高量9-運(yùn)動方程課件

§11運(yùn)動方程§11.1

Schr?dinger方程一、一般形式此方程適用于粒子有自旋或無自旋以及單粒子或多粒子等所有情況。根據(jù)量子力學(xué)基本原理4，微觀體系的狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律滿足下列Schr?dinger方程當(dāng)單粒子有自旋時，波矢量和哈密頓分別是位形空間和自旋空間二者直積空間中的矢量和算符。1§11運(yùn)動方程§11.1Schr?dinger方程一系統(tǒng)運(yùn)動方程取決于系統(tǒng)本身的情況和外部環(huán)境，而外部環(huán)境通常是電磁場和各種模型中的勢場。當(dāng)系統(tǒng)的線度不大時，外加的宏觀電磁場可以看成是均勻的，但可隨時間變化。哈密頓中的明顯含時因素幾乎全部出自外電磁場的變化。二、具體形式1.空間運(yùn)動部分這部分可從系統(tǒng)經(jīng)典分析力學(xué)中的哈密頓H(x,p,t)得到。只要將其中的x和p換成粒子的位置和動量算符，即可得到哈密頓算符。如電磁場中的帶電粒子2系統(tǒng)運(yùn)動方程取決于系統(tǒng)本身的情況和外部環(huán)境，而外部環(huán)境經(jīng)典哈密頓量為V是其它因素對哈密頓的貢獻(xiàn)。故單粒子的哈密頓算符為其中為方便起見，以后算符上不再加算符符號。3經(jīng)典哈密頓量為V是其它因素對哈密頓的貢獻(xiàn)。故單粒子的哈密頓算將兩邊同時作用到任意態(tài)矢量上，注意到有對于均勻磁場B，矢勢A可以寫成此式證明如下：4將兩邊同時作用到任意態(tài)矢量上，注意到有對于均勻磁場B利用公式當(dāng)時，而為均勻磁場，5利用公式當(dāng)時，而為均勻磁場，5但而﹟這是我們經(jīng)常使用的公式。它說明了矢勢同矢徑和磁場的關(guān)系。6但而﹟這是我們經(jīng)常使用的公式。它說明了矢勢同矢徑6右方第二項(xiàng)成為而電磁波是橫波，即有，且式式中為粒子的角動量算符。于是單粒子的哈密頓可以寫成7右方第二項(xiàng)成為而電磁波是橫波，即有，且由此可定義單粒子的軌道磁矩算符在L的本征態(tài)|lm>中，軌道磁矩的大小及其z分量取確定值，例如對電子有稱為玻爾磁子。其中式中A2項(xiàng)由于數(shù)量級小，往往可以略去。8由此可定義單粒子的軌道磁矩算符在L的本征態(tài)|lm>中，軌道磁2.有關(guān)自旋的項(xiàng)對H中與自旋有關(guān)的項(xiàng)，由于沒有經(jīng)典類比，無法從經(jīng)典分析力學(xué)中得出，應(yīng)該利用電子自旋磁矩的實(shí)驗(yàn)值寫出對能量的貢獻(xiàn)，加在下式中通常將用代替，這時電子的自旋磁矩算符為在自旋表象下，這是一個矩陣的矢量算符。92.有關(guān)自旋的項(xiàng)對H中與自旋有關(guān)的項(xiàng)，由于沒有經(jīng)例如，哈密頓中自旋在外磁場B中的能量附加項(xiàng)為另外，一個電子的自旋磁矩與自己的軌道磁矩的相互作用能(即旋軌耦合)，例如對類氫離子中電子為討論原子問題時，常在哈密頓中加上由自旋引起的能量。這些都相當(dāng)于在哈密頓中V這一項(xiàng)。10例如，哈密頓中自旋在外磁場B中的能量附加項(xiàng)為另外，一個電子的3.含有自旋的薛定諤方程在表象下，含有自旋的薛定諤方程可以寫為如下的泡利方程式中都是x,y,z,t的函數(shù)。﹟113.含有自旋的薛定諤方程在表象下，含有自§11.2

演化算符方程是時間的一階微分方程，初態(tài)給定，原則上可以知道任意時刻的狀態(tài)。由此可定義一個演化算符U(t,t0)使其滿足將上式代入薛定諤方程中，得顯然，U(t,t0)的具體形式取決于薛定諤方程中的H。此式對同一系統(tǒng)的一切初態(tài)都成立。12§11.2演化算符方程是時間的一階微分方程，初態(tài)于是得演化算符滿足的微分方程為當(dāng)H中不顯含時間時，此式在的初始條件下的解為故可知態(tài)矢量的歸一化性質(zhì)不隨時間改變，即若是歸一化的，則對一切時間都是歸一化的。這就是當(dāng)H中不顯含時間時演化算符的具體形式，是一個幺正算符。哈密頓顯含時間的演化算符不再介紹。13于是得演化算符滿足的微分方程為當(dāng)H中不顯含時間時，此式在§11.3

