樣開關(guān)時，其總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘后再取z變換。串聯(lián)各環(huán)節(jié)間沒有采樣開關(guān)的情況：求法：中間沒有采樣開關(guān)時，其192第3章計算機控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述與性能分析課件193例3.7已知，試求中間有采樣開關(guān)和沒有采樣開關(guān)時的解：中間有采樣開關(guān)時：例3.7已知194二者脈沖傳遞函數(shù)不同但極點相同中間沒有采樣開關(guān)時：二者脈沖傳遞函數(shù)不同但極點相同中間沒有采樣開關(guān)時：195（二）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)兩個并聯(lián)環(huán)節(jié)的情況：（二）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)兩個并聯(lián)環(huán)節(jié)的情況：196（三）反饋連接環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)通過反饋形成閉環(huán)連接時，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的求取，同樣也必須注意到在閉環(huán)的各個通道，以及各環(huán)節(jié)之間是否有采樣開關(guān)。幾種典型閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：（1）誤差離散系統(tǒng)（2）具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)（3）具有干擾的離散系統(tǒng)（三）反饋連接環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)通過反饋形成閉197誤差離散系統(tǒng)具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng)。與分別表示正向通道與反饋通道的傳遞函數(shù)。誤差離散系統(tǒng)具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng)。198z變換z變換輸出函數(shù)的拉氏變換為：誤差信號的拉氏變換為：z變換z變換輸出函數(shù)的拉氏變換為：誤差信號的拉氏變換為：199誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：200具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)該系統(tǒng)的正向通道中，有脈沖傳遞函數(shù)為D(z)的數(shù)字校正裝置，可由計算機軟件來實現(xiàn)，其作用與連續(xù)系統(tǒng)中的串聯(lián)校正裝置相同。如下圖所示：具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)該系統(tǒng)的正向通道中，有脈沖傳遞201輸出函數(shù)的拉氏變換為：z變換誤差信號的拉氏變換為：z變換輸出函數(shù)的拉氏變換為：z變換誤差信號的拉氏變換為：z變換202誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：誤差脈沖傳遞函數(shù)為：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：203具有干擾的離散系統(tǒng)該系統(tǒng)連續(xù)部分的擾動輸入信號N(s)，對輸出量的影響常是衡量系統(tǒng)性能的一個重要指標(biāo)。分析方法與連續(xù)系統(tǒng)一樣。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：圖3.9擾動輸入時離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖具有干擾的離散系統(tǒng)該系統(tǒng)連續(xù)部分的擾動輸入信號N(s)，204為了求輸出與擾動之間的關(guān)系，首先將圖3.9變換為圖3.10（認(rèn)為R(s)=0）。圖3.10擾動輸入時的等效結(jié)構(gòu)圖為了求輸出與擾動之間的關(guān)系，首先將圖3.9變換為圖3.10（205由圖3.10得到輸出信號的拉氏變換式為:z變換式為：所以注意采樣開關(guān)的位置，位置不同，所得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)就不相同。

