飛機(jī)飛行的基本原理課件

第三章不可壓無粘流空氣動力學(xué)

§3.1伯努利方程及應(yīng)用

§3.5庫塔－儒可夫斯基升力定理

§3.2流動控制方程

§3.3方程的基本解

§3.4基本解疊加

§3.6關(guān)于真實(shí)流動第三章不可壓無粘流空氣動力學(xué)§3.1伯努利方程1§3.1伯努利方程及應(yīng)用無旋流中的積分有旋流中的積分流體力學(xué)中的動量定理返回第三章目錄§3.1伯努利方程及應(yīng)用無旋流中的積分返回第三章目錄2§3.1返回§3.1無旋流中的積分在無旋流中在速度位存在式中U為重力勢函數(shù)

§3.1返回§3.1無旋流中的積分在無旋流中在速度位存在式3§3.1返回§3.1利用將方程求和得§3.1返回§3.1利用將方程求和得4§3.1返回§3.1積分后得

稱為拉格朗日積分，可用于可壓縮非定常位流當(dāng)流體是不可壓縮流體時(shí)

§3.1返回§3.1積分后得稱為拉格朗日積分，可用于可壓縮非5§3.1返回§3.1對于不可壓定常流，，而任意函數(shù)為一常數(shù)C

或理想不可壓定常流的伯努利方程

§3.1返回§3.1對于不可壓定常流，，而任意6§3.1返回§3.1有旋流中的積分有旋流動中歐拉方程可沿流線進(jìn)行積分利用流線微分方程代入得§3.1返回§3.1有旋流中的積分有旋流動中歐拉方程可沿流線7§3.1返回§3.1將上式作和，得在定常無粘流中，總壓在全無旋流場中均為一常數(shù)，而在有旋流場中，同一流線上的總壓相同，不同流線上的總壓是不同的?！?.1返回§3.1將上式作和，得在定常無粘流中，8§3.1返回§3.1流體力學(xué)中的動量定理流體力學(xué)的動量定理將提供這一關(guān)系式。它是以前各節(jié)所用的牛頓運(yùn)動定律的推廣并可陳述為：一群固定身分質(zhì)點(diǎn)的動量對時(shí)間的變化率在大小和方向都與作用在這群質(zhì)點(diǎn)上的力相同?！?.1返回§3.1流體力學(xué)中的動量定理流體力學(xué)的動9§3.1返回§3.1§3.1返回§3.110§3.2流動控制方程返回第三章目錄平面無旋流有位函數(shù)存在，這是無旋條件決定的。這位函數(shù)在不可壓流動中應(yīng)該滿足的方程是拉普拉斯方程：§3.2流動控制方程返回第三章目錄平面無旋流有位函數(shù)11§3.2返回§3.2在數(shù)學(xué)上，凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)都叫調(diào)和函數(shù)。要找一個能代表具體的繞流問題的解，就是找一個能符合具體繞流問題的邊界條件的調(diào)和函數(shù)。流動的位函數(shù)所應(yīng)滿足的方程只有一個，流體所流過的物體形狀各不相同，流動情況當(dāng)然是不相同的。要解這種問題，在數(shù)學(xué)上稱為邊值問題?！?.2返回§3.2在數(shù)學(xué)上，凡是滿足拉普拉斯方程的12§3.2返回§3.2流體動力學(xué)中的邊值問題，視在邊界上所給的條件是對位函數(shù)自身值的規(guī)定，還是對它的法向?qū)?shù)的規(guī)定，而分為三類：(1)第一邊值問題，又稱狄利里希特問題給定在邊界上的值；(2)第二邊值問題，又稱諾曼問題給定在邊界上的值；(3)第三邊值問題，即混合邊值問題，又稱龐卡萊問題在一部分邊界上給定值，另一部分邊界給定值?！?.2返回§3.2流體動力學(xué)中的邊值問題，視在邊界上所13§3.2返回§3.2在二維問題里除了位函數(shù)之外，還有一個流函數(shù)，它也是描述整個流場的。流函數(shù)存在的條件是二維的連續(xù)方程：

§3.2返回§3.2在二維問題里除了位函數(shù)之外，還有14§3.2返回§3.2這個式子可以看作是成為全微分的必要和充分條件。現(xiàn)在記這個全微分為：也就是說定義流函數(shù)為：

，

§3.2返回§3.2這個式子可以看作是15§3.2返回§3.2極坐標(biāo)的連續(xù)方程是§3.2返回§3.2極坐標(biāo)的連續(xù)方程是16§3.2返回§3.2流線上任何一點(diǎn)的流速必與流線的切線同一方向，當(dāng)然流線的法線方向的速度分量為零。所以流線是流動所不能穿越的線。流函數(shù)的值是有物理意義的，它代表流量。也像位函數(shù)一樣，其絕對值無關(guān)緊要，能表示流量的是兩個流函數(shù)的值之差?！?.2返回§3.2流線上任何一點(diǎn)的流速必與流線的切17§3.2返回§3.2流函數(shù)的存在條件是二維的連續(xù)方程。連續(xù)方程總是成立的，所以只要是平面流就有流函數(shù)存在，不論考慮不考慮粘性都存在。

如果流動又是無旋的，那么把用表達(dá)的速度分量代入無旋條件的話，便得所應(yīng)滿足的偏微分方程：§3.2返回§3.2流函數(shù)的存在條件是二維的連續(xù)方程18§3.2返回§3.2要描述一個具體的平面無旋不可壓流動，和找到一個就行了。有了或，流場上各點(diǎn)的速度立即可以從函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求得。這兩個函數(shù)關(guān)系很密切，有了一個，另一個也不難找到。在流場上作的曲線是流線；作的曲線稱等位線，流線和等位線彼此正交的。§3.2返回§3.2要描述一個具體的平面無旋不可壓流19§3.2返回§3.2和兩函數(shù)之間有如下的關(guān)系：這是說二者滿足柯西－黎曼方程§3.2返回§3.2和兩函數(shù)之20§3.3方程的基本解