繪景變換量子力學(xué)中的各種關(guān)系式，可以直接用矢量和算符表示，也可以取不同的表象用矩陣表示。不同表象中的矢量和算符，通過一個不含時的幺正矩陣聯(lián)系起來。一個關(guān)系式在不同表象中的形式是完全等價的?，F(xiàn)在取一個含時間的幺正算符U(t)，作用在所有的矢量和算符上進(jìn)行幺正變換。這樣會得到與原來的矢量和算符的關(guān)系完全平行和等價的關(guān)系，但其形式會發(fā)生較大的變化。這種變換叫…14§11.3繪景變換量子力學(xué)中的各種關(guān)系式，可以直接改變繪景的目的是選擇適當(dāng)?shù)暮瑫r幺正變換，使得在新的繪景下，某一問題的解決更方便一些。我們說，幺正變換U(t)使我們得到量子力學(xué)關(guān)系式的另一個繪景。二、薛定諤繪景(Schr?dingerpicture)到目前為止,我們所用的繪景沒有經(jīng)過幺正變換，稱之為Schr?dinger繪景（SP）。為了同新繪景相區(qū)別，我們把為Schr?dinger繪景中的矢量和算符寫成的形式。在這個繪景中態(tài)矢量是含時的，服從Schr?dinger方程一、繪景變換15改變繪景的目的是選擇適當(dāng)?shù)暮瑫r幺正變換，使得在新的繪而一般算符則不含時（一些含時微擾除外），這樣在Schr?dinger繪景中還可以取各種表象(represen-tation)。每一種表象都同一組特定的基矢相聯(lián)系，而基矢是不含時的。設(shè)想去看Hilbert空間，則應(yīng)看到，描寫狀態(tài)的態(tài)矢量是按照一定規(guī)律運(yùn)動的，而每一組基矢是靜止的。態(tài)矢量的各種表象，不論寫成矩陣的形式，還是寫成函數(shù)的形式，都是隨時間變化的，因?yàn)樗鼈兪沁\(yùn)動的態(tài)矢量在靜止的基矢上的分量。展開系數(shù)是含時的﹟16而一般算符則不含時（一些含時微擾除外），這樣在Sch注意：與基矢的幺正變換相區(qū)別?！?1.4海森堡繪景變換（Heisenbergpicture）一、Heisenbergpicture(HP)1.定義：當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓不含時時，可以保持Hilbert空間中基矢框架不動，將連同所有描寫物理量的算符全部進(jìn)行一個含時的幺正變換。這種描述方式就是HP。幺正變換選用這個系統(tǒng)的演化算符U(t,0)的逆算符取進(jìn)行，即含時幺正算符是17注意：與基矢的幺正變換相區(qū)別?！?1.4海森堡繪景變換（H式中是這個系統(tǒng)的SP中的哈密頓。若本身含時間，則上式不成立，無法建立HP。2.HP繪景中的態(tài)矢量和算符SP中的態(tài)矢量和算符經(jīng)過上述含時幺正算符的作用后所得的新的態(tài)矢量和算符就是HP中的態(tài)矢量和算符，記為18式中是這個系統(tǒng)的SP中的哈密頓。若本身含時注意：哈密頓算符在此兩個繪景中是一樣的。為什么？3.Hersenberg方程HP的特點(diǎn)是，態(tài)矢量不隨時間改變，因?yàn)殓壅儞Q把任意時刻態(tài)矢量都變回初態(tài)的態(tài)矢量，而在HP中描寫物理量的算符則是隨時間變化的,即19注意：哈密頓算符在此兩個繪景中是一樣的。為什么？3.He于是得此式就是在HP中的運(yùn)動方程，它描寫了算符隨時間變化的規(guī)律，稱為Heisenberg方程。由算符的變換方程得此式僅對哈密頓成立，所以可將H算符右上角表示繪景的標(biāo)記略去。注意HP的選取是與系統(tǒng)的哈密頓有關(guān)的，哈密頓不同，將得到不同的HP。﹟20于是得此式就是在HP中的運(yùn)動方程，它描寫了算符1.定義二、守恒量可知，當(dāng)系統(tǒng)的H不含時間時，若HP中的算符也不隨時間改變，即，則A稱為守恒量。顯然，A是守恒量的條件是可以發(fā)現(xiàn)，不含時的哈密頓本身是一個守恒量。事實(shí)上，由于，對守恒量A來說，有由式211.定義二、守恒量可知，當(dāng)系統(tǒng)的H不含時間時，若HP中的算符用B代表完備組中其余算符，則此厄米算符完備組可以寫為2.守恒量的性質(zhì)由初等量子力學(xué)基礎(chǔ)我們已經(jīng)知道，守恒量在系統(tǒng)的任意含時態(tài)中取各值的概率不隨時間改變。