由圖3.10得到輸出信號的拉氏變換式為:z變換式為：所以注206表3.1幾種采樣系統(tǒng)z變換表3.1幾種采樣系統(tǒng)z變換207練習(xí)題：P1073.4（1）（2）（3）（4）練習(xí)題：P1073.4（1）（2）（3）（4）2084、計算機控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)是由數(shù)字計算機部分和連續(xù)對象部分構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，典型的計算機控制系統(tǒng)通常如圖3.11所示，為單位反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)。圖3.11計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4、計算機控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)計算機控制系統(tǒng)是由數(shù)字計算機209數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)：連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)：即：數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)：連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)：即：210計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：特征方程閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為：計算機控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)：閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：2113.4計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析分析策略：s平面上穩(wěn)定性分析z平面上穩(wěn)定性分析映射3.4計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析分析策略：s平面上穩(wěn)定性分析212連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)1、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)1、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件213若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：極點具有負(fù)實部，即極點均分布在平面的左半平面。若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：極點具有負(fù)實部，即極點均分布在平面的左半平214離散系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)離散系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：假設(shè)215若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：即：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點位于z平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)。若系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)論：即：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點位于z平面上以2162、s平面與z平面的映射分析復(fù)變量s與z的關(guān)系為：，T為采樣周期。當(dāng)時，，其幅值為，當(dāng)s位于s平面虛軸的左半部時，為負(fù)數(shù)，這時，反之，若s位于虛軸的右半部時，為正數(shù)，。2、s平面與z平面的映射分析復(fù)變量s與z的217圖3.12s平面到z平面的映射圖3.12s平面到z平面的映射218圖3.13s平面上的極點與z平面的對應(yīng)關(guān)系圖3.13s平面上的極點與z平面的對應(yīng)關(guān)系2191245312345s平面z平面s平面上的極點與z平面的對應(yīng)關(guān)系演示1245312345s平面z平面s平面上的極點與z平面的對應(yīng)2205圖3.14s平面上的極點到z平面的映射5圖3.14s平面上的極點到z平面的映射221根據(jù)s平面和z平面的映射關(guān)系，標(biāo)出s平面極點在z平面的大致位置15234根據(jù)s平面和z平面的映射關(guān)系，標(biāo)出s平面極點在z平面的大致位222例3.9分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性T=1s解：例3.9分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性T=1s解：223閉環(huán)特征方程解方程由于所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。閉環(huán)特征方程解方程由于所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2243、采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系采樣周期閉環(huán)系統(tǒng)極點分布閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性零階保持器越小越好3、采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系采樣周期閉環(huán)系統(tǒng)極點分布閉環(huán)系統(tǒng)225例3.10判斷圖3.16所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=4s時的穩(wěn)定性，圖中取K=1。圖3.16計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)例3.10判斷圖3.16所示系統(tǒng)在采樣周期T=1s和T=226解：考慮零階保持器時對象的傳遞函數(shù)模型為：其脈沖傳遞函數(shù)模型為：解：考慮零階保持器時對象的傳遞函數(shù)模型為：其脈沖傳遞函數(shù)模型227則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：其特征方程為：即：則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：其特征方程為：即：228（1）T=1s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周期T=1s時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（1）T=1s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周229（2）T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周期T=4s時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（2）T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：特征根為：由于因此采樣周230不考慮零階保持器的影響對象的離散化傳遞函數(shù)模型為：特征根為：由于因此無論采樣周期取何值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。特征方程為：不考慮零階保持器的影響對象的離散化傳遞函數(shù)模型為：特征根為：2313.5計算機控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)間接判別離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)直接求解特征方程求解很麻煩勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.5計算機控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)間接判別離散系統(tǒng)穩(wěn)定性2321、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)s平面的特征根位置離散系統(tǒng)z平面的特征根位置連續(xù)系統(tǒng)w平面的特征根位置w變換雙線性變換性質(zhì)近似勞斯穩(wěn)定判據(jù)離散系統(tǒng)勞斯穩(wěn)定判據(jù)1、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)s平面的233w變換定義：其反變換為：頻域關(guān)系為：w變換定義：其反變換為：頻域關(guān)系為：234圖3.17z平面與w平面的映射關(guān)系圖3.17z平面與w平面的映射關(guān)系235單從考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度來看，w變換也可以定義如下：好處：與采樣周期T無關(guān)；缺點：頻率畸變增大單從考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度來看，w變換也可以定義如下：好處：與236勞斯穩(wěn)定性判據(jù)步驟：①根據(jù)特征方程寫出勞斯陣列：勞斯穩(wěn)定性判據(jù)步驟：①根據(jù)特征方程寫出勞斯陣列：237②陣列的前兩行是由特征方程的系數(shù)得到的，其余行計算如下：②陣列的前兩行是由特征方程的系數(shù)得到的，其余行計算如下：238③勞斯判據(jù)為：對于特征方程來說，具有正實部根的個數(shù)等于陣列中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。說明：勞斯陣列的特殊情況，如陣列第1列出現(xiàn)“0”的情況，參考《自動控制原理》內(nèi)容。③勞斯判據(jù)為：對于特征方程來說，具有正實部根的個數(shù)等于陣列239例3.11利用勞斯判據(jù)研究例3.10所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由例3.10可知，T=1s時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：w變換后為：即：例3.11利用勞斯判據(jù)研究例3.10所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：240勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列，系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列，系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。241同理，當(dāng)T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：進行w變換后得到：同理，當(dāng)T=4s時，系統(tǒng)的特征方程為：進行w變換后得到：242勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列系數(shù)不全大于零，有1次符號的變化，因此特征方程的特征根有1個位于w平面的右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的勞斯陣列為：結(jié)論：陣列第1列系數(shù)不全大于零，有1次符號的變化243練習(xí)題：利用下述w變換的定義：判斷上例系統(tǒng)的穩(wěn)定性。練習(xí)題：利用下述w變換的定義：判斷上例系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2442、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)朱利判據(jù)在z域直接進行只能判斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定勞斯判據(jù)在s域直接進行可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以判斷出不穩(wěn)定極點的個數(shù)2、朱利（Jury）穩(wěn)定性判據(jù)朱利判據(jù)在z域直接進行只能判斷245朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為:其中朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為:其中246朱利陣列:朱利陣列:247注意：（1）表中最后一行包含3個元素，因此當(dāng)特征方程的階數(shù)n=2時，只需要1行；（2）當(dāng)n=3時，只需要3行;（3）前兩行不需要計算，只是將F(z)的原系數(shù)先倒排，然后順排；（4）從第三行開始，第一項用2行2列的行列式進行計算;（5）陣列中偶數(shù)行的元素就是前一行元素反過來的順序，如此計算到第2n-3行各項為止注意：（1）表中最后一行包含3個元素，因此當(dāng)特征方程的階數(shù)n248（6）奇數(shù)行元素的定義為：（6）奇數(shù)行元素的定義為：249朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：特征方程式：的根（極點）全部位于z平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是（）是下列條件必須全部滿足，此時系統(tǒng)穩(wěn)定。朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：特征方程式：的根（極點）全部位于z平面單位圓250系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足的條件：系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足的條件：251常用低階系統(tǒng)根據(jù)朱利陣列得到的穩(wěn)定條件：（1）一階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：常用低階系統(tǒng)根據(jù)朱利陣列得到的穩(wěn)定條件：（1）一階系統(tǒng)穩(wěn)定條252（2）二階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：（2）二階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：253（3）三階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：（3）三階系統(tǒng)穩(wěn)定條件：254例3.13設(shè)某離散閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為試用朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則，判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：在上述條件下，朱利陣列為例3.13設(shè)某離散閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為試用朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則，255最后一行計算如下：最后一行計算如下：256①條件F(1)>0不滿足，因為②條件滿足，因為③即滿足④不滿足，因為結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。①條件F(1)>0不滿足，因為②條件257例3.14設(shè)某系統(tǒng)的特征方程為其中，采樣周期試確定出系統(tǒng)穩(wěn)定時Kp的范圍。解：將T和Ki