直勻流點(diǎn)源

點(diǎn)渦

偶極子返回第三章目錄§3.3方程的基本解直勻流返回第三章目錄213.3拉普拉斯方程

，極坐標(biāo)的連續(xù)方程

返回§3.33.3拉普拉斯方程，極坐標(biāo)的連續(xù)方程返回§3.3223.3直勻流直勻流是一種最簡單的平行流動。流速的值和指向都是常數(shù)。流向?qū)ψ鴺?biāo)軸而言可以是斜的。

返回§3.33.3直勻流直勻流是一種最簡單的平行流動。流速的值和指向都是233.3流動的位函數(shù)

兩個分速返回§3.33.3流動的位函數(shù)兩個分速返回§3.3243.3流動的流函數(shù)

流線常數(shù)，是平行直線族

常用的是與軸平行，從左邊流來的直勻流，其位函數(shù)和流函數(shù)分別是：

返回§3.33.3流動的流函數(shù)流線常數(shù)，是平行直線族253.3點(diǎn)源

源可正可負(fù)。正源是從流場某點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。負(fù)源（又名匯）是一種與正源的流向相反的向心流動。表達(dá)這種流動往往采用平面極坐標(biāo)系。

返回§3.33.3點(diǎn)源源可正可負(fù)。正源是從流場某點(diǎn)有一263.3如果把點(diǎn)源放在原點(diǎn)，則流動只有，而無。

記半徑處的流速為，則源的總流量返回§3.33.3如果把點(diǎn)源放在原點(diǎn)，則流動只有，記半徑273.3由極坐標(biāo)的連續(xù)方程可知

返回§3.33.3由極坐標(biāo)的連續(xù)方程可知返回§3.3283.3等位線是以原點(diǎn)為圓心的圓族

流線是從源所在的那一點(diǎn)起的輻線族返回§3.33.3等位線是以原點(diǎn)為圓心的圓族流線是從源所在的那一點(diǎn)起的293.3如果源的位置不在原點(diǎn)返回§3.33.3如果源的位置不在原點(diǎn)返回§3.3303.3點(diǎn)渦

點(diǎn)渦是渦索的一種極限情況，假設(shè)渦核小到趨近于零，這時(shí)整個的平面流場上除了渦所在的那一點(diǎn)之外，全是無旋流，流動作繞渦點(diǎn)的循環(huán)運(yùn)動，只有圓周速度，其值與距離渦點(diǎn)的距離成反比。

返回§3.33.3點(diǎn)渦點(diǎn)渦是渦索的一種極限情況，假設(shè)渦313.3若把點(diǎn)渦放在坐標(biāo)原點(diǎn)，則只有，而無，

位函數(shù)和流函數(shù)恰好和源的這兩個函數(shù)對調(diào)

是個常數(shù)，稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度。返回§3.33.3若把點(diǎn)渦放在坐標(biāo)原點(diǎn)，則只有323.3正代表的流動是反時(shí)針轉(zhuǎn)動。在這個流場上沿一條封閉圍線計(jì)算環(huán)量時(shí)，只要這條圍線包有點(diǎn)渦在內(nèi)，算得的環(huán)量都是，而與圍線的具體形狀無關(guān)。這一點(diǎn)是由斯托克斯定理所確定的。凡是不包有點(diǎn)渦的圍線，計(jì)算環(huán)量時(shí)，結(jié)果都是零。返回§3.33.3正代表的流動是反時(shí)針轉(zhuǎn)動。333.3位于的點(diǎn)渦，其位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.33.3位于的點(diǎn)渦，其位函數(shù)和流函數(shù)分343.3偶極子

等強(qiáng)度的一個正源和一個負(fù)源相距，假設(shè)都放在軸線上，負(fù)源的原點(diǎn)，正源在處返回§3.33.3偶極子等強(qiáng)度的一個正源和一個負(fù)源相距353.3流體從正源出來，從負(fù)源進(jìn)去用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.33.3流體從正源出來，從負(fù)源進(jìn)去用疊加原理，位函數(shù)和流函363.3現(xiàn)在要考慮的是一種特殊的極限情況：，但同時(shí)規(guī)定隨之增大，使保持不變返回§3.33.3現(xiàn)在要考慮的是一種特殊的極限情況：373.3返回§3.33.3返回§3.3383.3流線是上下兩族圓，圓心都在軸上，且各圓都經(jīng)過原點(diǎn)。兩分速是：其對應(yīng)的流函數(shù)是：返回§3.33.3流線是上下兩族圓，圓心都在軸上，且各圓都經(jīng)過原點(diǎn)。393.3要注意的是偶極子是一條直線上一正源和一負(fù)源無限趨近的極限情況，它是有軸線的，原來放正源和負(fù)源的那條直線就是它的軸線如果偶極子的正指向和負(fù)軸夾成角返回§3.33.3要注意的是偶極子是一條直線上一正源和一負(fù)源無限403.3如果偶極子位于，其軸與軸成角那么：

返回§3.33.3如果偶極子位于，其軸與413.3基本解就只有這幾種。下面一節(jié)將舉幾個例子，用這些基本解疊加以獲得有一定實(shí)際意義的繞流圖。返回§3.33.3基本解就只有這幾種。下面一節(jié)將舉幾個例子，用這42§3.4基本解的疊加

