工程數(shù)學線性代數(shù)第五版課件1-5

行列式的性質主要內容應用舉例第五節(jié)行列式的性質1行列式的性質主要內容應用舉例第五節(jié)行列式一、行列式的性質設n階行列式把

D

中的行與列互換,所得的

n

階行列式記為

稱

DT

為

D

的轉置行列式．2一、行列式的性質設n階行列式把D中的行與列互換,所得證明按定義性質1行列式與它的轉置行列式相等.3證明按定義性質1行列式與它的轉置行列式相等.3性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明設行列式說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式互換兩行得到的,4性質2互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明設行列式說于是則有即當時,當時,故5于是則有即當時,當推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有6推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．7性質3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)性質４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明8性質４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如9性質5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下性質６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．例如10性質６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一例１二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．11例１二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化解12解12131314141515用歸納法不難證明：任何n階行列式總能利用ri+krj化為上（下）三角形行列式；對列也有類似的結論。練習：教材P12例7.利用性質把行列式化成上三角形行列式的步驟：(1):利用r1,把(1,1)元下方的元素化為0；(2):利用r2,把(2,2)元下方的元素化為0；(n-1):利用rn-1,把(n-1,n-1)元下方的元素化為0.……16用歸納法不難證明：練習：教材P12例7.利用性質把行列式化成例2

計算階行列式解將第列都加到第一列得D特點：各行的元素之和相等.17例2計算階行列式解將第1818D法2參考課本P12的例819D法2參考課本P12的例819例3計算解從第4行開始，后行減前行20例3計算解從第4行開始，后行減前行202121例4ABC主對角線上的A,B是方塊，主對角線右上方是0塊.則22例4ABC主對角線上的A,B是方塊，主對角線右上方是0塊.則例5計算2n

階行列式解將第2n行依次與第2n-1行、…、第2行對調（共作2n-2次相鄰對換），再把第2n列依次與第2n-1列、…、第2列對調，得到23例5計算2n階行列式解將第2n行依次與第2由例4，得到遞推公式：24由例4，得到遞推公式：24性質2,3,6介紹了行列式關于行(列)的三種運算：2.計算行列式常用方法：(1)化三角形法;

(2)利用定義.小結1.熟練掌握行列式的6個性質.即：25性質2,3,6介紹了行列式關于行(列)的三種運算：2.計行列式的性質主要內容應用舉例第五節(jié)行列式的性質26行列式的性質主要內容應用舉例第五節(jié)行列式一、行列式的性質設n階行列式把

D

中的行與列互換,所得的

n

階行列式記為

稱

DT

為

D

的轉置行列式．27一、行列式的性質設n階行列式把D中的行與列互換,所得證明按定義性質1行列式與它的轉置行列式相等.28證明按定義性質1行列式與它的轉置行列式相等.3性質2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明設行列式說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.是由行列式互換兩行得到的,29性質2互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明設行列式說于是則有即當時,當時,故30于是則有即當時,當推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有31推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明性質3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．32性質3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)性質４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明33性質４行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如34性質5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下性質６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變．例如35性質６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一例１二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．36例１二、應用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化解37解12381339144015用歸納法不難證明：任何n階行列式總能利用ri+krj化為上（下）三角形行列式；對列也有類似的結論。練習：教材P12例7.利用性質把行列式化成上三角形行列式的步驟：(1):利用r1,把(1,1)元下方的元素化為0；(2):利用r2,把(2,2)元下方的元素化為0；(n-1):利用rn-1,把(n-1,n-1)元下方的元素化為0.……41用歸納法不難證明：練習：教材P12例7.利用性質把行列式化成例2

計算階行列式解將第列都加到第一列得D特點：各行的元素之和相等.42例2計算階行列式解將第4318D法2參考課本P12的例844D法2參考課本P12的例819例3計算解從第4行開始，后行減前行45例3計算解從第4行開始，后行減前行204621例4ABC主對角線上的A,B是方塊，主對角線右上方是0塊.則47例4ABC主對角線上的A,B是方塊，主對角線右上方是0塊.則例5計算2n

階行列式解將第2n行依次與第2n-1行、…、第2行對調（共作2n-2次相鄰對換），再把第2n列依次與第2n-1列、…、第2列對調，得到48例