根軌跡教學(xué)講解課件

第五章線性系統(tǒng)的根軌跡法

5.1根軌跡的基本概念5.2根軌跡的繪制規(guī)則5.3廣義根軌跡5.4零度根軌跡5.5系統(tǒng)性能分析11/25/20221北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系第五章線性系統(tǒng)的根軌跡法10/11/20221北京科技大學(xué)本章重點(diǎn)根軌跡的概念、幅值條件、相角條件根軌跡的基本繪制規(guī)則等效傳遞函數(shù)的概念根軌跡的簡單應(yīng)用11/25/20222北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系本章重點(diǎn)根軌跡的概念、幅值條件、相角條件10/11/20一、一個例子5.1根軌跡的基本概念一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試分析該系統(tǒng)的特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)的變化在S平面上的分布情況。

例5-1系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：特征方程的根是：設(shè)的變化范圍是〔0,∞﹚解11/25/20223北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系一、一個例子5.1根軌跡的基本概念一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳當(dāng)時,

當(dāng)時,與為不相等的兩個負(fù)實(shí)根；當(dāng)時，為等實(shí)根；該系統(tǒng)特征方程的根，隨開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)k從0變到∞時，在S平面上變化的軌跡如圖所示。當(dāng)時，共軛復(fù)根。性能11/25/20224北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系當(dāng)時,當(dāng)

二、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性

當(dāng)增益K1由0→∞，根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入s平面右半邊，因此系統(tǒng)對所有的值都是穩(wěn)定的。如果系統(tǒng)特征方程的根都位于s平面的左半部，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。若根軌跡穿越虛軸進(jìn)入右半s平面,根軌跡與虛軸交點(diǎn)處的K值，就是臨界穩(wěn)定的開環(huán)增益。穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個極點(diǎn)，所以屬Ⅰ型系統(tǒng),因而根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖確定閉極點(diǎn)位置的允許范圍。動態(tài)性能

當(dāng)時,所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于實(shí)軸上,系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升的非周期過程。當(dāng)時，特征方程的兩個相等負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為響應(yīng)速度最快的非周期過程。當(dāng)時，特征方程為一對共軛復(fù)根系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程，振蕩幅度或超調(diào)量隨值的增加而加大，但調(diào)節(jié)時間不會有顯著變化。11/25/20225北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系二、根軌跡與系統(tǒng)性能穩(wěn)定性當(dāng)增益K1由0→∞，根軌跡不設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

為根軌跡增益(或根軌跡的放大系數(shù))三、根軌跡的概念其中:

可得到系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為:即：開環(huán)的零點(diǎn)開環(huán)的極點(diǎn)11/25/20226北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:為根軌跡增益(或根軌跡的放大系數(shù))

根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）隨開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)由0變化到∞時在S平面上留下的軌跡。由此可得到滿足系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的幅值條件和相角條件為：幅值條件:

相角條件:

11/25/20227北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系根軌跡圖是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）隨開環(huán)系統(tǒng)

我們可以把系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的根描述成:凡是滿足幅值條件和相角條件的s值稱為特征方程的根——即閉環(huán)極點(diǎn)。注：因為變化，因此不論什么s值,總有一個存在,使幅值條件得到滿足,所以,實(shí)際上只要滿足相角條件的s值就是閉環(huán)極點(diǎn),而由此s值,再由幅值條件可確定此時系統(tǒng)對應(yīng)的值。11/25/20228北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系我們可以把系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程的根描述成:注：因為規(guī)則一根軌跡的起點(diǎn)此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相同(重合)，把開環(huán)極點(diǎn)稱為根軌跡的起點(diǎn)。5.2根軌跡的繪制規(guī)則當(dāng),必有由根軌跡的幅值條件可知：通常，我們稱以開環(huán)根軌跡增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡為普通根軌跡（或180°根軌跡），簡稱根軌跡。11/25/20229北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則一根軌跡的起點(diǎn)此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)相同(重規(guī)則二根軌跡的終點(diǎn)由根軌跡的幅值條件可知：結(jié)論：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。