直勻流加點(diǎn)源直勻流加軸向順流的偶極子直勻流加偶極子加點(diǎn)渦返回第三章目錄§3.4基本解的疊加直勻流加點(diǎn)源返回第三章目錄433.4直勻流平行于軸，來自負(fù)軸，點(diǎn)源強(qiáng)度，放在坐標(biāo)原點(diǎn)上。組合的位函數(shù)和流函數(shù)分別是:直勻流加點(diǎn)源返回§3.43.4直勻流平行于軸，來自負(fù)軸，點(diǎn)源強(qiáng)443.4流速是:返回§3.43.4流速是:返回§3.4453.4在負(fù)軸上有個點(diǎn)，流速降為零的這個點(diǎn)是駐點(diǎn)。它的位置在，這個是由直勻流和源強(qiáng)二者所決定的，因?yàn)檫@一點(diǎn)上的恰好被源的流速所抵消。流譜如圖所示:

返回§3.43.4返回§3.4463.4其中有一條的零流線，特別值得注意。這條流線的方程是：返回§3.43.4其中有一條的零流線，特別值得返回§3473.4符合這個方程的除軸線外，有一條經(jīng)過點(diǎn)的曲線。這條流線可以看作是一道圍墻，它把流場劃分成兩部分。返回§3.43.4返回§3.4483.4流場上各點(diǎn)的壓強(qiáng)系數(shù)用伯努利公式表達(dá)：

物面上的壓強(qiáng)系數(shù)為：

返回§3.43.4返回§3.4493.4直勻流加軸向順流的偶極子直勻流平行于軸，偶極子的軸線也與軸一致，指向來流。組合的位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.43.4直勻流加軸向順流的偶極子直勻流平行于軸，偶極子503.4的零流線除軸線之外，還有一個圓，其半徑。用來表達(dá)的話，和分別是：返回§3.43.4返回§3.4513.4流譜圖壓強(qiáng)系數(shù)的分布曲線返回§3.43.4返回§3.4523.4兩個流速是：用在圓上，則有在圓上，合速度只有：返回§3.43.4返回§3.4533.4圓上的壓強(qiáng)分布是：返回§3.43.4返回§3.4543.4直勻流加偶極子加點(diǎn)渦前面直勻流加偶極子得到繞圓柱的流動，現(xiàn)在再在圓心處放一個點(diǎn)渦。加一個（順時(shí)針）的點(diǎn)渦，其位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.43.4返回§3.4553.4兩個分速是：仍是一條流線。在這個圓上，，?，F(xiàn)在駐點(diǎn)不在和處，其位置可根據(jù)定出來：返回§3.43.4返回§3.456§3.5庫塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目錄繞圓柱的有環(huán)量運(yùn)動庫塔－儒可夫斯基定理§3.5庫塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目錄繞圓柱的有573.5繞圓柱的有環(huán)量流動上一小節(jié)中，我們由直勻流和偶極子再加上點(diǎn)渦疊加獲得的流動，其實(shí)就是繞圓柱的有環(huán)量的流動。它的流譜圖是：返回§3.53.5繞圓柱的有環(huán)量流動上一小節(jié)中，我們由直勻流和偶583.5由上節(jié)可知，圓柱表面的速度是：返回§3.53.5由上節(jié)可知，圓返回§3.5593.5對于繞圓柱的無環(huán)量流動，前后駐點(diǎn)位于軸和圓柱的兩個交點(diǎn)處，即和。當(dāng)加上點(diǎn)渦以后，繞圓柱的有環(huán)量流動的駐點(diǎn)位置將沿圓柱表面移動。由上節(jié)可知，駐點(diǎn)位置由下式?jīng)Q定：返回§3.53.5對于繞圓柱的無環(huán)量流動，前后駐點(diǎn)由上節(jié)可知，駐點(diǎn)603.5由上式可見，當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大時(shí)，駐點(diǎn)將向下移動；隨點(diǎn)渦的強(qiáng)度繼續(xù)增大到時(shí)，兩個駐點(diǎn)在軸上點(diǎn)處重合；點(diǎn)渦強(qiáng)度進(jìn)一步增大，上式就不再成立了，駐點(diǎn)將離開圓柱表面，位于圓柱之下。下面給出了幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度范圍時(shí)的駐點(diǎn)位置示意圖。返回§3.53.5由上式可見，當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大時(shí)，駐點(diǎn)將返回§3.5613.5左右對稱的，但上下卻不再對稱了。因此，在垂直于遠(yuǎn)前方來流速度方向，應(yīng)該有作用力存在。這個力稱之為升力，可以通過沿圓柱表面壓強(qiáng)系數(shù)的積分而獲得。由圖可見，對于繞圓柱的有環(huán)量流動情況，流譜仍然是3.5左右對稱的，但上下卻不再對稱了。因此，由圖可見，對于繞623.5庫塔-儒可夫斯基定理可以從動量定理出發(fā)，確定繞圓柱體有環(huán)量時(shí)的流動的升力。返回§3.53.5庫塔-儒可夫斯基定理可以從動量定理出發(fā)，確定繞633.5以原點(diǎn)為中心，畫一個半徑為的大控制面，整個控制面還包括圓柱表面及連接和的兩條割線，見左圖中的虛線。返回§3.53.5以原點(diǎn)為中心，畫返回§3.5643.5在連結(jié)和的兩條割線上的壓強(qiáng)和動量的變化都相互抵消了，對整個結(jié)果沒有影響，可不考慮。上空氣動力作用是物體的合力，在所研究的情況下，左右對稱，沒有阻力。因此，在圓柱表面上作用的只有升力，用表示。返回§3.53.5在連結(jié)和的兩條割線上的壓強(qiáng)和動量返回§653.5最后，的結(jié)果為：返回§3.53.5最后，的結(jié)果為：返回§3.5663.5上式表明，作用在垂直于紙面單位長度圓柱體上的升力，其大小等于來流的速度乘以流體密度再乘以環(huán)量，指向是把來流方向逆著環(huán)量的方面旋轉(zhuǎn)。升力等于這個結(jié)果稱之為庫塔-儒可夫斯基定理。返回§3.53.5上式表明，作用在垂直于紙面單位長度返回§3.5673.5這里雖然是通過繞圓柱的流動來證明庫塔-儒可夫斯基定理的，但是可以把其結(jié)論推廣到一般形狀的封閉物體中去。因?yàn)?，只要物體是封閉的不是半無限體，代表物體作用的點(diǎn)源和點(diǎn)匯的強(qiáng)度總和必然相等。返回§3.53.5這里雖然是通過繞圓柱的流動來證明庫返回§3.68§3.6關(guān)于真實(shí)流動

