數(shù)學-第一部分-第五章-第2講-圖形的相似配套課件

第2講圖形的相似第2講圖形的相似11.了解比例的性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.2.通過具體實例認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比.3.掌握兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.4.了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.1.了解比例的性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上2

5.了解兩個三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似. 6.了解圖形的位似，知道利用位似將一個圖形放大或縮小. 7.會用圖形的相似解決一些簡單的實際問題. 5.了解兩個三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個3ad＝bcad＝bc4(續(xù)表)(續(xù)表)5(續(xù)表)相似比相似比的平方相似比(續(xù)表)相似比相似比的平方相似比6(續(xù)表)(續(xù)表)7

相似三角形的判定與性質(zhì) 例1：(2015年四川涼山州)如圖5-2-1，⊙O的半徑為

5，點

P在⊙O外，PB交⊙O于A，B兩點，PC交⊙O于D，C兩點. (1)求證：PA·PB＝PD·PC；求點O到PC的距離.圖5-2-1 相似三角形的判定與性質(zhì)求點O到PC的距離.圖58

[思路分析](1)先連接AD，BC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可知：∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論. (2)由PA·PB＝PD·PC，求出CD，根據(jù)垂徑定理，可得點O到PC的距離. (1)證明：連接AD，BC.

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC. [思路分析](1)先連接AD，BC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)9(2)解：連接OD，作OE⊥DC，垂足為E(如圖5-2-2).

圖5-2-2解得DC＝8或DC＝－11(舍去).∴DE＝4.∵OD＝5，∴OE＝3，即點O到PC的距離為3.(2)解：連接OD，作OE⊥DC，垂足為E(如圖5-2-2)10

【試題精選】圖5-2-3答案：D

1.(2015年甘肅酒泉)如圖5-2-3，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，則S△DOE∶S△AOC的值為(

) 【試題精選】圖5-2-3答案：D1.(2015年甘肅11

2.(2015年山東淄博)如圖

5-2-4，在△ABC中，點P是BC邊上任意一點(點P與點B，C不重合)，平行四邊形AFPE的頂點F，E分別在AB，AC上.已知BC＝2，S△ABC＝1.設BP＝x，平行四邊形AFPE的面積為y. (1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)上述函數(shù)有最大值或最小值嗎？若有，則當x取何值時，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由.圖5-2-4 2.(2015年山東淄博)如圖5-2-4，在△ABC12解：(1)∵四邊形AFPE是平行四邊形，∴PF∥CA.解：(1)∵四邊形AFPE是平行四邊形，∴PF∥CA.13數(shù)學-第一部分-第五章-第2講-圖形的相似[配套課件]14

[解題技巧](1)相似的判定方法可類比全等三角形的判定方法，找對應邊(角)時應遵循一定的對應原則，如長(大)對長(大)，短(小)對短(小)，或找相等的邊(角)幫助確定.(2)利用相似三角形的性質(zhì)可以證明有關線段成比例、角相等，也可計算三角形中邊的長度或角的大小.關鍵要注意相似三角形的對應邊的確認及性質(zhì)的綜合運用，尤其是在運用相似圖形的面積比等于相似比的平方時，不要漏了“平方”. [解題技巧](1)相似的判定方法可類比全等三角形的判定方15相似三角形的綜合應用

例2：(2015年陜西)晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時語塞.小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高.于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖5-2-5，當小聰正好站在廣場的A點(距N點5塊地磚長)時，其影長AD恰好為1塊地磚長；當小軍正好站在廣場的B點(距N點9塊地磚長)時，其影長BF恰好為2塊地磚長.已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.請你根據(jù)以上信息，求出小軍身高BE的長.(結(jié)果精確到0.01米)相似三角形的綜合應用 例2：(2015年陜西)晚飯后，小16

圖5-2-5

[思路分析]先證明△CAD∽△MND，利用相似三角形的性質(zhì)求得MN＝9.6，再證明△EFB∽△MFN，即可解答.

解：由題意，得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝MDN. 圖5-2-517∴MN＝9.6.又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，

∴EB≈1.75.

∴小軍身高約為1.75米.