當(dāng)時，必有此時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)相同（重合），我們把開環(huán)零點(diǎn)稱為根軌跡的終點(diǎn)。如果開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m,則有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處(無限零點(diǎn))，如果開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠(yuǎn)處。11/25/202210北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則二根軌跡的終點(diǎn)由根軌跡的幅值條件可知：結(jié)論：根軌跡起規(guī)則三根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性

根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在s平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。

由例5-1看出，系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益（實(shí)變量）與復(fù)變量s有一一對應(yīng)的關(guān)系。

當(dāng)由0到∞連續(xù)變化時，描述系統(tǒng)特征方程根的復(fù)變量s在平面上的變化也是連續(xù)的，因此,根軌跡是n條連續(xù)的曲線。由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù),如果它的特征方程有復(fù)數(shù)根的一定是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此，根軌跡總是對稱于實(shí)軸的。結(jié)論：根軌跡的分支數(shù)等于系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。根軌跡是連續(xù)且對稱于實(shí)軸的曲線。11/25/202211北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則三根軌跡的分支數(shù)、連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)規(guī)則四實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上的根軌跡由相角條件可證:設(shè)某段右側(cè)的零,極點(diǎn)數(shù)分別為：則:

即右側(cè)開環(huán)零,極點(diǎn)數(shù)的和為奇數(shù)時,該段為根軌跡。11/25/202212北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則四實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡由相角條件可證:規(guī)則五漸近線

當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m時,系統(tǒng)有n-m條根軌跡終止于S平面的無窮遠(yuǎn)處，這n-m條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此漸近線也有n-m條,且它們交于實(shí)軸上的一點(diǎn)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置和與實(shí)軸正方向的交角分別為:

11/25/202213北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則五漸近線當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)數(shù)（1）根軌跡漸近線的傾角根據(jù)幅角條件：當(dāng)時，零點(diǎn)、極點(diǎn)與矢量復(fù)角可近似看成相等

得到所以漸近線的傾角：

因共有(n-m)條漸近線，所以只要取(n-m)個不同的傾角即可。11/25/202214北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系（1）根軌跡漸近線的傾角10/11/202214北京科技大學(xué)（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)幅值條件：

當(dāng)，則對應(yīng)于，此時，上式可寫成：

上式左邊展開：

上式右邊展開

比較對應(yīng)s冪項系數(shù)相等，求得：

所以漸近線相交于同一點(diǎn)

11/25/202215北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系（2）漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)10/11/202215北京科技大學(xué)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。例5-21漸近線：系統(tǒng)有n=4,m=1,n-m=3

三條漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)位置為：解實(shí)軸正方向的交角分別是漸近線如圖所示。-4-3-2-10BCA11/25/202216北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試畫出該系統(tǒng)根軌跡的漸近線。例5-211/25/202217北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系10/11/202217北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則六根軌跡的分離點(diǎn)、會（匯）合點(diǎn)

根軌跡在s平面上相遇，表明系統(tǒng)有相同的根。即在分離點(diǎn)和會合點(diǎn)處必有閉環(huán)特征重根,令閉環(huán)特征方程為:如果令

即可求得11/25/202218北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則六根軌跡的分離點(diǎn)、會（匯）合點(diǎn)根軌跡在s平面故在重根處有:因為：所以：即：分離點(diǎn)/會合點(diǎn):和以上分析沒有考慮(且為實(shí)數(shù))的約束條件，所以只有滿足的這些解，才是真正的分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）。11/25/202219北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系故在重根處有:因為：所以：即：分離點(diǎn)/會合點(diǎn):和以上事實(shí)上，分離點(diǎn)還可由下式確定