這里重新證明如下：【證】守恒量既然同H對易，那么含有的一組厄米算符完備組中一定含有H。其共同本征矢量可以寫成將系統(tǒng)的態(tài)矢量按照這套本征矢量展開22用B代表完備組中其余算符，則此厄米算符完備組可以寫為2.其中可見中是不含時的，而物理量在中取值的概率是。于是證明了守恒量在含時態(tài)中取各值的概率與時間無關(guān)。由此性質(zhì)又可得出下面幾條結(jié)論：23其中可見中是不含時的，而物理量(1)守恒量A在系統(tǒng)任意狀態(tài)中平均值不隨時間改變。即(2)若守恒量于某一時刻在給定態(tài)中取確定值，則在此以后(以及此前)的任意時刻均取相同的確定值。3.說明量子力學(xué)中的守恒量與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量的區(qū)別：經(jīng)典力學(xué)中：系統(tǒng)運(yùn)動時守恒量總?cè)〈_定值；若同時有幾個守恒量，則都各自取確定值。量子力學(xué)中：守恒量不一定取確定值。若兩個守恒量A,B互不對易，則根本不存在二者都取確定值的狀態(tài)。24(1)守恒量A在系統(tǒng)任意狀態(tài)中平均值不隨時間改變。即三、對HP的直觀理解設(shè)在Hilbert空間中取一組厄米算符完備組K，用其本征矢量建立一組基矢作為一個固定框架。就是說，HP中可以建立各種表象，態(tài)矢量寫成矩陣形式，這些列矩陣都是不含時的。某系統(tǒng)的狀態(tài)是不含時的,而就是在HP中的K表象,這也是不含時的。也可以換個角度看。保持基矢組不動，再復(fù)制一組與一樣的基矢組.讓這組新的基矢在t=0時刻與原來的基矢完全重合，而在t增加時開始動起來，成為動基矢組。25三、對HP的直觀理解設(shè)在Hilbert空間中取一組厄我們規(guī)定動基矢組的運(yùn)動規(guī)律與系統(tǒng)的態(tài)矢量運(yùn)動規(guī)律一樣，即這樣就成為空間中一組動的框架。這時系統(tǒng)的態(tài)矢量在動基矢上的分量就是HP中態(tài)矢量的K表象：26我們規(guī)定動基矢組的運(yùn)動規(guī)律與系統(tǒng)的態(tài)矢量運(yùn)動規(guī)律一樣從動系上去看算符A，則看到一個動算符，即靜止算符A在動系中的矩陣元是含時的。如果完備組K中含有系統(tǒng)的哈密頓H，那么以上兩式就是HP中的能量表象.它是HP中最常用的一個表象，也是歷史上最早的HP中的矩陣形式。用經(jīng)典力學(xué)來比喻，就是建立了一個與動矢量相“固連”的動坐標(biāo)系。觀察者“站在”動系上去觀察動矢量，他看到的這個矢量將是靜止的。27從動系上去看算符A，則看到一個動算符，即靜止算符A在四、HP的對易關(guān)系根據(jù)幺正變換的性質(zhì)，兩個繪景中含有矢量和算符的所有關(guān)系式都是一樣的（帶有對時間求導(dǎo)的關(guān)系除外）。算符的本征值與簡并度數(shù)也一樣。故在HP中的對易關(guān)系為在HP中位置算符與動量算符隨時間變化的規(guī)律，由前面出現(xiàn)的公式28四、HP的對易關(guān)系根據(jù)幺正變換的性質(zhì)，兩個繪景中含有可得此二式與經(jīng)典分析力學(xué)中的Hamilton正則方程形式完全一致。﹟29可得此二式與經(jīng)典分析力學(xué)中的Hamilton正則方程形式完全五、量子化1、量子化一詞的含義：（1）在經(jīng)典理論中，取連續(xù)值譜的物理量在量子力學(xué)中變?yōu)殡x散值譜的現(xiàn)象；（2）參照系統(tǒng)的經(jīng)典運(yùn)動規(guī)律寫出其量子運(yùn)動規(guī)律的方法。2、一次量子化歷史上有一常被提到的量子化方法，可表述如下：（1）寫出系統(tǒng)的經(jīng)典Hamilton正則方程30五、量子化1、量子化一詞的含義：（1）在經(jīng)典理論中，取連經(jīng)過以上手續(xù),就從系統(tǒng)所服從的經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動規(guī)律，直接進(jìn)入到HP中的量子力學(xué)。這種手續(xù)稱之為“一次量子化”。﹟（2）將上方程中的物理量看成算符（3）賦予以下對易關(guān)系（4）給這些算符找一些適當(dāng)?shù)模ú缓瑫r的）作用對象來描寫狀態(tài)。