二維通道中的流動繞圓柱的流動繞二維翼型的流動返回第三章目錄§3.6關(guān)于真實(shí)流動二維通道中的流動返回第三章目錄693.6考慮平行壁面構(gòu)成的二維通道中的定常流動，通道進(jìn)口截面上的流動參數(shù)均勻分布，且速度平行于通道中心線。如果流體是理想的且不受外力作用，則這一流動極為簡單，即流體的速度和壓力在整個通道中到處均勻分布，見下圖:二維通道中的流動返回§3.63.6考慮平行壁面構(gòu)成的二維通道中的定常二維通道中的流703.6返回§3.63.6返回§3.6713.6在這種情況下，流體在流動過程中沒有任何機(jī)械能的損失，流體以其一開始所具有的慣性即可永遠(yuǎn)維持定常均勻的流動?，F(xiàn)在，考察真實(shí)流體通過同一通道的流動?？梢园l(fā)現(xiàn)，與理想流體流動不同的是真實(shí)流體附著于通道內(nèi)壁，因而固壁上流體的速度為零。

返回§3.63.6在這種情況下，流體在流動過程中沒有現(xiàn)在，723.6對于真實(shí)流體在上述通道中的流動，可以發(fā)現(xiàn)兩種情況：1.當(dāng)雷諾數(shù)小于某一臨界值時(shí)，邊界層內(nèi)的流動和完全發(fā)展的流動都是層流的;2.當(dāng)雷諾數(shù)大于某一臨界值時(shí)，邊界層內(nèi)的流動在進(jìn)口附近是層流的，但向下游

經(jīng)過一段距離后，就開始過渡為湍流流動；返回§3.63.6對于真實(shí)流體在上述通道中的流動，可以1.當(dāng)雷諾數(shù)小于某733.6在上述兩種情況中，無論對于哪種情況，流體在流動過程中都受到摩擦阻力，流體所具有的機(jī)械能沿流動方向減小，因而壓力沿流動方向也不斷減小。下面，再來看不平行壁面構(gòu)成的二維通道——收縮或擴(kuò)張通道中的流動。在這兩種通道中，如果流體是理想流體，則流動可認(rèn)為是輻射對稱的，即二維點(diǎn)源或點(diǎn)匯流動的一部分，見下圖：返回§3.63.6在上述兩種情況中，無論對于哪種情況，下743.6如果流體是真實(shí)流體，則在上述兩種通道中都不存在完全發(fā)展的流動。返回§3.63.6如果流體是真實(shí)流體，則在上述兩種通道返回§3.6753.6尤其復(fù)雜的是擴(kuò)張通道中的流動，實(shí)驗(yàn)觀察表明，在亞音速流動情況下，當(dāng)通道擴(kuò)張角大于某一角度值時(shí)，流動可能先后與通道兩側(cè)的內(nèi)壁面分離，形成流動方向與主流相反的回流區(qū)，同時(shí)伴隨著大尺度渦旋的產(chǎn)生和流動的整體不穩(wěn)定性。返回§3.63.6尤其復(fù)雜的是擴(kuò)張通道中的流動，實(shí)驗(yàn)返回§3.6763.6繞圓柱的流動考慮不可壓縮流體繞圓柱的流動。如果流體是理想流體，位勢理論給出了這一流動的精確解，在極坐標(biāo)中速度分布為：返回§3.63.6繞圓柱的流動考慮不可壓縮流體繞圓柱的流動。如773.6這里，、為極坐標(biāo)系中的速度分量，為圓柱半徑。這一流動的流線和壓力系數(shù)的變化曲線如圖所示：返回§3.63.6這里，、為極坐標(biāo)系中的速度分783.6顯然，由于表面壓力分布的對稱性，圓柱所受的流體阻力和升力皆等于零，這一結(jié)果就是有名的達(dá)朗貝爾佯謬。下面，考慮真實(shí)流體繞圓柱的流動。根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察，可以發(fā)現(xiàn)，在不同的雷諾數(shù)范疇，有完全不同的流動形態(tài)：返回§3.63.6顯然，由于表面壓力分布的對稱性，圓下面793.6返回§3.63.6返回§3.6803.6在真實(shí)液體繞流的情況下，圓柱必然受到流體的作用力。流體的阻力由兩部分組成：一部分是作用于圓柱表面的切應(yīng)力在流動方向的分量的積分，稱為摩擦阻力；另一部分是作用于圓柱表面的壓力在流動方向的分量的積分，稱為壓差阻力。返回§3.63.6在真實(shí)液體繞流的情況下，圓柱必然受到返回§3.6813.6繞二維翼型的流動對于理想不可壓縮流體繞二維翼型的定常流動，根據(jù)位勢理論，可求解翼型周圍的速度場，并求出翼型表面的壓力分布以及翼型的升力系數(shù)。位勢流理論的計(jì)算，必然得到達(dá)朗貝爾佯謬，即翼型的阻力系數(shù)為零。返回§3.63.6繞二維翼型的流動對于理想不可壓縮流體繞二維翼823.6現(xiàn)在，來考慮大雷諾數(shù)情況下真實(shí)流體繞二維翼型的流動。如果來流攻角（無窮遠(yuǎn)處速度與翼弦的夾角）不大（比如小于），流體平滑地繞翼型流動而不發(fā)生明顯的邊界層分離。這時(shí)，真實(shí)流體效應(yīng)（粘性）只在緊靠翼型流動而不發(fā)生明顯的邊界層的。返回§3.63.6現(xiàn)在，來考慮大雷諾數(shù)情況下真實(shí)流體返回§3.833.6由于在上述情況下，邊界層和尾跡都是厚度極小的薄層，繞翼型的流場（在邊界層和尾跡之外）基本上與理想流體繞同一翼型的流動相同；翼型表面壓力分布和翼型升力系數(shù)的實(shí)測值與理想流體位勢理論所得結(jié)果非常接近。在這種情況下，翼型所受的阻力主要是摩擦阻力。阻力的實(shí)測值雖不為零，但阻力與升力的比值頗小。返回§3.63.6由于在上述情況下，邊界層和尾跡都是厚返回§3.6843.6如果來流攻角稍稍增大，在翼型表面將發(fā)生分離現(xiàn)象。對于較厚的翼型，通常在后緣先發(fā)生分離；對于較薄的翼型，則通常在前緣形成局部的分離區(qū)。如圖所示：返回§3.63.6如果來流攻角稍稍增大853.6如果來流進(jìn)一步增大，則無論對于哪種翼型，都會發(fā)生從前緣開始的整個翼型表面上的分離。這種分離現(xiàn)象又稱為失速。失速發(fā)生后，翼型表面的壓力分布完全偏離理想流體位勢理論所得結(jié)果，翼型的升力顯著下降，阻力顯著增大。返回§3.63.6如果來流進(jìn)一步增大，則無返回§3.686第三章不可壓無粘流空氣動力學(xué)