因為

即其中即所以-11/25/202220北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系事實(shí)上，分離點(diǎn)還可由下式確定-10/11/202220北京科一般來說:如果根軌跡位于實(shí)軸上兩相鄰的開環(huán)極點(diǎn)(零點(diǎn))之間；則出現(xiàn)分離點(diǎn)(會合點(diǎn))。如果根軌跡位于實(shí)軸上一個開環(huán)極點(diǎn)與一個開環(huán)零點(diǎn)之間，則或者既不存在分離點(diǎn)，也不存在會合點(diǎn)，或者既存在分離點(diǎn)，又存在會合點(diǎn)。四重分離點(diǎn) 復(fù)數(shù)分離點(diǎn)11/25/202221北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系一般來說:如果根軌跡位于實(shí)軸上兩相鄰的開環(huán)極點(diǎn)(零點(diǎn))之間的單位負(fù)反饋系統(tǒng)的(180°)根軌跡。繪制開環(huán)系統(tǒng)傳函數(shù)為例5-31）此系統(tǒng)無開環(huán)零點(diǎn)，有三個開環(huán)極點(diǎn)，分別為：2）漸近線：根據(jù)規(guī)則可知，系統(tǒng)根軌跡有三條分支，當(dāng)分別從開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)，時趨向無窮遠(yuǎn)處，其漸近線夾角為：解漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為11/25/202222北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系的單位負(fù)反饋系統(tǒng)的(180°)根軌跡。繪制開環(huán)系統(tǒng)傳函數(shù)為例由上式可求上式的根為求分離點(diǎn)：分離點(diǎn)必位于0至-1之間的線段上，故為分離點(diǎn)d的坐標(biāo)。11/25/202223北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系由上式可求上式的根為求分離點(diǎn)：分離點(diǎn)必位于0至-1之間的線段11/25/202224北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系10/11/202224北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則七、根軌跡的出射角和入射角由相角條件可直接得到出射角:入射角：11/25/202225北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則七、根軌跡的出射角和入射角由相角條件可直接得到出射角:規(guī)則八根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根（實(shí)部為零）。(1)用代入特征方程可得令此方程中虛部為零，即可求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處的頻率為。用代入實(shí)部方程，即可求出系統(tǒng)開環(huán)根軌跡臨界值。(2)利用勞斯表求取。將勞斯表中s2行系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。若根軌跡與虛軸的交點(diǎn)多于兩個，則應(yīng)取勞斯表中大于2的偶次方行的系數(shù)構(gòu)造的輔助方程求得。11/25/202226北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則八根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)就是閉規(guī)則九、根軌跡的走向

當(dāng)n-m≥2滿足時，隨著Kg增加，一些根軌跡分支向左方移動，則另一些根軌跡分支將向右方移動。開環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：

當(dāng)滿足n-m≥2時，上式sn-1項將沒有同次項可以合并，通常把稱為極點(diǎn)的“重心”。11/25/202227北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則九、根軌跡的走向10/11/202227北京科技大學(xué)自動當(dāng)Kg變化時，極點(diǎn)的重心保持不變。所以，為了平衡“重心”的位置，當(dāng)一部分根軌跡隨著的增加向左方移動時，另一部分根軌跡將向右方移動。例11/25/202228北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系當(dāng)Kg變化時，極點(diǎn)的重心保持不變。所以，為了平衡“重心規(guī)則十、根軌跡上kg值的計算根軌跡上任一點(diǎn)S1處的kg可由幅值條件來確定。即