后面在介紹全同粒子體系時還介紹“二次量子化”。31經(jīng)過以上手續(xù),就從系統(tǒng)所服從的經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動規(guī)﹟（一、連續(xù)性方程的算符形式我們知道，在經(jīng)典力學(xué)中，帶電粒子的電荷密度和電流密度可以分別寫為而在SP下采用Weyl規(guī)則(p70),二者相應(yīng)的算符形式是§11.5連續(xù)性方程寫成HP下的形式是32一、連續(xù)性方程的算符形式我們知道，在經(jīng)典力學(xué)中，帶電粒子現(xiàn)在求對時間導(dǎo)數(shù)。利用Heisenberg方程，有利用的三維形式，有33現(xiàn)在求對時間導(dǎo)數(shù)。利用Heisenber式中是對算符的梯度，即它與對場點(diǎn)的梯度不同。這樣將式代入，有34式中是對算符的梯度，即它由此得這就是電荷的連續(xù)性方程的算符形式，其意義可以將方程在任意態(tài)下求平均值而看出。35由此得這就是電荷的連續(xù)性方程的算符形式，其意義可以將方程在任二、和在任意態(tài)中的平均值由于平均值是與繪景無關(guān)的，故1.式中是場點(diǎn)，是場點(diǎn)的函數(shù)。2.36二、和在任意態(tài)中的平均值利用分部積分法，有所以37利用分部積分法，有所以373.現(xiàn)在取連續(xù)性方程在任意態(tài)中的平均值的含義并不完全相同，因?yàn)閺暮偷囊饬x可知，連續(xù)性方程只是表示平均來說電荷在空間中守恒，與電動力學(xué)中383.現(xiàn)在取連續(xù)性方程在任意態(tài)中的平均值的含義并不完全相同，在電動力學(xué)中，在時刻t，每一空間點(diǎn)上的電荷密度和電流密度都有確定值；在量子力學(xué)中，每一空間點(diǎn)上的和則不是這樣，它們在同一時刻，同一空間點(diǎn)可以按一定的概率取各種不同的值。從上面的連續(xù)性方程中可以看出，并非守恒量，也顯然不能同哈密頓對易(因?yàn)棣雅cH不對易）。和很容易變?yōu)楦怕拭芏群透怕柿髅芏龋ɑ蛸|(zhì)量密度和質(zhì)量流密度），從而全面認(rèn)識粒子數(shù)守恒定律。﹟39在電動力學(xué)中，在時刻t，每一空間點(diǎn)上的電荷密度和電流§11.6相互作用繪景當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓HS可以分成兩部分其主要部分不含時間而又經(jīng)過充分研究，且微擾部分只給出較小影響時,可以建立一種新的繪景，稱為相互作用繪景（Interactionpicture,IP），它是Dirac提出的，因而又叫Dirac繪景.一、相互作用繪景中的運(yùn)動方程1.IP中的態(tài)矢量和算符IP中態(tài)矢量和算符是由SP中的和經(jīng)過下列變換得到的：40§11.6相互作用繪景當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓HS可以分成兩部分其主當(dāng)然如果沒有微擾的話，算符的表示就與海森堡繪景一樣了。這一點(diǎn)很重要！注意與HP的區(qū)別所用的算符為在指數(shù)上出現(xiàn)的不是系統(tǒng)的哈密頓H，而是H0。這樣一來，相互作用繪景中的態(tài)矢量和算符就都是隨時間演化的了。41當(dāng)然如果沒有微擾的話，算符的表示就與海森堡注意與HP的2.運(yùn)動方程IP中態(tài)矢量和算符的運(yùn)動方程可以對以下兩式求導(dǎo)給出。因?yàn)?22.運(yùn)動方程IP中態(tài)矢量和算符的運(yùn)動方程可以對以下兩式求導(dǎo)利用以及公式有即43利用以及公式有即43考慮到AS不顯含時間t,即所以得而由44考慮到AS不顯含時間t,即所以得而由44以下兩式與海森堡方程作比較式中分別是態(tài)矢量和算符的運(yùn)動方程。在IP中，不論是否含時，系統(tǒng)的哈密頓都是含時的，但仍是不含時的，它等于()。45以下兩式與海森堡方程作比較式中分別是態(tài)矢量和算符的運(yùn)動方程。二、幾點(diǎn)說明1.在相互作用繪景中，算符隨時間的變化規(guī)律與HP繪景中運(yùn)動方程相同,但必須將那里的換成；而態(tài)矢量隨時間的變化規(guī)律則與SP中的運(yùn)動方程相同,但必須將那里的換成。