呂林根解析幾何(第四版)(完整課件)1

第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數(shù)量乘向量§1.4向量的線性關(guān)系與分解§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數(shù)量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解

定義1.4.1由與實(shí)數(shù)所組成的向量

叫做的線性組合.(也稱向量可以用向量線性表示,或可以分解成的線性組合.)§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解定義1.4.1由

定理1.4.1如果向量,則與共線的充分必要條件是可以用向量線性表示,或者說是的線性組合,即

并且系數(shù)被惟一確定.這時(shí)稱為用線性組合來表示共線向量的基底.定理1.4.1如果向量,則與共線的充必要性若與共線,當(dāng)同向時(shí),取;當(dāng)反向時(shí),取,則有下證惟一.如果,則,即,但,則.即證明:充分性若,則由數(shù)乘的定義可知與共線.必要性若與共線,當(dāng)同向時(shí),取下證

定理1.4.2如果向量不共線,則向量與共面的充分必要條件是可以用向量線性表示,即并且系數(shù)被唯一確定.這時(shí)叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量不共線,則向量證明:因?yàn)椴还簿€,所以.共線,則有(或).只要取(或),則有.若與都不共線,把歸結(jié)到共同始點(diǎn),并設(shè)過點(diǎn)作,分別交所在直線于兩點(diǎn).必要性若與共面,若與(或)證明:因?yàn)椴还簿€,所以.共線充分性若,當(dāng)時(shí),例如,則有與共線,所以共面.當(dāng)時(shí),則,即平行確定之平面.而,所以共面.由于與共線,與共線,則由定理1.4.1有充分性若,當(dāng)時(shí),例如下證惟一.如果,則.若,則有由定理1.4.1可知共線,矛盾.同理有.下證惟一.如果

定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任意向量可以由向量線性表示,或說空間任意向量可以分解成向量的線性組合，即并且其中系數(shù)被唯一確定.這時(shí)叫做空間向量的基底.定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任證明:因?yàn)椴还裁?則由定義1.1.5知,且它們彼此不共線.如果和之中的兩個(gè)向量共面,例如,則由定理1.4.2有,則結(jié)論成立.如果和中任意兩個(gè)都不共面.將歸結(jié)為到共同始點(diǎn),并設(shè),證明:因?yàn)椴还裁?則由定義1.1.5知相交于三點(diǎn),如圖.,過的終點(diǎn)作三平面分別與平面平行,且分別和直線所以有再由定理1.4.1,有則有相交于三點(diǎn),如圖.下證被唯一確定.若則.如果,則則由定理1.4.2可知共面,故.同理可得下證被唯一確定.若

例1已知,,分別是兩邊上的點(diǎn),且有,.設(shè)與交于,如圖.試把向量分解成的線性組合.例1已知,,分解:因?yàn)槎?因?yàn)槎驗(yàn)椴还簿€,由定理1.4.2,有即因?yàn)椴还簿€,由定理1.4.2,有即

例2

證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),且互相平分.解:設(shè)四面體一組對(duì)邊的中點(diǎn)的連線為,它的中點(diǎn)為,其余兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為,下只需證三點(diǎn)重合就可以了.例2證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),且互相平分.取不共面的三向量,下證重合.又為中點(diǎn),則有連接,由于為的中點(diǎn),則有取不共面的三向量,而,所以同理可得所以,重合.而,所以同理可得所以,

定義1.4.2對(duì)于個(gè)向量,如果存在不全為零的個(gè)數(shù)使得那么個(gè)向量叫做線性相關(guān),不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān).即線性無關(guān)就指:只有當(dāng)時(shí),上式成立.推論一個(gè)向量線性相關(guān)定義1.4.2對(duì)于個(gè)向量

定理1.4.4在時(shí),向量線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.證明:必要性設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0的,使得因?yàn)椴蝗珵?,不妨設(shè),則定理1.4.4在時(shí),向量線性