§3.1伯努利方程及應(yīng)用

§3.5庫塔－儒可夫斯基升力定理

§3.2流動控制方程

§3.3方程的基本解

§3.4基本解疊加

§3.6關(guān)于真實(shí)流動第三章不可壓無粘流空氣動力學(xué)§3.1伯努利方程87§3.1伯努利方程及應(yīng)用無旋流中的積分有旋流中的積分流體力學(xué)中的動量定理返回第三章目錄§3.1伯努利方程及應(yīng)用無旋流中的積分返回第三章目錄88§3.1返回§3.1無旋流中的積分在無旋流中在速度位存在式中U為重力勢函數(shù)

§3.1返回§3.1無旋流中的積分在無旋流中在速度位存在式89§3.1返回§3.1利用將方程求和得§3.1返回§3.1利用將方程求和得90§3.1返回§3.1積分后得

稱為拉格朗日積分，可用于可壓縮非定常位流當(dāng)流體是不可壓縮流體時(shí)

§3.1返回§3.1積分后得稱為拉格朗日積分，可用于可壓縮非91§3.1返回§3.1對于不可壓定常流，，而任意函數(shù)為一常數(shù)C

或理想不可壓定常流的伯努利方程

§3.1返回§3.1對于不可壓定常流，，而任意92§3.1返回§3.1有旋流中的積分有旋流動中歐拉方程可沿流線進(jìn)行積分利用流線微分方程代入得§3.1返回§3.1有旋流中的積分有旋流動中歐拉方程可沿流線93§3.1返回§3.1將上式作和，得在定常無粘流中，總壓在全無旋流場中均為一常數(shù)，而在有旋流場中，同一流線上的總壓相同，不同流線上的總壓是不同的?！?.1返回§3.1將上式作和，得在定常無粘流中，94§3.1返回§3.1流體力學(xué)中的動量定理流體力學(xué)的動量定理將提供這一關(guān)系式。它是以前各節(jié)所用的牛頓運(yùn)動定律的推廣并可陳述為：一群固定身分質(zhì)點(diǎn)的動量對時(shí)間的變化率在大小和方向都與作用在這群質(zhì)點(diǎn)上的力相同?！?.1返回§3.1流體力學(xué)中的動量定理流體力學(xué)的動95§3.1返回§3.1§3.1返回§3.196§3.2流動控制方程返回第三章目錄平面無旋流有位函數(shù)存在，這是無旋條件決定的。這位函數(shù)在不可壓流動中應(yīng)該滿足的方程是拉普拉斯方程：§3.2流動控制方程返回第三章目錄平面無旋流有位函數(shù)97§3.2返回§3.2在數(shù)學(xué)上，凡是滿足拉普拉斯方程的函數(shù)都叫調(diào)和函數(shù)。要找一個能代表具體的繞流問題的解，就是找一個能符合具體繞流問題的邊界條件的調(diào)和函數(shù)。流動的位函數(shù)所應(yīng)滿足的方程只有一個，流體所流過的物體形狀各不相同，流動情況當(dāng)然是不相同的。要解這種問題，在數(shù)學(xué)上稱為邊值問題?！?.2返回§3.2在數(shù)學(xué)上，凡是滿足拉普拉斯方程的98§3.2返回§3.2流體動力學(xué)中的邊值問題，視在邊界上所給的條件是對位函數(shù)自身值的規(guī)定，還是對它的法向?qū)?shù)的規(guī)定，而分為三類：(1)第一邊值問題，又稱狄利里希特問題給定在邊界上的值；(2)第二邊值問題，又稱諾曼問題給定在邊界上的值；(3)第三邊值問題，即混合邊值問題，又稱龐卡萊問題在一部分邊界上給定值，另一部分邊界給定值?！?.2返回§3.2流體動力學(xué)中的邊值問題，視在邊界上所99§3.2返回§3.2在二維問題里除了位函數(shù)之外，還有一個流函數(shù)，它也是描述整個流場的。流函數(shù)存在的條件是二維的連續(xù)方程：