=

11/25/202229北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則十、根軌跡上kg值的計算10/11/202229北京科繪制根軌跡圖的法則序號內(nèi)容規(guī)則1起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)極點(diǎn)（含無限極點(diǎn)），終止于開環(huán)零點(diǎn)（含無限零點(diǎn)）。2分支數(shù)、對稱性、連續(xù)性分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)n（nm），或開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)m（m>n）。對稱于實(shí)軸且具有連續(xù)性。3漸近線n–m條漸近線相交于實(shí)軸上的同一點(diǎn)：坐標(biāo)為：傾角為：4實(shí)軸上的分布實(shí)軸的某一區(qū)間內(nèi)存在根軌跡，則其右邊開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)之和必為奇數(shù)11/25/202230北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系繪制根軌跡圖的法則序號內(nèi)容規(guī)則1起點(diǎn)終點(diǎn)起始于開環(huán)序號內(nèi)容規(guī)則5分離（會回合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會合）點(diǎn)——（必要條件）6出射角入射角復(fù)極點(diǎn)處的出射角：復(fù)零點(diǎn)處的入射角：7虛軸交點(diǎn)（1）滿足特征方程的值；（2）由勞斯陣列求得（及kg相應(yīng)的值）；8走向當(dāng)時，一些軌跡向右，則另一些將向左。9kg計算根軌跡上任一點(diǎn)處的kg：11/25/202231北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系序號內(nèi)容規(guī)則5分離（會回合）點(diǎn)實(shí)軸上的分離（會合）點(diǎn)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡圖解：開環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j開環(huán)零點(diǎn)：-2，3個無限零點(diǎn)(1)漸近線：應(yīng)有n-m=4-1=3條漸近線，漸近線的傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：

(2)實(shí)軸上的根軌跡：[0-2]，[-∞-3]例5-411/25/202232北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(2)(3)極點(diǎn)-p3的出射角：不難求得極點(diǎn)-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分別、、,有限零點(diǎn)-z1到－p3的幅角為所以同理不難求得極點(diǎn)-p4處的出射角：(4)根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：方法一：由特征方程求：特征方程：11/25/202233北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系(3)極點(diǎn)-p3的出射角：不難求得極點(diǎn)-p1、-p2、實(shí)部方程： 虛部方程：解得：方法二：由勞斯陣列求：列出勞斯陣列令s1行為零，即得Kg=7，再根據(jù)行s2得輔助方程：

(舍去)11/25/202234北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系實(shí)部方程：[S]0jωσ-3-2-2-1+j-1-j11/25/202235北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系[S]0jωσ-3-2-2-1+j-1-j10/11/20211/25/202236北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系10/11/202236北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系例5-5,繪制以T為參數(shù)的根軌跡。設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：5.3廣義根軌跡前面介紹的根軌跡繪制法則,只適用于以放大系數(shù)為參量的情況,如果變化參數(shù)為其它參數(shù)情況將如何處理？解根據(jù)根軌跡的定義,根軌跡是閉環(huán)極點(diǎn)隨某個參量變化在s平面上留下的軌跡,故根軌跡上的點(diǎn)滿足閉環(huán)特征方程：11/25/202237北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系例5-5,繪制以T為參數(shù)的根軌跡。設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為是一樣的,我們將具有相同閉環(huán)特征方程的開環(huán)傳遞函數(shù)稱為相互等效的開環(huán)傳遞函數(shù)（簡稱為等效傳遞函數(shù)）。具有相同的閉環(huán)特征方程,則隨T從變化,其根軌跡總有一種等效開環(huán)傳遞函數(shù),可將變化參數(shù)位于放大系數(shù)的位置.這時就可利用前面的規(guī)則了。11/25/202238北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系是一樣的,我們將具有相同閉環(huán)特征方程的開環(huán)傳遞函數(shù)稱為相互等解(4)為使系統(tǒng)對速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零,加怎樣的環(huán)節(jié)可使系統(tǒng)穩(wěn)定。繪制的根軌跡，確定:例5-6(3)在該系統(tǒng)中增加一個怎樣的環(huán)節(jié),可使系統(tǒng)不論怎樣變化都穩(wěn)定。為何值系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定,振蕩穩(wěn)定,不穩(wěn)定?(2)求使系統(tǒng)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)具有阻尼比,確定。(1)①分離點(diǎn):②漸近線:11/25/202239北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系解(4)為使系統(tǒng)對速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零,加怎樣的環(huán)繪制③與虛軸交點(diǎn):④分離點(diǎn)處的值由此可見:振蕩穩(wěn)定無振蕩穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定(2)在時,極點(diǎn)為:代入閉環(huán)特征方程:解得:s=-0.45+j0.45,11/25/202240北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系③與虛軸交點(diǎn):④分離點(diǎn)處的值由此可見:振蕩穩(wěn)定

