高一數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)必修2第二章點(diǎn) 線 面的關(guān)系微課程

4/44/44/4高一數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)必修2第二章點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系課程目標(biāo)：一、考點(diǎn)突破1.了解平面的根本性質(zhì)與推論,并能運(yùn)用這些公理及推論去解決有關(guān)問(wèn)題；2.能認(rèn)識(shí)和理解空間平行線的傳遞性,能歸納出直線和平面平行及平面和平面平行的判定定理。3.掌握直線與平面平行,平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,并能利用這些定理解決空間中的平行關(guān)系問(wèn)題。4.掌握直線與直線、直線與平面垂直的定義及直線與平面垂直的判定定理,平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)。5.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,轉(zhuǎn)化及類比的數(shù)學(xué)思想。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：平面的根本性質(zhì)、公理及直線與平面的位置關(guān)系。難點(diǎn)：異面直線的判定與垂直證明。知識(shí)梳理：微課程1：平面的根本性質(zhì)及其推論【考點(diǎn)精講】1.平面的根本性質(zhì)〔1〕公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。〔2〕公理2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。〔3〕公理3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線。推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。2.直線與直線的位置關(guān)系〔1〕位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))〔2〕異面直線所成的角①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b,把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a,b所成的角〔或夾角〕。②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))?！镜淅觥坷}1正方體ABCD－A1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn),那么,正方體的過(guò)P、Q、R的截面圖形是〔〕A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形思路導(dǎo)航：過(guò)正方體棱上的點(diǎn)P、Q、R的截面要和正方體的每個(gè)面有交線。如下圖,作RG∥PQ交C1D1于G,連接QP并延長(zhǎng)與CB的延長(zhǎng)線交于M,連接MR交BB1于E,連接PE、RE為截面的局部外形。同理,連PQ并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于N,連接NG交DD1于F,連接QF,FG?！嘟孛鏋榱呅蜳QFGRE。答案：D例題2以下如下圖是正方體和正四面體,P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn),那么四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________。思路導(dǎo)航：在④圖中,可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行,因此,P、Q、R、S四點(diǎn)不共面?？勺C①中四邊形PQRS為梯形；③中可證四邊形PQRS為平行四邊形；②中如以下圖所示取A1A與BC的中點(diǎn)為M、N可證明PMQNRS為平面圖形,且PMQNRS為正六邊形。答案：①②③例題3如果兩條異面直線稱為“一對(duì)〞,那么在正方體的十二條棱中共有異面直線〔〕A.12對(duì) B.24對(duì)C.36對(duì) D.48對(duì)思路導(dǎo)航：如下圖,與AB異面的直線有B1C1；CC1,A1D1,DD1四條,因?yàn)楦骼饩哂邢嗤奈恢们艺襟w共有12條棱,排除兩棱的重復(fù)計(jì)算,共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24〔對(duì)〕。答案：B隨堂練習(xí)：以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A.空間不同的3點(diǎn)確定一個(gè)平面B.有3個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面比重合C.空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面D.三角形是平面圖形思路導(dǎo)航：由根本性質(zhì)可知,不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面,所以A、B均錯(cuò),B中可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線〔當(dāng)這3個(gè)公共點(diǎn)共線時(shí)〕?？臻g兩兩相交的3條直線有3個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn),假設(shè)為3個(gè)交點(diǎn),那么這3線共面,假設(shè)只有一個(gè)交點(diǎn),那么可能確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,所以C錯(cuò)。應(yīng)選擇D答案。答案：D【總結(jié)提升】三個(gè)公理的作用：〔1〕公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)?！?〕公理2的作用：①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題?！?〕公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線。微課程2：空間中平行關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用【考點(diǎn)精講】1.直線和平面平行的判定〔1〕定義：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么稱直線平行于平面；〔2〕判定定理：如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個(gè)平面平行〔即線線平行,那么線面平行〕。符號(hào)表示：∥,那么∥；〔3〕其他判定方法：α∥β；a∥α,那么a∥β。2.直線和平面平行的性質(zhì)定理：a∥α,aβ,α∩β＝l,那么a∥l。3.兩個(gè)平面平行的判定〔1〕定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),那么稱這兩個(gè)平面平行；〔2〕判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：aα,bα,a∩b＝M,且a∥β,b∥β,那么α∥β；〔3〕推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示：a∩b＝M,a,bα,a′∩b′＝M′,a′,b′β,a∥a′,b∥b′,那么α∥β。4.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理〔1〕如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線均平行于另一個(gè)平面。