充分性設(shè)中有一個(gè)向量是其設(shè)這個(gè)向量為,即因?yàn)?所以線性相關(guān).則余向量的線性組合.設(shè)這個(gè)向量為,即因?yàn)?所以線

定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關(guān)那么這一組向量就線性相關(guān).證明:設(shè)有一組向量,其中一部分,如線性相關(guān),即存在不全為0的,使得則定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關(guān)那么這其中不全為0,所以線性相關(guān).定理1.4.6兩向量共線它們線性相關(guān).證明:充分性設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0的,使得.不妨設(shè),推論一組向量如果含有零向量,那么這組向量必線性相關(guān).其中不全為0,所以則.如果,由定理1.4.1知,共線.若,則共線.必要性設(shè)共線,若,則任取,有,即線性相關(guān).若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以線性相關(guān).則.如果,由定理1.4.1知,共

定理1.4.7三個(gè)向量共面它們線性相關(guān).證明:必要性設(shè)共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.以線性相關(guān).充分性設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0不全為0,不妨設(shè),則有.由定理1.4.2知共面.所的,使得.由于定理1.4.7三個(gè)向量共面它們線性相關(guān).

定理1.4.8空間任何四個(gè)向量總線性相關(guān).證明:設(shè)空間任意四向量,若共面,由定理1.4.7知線性相關(guān),理1.4.5知線性相關(guān).若不共面,由定理1.4.3可設(shè),1.4.4知線性相關(guān).推論空間四個(gè)以上向量總是線性相關(guān).再由定再由定理定理1.4.8空間任何四個(gè)向量總線性相關(guān).證

例3設(shè),試證三點(diǎn)共線的充要條件是存在不全為0的實(shí)數(shù)使得且證明:必要性設(shè)共線,則共線,由定理1.4.6知線性相關(guān),即存在不全為0的,使得例3設(shè),試證三點(diǎn)即.可得令,即有不全為0,使且.令,即有不妨設(shè),代入整理得充分性設(shè)有不全為0的,使即.可知不全為0,共線,即共線.所以由且不妨設(shè),代入整理得充分性設(shè)有

例4設(shè)為兩不共線向量,證明共線的充要條件是

證明:由定理1.4.6,共線存在不全為0的數(shù),使得例4設(shè)為兩不共線向量,證明證即又不共線,即線性無關(guān)而不全為0即又不共線,即線性無關(guān)而不全為0第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向量的加法§1.3數(shù)量乘向量§1.4向量的線性關(guān)系與分解§1.5標(biāo)架與坐標(biāo)§1.6向量在軸上的射影§1.7兩向量的數(shù)量積§1.8兩向量的向量積§1.9三向量的混合積§1.10三向量的雙重向量積第一章向量與坐標(biāo)§1.1向量的概念§1.2向§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解

定義1.4.1由與實(shí)數(shù)所組成的向量

叫做的線性組合.(也稱向量可以用向量線性表示,或可以分解成的線性組合.)§1.4向量的線性關(guān)系與向量的分解定義1.4.1由

定理1.4.1如果向量,則與共線的充分必要條件是可以用向量線性表示,或者說是的線性組合,即

并且系數(shù)被惟一確定.這時(shí)稱為用線性組合來表示共線向量的基底.定理1.4.1如果向量,則與共線的充必要性若與共線,當(dāng)同向時(shí),取;當(dāng)反向時(shí),取,則有下證惟一.如果,則,即,但,則.即證明:充分性若,則由數(shù)乘的定義可知與共線.必要性若與共線,當(dāng)同向時(shí),取下證

定理1.4.2如果向量不共線,則向量與共面的充分必要條件是可以用向量線性表示,即并且系數(shù)被唯一確定.這時(shí)叫做平面上向量的基底.定理1.4.2如果向量不共線,則向量證明:因?yàn)椴还簿€,所以.共線,則有(或).只要取(或),則有.若與都不共線,把歸結(jié)到共同始點(diǎn),并設(shè)過點(diǎn)作,分別交所在直線于兩點(diǎn).必要性若與共面,若與(或)證明:因?yàn)椴还簿€,所以.共線充分性若,當(dāng)時(shí),例如,則有與共線,所以共面.當(dāng)時(shí),則,即平行確定之平面.而,所以共面.由于與共線,與共線,則由定理1.4.1有充分性若,當(dāng)時(shí),例如下證惟一.如果,則.若,則有由定理1.4.1可知共線,矛盾.同理有.下證惟一.如果