(一般a>0,d>0為好,是最小相位系統(tǒng))(4)如果使系統(tǒng)速度輸入誤差為零,則系統(tǒng)應(yīng)是II型的,那么從開環(huán)零,極點(diǎn)分布圖上可見:應(yīng)該附加兩個零點(diǎn),系統(tǒng)才可能完全穩(wěn)定下來。漸近線:(3)增加一零點(diǎn)(s+a)有可能使系統(tǒng)完全穩(wěn)定,此時漸近線:否則,在時,根軌跡有可能與縱軸相交。11/25/202241北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系(一般a>0,d>0為好,是最小相位系統(tǒng))(4)如果使系統(tǒng)解開環(huán)傳遞函數(shù)為：

繪制根軌跡,并證明有一段根軌跡為圓（a,p為實(shí)數(shù))。例5-7根據(jù)相角條件可知：令兩邊取正切變換：圓心，半徑11/25/202242北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系解開環(huán)傳遞函數(shù)為：繪制根軌跡,并證明有一段根軌跡為下面驗證半徑是零點(diǎn)到分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)的距離：分離點(diǎn)：由，得11/25/202243北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系下面驗證半徑是零點(diǎn)到分離點(diǎn)或匯合點(diǎn)的距離：分離點(diǎn)：由5.4零度根軌跡如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)為負(fù),的相角條件,此根軌跡稱為根軌跡。前面討論的根軌跡均是滿足設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為：其閉環(huán)特征方程為:對應(yīng)的即是零度根軌跡。相角條件為:

11/25/202244北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系5.4零度根軌跡如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的放大系數(shù)

在繪制根軌跡時，只需在根軌跡的畫法規(guī)則中，與相角條件有關(guān)的規(guī)則作相應(yīng)的修改。規(guī)則三實(shí)軸上的根軌跡

實(shí)軸上，若某線段右側(cè)的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個數(shù)之和為偶數(shù)，則此線段為根軌跡的一部分。規(guī)則四漸近線漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)位置和與實(shí)軸正方向的交角分別為：11/25/202245北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系在繪制根軌跡時，只需在規(guī)則六、根軌跡的出射角和入射角入射角：由相角條件可直接得到:出射角:11/25/202246北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系規(guī)則六、根軌跡的出射角和入射角入射角：由相角條件可直接得到:

由修改后的規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是由0至+∞線段和由-1至-2線段。由修改后的規(guī)則四知，漸近線與實(shí)軸正方向的夾角分別是:0°(k=0)、120°(k=1)、-120°(k=2)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為-1。已知正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。

例5-8解11/25/202247北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系由修改后的規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是由

由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個，即，，由于是正反饋，實(shí)軸上的根軌跡改變了。因為不在實(shí)軸根軌跡上，舍去?？梢?，雖然規(guī)則五沒改變，但在確定分離點(diǎn)時應(yīng)考慮規(guī)則三變化。

s[s]wj1)0(PKr=￥?rK0°120°-120-1￥?rK￥?rK3)0(PKr=)0(2=rKP-22a根軌跡如圖所示?？煽闯?，有一條從起點(diǎn)到終點(diǎn)全部位于S平面右半部的根軌跡，這意味著無論Kr為何值，系統(tǒng)都存在S平面右半部的閉環(huán)極點(diǎn)，表明系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。在開環(huán)傳遞函數(shù)相同的情況下，負(fù)反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性比正反饋系統(tǒng)好。11/25/202248北京科技大學(xué)自動化學(xué)院自動化系由規(guī)則五求出的極值方程的解有兩個，即5.5系統(tǒng)性能分析

一、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念

在工程實(shí)際中，常常用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念對系統(tǒng)進(jìn)行分析，這樣可使系統(tǒng)分析簡化。下面研究閉環(huán)傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。

閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)指的是閉環(huán)極點(diǎn)中離虛軸最近，而附近有無其它閉環(huán)零、極點(diǎn)或閉環(huán)偶極子的實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。閉環(huán)偶