金融數(shù)學(xué)課件第二章風(fēng)險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)

金融數(shù)學(xué)第二章風(fēng)險(xiǎn)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)金融數(shù)學(xué)第二章風(fēng)險(xiǎn)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)1資產(chǎn)定價(jià)理論的微觀經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)

經(jīng)濟(jì)理論通常假定：投資人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)有多種定義，不確定性從定量模型化解釋風(fēng)險(xiǎn)投資人面臨風(fēng)險(xiǎn)的決策（第一節(jié)）Rothschild和Stiglitz提出隨機(jī)占優(yōu)（第二節(jié)）資產(chǎn)定價(jià)理論的微觀經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)理論通常假定：投資人是風(fēng)險(xiǎn)厭2對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一般認(rèn)識(shí)：經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中狀態(tài)變量的事前不確定性對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡引發(fā)投資人的投資組合的分散化問題以及對(duì)所需交換的資產(chǎn)的合理定價(jià)問題金融經(jīng)濟(jì)學(xué)框架的核心問題：如何分散風(fēng)險(xiǎn)如何確定風(fēng)險(xiǎn)的合理價(jià)格第一節(jié)風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一般認(rèn)識(shí)：第一節(jié)風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)偏好3風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性與風(fēng)險(xiǎn)偏好的數(shù)學(xué)表述

伯努利（Bernoulli）效用函數(shù)（確定值）Von-Neumann-Morgenstern預(yù)期效用函數(shù)“預(yù)期”有“期望”之義，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例2.1。Page46風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性與風(fēng)險(xiǎn)偏好的數(shù)學(xué)表述伯努利（Bernou4風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)定義如果F(x)是二項(xiàng)分布，則，風(fēng)險(xiǎn)厭惡——伯努利效用函數(shù)為凹函數(shù)嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)厭惡——嚴(yán)格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：對(duì)任意F，有風(fēng)險(xiǎn)厭惡——效用函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)證明需要使用Jensen不等式。同樣：可以定義風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)偏好風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)定義如果F(x)是二項(xiàng)分布，則，5絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有大有小，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)ρ，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，數(shù)學(xué)定義如下Pratt(1964)定義絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，必需給予的溢價(jià)補(bǔ)償也越大絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有大有小，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡6相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Pratt(1964)定義相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，所要求的單位方差的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)補(bǔ)償也越高

相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Pratt(1964)定義相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡7風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)投資人決策影響的實(shí)例說明

例2.2。當(dāng)前財(cái)富為W=a+(W－a)今后財(cái)富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，優(yōu)化問題關(guān)于a是凹函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)＝0，（2.17）a＊是解，是W的函數(shù)，（2.17）中對(duì)W求導(dǎo)數(shù)，（2.18）。風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)投資人決策影響的實(shí)例說明例2.2。當(dāng)前8隨W的變化，風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的a的動(dòng)態(tài)變化假設(shè)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)不隨W增加而增加對(duì)r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）從（2.17）得（2.21）u是凹函數(shù)，得（2.21a）隨W的變化，風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的a的動(dòng)態(tài)變化9最后風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資人投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富隨著總財(cái)富的上升而增加

關(guān)于絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)不隨W增加而增加經(jīng)過推導(dǎo)可知，要求三階導(dǎo)數(shù)為正數(shù)度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡在于比較不同投資人對(duì)同一風(fēng)險(xiǎn)決策的態(tài)度。在資產(chǎn)定價(jià)理論中，一般假定存在一個(gè)典型性投資人。需要處理典型投資人對(duì)不同資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益的判斷，即資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的度量問題。最后10第二節(jié)隨機(jī)占優(yōu)怎樣才能認(rèn)為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風(fēng)險(xiǎn)？簡(jiǎn)化的風(fēng)險(xiǎn)比較：均值-方差效用用方差作為唯一標(biāo)準(zhǔn)不可行（期望可能越大）即使一種資產(chǎn)X預(yù)期收益等于另一資產(chǎn)Y，而X方差小于Y，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者也不一定偏好于X