定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任意向量可以由向量線性表示,或說空間任意向量可以分解成向量的線性組合，即并且其中系數(shù)被唯一確定.這時(shí)叫做空間向量的基底.定理1.4.3如果向量不共面,那么空間任證明:因?yàn)椴还裁?則由定義1.1.5知,且它們彼此不共線.如果和之中的兩個(gè)向量共面,例如,則由定理1.4.2有,則結(jié)論成立.如果和中任意兩個(gè)都不共面.將歸結(jié)為到共同始點(diǎn),并設(shè),證明:因?yàn)椴还裁?則由定義1.1.5知相交于三點(diǎn),如圖.,過的終點(diǎn)作三平面分別與平面平行,且分別和直線所以有再由定理1.4.1,有則有相交于三點(diǎn),如圖.下證被唯一確定.若則.如果,則則由定理1.4.2可知共面,故.同理可得下證被唯一確定.若

例1已知,,分別是兩邊上的點(diǎn),且有,.設(shè)與交于,如圖.試把向量分解成的線性組合.例1已知,,分解:因?yàn)槎?因?yàn)槎驗(yàn)椴还簿€,由定理1.4.2,有即因?yàn)椴还簿€,由定理1.4.2,有即

例2

證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),且互相平分.解:設(shè)四面體一組對(duì)邊的中點(diǎn)的連線為,它的中點(diǎn)為,其余兩組對(duì)邊中點(diǎn)分別為,下只需證三點(diǎn)重合就可以了.例2證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn),且互相平分.取不共面的三向量,下證重合.又為中點(diǎn),則有連接,由于為的中點(diǎn),則有取不共面的三向量,而,所以同理可得所以,重合.而,所以同理可得所以,

定義1.4.2對(duì)于個(gè)向量,如果存在不全為零的個(gè)數(shù)使得那么個(gè)向量叫做線性相關(guān),不是線性相關(guān)的向量叫做線性無關(guān).即線性無關(guān)就指:只有當(dāng)時(shí),上式成立.推論一個(gè)向量線性相關(guān)定義1.4.2對(duì)于個(gè)向量

定理1.4.4在時(shí),向量線性相關(guān)的充要條件是其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.證明:必要性設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0的,使得因?yàn)椴蝗珵?,不妨設(shè),則定理1.4.4在時(shí),向量線性

充分性設(shè)中有一個(gè)向量是其設(shè)這個(gè)向量為,即因?yàn)?所以線性相關(guān).則余向量的線性組合.設(shè)這個(gè)向量為,即因?yàn)?所以線

定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關(guān)那么這一組向量就線性相關(guān).證明:設(shè)有一組向量,其中一部分,如線性相關(guān),即存在不全為0的,使得則定理1.4.5如果一組向量中的一部分向量線性相關(guān)那么這其中不全為0,所以線性相關(guān).定理1.4.6兩向量共線它們線性相關(guān).證明:充分性設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0的,使得.不妨設(shè),推論一組向量如果含有零向量,那么這組向量必線性相關(guān).其中不全為0,所以則.如果,由定理1.4.1知,共線.若,則共線.必要性設(shè)共線,若,則任取,有,即線性相關(guān).若,由定理1.4.1,存在,使,即,所以線性相關(guān).則.如果,由定理1.4.1知,共

定理1.4.7三個(gè)向量共面它們線性相關(guān).證明:必要性設(shè)共面,由定理1.4.2,存在,使得,即.以線性相關(guān).充分性設(shè)線性相關(guān),則存在不全為0不全為0,不妨設(shè),則