二階常系數(shù)非齊次線性微分方程課件

對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型有難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程

和定理3對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型有1設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型代入原方程(2)整理得：猜想設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型代入原2特解特解特解特解3綜上討論綜上討論4例1求微分方程的一個特解.解：所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程為特征根為由于不是特征方程的根，例1求微分方程的一個特解.解：所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程為5設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項式設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項式6二次多項式例2.求微分方程的通解.對應(yīng)齊次方程的通解為λ=0是特征方程的單根，非齊次方程的特解為二次多項式例2.求微分方程的通解.對應(yīng)齊次方程的通解為λ7方程的通解為：代入方程得方程的特解為：方程的通解為：代入方程得方程的特解為：8解：特征方程對應(yīng)齊次方程通解特征根例3解：特征方程對應(yīng)齊次方程通解特征根例39代入方程,得原方程通解為原方程的特解為代入方程,得原方程通解為原方程的特解為10方程（2）的特解為：（證略）二、型方程（2）的特解為：（證略）二、11例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特征方程為

r2+1=0,其根為r1,2=i,對應(yīng)齊次線性方程的通解為y=C1cosx+C2sinx.因iω=2i不是特征方程的根,

k=0，=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2xm=max{0,1}=1,故方程的特解設(shè)為：例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特12代入原方程，整理得比較兩端同類項的系數(shù)，得解之得：求得一個特解為方程的通解為代入原方程，整理得比較兩端同類項的系數(shù)，得解之得：求得一個特13例5.

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程上式整理得：解：將方程寫為兩邊對x

求導(dǎo)得：再求導(dǎo)得：例5.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程上式整理得：解：將方14設(shè)y=f(x),問題可轉(zhuǎn)化為求解初值問題：特征方程r2+1=0

的根為

r1,2=i，對應(yīng)齊次線性方程通解為設(shè)y=f(x),問題可轉(zhuǎn)化為求解初值問題：特征方程15而iω

=i是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).設(shè)非齊次方程特解為于是而iω=i是特征方程的根，代入原方程后解得：16故原方程的通解為將初始條件代入上式，得從而即，所求函數(shù)為：故原方程的通解為將初始條件代入上式，得從而即，所求函數(shù)為：17(待定系數(shù)法)三、小結(jié)(待定系數(shù)法)三、小結(jié)18P348習(xí)題7-8:6P348習(xí)題7-8:619

P347習(xí)題7-8

1.(8)；2.(3).

布置作業(yè)P347習(xí)題7-81.(8)；2.(320P304------習(xí)題7-27.小船從河邊0出發(fā)駛向?qū)Π丁?解：設(shè)小船的航行路線C：0xvyh水流P304------習(xí)題7-27.小船從河邊0出發(fā)駛向?qū)Π丁?1二階常系數(shù)非齊次線性微分方程課件22P315------習(xí)題7-41.求下列微分方程的通解：P311公式（5）P315------習(xí)題7-41.求下列微分方程的通解：P323二階常系數(shù)非齊次線性微分方程課件242.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：25二階常系數(shù)非齊次線性微分方程課件26對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型有難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程

和定理3對應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)常見類型有27設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型代入原方程(2)整理得：猜想設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型代入原28特解特解特解特解29綜上討論綜上討論30例1求微分方程的一個特解.解：所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程為特征根為由于不是特征方程的根，例1求微分方程的一個特解.解：所對應(yīng)的齊次方程為其特征方程為31設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項式設(shè)特解為代入方程得比較系數(shù)得原方程特解為一次多項式32二次多項式例2.求微分方程的通解.對應(yīng)齊次方程的通解為λ=0是特征方程的單根，非齊次方程的特解為二次多項式例2.求微分方程的通解.對應(yīng)齊次方程的通解為λ33方程的通解為：代入方程得方程的特解為：方程的通解為：代入方程得方程的特解為：34解：特征方程對應(yīng)齊次方程通解特征根例3解：特征方程對應(yīng)齊次方程通解特征根例335代入方程,得原方程通解為原方程的特解為代入方程,得原方程通解為原方程的特解為36方程（2）的特解為：（證略）二、型方程（2）的特解為：（證略）二、37例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特征方程為

r2+1=0,其根為r1,2=i,對應(yīng)齊次線性方程的通解為y=C1cosx+C2sinx.因iω=2i不是特征方程的根,

k=0，=0;y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2xy*''=(–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2xm=max{0,1}=1,故方程的特解設(shè)為：例4.求方程y''+y=xcos2x的通解.解:特38代入原方程，整理得比較兩端同類項的系數(shù)，得解之得：求得一個特解為方程的通解為代入原方程，整理得比較兩端同類項的系數(shù)，得解之得：求得一個特39例5.

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程上式整理得：解：將方程寫為兩邊對x

求導(dǎo)得：再求導(dǎo)得：例5.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程上式整理得：解：將方40設(shè)y=f(x),問題可轉(zhuǎn)化為求解初值問題：特征方程r2+1=0

的根為

r1,2=i，對應(yīng)齊次線性方程通解為設(shè)y=f(x),問題可轉(zhuǎn)化為求解初值問題：特征方程41而iω

=i是特征方程的根，代入原方程后解得：y*=x(acosx+bsinx).設(shè)非齊次方程特解為于是而iω=i是特征方程的根，代入原方程后解得：42故原方程的通解為將初始條件代入上式，得從而即，所求函數(shù)為：故原方程的通解為將初始條件代入上式，得從而即，所求函數(shù)為：43(待定系數(shù)法)三、小結(jié)(待定系數(shù)法)三、小結(jié)44P348習(xí)題7-8:6P348習(xí)題7-8:645

P347習(xí)題7-8

1.(8)；2.(3).

布置作業(yè)P347習(xí)題7-81.(8)；2.(346P304------習(xí)題7-27.小船從河邊0出發(fā)駛向?qū)Π丁?解：設(shè)小船的航行路線C：0xvyh水流P304------習(xí)題7-27.小船從河邊0出