[思想方法]運用相似三角形解決實際問題時，關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為求證相似三角形和利用相似比求線段的長.∴MN＝9.6. ∴EB≈1.75.18【試題精選】

3.(2014年陜西)某天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點B(點B與河對岸岸邊的一棵樹的底部點D所確定的直線垂直于河岸).①小明在點B面向樹的方向站好，調(diào)整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖5-2-6，這時小亮測得小明眼睛距離地面的距離AB＝1.7米；②小明站在原地轉(zhuǎn)動180°后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)(除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變)，這時視線通過帽檐落在了【試題精選】 3.(2014年陜西)某天，小明和小亮來到一19DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB＝1.2米.根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BD是多少米？圖5-2-6DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE＝9.6米，20解：由題意知，∠BAD＝∠BCE.∵∠ABD＝∠ABE＝90°，∴△BAD∽△BCE.∴河流的寬BD是13.6米.解：由題意知，∠BAD＝∠BCE.∴河流的寬BD是1321

圖形的位似4.(2015年湖北十堰)在平面直角坐標系中，已知點

A(－4,2)，)則點A的對應點A′的坐標是( A.(－2,1) B.(－8,4) C.(－8,4)或(8，－4) D.(－2,1)或(2，－1)

答案：D 圖形的位似)則點A的對應點A′的坐標是(22

5.(2015年福建漳州)如圖

5-2-7，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D均在格點上，以點A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2.(1)在圖中畫出四邊形AB′C′D′；(2)填空：△AC′D′是________三角形.圖5-2-7 5.(2015年福建漳州)如圖5-2-7，在10×10的23解：(1)如圖D71.

圖D71

(2)等腰直角∵AC′2＝42＋82＝16＋64＝80，AD′2＝62＋22＝36＋4＝40，C′D′2＝62＋22＝36＋4＝40，

∴AD′＝C′D′，AD′2＋C′D′2＝AC′2.

∴△AC′D′是等腰直角三角形.解：(1)如圖D71.(2)等腰直角∵AC′2＝4224

[易錯陷阱]在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標比等于±k，即幾何圖形的位似圖形可能有兩個.

[解題技巧]畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

[名師點評]位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形是相似圖形的特例.位似圖形的性質(zhì)也就是相似圖形的性質(zhì)：相似圖形的對應邊、對應高、對應周長比都等于相似比，而面積的比等于相似比的平方. [易錯陷阱]在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點 [解25到的圖形是()圖5-2-8A.B.C.D.答案：A到的圖形是()圖5-2-8A.B.C.D.答案：A262.(2015年廣東)若兩個相似三角形的周長比為2∶3，則它們的面積比是________.答案：4∶9

3.(2013年廣東)如圖

5-2-9，在矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構(gòu)造另一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C.

(1)設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1________S2＋S3；(用“＞”“＝”“＜”填空)(2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.2.(2015年廣東)若兩個相似三角形的周長比為2∶3，27圖5-2-9(1)＝(2)△BCD∽△CFB∽△DEC.證明△

BCD∽△DEC.證明：∵∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠EDC＝∠CBD.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.圖5-2-9(1)＝(2)△BCD∽△CFB∽△DEC.28

4.(2014年廣東)如圖

5-2-10，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，BC＝10cm，AD＝8cm.點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB，AC，AD于E，F(xiàn)，H，當點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設運動時間為t秒(t＞0). (1)當t＝2時，連接DE，DF，求證：四邊形AEDF為菱形；

(2)在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當△PEF的面積最大時，求線段BP的長； 4.(2014年廣東)如圖5-2-10，在△ABC中29(3)是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由.圖5-2-10(3)是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在30(1)證明：當t＝2時，DH＝AH＝4，則H為AD的中點，如圖D72.圖D72又∵EF⊥AD，∴EF為AD的垂直平分線.∴AE＝DE，AF＝DF.∵AB＝AC，AD⊥BC于點D，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∴EF∥BC.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C.∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.∴AE＝AF＝DE＝DF，即四邊形AEDF為菱形.(1)證明：當t＝2時，DH＝AH＝4，則H為AD31(2)解：如圖

D73，由(1)知，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.圖D73

∴當t＝2秒時，S△PEF

存在最大值，最大值為10cm2，此時BP＝3t＝6cm.(2)解：如圖D73，由(1)知，EF∥BC，圖D73 32(3)解：存在.理由如下：①若點E為直角頂點，如答圖D74，此時PE∥AD，PE＝DH＝2t，BP＝3t.此種情形不存在； 圖D74(3)解：存在.理由如下：此種情形不存在；33②若點F為直角頂點，如答圖D75，此時PF∥AD，PF＝DH＝2t，BP＝3t，CP＝10－3t.圖D75②若點F為直角頂點，如答圖D75，圖D7534

③若點P為直角頂點，如答圖D76.