這也就是相互作用繪景的優(yōu)越性所在。如果未加微擾的系統(tǒng)經(jīng)過充分研究，而HP中各算符之間的關(guān)系已經(jīng)求得，則加上微擾后這些關(guān)系多數(shù)要發(fā)生改變。46二、幾點(diǎn)說明1.在相互作用繪景中，算符隨時間的變化規(guī)律與這時若采用IP,則各算符在IP中的關(guān)系與未加微擾系統(tǒng)的HP中的算符關(guān)系一樣，因此可將那里的公式直接移過來；而對于態(tài)矢量來說，IP的運(yùn)動方程中只有一個小的微擾算符，便于近似求解。2.根據(jù)IP中態(tài)矢量隨時間的變化規(guī)律，在SP中已經(jīng)清楚的有關(guān)態(tài)矢量的關(guān)系式,只要把其中的換成就可以移過來成為IP中的公式。例如在IP中，態(tài)矢量的演化關(guān)系為47這時若采用IP,則各算符在IP中的關(guān)系與未加微擾演化算符的公式可由級數(shù)解給出,而且由于較小，收斂很快。3.當(dāng)系統(tǒng)未受微擾時，IP與HP是等價的。此時系統(tǒng)的態(tài)矢量對于動基矢所構(gòu)成的框架來說靜止的。當(dāng)系統(tǒng)受到微擾之后，其態(tài)矢量的運(yùn)動方式將有所改變，相對于動基矢框架將呈現(xiàn)出較小的運(yùn)動。這就是對相互作用繪景的直觀理解。48演化算符的公式可由級數(shù)解給出,而且由于這就是IP表象中能量表象的運(yùn)動方程。﹟4.如果將相互作用所導(dǎo)致的變化稱為動力學(xué)演化，將導(dǎo)致的變化稱為運(yùn)動學(xué)演化，則在相互作用繪景中，算符承擔(dān)著運(yùn)動學(xué)演化，態(tài)矢量則荷載著動力學(xué)演化。而我們經(jīng)常關(guān)心的是這種起因于相互作用的動力學(xué)演化。我們知道，態(tài)矢量方程比算符方程更容易求解，因?yàn)楫吘箲B(tài)矢量中待求的未知量少得多。5.將態(tài)矢量的運(yùn)動方程取H0表象，設(shè)H0的本征矢量為，則有49這就是IP表象中能量表象的運(yùn)動方程。﹟4.如果將相互作用§11運(yùn)動方程§11.1

Schr?dinger方程一、一般形式此方程適用于粒子有自旋或無自旋以及單粒子或多粒子等所有情況。根據(jù)量子力學(xué)基本原理4，微觀體系的狀態(tài)隨時間的變化規(guī)律滿足下列Schr?dinger方程當(dāng)單粒子有自旋時，波矢量和哈密頓分別是位形空間和自旋空間二者直積空間中的矢量和算符。50§11運(yùn)動方程§11.1Schr?dinger方程一系統(tǒng)運(yùn)動方程取決于系統(tǒng)本身的情況和外部環(huán)境，而外部環(huán)境通常是電磁場和各種模型中的勢場。當(dāng)系統(tǒng)的線度不大時，外加的宏觀電磁場可以看成是均勻的，但可隨時間變化。哈密頓中的明顯含時因素幾乎全部出自外電磁場的變化。二、具體形式1.空間運(yùn)動部分這部分可從系統(tǒng)經(jīng)典分析力學(xué)中的哈密頓H(x,p,t)得到。只要將其中的x和p換成粒子的位置和動量算符，即可得到哈密頓算符。如電磁場中的帶電粒子51系統(tǒng)運(yùn)動方程取決于系統(tǒng)本身的情況和外部環(huán)境，而外部環(huán)境經(jīng)典哈密頓量為V是其它因素對哈密頓的貢獻(xiàn)。故單粒子的哈密頓算符為其中為方便起見，以后算符上不再加算符符號。52經(jīng)典哈密頓量為V是其它因素對哈密頓的貢獻(xiàn)。故單粒子的哈密頓算將兩邊同時作用到任意態(tài)矢量上，注意到有對于均勻磁場B，矢勢A可以寫成此式證明如下：53將兩邊同時作用到任意態(tài)矢量上，注意到有對于均勻磁場B利用公式當(dāng)時，而為均勻磁場，54利用公式當(dāng)時，而為均勻磁場，5但而﹟這是我們經(jīng)常使用的公式。它說明了矢勢同矢徑和磁場的關(guān)系。55但而﹟這是我們經(jīng)常使用的公式。它說明了矢勢同矢徑6右方第二項(xiàng)成為而電磁波是橫波，即有，且式式中為粒子的角動量算符。于是單粒子的哈密頓可以寫成56右方第二項(xiàng)成為而電磁波是橫波，即有，且由此可定義單粒子的軌道磁矩算符在L的本征態(tài)|lm>中，軌道磁矩的大小及其z分量取確定值，例如對電子有稱為玻爾磁子。