§3.2返回§3.2在二維問題里除了位函數(shù)之外，還有100§3.2返回§3.2這個式子可以看作是成為全微分的必要和充分條件。現(xiàn)在記這個全微分為：也就是說定義流函數(shù)為：

，

§3.2返回§3.2這個式子可以看作是101§3.2返回§3.2極坐標(biāo)的連續(xù)方程是§3.2返回§3.2極坐標(biāo)的連續(xù)方程是102§3.2返回§3.2流線上任何一點(diǎn)的流速必與流線的切線同一方向，當(dāng)然流線的法線方向的速度分量為零。所以流線是流動所不能穿越的線。流函數(shù)的值是有物理意義的，它代表流量。也像位函數(shù)一樣，其絕對值無關(guān)緊要，能表示流量的是兩個流函數(shù)的值之差?！?.2返回§3.2流線上任何一點(diǎn)的流速必與流線的切103§3.2返回§3.2流函數(shù)的存在條件是二維的連續(xù)方程。連續(xù)方程總是成立的，所以只要是平面流就有流函數(shù)存在，不論考慮不考慮粘性都存在。

如果流動又是無旋的，那么把用表達(dá)的速度分量代入無旋條件的話，便得所應(yīng)滿足的偏微分方程：§3.2返回§3.2流函數(shù)的存在條件是二維的連續(xù)方程104§3.2返回§3.2要描述一個具體的平面無旋不可壓流動，和找到一個就行了。有了或，流場上各點(diǎn)的速度立即可以從函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求得。這兩個函數(shù)關(guān)系很密切，有了一個，另一個也不難找到。在流場上作的曲線是流線；作的曲線稱等位線，流線和等位線彼此正交的?！?.2返回§3.2要描述一個具體的平面無旋不可壓流105§3.2返回§3.2和兩函數(shù)之間有如下的關(guān)系：這是說二者滿足柯西－黎曼方程§3.2返回§3.2和兩函數(shù)之106§3.3方程的基本解

直勻流點(diǎn)源

點(diǎn)渦

偶極子返回第三章目錄§3.3方程的基本解直勻流返回第三章目錄1073.3拉普拉斯方程

，極坐標(biāo)的連續(xù)方程

返回§3.33.3拉普拉斯方程，極坐標(biāo)的連續(xù)方程返回§3.31083.3直勻流直勻流是一種最簡單的平行流動。流速的值和指向都是常數(shù)。流向?qū)ψ鴺?biāo)軸而言可以是斜的。

返回§3.33.3直勻流直勻流是一種最簡單的平行流動。流速的值和指向都是1093.3流動的位函數(shù)

兩個分速返回§3.33.3流動的位函數(shù)兩個分速返回§3.31103.3流動的流函數(shù)

流線常數(shù)，是平行直線族

常用的是與軸平行，從左邊流來的直勻流，其位函數(shù)和流函數(shù)分別是：

返回§3.33.3流動的流函數(shù)流線常數(shù)，是平行直線族1113.3點(diǎn)源

源可正可負(fù)。正源是從流場某點(diǎn)有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。負(fù)源（又名匯）是一種與正源的流向相反的向心流動。表達(dá)這種流動往往采用平面極坐標(biāo)系。

返回§3.33.3點(diǎn)源源可正可負(fù)。正源是從流場某點(diǎn)有一1123.3如果把點(diǎn)源放在原點(diǎn)，則流動只有，而無。

記半徑處的流速為，則源的總流量返回§3.33.3如果把點(diǎn)源放在原點(diǎn)，則流動只有，記半徑1133.3由極坐標(biāo)的連續(xù)方程可知

返回§3.33.3由極坐標(biāo)的連續(xù)方程可知返回§3.31143.3等位線是以原點(diǎn)為圓心的圓族

流線是從源所在的那一點(diǎn)起的輻線族返回§3.33.3等位線是以原點(diǎn)為圓心的圓族流線是從源所在的那一點(diǎn)起的1153.3如果源的位置不在原點(diǎn)返回§3.33.3如果源的位置不在原點(diǎn)返回§3.31163.3點(diǎn)渦

點(diǎn)渦是渦索的一種極限情況，假設(shè)渦核小到趨近于零，這時(shí)整個的平面流場上除了渦所在的那一點(diǎn)之外，全是無旋流，流動作繞渦點(diǎn)的循環(huán)運(yùn)動，只有圓周速度，其值與距離渦點(diǎn)的距離成反比。

返回§3.33.3點(diǎn)渦點(diǎn)渦是渦索的一種極限情況，假設(shè)渦1173.3若把點(diǎn)渦放在坐標(biāo)原點(diǎn)，則只有，而無，