圖D76

過點E作EM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD. ③若點P為直角頂點，如答圖D76.35數(shù)學-第一部分-第五章-第2講-圖形的相似[配套課件]36數(shù)學-第一部分-第五章-第2講-圖形的相似[配套課件]37第2講圖形的相似第2講圖形的相似381.了解比例的性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.2.通過具體實例認識圖形的相似，了解相似多邊形和相似比.3.掌握兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.4.了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方.1.了解比例的性質(zhì)、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上39

5.了解兩個三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似. 6.了解圖形的位似，知道利用位似將一個圖形放大或縮小. 7.會用圖形的相似解決一些簡單的實際問題. 5.了解兩個三角形相似的判定定理：兩角分別相等的兩個40ad＝bcad＝bc41(續(xù)表)(續(xù)表)42(續(xù)表)相似比相似比的平方相似比(續(xù)表)相似比相似比的平方相似比43(續(xù)表)(續(xù)表)44

相似三角形的判定與性質(zhì) 例1：(2015年四川涼山州)如圖5-2-1，⊙O的半徑為

5，點

P在⊙O外，PB交⊙O于A，B兩點，PC交⊙O于D，C兩點. (1)求證：PA·PB＝PD·PC；求點O到PC的距離.圖5-2-1 相似三角形的判定與性質(zhì)求點O到PC的距離.圖545

[思路分析](1)先連接AD，BC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可知：∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論. (2)由PA·PB＝PD·PC，求出CD，根據(jù)垂徑定理，可得點O到PC的距離. (1)證明：連接AD，BC.

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠PAD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC. [思路分析](1)先連接AD，BC，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)46(2)解：連接OD，作OE⊥DC，垂足為E(如圖5-2-2).

圖5-2-2解得DC＝8或DC＝－11(舍去).∴DE＝4.∵OD＝5，∴OE＝3，即點O到PC的距離為3.(2)解：連接OD，作OE⊥DC，垂足為E(如圖5-2-2)47

【試題精選】圖5-2-3答案：D

1.(2015年甘肅酒泉)如圖5-2-3，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，則S△DOE∶S△AOC的值為(

) 【試題精選】圖5-2-3答案：D1.(2015年甘肅48

2.(2015年山東淄博)如圖

5-2-4，在△ABC中，點P是BC邊上任意一點(點P與點B，C不重合)，平行四邊形AFPE的頂點F，E分別在AB，AC上.已知BC＝2，S△ABC＝1.設BP＝x，平行四邊形AFPE的面積為y. (1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)上述函數(shù)有最大值或最小值嗎？若有，則當x取何值時，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由.圖5-2-4 2.(2015年山東淄博)如圖5-2-4，在△ABC49解：(1)∵四邊形AFPE是平行四邊形，∴PF∥CA.解：(1)∵四邊形AFPE是平行四邊形，∴PF∥CA.50數(shù)學-第一部分-第五章-第2講-圖形的相似[配套課件]51

[解題技巧](1)相似的判定方法可類比全等三角形的判定方法，找對應邊(角)時應遵循一定的對應原則，如長(大)對長(大)，短(小)對短(小)，或找相等的邊(角)幫助確定.(2)利用相似三角形的性質(zhì)可以證明有關線段成比例、角相等，也可計算三角形中邊的長度或角的大小.關鍵要注意相似三角形的對應邊的確認及性質(zhì)的綜合運用，尤其是在運用相似圖形的面積比等于相似比的平方時，不要漏了“平方”. [解題技巧](1)相似的判定方法可類比全等三角形的判定方52相似三角形的綜合應用

例2：(2015年陜西)晚飯后，小聰和小軍在社區(qū)廣場散步，小聰問小軍：“你有多高？”小軍一時語塞.小聰思考片刻，提議用廣場照明燈下的影長及地磚長來測量小軍的身高.于是，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖5-2-5，當小聰正好站在廣場的A點(距N點5塊地磚長)時，其影長AD恰好為1塊地磚長；當小軍正好站在廣場的B點(距N點9塊地磚長)時，其影長BF恰好為2塊地磚長.已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小聰?shù)纳砀逜C為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.請你根據(jù)以上信息，求出小軍身高BE的長.(結(jié)果精確到0.01米)相似三角形的綜合應用 例2：(2015年陜西)晚飯后，小53

圖5-2-5

[思路分析]先證明△CAD∽△MND，利用相似三角形的性質(zhì)求得MN＝9.6，再證明△EFB∽△MFN，即可解答.