代入特征方程，得例3.14設(shè)某系統(tǒng)的特征方程為其中，采樣周期試確定出系統(tǒng)穩(wěn)258（1）條件滿足，且與Kp無關(guān)。（2）求出（3）由此求出結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定時，Kp的取值范圍為：（1）條件滿足，且與Kp無關(guān)。（2）求出（3）由此求出結(jié)2593.6計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。穩(wěn)態(tài)誤差指系統(tǒng)過渡過程結(jié)束到達穩(wěn)態(tài)以后，系統(tǒng)參考輸入與系統(tǒng)輸出之間的偏差。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量計算機控制系統(tǒng)準(zhǔn)確性的一項重要指標(biāo)。3.6計算機控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)用2601、穩(wěn)態(tài)誤差與誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)對于單位階躍輸入，r(t)=1(t)，有位置誤差系數(shù)1、穩(wěn)態(tài)誤差與誤差系數(shù)位置誤差系數(shù)對于單位階躍輸入，r(t)261速度誤差系數(shù)對于單位速度輸入，r(t)=t﹒1(t)，有速度誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)對于單位速度輸入，r(t)=t﹒1(t)，有速度262加速度誤差系數(shù)對于加速度輸入，加速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)對于加速度輸入，加速度誤差系數(shù)2632、系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)寫成如下形式：

r=0，則系統(tǒng)為0型系統(tǒng)

r=1，則系統(tǒng)為I型系統(tǒng)

r=2，則系統(tǒng)為II型系統(tǒng)積分環(huán)節(jié)2、系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)寫成如下形式：264表3.2三種類型系統(tǒng)的誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差表3.2三種類型系統(tǒng)的誤差系數(shù)與穩(wěn)態(tài)誤差2653、采樣周期對穩(wěn)態(tài)誤差的影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T之間沒有必然的聯(lián)系：（1）如果被控對象中包含與其類型相同的積分環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差只與系統(tǒng)的類型、放大系數(shù)和信號的形式有關(guān)，而與采樣周期T無關(guān)；（2）如果被控對象中不包含足夠多的積分環(huán)節(jié)，則穩(wěn)態(tài)誤差將與采樣周期有關(guān)。采樣周期越小，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差相應(yīng)也就減小。3、采樣周期對穩(wěn)態(tài)誤差的影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期T之間沒266例3.15輸入為單位速度輸入，分析采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系。圖中控制器傳遞函數(shù)和對象傳遞函數(shù)分別取如下兩種形式：（1）控制器為：對象模型為：（2）控制器為：對象模型為：例3.15輸入為單位速度輸入267解：第（1）種情況：I型系統(tǒng)解：第（1）種情況：I型系統(tǒng)268單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期無關(guān)。單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論269第（2）種情況：I型系統(tǒng)第（2）種情況：I型系統(tǒng)270單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期有關(guān)。單位速度輸入下，系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)為：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:結(jié)論2713.7計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能主要用系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用下的相應(yīng)特性來描述，它反映了控制系統(tǒng)的動態(tài)過程。主要性能指標(biāo)用超調(diào)量、上升時間tr、峰值時間tp和調(diào)節(jié)時間ts表示，其定義與連續(xù)系統(tǒng)一致。注意：計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)特性是在z域進行分析，所得到的只是各采樣時刻的值，是連續(xù)系統(tǒng)暫態(tài)特性的近似。3.7計算機控制系統(tǒng)暫態(tài)過程分析計算機控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能主272圖3.19系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性圖3.20系統(tǒng)階躍響應(yīng)的采樣連續(xù)系統(tǒng)計算機系統(tǒng)圖3.19系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性圖32731、z平面極點分布與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系在單位階躍輸入下，系統(tǒng)的輸出為：z平面上的極點i，可表示為：1、z平面極點分布與暫態(tài)