如下面的例子第二節(jié)隨機(jī)占優(yōu)怎樣才能認(rèn)為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風(fēng)險(xiǎn)？11E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果選擇風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=712均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當(dāng)包括三階矩以上為0時(shí)，均值方差效用才與真實(shí)的預(yù)期效用一致。兩端取期望（w是期望值，數(shù)值），利用均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中13資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分析框架比較資產(chǎn)收益的分布，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數(shù)。一階隨機(jī)占優(yōu)、二階隨機(jī)占優(yōu)以及均值不變下的分布擴(kuò)展MPS假設(shè)有兩種資產(chǎn)A和B。A收益服從分布F（·），B服從G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬于區(qū)間[0，1]）。資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量的一般方法Rothschild—Stiglitz14一階隨機(jī)占優(yōu)FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定義：對(duì)任意非減的函數(shù)u：R→R，定理2.1是FSD的等價(jià)條件。注意不等號(hào)方向一階隨機(jī)占優(yōu)FSDFirst-orderStochast15FSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0zFSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z16二階隨機(jī)占優(yōu)SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定義：F二階占優(yōu)于G，當(dāng)且僅當(dāng)且對(duì)某些X值的集合，不等號(hào)成立。符號(hào)可以證明，如果SSD成立，則，投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風(fēng)險(xiǎn)SSD的三個(gè)等價(jià)條件二階隨機(jī)占優(yōu)SSDSecond-orderStocha17SSD圖形表示取正號(hào)取正號(hào)+z取負(fù)號(hào)FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD圖形表示取正號(hào)取正號(hào)+z取負(fù)號(hào)FA(z)FB(z)z*18SSD其他特性SSD的3個(gè)等價(jià)表述“d”表示“依分布相等”引入“展形spread”的概念SSD其他特性SSD的3個(gè)等價(jià)表述19均值不變下的分布展形MPSmeanpreservingspreads——MSP討論限定于兩種資產(chǎn)相同的預(yù)期收益圖形表示命題2-2命題2-3G是F的MPS，等價(jià)于F，SSD，G均值不變下的分布展形MPSmeanpreservings20Jensen’sinequality證明

u是凹函數(shù)證明過程：在均值點(diǎn)泰勒展開Jensen’sinequality證明u是凹函數(shù)21金融數(shù)學(xué)第二章風(fēng)險(xiǎn)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)金融數(shù)學(xué)第二章風(fēng)險(xiǎn)、風(fēng)險(xiǎn)厭惡與隨機(jī)占優(yōu)22資產(chǎn)定價(jià)理論的微觀經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)

經(jīng)濟(jì)理論通常假定：投資人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的風(fēng)險(xiǎn)有多種定義，不確定性從定量模型化解釋風(fēng)險(xiǎn)投資人面臨風(fēng)險(xiǎn)的決策（第一節(jié)）Rothschild和Stiglitz提出隨機(jī)占優(yōu)（第二節(jié)）資產(chǎn)定價(jià)理論的微觀經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)經(jīng)濟(jì)理論通常假定：投資人是風(fēng)險(xiǎn)厭23對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一般認(rèn)識(shí)：經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中狀態(tài)變量的事前不確定性對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡引發(fā)投資人的投資組合的分散化問題以及對(duì)所需交換的資產(chǎn)的合理定價(jià)問題金融經(jīng)濟(jì)學(xué)框架的核心問題：如何分散風(fēng)險(xiǎn)如何確定風(fēng)險(xiǎn)的合理價(jià)格第一節(jié)風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)偏好對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的一般認(rèn)識(shí)：第一節(jié)風(fēng)險(xiǎn)與風(fēng)險(xiǎn)偏好24風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性與風(fēng)險(xiǎn)偏好的數(shù)學(xué)表述

伯努利（Bernoulli）效用函數(shù)（確定值）Von-Neumann-Morgenstern預(yù)期效用函數(shù)“預(yù)期”有“期望”之義，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例2.1。Page46風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性與風(fēng)險(xiǎn)偏好的數(shù)學(xué)表述伯努利（Bernou25風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)定義如果F(x)是二項(xiàng)分布，則，風(fēng)險(xiǎn)厭惡——伯努利效用函數(shù)為凹函數(shù)嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)厭惡——嚴(yán)格不等式，u’>0，u’’<0定理2.1：對(duì)任意F，有風(fēng)險(xiǎn)厭惡——效用函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)證明需要使用Jensen不等式。同樣：可以定義風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)偏好風(fēng)險(xiǎn)厭惡的數(shù)學(xué)定義如果F(x)是二項(xiàng)分布，則，26絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有大有小，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)ρ，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，數(shù)學(xué)定義如下Pratt(1964)定義絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，必需給予的溢價(jià)補(bǔ)償也越大絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度有大有小，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡27相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Pratt(1964)定義相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，所要求的單位方差的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)補(bǔ)償也越高