解：由題意，得∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝MDN. 圖5-2-554∴MN＝9.6.又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，

∴EB≈1.75.

∴小軍身高約為1.75米.

[思想方法]運用相似三角形解決實際問題時，關鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為求證相似三角形和利用相似比求線段的長.∴MN＝9.6. ∴EB≈1.75.55【試題精選】

3.(2014年陜西)某天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊選擇了一點B(點B與河對岸岸邊的一棵樹的底部點D所確定的直線垂直于河岸).①小明在點B面向樹的方向站好，調(diào)整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖5-2-6，這時小亮測得小明眼睛距離地面的距離AB＝1.7米；②小明站在原地轉(zhuǎn)動180°后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)(除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變)，這時視線通過帽檐落在了【試題精選】 3.(2014年陜西)某天，小明和小亮來到一56DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB＝1.2米.根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BD是多少米？圖5-2-6DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE＝9.6米，57解：由題意知，∠BAD＝∠BCE.∵∠ABD＝∠ABE＝90°，∴△BAD∽△BCE.∴河流的寬BD是13.6米.解：由題意知，∠BAD＝∠BCE.∴河流的寬BD是1358

圖形的位似4.(2015年湖北十堰)在平面直角坐標系中，已知點

A(－4,2)，)則點A的對應點A′的坐標是( A.(－2,1) B.(－8,4) C.(－8,4)或(8，－4) D.(－2,1)或(2，－1)

答案：D 圖形的位似)則點A的對應點A′的坐標是(59

5.(2015年福建漳州)如圖

5-2-7，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D均在格點上，以點A為位似中心畫四邊形AB′C′D′，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2.(1)在圖中畫出四邊形AB′C′D′；(2)填空：△AC′D′是________三角形.圖5-2-7 5.(2015年福建漳州)如圖5-2-7，在10×10的60解：(1)如圖D71.

圖D71

(2)等腰直角∵AC′2＝42＋82＝16＋64＝80，AD′2＝62＋22＝36＋4＝40，C′D′2＝62＋22＝36＋4＝40，

∴AD′＝C′D′，AD′2＋C′D′2＝AC′2.

∴△AC′D′是等腰直角三角形.解：(1)如圖D71.(2)等腰直角∵AC′2＝4261

[易錯陷阱]在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標比等于±k，即幾何圖形的位似圖形可能有兩個.

[解題技巧]畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.

[名師點評]位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形是相似圖形的特例.位似圖形的性質(zhì)也就是相似圖形的性質(zhì)：相似圖形的對應邊、對應高、對應周長比都等于相似比，而面積的比等于相似比的平方. [易錯陷阱]在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點 [解62到的圖形是()圖5-2-8A.B.C.D.答案：A到的圖形是()圖5-2-8A.B.C.D.答案：A632.(2015年廣東)若兩個相似三角形的周長比為2∶3，則它們的面積比是________.答案：4∶9

3.(2013年廣東)如圖

5-2-9，在矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構(gòu)造另一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C.

(1)設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1________S2＋S3；(用“＞”“＝”“＜”填空)(2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.2.(2015年廣東)若兩個相似三角形的周長比為2∶3，64圖5-2-9(1)＝(2)△BCD∽△CFB∽△DEC.證明△

BCD∽△DEC.證明：∵∠EDC＋∠BDC＝90°，∠CBD＋∠BDC＝90°，∴∠EDC＝∠CBD.又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，∴△BCD∽△DEC.圖5-2-9(1)＝(2)△BCD∽△CFB∽△DEC.65

4.(2014年廣東)如圖

5-2-10，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，BC＝10cm，AD＝8cm.點P從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方