其中式中A2項(xiàng)由于數(shù)量級小，往往可以略去。57由此可定義單粒子的軌道磁矩算符在L的本征態(tài)|lm>中，軌道磁2.有關(guān)自旋的項(xiàng)對H中與自旋有關(guān)的項(xiàng)，由于沒有經(jīng)典類比，無法從經(jīng)典分析力學(xué)中得出，應(yīng)該利用電子自旋磁矩的實(shí)驗(yàn)值寫出對能量的貢獻(xiàn)，加在下式中通常將用代替，這時電子的自旋磁矩算符為在自旋表象下，這是一個矩陣的矢量算符。582.有關(guān)自旋的項(xiàng)對H中與自旋有關(guān)的項(xiàng)，由于沒有經(jīng)例如，哈密頓中自旋在外磁場B中的能量附加項(xiàng)為另外，一個電子的自旋磁矩與自己的軌道磁矩的相互作用能(即旋軌耦合)，例如對類氫離子中電子為討論原子問題時，常在哈密頓中加上由自旋引起的能量。這些都相當(dāng)于在哈密頓中V這一項(xiàng)。59例如，哈密頓中自旋在外磁場B中的能量附加項(xiàng)為另外，一個電子的3.含有自旋的薛定諤方程在表象下，含有自旋的薛定諤方程可以寫為如下的泡利方程式中都是x,y,z,t的函數(shù)。﹟603.含有自旋的薛定諤方程在表象下，含有自§11.2

演化算符方程是時間的一階微分方程，初態(tài)給定，原則上可以知道任意時刻的狀態(tài)。由此可定義一個演化算符U(t,t0)使其滿足將上式代入薛定諤方程中，得顯然，U(t,t0)的具體形式取決于薛定諤方程中的H。此式對同一系統(tǒng)的一切初態(tài)都成立。61§11.2演化算符方程是時間的一階微分方程，初態(tài)于是得演化算符滿足的微分方程為當(dāng)H中不顯含時間時，此式在的初始條件下的解為故可知態(tài)矢量的歸一化性質(zhì)不隨時間改變，即若是歸一化的，則對一切時間都是歸一化的。這就是當(dāng)H中不顯含時間時演化算符的具體形式，是一個幺正算符。哈密頓顯含時間的演化算符不再介紹。62于是得演化算符滿足的微分方程為當(dāng)H中不顯含時間時，此式在§11.3

繪景變換量子力學(xué)中的各種關(guān)系式，可以直接用矢量和算符表示，也可以取不同的表象用矩陣表示。不同表象中的矢量和算符，通過一個不含時的幺正矩陣聯(lián)系起來。一個關(guān)系式在不同表象中的形式是完全等價的。現(xiàn)在取一個含時間的幺正算符U(t)，作用在所有的矢量和算符上進(jìn)行幺正變換。這樣會得到與原來的矢量和算符的關(guān)系完全平行和等價的關(guān)系，但其形式會發(fā)生較大的變化。這種變換叫…63§11.3繪景變換量子力學(xué)中的各種關(guān)系式，可以直接改變繪景的目的是選擇適當(dāng)?shù)暮瑫r幺正變換，使得在新的繪景下，某一問題的解決更方便一些。我們說，幺正變換U(t)使我們得到量子力學(xué)關(guān)系式的另一個繪景。二、薛定諤繪景(Schr?dingerpicture)到目前為止,我們所用的繪景沒有經(jīng)過幺正變換，稱之為Schr?dinger繪景（SP）。為了同新繪景相區(qū)別，我們把為Schr?dinger繪景中的矢量和算符寫成的形式。在這個繪景中態(tài)矢量是含時的，服從Schr?dinger方程一、繪景變換64改變繪景的目的是選擇適當(dāng)?shù)暮瑫r幺正變換，使得在新的繪而一般算符則不含時（一些含時微擾除外），這樣在Schr?dinger繪景中還可以取各種表象(represen-tation)。每一種表象都同一組特定的基矢相聯(lián)系，而基矢是不含時的。設(shè)想去看Hilbert空間，則應(yīng)看到，描寫狀態(tài)的態(tài)矢量是按照一定規(guī)律運(yùn)動的，而每一組基矢是靜止的。態(tài)矢量的各種表象，不論寫成矩陣的形式，還是寫成函數(shù)的形式，都是隨時間變化的，因?yàn)樗鼈兪沁\(yùn)動的態(tài)矢量在靜止的基矢上的分量。展開系數(shù)是含時的﹟65而一般算符則不含時（一些含時微擾除外），這樣在Sch注意：與基矢的幺正變換相區(qū)別。§11.4海森堡繪景變換（Heisenbergpicture）一、Heisenbergpicture(HP)1.定義：當(dāng)系統(tǒng)的哈密頓不含時時，可以保持Hilbert空間中基矢框架不動，將連同所有描寫物理量的算符全部進(jìn)行一個含時的幺正變換。