符號(hào)表示：α∥β,aα,那么a∥β；〔2〕如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。符號(hào)表示：α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b,那么a∥b?！镜淅觥坷}1下面命題中正確的選項(xiàng)是〔〕①假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行；②假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行；③假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行；④假設(shè)一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行。A.①③B.②④C.②③④D.③④思路導(dǎo)航：①②中兩個(gè)平面可以相交,③是兩個(gè)平面平行的定義,④是兩個(gè)平面平行的判定定理。答案：D例題2如圖,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,O為AC的中點(diǎn),M為PD的中點(diǎn)。求證：PB∥平面ACM。思路導(dǎo)航：連接MO,證明PB∥MO即可。答案：證明：連接BD,MO。在平行四邊形ABCD中,因?yàn)镺為AC的中點(diǎn),所以O(shè)為BD的中點(diǎn)。又M為PD的中點(diǎn),所以PB∥MO。因?yàn)镻B平面ACM,MO平面ACM,所以PB∥平面ACM。例題3如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,M、N、P分別為所在邊的中點(diǎn)。求證：平面MNP∥平面A1C1B。思路導(dǎo)航：證明MN∥A1B,MP∥C1B即可。答案：證明：連接D1C,那么MN為△DD1C的中位線,∴MN∥D1C。又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B。同理,MP∥C1B。而MN與MP相交,MN,MP在平面MNP內(nèi),A1B,C1B在平面A1C1B內(nèi)?！嗥矫鍹NP∥平面A1C1B?！究偨Y(jié)提升】1.判定直線與平面平行的方法：〔1〕利用定義,證明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),這一點(diǎn)直接證明是很困難的,往往借助于反證法；〔2〕利用直線和平面平行的判定定理,一定要說(shuō)明“平面外一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行〞；〔3〕利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證明。2.轉(zhuǎn)化思想：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)直線的平面與平面相交,那么直線與交線平行。3.證明線線平行的方法：〔1〕利用線線平行的定義,證明線線共面且無(wú)公共點(diǎn)；〔2〕利用三線平行公理：證明兩線同時(shí)平行于第三條直線；〔3〕利用線面平行的性質(zhì)定理。4.兩個(gè)平面平行的判定方法：〔1〕根據(jù)定義,證明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),這一點(diǎn)直接證明是很困難的,往往借助于反證法；〔2〕根據(jù)判定定理；〔3〕平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。微課程3：空間中垂直關(guān)系及簡(jiǎn)單應(yīng)用【考點(diǎn)精講】1.直線與平面垂直〔1〕定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交,并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意直線都垂直,那么稱這條直線和這個(gè)平面互相垂直?！?〕判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線就垂直于這個(gè)平面〔簡(jiǎn)言之：線線垂直,那么線面垂直〕?！?〕性質(zhì)：一條直線垂直于一個(gè)平面,那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線；推論1：如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面；推論2：①如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面,那么這兩條直線平行；②垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。2.平面與平面垂直〔1〕定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直,又知兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直,那么稱這兩個(gè)平面垂直?！?〕判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直〔即線面垂直,那么面面垂直〕?！?〕兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)：①如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面；②如果兩相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,那么兩相交平面的交線垂直于第三個(gè)平面。【典例精析】例題1如圖,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,那么圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______。思路導(dǎo)航：由線面垂直可知,圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為4個(gè)。Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△ACB,Rt△PCB。答案：4例題2如圖,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠ADC＝45°,AD＝AC＝1,O為AC的中點(diǎn),PO⊥平面ABCD。證明：AD⊥平面PAC。思路導(dǎo)航：需證明AD⊥AC,再利用線面垂直的判定定理證明即可。答案：證明：∵∠ADC＝45°,且AD＝AC＝1?！唷螪AC＝90°,即AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴PO⊥AD,而AC∩PO＝O,∴AD⊥平面PAC。例題3如下圖,在四棱錐P－ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等邊三角形,BD＝2AD＝8,AB＝2DC＝4eq\r(5)。M是PC上的一點(diǎn)。證明：平面MBD⊥平面PAD。思路導(dǎo)航：證明BD⊥平面PAD,根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD,只要證明BD⊥AD即可。答案：證明：在△ABD中,由于AD＝4,BD＝8,AB＝4eq\r(5),所以AD2＋BD2＝AB2。故AD⊥BD。又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,BD平面ABCD,所以BD⊥平面PAD。又BD平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD?！究偨Y(jié)提升】〔1〕證明線面垂直的方法①線面垂直的定義：與α內(nèi)任何直線都垂直?⊥α；②判定定理1：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\