相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)Pratt(1964)定義相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡28風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)投資人決策影響的實(shí)例說明

例2.2。當(dāng)前財(cái)富為W=a+(W－a)今后財(cái)富X＝W－a+a(1+r)=W+ar，優(yōu)化問題關(guān)于a是凹函數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)＝0，（2.17）a＊是解，是W的函數(shù)，（2.17）中對(duì)W求導(dǎo)數(shù)，（2.18）。風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)厭惡對(duì)投資人決策影響的實(shí)例說明例2.2。當(dāng)前29隨W的變化，風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的a的動(dòng)態(tài)變化假設(shè)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)不隨W增加而增加對(duì)r＞0和r＜0，都可得到（2.20a）從（2.17）得（2.21）u是凹函數(shù)，得（2.21a）隨W的變化，風(fēng)險(xiǎn)厭惡投資者的a的動(dòng)態(tài)變化30最后風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資人投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富隨著總財(cái)富的上升而增加

關(guān)于絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)不隨W增加而增加經(jīng)過推導(dǎo)可知，要求三階導(dǎo)數(shù)為正數(shù)度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡在于比較不同投資人對(duì)同一風(fēng)險(xiǎn)決策的態(tài)度。在資產(chǎn)定價(jià)理論中，一般假定存在一個(gè)典型性投資人。需要處理典型投資人對(duì)不同資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與收益的判斷，即資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的度量問題。最后31第二節(jié)隨機(jī)占優(yōu)怎樣才能認(rèn)為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風(fēng)險(xiǎn)？簡(jiǎn)化的風(fēng)險(xiǎn)比較：均值-方差效用用方差作為唯一標(biāo)準(zhǔn)不可行（期望可能越大）即使一種資產(chǎn)X預(yù)期收益等于另一資產(chǎn)Y，而X方差小于Y，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者也不一定偏好于X

如下面的例子第二節(jié)隨機(jī)占優(yōu)怎樣才能認(rèn)為資產(chǎn)A比資產(chǎn)B更具風(fēng)險(xiǎn)？32E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=7如果選擇風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)E(X)=E(Y)=2，Var(X)=4，Var(Y)=733均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中心矩。只有當(dāng)包括三階矩以上為0時(shí)，均值方差效用才與真實(shí)的預(yù)期效用一致。兩端取期望（w是期望值，數(shù)值），利用均值—方差效用不完整性說明只考慮均值和方差，沒有考慮更高階中34資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量的一般方法Rothschild—Stiglitz更一般的比較不同資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分析框架比較資產(chǎn)收益的分布，而不比較不同投資人所依賴的不同的效用函數(shù)。一階隨機(jī)占優(yōu)、二階隨機(jī)占優(yōu)以及均值不變下的分布擴(kuò)展MPS假設(shè)有兩種資產(chǎn)A和B。A收益服從分布F（·），B服從G（·），且F（1）=G（1）=1，（方便起見，令收益均屬于區(qū)間[0，1]）。資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)度量的一般方法Rothschild—Stiglitz35一階隨機(jī)占優(yōu)FSDFirst-orderStochasticDominanceFSD定義：對(duì)任意非減的函數(shù)u：R→R，定理2.1是FSD的等價(jià)條件。注意不等號(hào)方向一階隨機(jī)占優(yōu)FSDFirst-orderStochast36FSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0zFSd的圖形表示1FB(z)FA(z)1F(z)0z37二階隨機(jī)占優(yōu)SSDSecond-orderStochasticDominanceSSD定義：F二階占優(yōu)于G，當(dāng)且僅當(dāng)且對(duì)某些X值的集合，不等號(hào)成立。符號(hào)可以證明，如果SSD成立，則，投資人更偏好A（或F），B（或G）更具風(fēng)險(xiǎn)SSD的三個(gè)等價(jià)條件二階隨機(jī)占優(yōu)SSDSecond-orderStocha38SSD圖形表示取正號(hào)取正號(hào)+z取負(fù)號(hào)FA(z)FB(z)z*1yF(z)0SSD圖形表示取正號(hào)取正號(hào)+z取負(fù)號(hào)FA(z)FB(z)z*39SSD其他特性SSD的3個(gè)