這種描述方式就是HP。幺正變換選用這個系統(tǒng)的演化算符U(t,0)的逆算符取進(jìn)行，即含時幺正算符是66注意：與基矢的幺正變換相區(qū)別。§11.4海森堡繪景變換（H式中是這個系統(tǒng)的SP中的哈密頓。若本身含時間，則上式不成立，無法建立HP。2.HP繪景中的態(tài)矢量和算符SP中的態(tài)矢量和算符經(jīng)過上述含時幺正算符的作用后所得的新的態(tài)矢量和算符就是HP中的態(tài)矢量和算符，記為67式中是這個系統(tǒng)的SP中的哈密頓。若本身含時注意：哈密頓算符在此兩個繪景中是一樣的。為什么？3.Hersenberg方程HP的特點(diǎn)是，態(tài)矢量不隨時間改變，因?yàn)殓壅儞Q把任意時刻態(tài)矢量都變回初態(tài)的態(tài)矢量，而在HP中描寫物理量的算符則是隨時間變化的,即68注意：哈密頓算符在此兩個繪景中是一樣的。為什么？3.He于是得此式就是在HP中的運(yùn)動方程，它描寫了算符隨時間變化的規(guī)律，稱為Heisenberg方程。由算符的變換方程得此式僅對哈密頓成立，所以可將H算符右上角表示繪景的標(biāo)記略去。注意HP的選取是與系統(tǒng)的哈密頓有關(guān)的，哈密頓不同，將得到不同的HP。﹟69于是得此式就是在HP中的運(yùn)動方程，它描寫了算符1.定義二、守恒量可知，當(dāng)系統(tǒng)的H不含時間時，若HP中的算符也不隨時間改變，即，則A稱為守恒量。顯然，A是守恒量的條件是可以發(fā)現(xiàn)，不含時的哈密頓本身是一個守恒量。事實(shí)上，由于，對守恒量A來說，有由式701.定義二、守恒量可知，當(dāng)系統(tǒng)的H不含時間時，若HP中的算符用B代表完備組中其余算符，則此厄米算符完備組可以寫為2.守恒量的性質(zhì)由初等量子力學(xué)基礎(chǔ)我們已經(jīng)知道，守恒量在系統(tǒng)的任意含時態(tài)中取各值的概率不隨時間改變。這里重新證明如下：【證】守恒量既然同H對易，那么含有的一組厄米算符完備組中一定含有H。其共同本征矢量可以寫成將系統(tǒng)的態(tài)矢量按照這套本征矢量展開71用B代表完備組中其余算符，則此厄米算符完備組可以寫為2.其中可見中是不含時的，而物理量在中取值的概率是。于是證明了守恒量在含時態(tài)中取各值的概率與時間無關(guān)。由此性質(zhì)又可得出下面幾條結(jié)論：72其中可見中是不含時的，而物理量(1)守恒量A在系統(tǒng)任意狀態(tài)中平均值不隨時間改變。即(2)若守恒量于某一時刻在給定態(tài)中取確定值，則在此以后(以及此前)的任意時刻均取相同的確定值。3.說明量子力學(xué)中的守恒量與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量的區(qū)別：經(jīng)典力學(xué)中：系統(tǒng)運(yùn)動時守恒量總?cè)〈_定值；若同時有幾個守恒量，則都各自取確定值。量子力學(xué)中：守恒量不一定取確定值。若兩個守恒量A,B互不對易，則根本不存在二者都取確定值的狀態(tài)。73(1)守恒量A在系統(tǒng)任意狀態(tài)中平均值不隨時間改變。即三、對HP的直觀理解設(shè)在Hilbert空間中取一組厄米算符完備組K，用其本征矢量建立一組基矢作為一個固定框架。就是說，HP中可以建立各種表象，態(tài)矢量寫成矩陣形式，這些列矩陣都是不含時的。某系統(tǒng)的狀態(tài)是不含時的,而就是在HP中的K表象,這也是不含時的。也可以換個角度看。保持基矢組不動，再復(fù)制一組與一樣的基矢組.讓這組新的基矢在t=0時刻與原來的基矢完全重合，而在t增加時開始動起來，成為動基矢組。74三、對HP的直觀理解設(shè)在Hilbert空間中取一組厄我們規(guī)定動基矢組的運(yùn)動規(guī)律與系統(tǒng)的態(tài)矢量運(yùn)動規(guī)律一樣，即這樣就成為空間中一組動的框架。這時系統(tǒng)的態(tài)矢量在動基矢上的分量就是HP中態(tài)矢量的K表象：75我們規(guī)定動基矢組的運(yùn)動規(guī)律與系統(tǒng)的態(tài)矢量運(yùn)動規(guī)律一樣從動系上去看算符A，則看到一個動算符，即靜止算符A在動系中的矩陣元是含時的。如果完備組K中含有系統(tǒng)的哈密頓H，那么以上兩式就是HP中的能量表象.