位函數(shù)和流函數(shù)恰好和源的這兩個函數(shù)對調(diào)

是個常數(shù)，稱為點(diǎn)渦的強(qiáng)度。返回§3.33.3若把點(diǎn)渦放在坐標(biāo)原點(diǎn)，則只有1183.3正代表的流動是反時(shí)針轉(zhuǎn)動。在這個流場上沿一條封閉圍線計(jì)算環(huán)量時(shí)，只要這條圍線包有點(diǎn)渦在內(nèi)，算得的環(huán)量都是，而與圍線的具體形狀無關(guān)。這一點(diǎn)是由斯托克斯定理所確定的。凡是不包有點(diǎn)渦的圍線，計(jì)算環(huán)量時(shí)，結(jié)果都是零。返回§3.33.3正代表的流動是反時(shí)針轉(zhuǎn)動。1193.3位于的點(diǎn)渦，其位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.33.3位于的點(diǎn)渦，其位函數(shù)和流函數(shù)分1203.3偶極子

等強(qiáng)度的一個正源和一個負(fù)源相距，假設(shè)都放在軸線上，負(fù)源的原點(diǎn)，正源在處返回§3.33.3偶極子等強(qiáng)度的一個正源和一個負(fù)源相距1213.3流體從正源出來，從負(fù)源進(jìn)去用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.33.3流體從正源出來，從負(fù)源進(jìn)去用疊加原理，位函數(shù)和流函1223.3現(xiàn)在要考慮的是一種特殊的極限情況：，但同時(shí)規(guī)定隨之增大，使保持不變返回§3.33.3現(xiàn)在要考慮的是一種特殊的極限情況：1233.3返回§3.33.3返回§3.31243.3流線是上下兩族圓，圓心都在軸上，且各圓都經(jīng)過原點(diǎn)。兩分速是：其對應(yīng)的流函數(shù)是：返回§3.33.3流線是上下兩族圓，圓心都在軸上，且各圓都經(jīng)過原點(diǎn)。1253.3要注意的是偶極子是一條直線上一正源和一負(fù)源無限趨近的極限情況，它是有軸線的，原來放正源和負(fù)源的那條直線就是它的軸線如果偶極子的正指向和負(fù)軸夾成角返回§3.33.3要注意的是偶極子是一條直線上一正源和一負(fù)源無限1263.3如果偶極子位于，其軸與軸成角那么：

返回§3.33.3如果偶極子位于，其軸與1273.3基本解就只有這幾種。下面一節(jié)將舉幾個例子，用這些基本解疊加以獲得有一定實(shí)際意義的繞流圖。返回§3.33.3基本解就只有這幾種。下面一節(jié)將舉幾個例子，用這128§3.4基本解的疊加

直勻流加點(diǎn)源直勻流加軸向順流的偶極子直勻流加偶極子加點(diǎn)渦返回第三章目錄§3.4基本解的疊加直勻流加點(diǎn)源返回第三章目錄1293.4直勻流平行于軸，來自負(fù)軸，點(diǎn)源強(qiáng)度，放在坐標(biāo)原點(diǎn)上。組合的位函數(shù)和流函數(shù)分別是:直勻流加點(diǎn)源返回§3.43.4直勻流平行于軸，來自負(fù)軸，點(diǎn)源強(qiáng)1303.4流速是:返回§3.43.4流速是:返回§3.41313.4在負(fù)軸上有個點(diǎn)，流速降為零的這個點(diǎn)是駐點(diǎn)。它的位置在，這個是由直勻流和源強(qiáng)二者所決定的，因?yàn)檫@一點(diǎn)上的恰好被源的流速所抵消。流譜如圖所示:

返回§3.43.4返回§3.41323.4其中有一條的零流線，特別值得注意。這條流線的方程是：返回§3.43.4其中有一條的零流線，特別值得返回§31333.4符合這個方程的除軸線外，有一條經(jīng)過點(diǎn)的曲線。這條流線可以看作是一道圍墻，它把流場劃分成兩部分。返回§3.43.4返回§3.41343.4流場上各點(diǎn)的壓強(qiáng)系數(shù)用伯努利公式表達(dá)：