它是HP中最常用的一個表象，也是歷史上最早的HP中的矩陣形式。用經(jīng)典力學(xué)來比喻，就是建立了一個與動矢量相“固連”的動坐標(biāo)系。觀察者“站在”動系上去觀察動矢量，他看到的這個矢量將是靜止的。76從動系上去看算符A，則看到一個動算符，即靜止算符A在四、HP的對易關(guān)系根據(jù)幺正變換的性質(zhì)，兩個繪景中含有矢量和算符的所有關(guān)系式都是一樣的（帶有對時間求導(dǎo)的關(guān)系除外）。算符的本征值與簡并度數(shù)也一樣。故在HP中的對易關(guān)系為在HP中位置算符與動量算符隨時間變化的規(guī)律，由前面出現(xiàn)的公式77四、HP的對易關(guān)系根據(jù)幺正變換的性質(zhì)，兩個繪景中含有可得此二式與經(jīng)典分析力學(xué)中的Hamilton正則方程形式完全一致。﹟78可得此二式與經(jīng)典分析力學(xué)中的Hamilton正則方程形式完全五、量子化1、量子化一詞的含義：（1）在經(jīng)典理論中，取連續(xù)值譜的物理量在量子力學(xué)中變?yōu)殡x散值譜的現(xiàn)象；（2）參照系統(tǒng)的經(jīng)典運(yùn)動規(guī)律寫出其量子運(yùn)動規(guī)律的方法。2、一次量子化歷史上有一常被提到的量子化方法，可表述如下：（1）寫出系統(tǒng)的經(jīng)典Hamilton正則方程79五、量子化1、量子化一詞的含義：（1）在經(jīng)典理論中，取連經(jīng)過以上手續(xù),就從系統(tǒng)所服從的經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動規(guī)律，直接進(jìn)入到HP中的量子力學(xué)。這種手續(xù)稱之為“一次量子化”。﹟（2）將上方程中的物理量看成算符（3）賦予以下對易關(guān)系（4）給這些算符找一些適當(dāng)?shù)模ú缓瑫r的）作用對象來描寫狀態(tài)。后面在介紹全同粒子體系時還介紹“二次量子化”。80經(jīng)過以上手續(xù),就從系統(tǒng)所服從的經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動規(guī)﹟（一、連續(xù)性方程的算符形式我們知道，在經(jīng)典力學(xué)中，帶電粒子的電荷密度和電流密度可以分別寫為而在SP下采用Weyl規(guī)則(p70),二者相應(yīng)的算符形式是§11.5連續(xù)性方程寫成HP下的形式是81一、連續(xù)性方程的算符形式我們知道，在經(jīng)典力學(xué)中，帶電粒子現(xiàn)在求對時間導(dǎo)數(shù)。利用Heisenberg方程，有利用的三維形式，有82現(xiàn)在求對時間導(dǎo)數(shù)。利用Heisenber式中是對算符的梯度，即它與對場點(diǎn)的梯度不同。這樣將式代入，有83式中是對算符的梯度，即它由此得這就是電荷的連續(xù)性方程的算符形式，其意義可以將方程在任意態(tài)下求平均值而看出。84由此得這就是電荷的連續(xù)性方程的算符形式，其意義可以將方程在任二、和在任意態(tài)中的平均值由于平均值是與繪景無關(guān)的，故1.式中是場點(diǎn)，是場點(diǎn)的函數(shù)。2.85二、和在任意態(tài)中的平均值利用分部積分法，有所以86利用分部積分法，有所以373.現(xiàn)在取連續(xù)性方程在任意態(tài)中的平均值的含義并不完全相同，因?yàn)閺暮偷囊饬x可知，連續(xù)性方程只是表示平均來說電荷在空間中守恒，與電動力學(xué)中873.現(xiàn)在取連續(xù)性方程在任意態(tài)中的平均值的含義并不完全相同，在電動力學(xué)中，在時刻t，每一空間點(diǎn)上的電荷密度和電流密度都有確定值；在量子力學(xué)中，每一空間點(diǎn)上的和則不是這樣，它們在同一時刻，同一空間點(diǎn)可以按一定的概率取各種不同的值。從上面的連續(xù)性方程中可以看出，并非守恒量，也顯然不能同哈密頓對易(因?yàn)棣雅cH不對易）。和很容易變?yōu)楦怕拭芏群透怕柿髅芏龋ɑ蛸|(zhì)量密度和質(zhì)量流密度），從而全面認(rèn)識粒子數(shù)守恒定律。﹟88在電動力學(xué)中，在時刻t，每一空間點(diǎn)上的