物面上的壓強(qiáng)系數(shù)為：

返回§3.43.4返回§3.41353.4直勻流加軸向順流的偶極子直勻流平行于軸，偶極子的軸線也與軸一致，指向來流。組合的位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.43.4直勻流加軸向順流的偶極子直勻流平行于軸，偶極子1363.4的零流線除軸線之外，還有一個圓，其半徑。用來表達(dá)的話，和分別是：返回§3.43.4返回§3.41373.4流譜圖壓強(qiáng)系數(shù)的分布曲線返回§3.43.4返回§3.41383.4兩個流速是：用在圓上，則有在圓上，合速度只有：返回§3.43.4返回§3.41393.4圓上的壓強(qiáng)分布是：返回§3.43.4返回§3.41403.4直勻流加偶極子加點(diǎn)渦前面直勻流加偶極子得到繞圓柱的流動，現(xiàn)在再在圓心處放一個點(diǎn)渦。加一個（順時(shí)針）的點(diǎn)渦，其位函數(shù)和流函數(shù)分別是：返回§3.43.4返回§3.41413.4兩個分速是：仍是一條流線。在這個圓上，，?，F(xiàn)在駐點(diǎn)不在和處，其位置可根據(jù)定出來：返回§3.43.4返回§3.4142§3.5庫塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目錄繞圓柱的有環(huán)量運(yùn)動庫塔－儒可夫斯基定理§3.5庫塔－儒可夫斯基升力定理返回第三章目錄繞圓柱的有1433.5繞圓柱的有環(huán)量流動上一小節(jié)中，我們由直勻流和偶極子再加上點(diǎn)渦疊加獲得的流動，其實(shí)就是繞圓柱的有環(huán)量的流動。它的流譜圖是：返回§3.53.5繞圓柱的有環(huán)量流動上一小節(jié)中，我們由直勻流和偶1443.5由上節(jié)可知，圓柱表面的速度是：返回§3.53.5由上節(jié)可知，圓返回§3.51453.5對于繞圓柱的無環(huán)量流動，前后駐點(diǎn)位于軸和圓柱的兩個交點(diǎn)處，即和。當(dāng)加上點(diǎn)渦以后，繞圓柱的有環(huán)量流動的駐點(diǎn)位置將沿圓柱表面移動。由上節(jié)可知，駐點(diǎn)位置由下式?jīng)Q定：返回§3.53.5對于繞圓柱的無環(huán)量流動，前后駐點(diǎn)由上節(jié)可知，駐點(diǎn)1463.5由上式可見，當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大時(shí)，駐點(diǎn)將向下移動；隨點(diǎn)渦的強(qiáng)度繼續(xù)增大到時(shí)，兩個駐點(diǎn)在軸上點(diǎn)處重合；點(diǎn)渦強(qiáng)度進(jìn)一步增大，上式就不再成立了，駐點(diǎn)將離開圓柱表面，位于圓柱之下。下面給出了幾種不同點(diǎn)渦強(qiáng)度范圍時(shí)的駐點(diǎn)位置示意圖。返回§3.53.5由上式可見，當(dāng)點(diǎn)渦強(qiáng)度變大時(shí)，駐點(diǎn)將返回§3.51473.5左右對稱的，但上下卻不再對稱了。因此，在垂直于遠(yuǎn)前方來流速度方向，應(yīng)該有作用力存在。這個力稱之為升力，可以通過沿圓柱表面壓強(qiáng)系數(shù)的積分而獲得。由圖可見，對于繞圓柱的有環(huán)量流動情況，流譜仍然是3.5左右對稱的，但上下卻不再對稱了。因此，由圖可見，對于繞1483.5庫塔-儒可夫斯基定理可以從動量定理出發(fā)，確定繞圓柱體有環(huán)量時(shí)的流動的升力。返回§3.53.5庫塔-儒可夫斯基定理可以從動量定理出發(fā)，確定繞1493.5以原點(diǎn)為中心，畫一個半徑為的大控制面，整個控制面還包括圓柱表面及連接和的兩條割線，見左圖中的虛線。返回§3.53.5以原點(diǎn)為中心，畫返回§3.51503.5在連結(jié)和的兩條割線上的壓強(qiáng)和動量的變化都相互抵消了，對整個結(jié)果沒有影響，可不考慮。上空氣動力作用是物體的合力，在所研究的情況下，左右對稱，沒有阻力。因此，在圓柱表面上作用的只有升力，用表示。返回§3.53.5在連結(jié)和的兩條割線上的壓強(qiáng)和動量返回§1513.5最后，的結(jié)果為：返回§3.53.5最后，的結(jié)果為：返回§3.51523.5上式表明，作用在垂直于紙面單位長度圓柱體上的升力，其大小等于來流的速度乘以流體密度再乘以環(huán)量，指向是把來流方向逆著環(huán)量的方面旋轉(zhuǎn)。升力等于這個結(jié)果稱之為庫塔-儒可夫斯基定理。返回§3.53.5上式表明，作用在垂直于紙面單位長度返回§3.51533.5這里雖然是通過繞圓柱的流動來證明庫塔-儒可夫斯基定理的，但是可以把其結(jié)論推廣到一般形狀的封閉物體中去。因?yàn)椋灰矬w是封閉的不是半無限體，代表物體作用的點(diǎn)源和點(diǎn)匯的強(qiáng)度總和必然相等。返回§3.53.5這里雖然是通過繞圓柱的流動來證明庫返回§3.154§3.6關(guān)于真實(shí)流動

二維通道中的流動繞圓柱的流動繞二維翼型的流動返回第三章目錄§3.6關(guān)于真實(shí)流動二維通道中的流動返回第三章目錄1553.6考慮平行壁面構(gòu)成的二維通道中的定常流動，通道進(jìn)口截面上的流動參數(shù)均勻分布，且速度平行于通道中心線。如果流體是理想的且不受外力作用，則這一流動極為簡單，即流體的速度和壓力在整個通道中到處均勻分布，見下圖:二維通道中的流動返回§3.63.6考慮平行壁面構(gòu)成的二維通道中的定常二維通道中的流1563.6返回§3.63.6返回§3.61573.6在這種情況下，流體在流動過程中沒有任何機(jī)械能的損失，流體以其一開始所具有的慣性即可永遠(yuǎn)維持定常均勻的流動?，F(xiàn)在，考察真實(shí)流體通過同一通道的流動?？梢园l(fā)現(xiàn)，與理想流體流動不同的是真實(shí)流體附著于通道內(nèi)壁，因而固壁上流體的速度為零。

返回§3.63.6在這種情況下，流體在流動過程中沒有現(xiàn)在，1583.6對于真實(shí)流體在上述通道中的流動，可以發(fā)現(xiàn)兩種情況：1.當(dāng)雷諾數(shù)小于某一臨界值時(shí)，邊界層內(nèi)的流動和完全發(fā)展的流動都是層流的;2.當(dāng)雷諾數(shù)大于某一臨界值時(shí)，邊界層內(nèi)的流動在進(jìn)口附近是層流的，但向下游