祖氏父子的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)課件

4源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、成就卓著的中國(guó)古代數(shù)學(xué)

4源遠(yuǎn)流長(zhǎng)、成就卓著的中國(guó)古代數(shù)學(xué)1中國(guó)是一個(gè)有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國(guó)。中國(guó)古代的四大發(fā)明曾經(jīng)極大地推動(dòng)了世界文明的進(jìn)步。同樣，作為中國(guó)文化的一個(gè)重要組成部分，中國(guó)古代數(shù)學(xué)，由于其自身的歷史淵源和獨(dú)特的發(fā)展過(guò)程，形成了與西方迥然不同的風(fēng)格，成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中的一支不容忽視的源頭。數(shù)學(xué)是中國(guó)古代最為發(fā)達(dá)的學(xué)科之一，通常稱(chēng)為“算術(shù)”即“算數(shù)之術(shù)”。就是說(shuō)，古代中國(guó)的術(shù)語(yǔ)“算術(shù)”相當(dāng)于英文中的mathematics，而不是arithmetic,.所研究的內(nèi)容大體上是今天數(shù)學(xué)教科書(shū)中的算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等方面的內(nèi)容。后來(lái)，自述又稱(chēng)為算學(xué)、算法。中國(guó)是一個(gè)有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國(guó)。中2宋元時(shí)期開(kāi)始使用“數(shù)學(xué)”一詞，此后算學(xué)、數(shù)學(xué)兩詞并用。1939年6月，經(jīng)中國(guó)數(shù)學(xué)名詞審查委員會(huì)確定用“數(shù)學(xué)”而不再用“算學(xué)”。與世界上其他民族的數(shù)學(xué)相比，中國(guó)數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，成就卓著。本章按照年代的順序，巡視一下中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的狀況。宋元時(shí)期開(kāi)始使用“數(shù)學(xué)”一詞，此后算學(xué)、數(shù)學(xué)兩詞并用34.1先秦時(shí)期——中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽中國(guó)是世界著名的文明古國(guó)，和古巴比倫、埃及和印度一樣，她也是人類(lèi)文化的發(fā)源地之一。數(shù)學(xué)作為中國(guó)文化的重要組成部分，它的起源可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代。根據(jù)古籍記載、考古發(fā)現(xiàn)以及其他文字資料推測(cè)，至少在公元前3000年左右，在中華古老的土地上就有了數(shù)學(xué)的萌芽。一般認(rèn)為，這一時(shí)期的數(shù)學(xué)成就主要有以下幾點(diǎn)：4.1先秦時(shí)期——中國(guó)古代數(shù)學(xué)的萌芽中國(guó)44.1.1結(jié)繩記事中國(guó)古代記數(shù)方法的起源是很早的。據(jù)《易*系辭傳》稱(chēng)：“上古結(jié)繩而治?！薄兑?九家義》明確地解釋了這種方法；“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡?！边@種結(jié)繩記事的方法是很古老的。據(jù)《史記》記載：“伏羲始畫(huà)八封，造書(shū)契，以代結(jié)繩之治?！?.1.1結(jié)繩記事中國(guó)古代記數(shù)方法的起源是很早的。據(jù)《5這表明，在伏羲這一位中國(guó)神話(huà)中的人類(lèi)始祖之前，結(jié)繩記事這種方法就已十分流行，并且在他的時(shí)代已開(kāi)始用“八封”和“書(shū)契”等方法來(lái)代替“結(jié)繩記事“了。這表明，在伏羲這一位中國(guó)神話(huà)中的人類(lèi)始祖之前，64.1.2規(guī)矩的使用規(guī)矩是中國(guó)傳統(tǒng)的幾何工具。至于它們的用途，《周禮》、《荀子》、《淮南子》、《莊子》等古籍都有明確的記載?！皥A者中規(guī)，方都中矩?！闭f(shuō)明它們分別用于圓與方的問(wèn)題。它們的起源也是很早的，據(jù)《史記》記載，夏禹在治水時(shí)就“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時(shí)，以開(kāi)九州，通九道”。甚至在漢武梁祠中還有“伏羲手執(zhí)矩，女社媧手執(zhí)規(guī)”的浮雕像，將這兩種工具的最早使用歸功于傳說(shuō)中的伏羲與女?huà)z。規(guī)與矩的使用，對(duì)于后來(lái)幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展有著重要的意義，中國(guó)傳統(tǒng)幾何學(xué)大部分內(nèi)容都是圍繞圓與勾股形展開(kāi)的，這與古代中國(guó)人擅長(zhǎng)使用規(guī)與矩的關(guān)系是十分密切的。4.1.2規(guī)矩的使用規(guī)矩是中國(guó)傳統(tǒng)的幾74.1.3十進(jìn)位制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算在中國(guó)第二個(gè)奴隸制王朝商代（公元前16世紀(jì)到公元前12世紀(jì)），甲骨文已發(fā)展成熟。據(jù)對(duì)河南安陽(yáng)發(fā)掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古證明，中國(guó)當(dāng)時(shí)已采用了“十進(jìn)位值制記數(shù)法”，并有十，百，千，萬(wàn)等專(zhuān)用的大數(shù)名稱(chēng)（如圖4-1）。這是對(duì)世界數(shù)學(xué)最偉大的貢獻(xiàn)，正如李約瑟博士所指出的那樣：“如果沒(méi)有這種十進(jìn)制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們亮個(gè)統(tǒng)一化的世界了?！?.1.3十進(jìn)位制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算在中國(guó)第二個(gè)奴隸制8而這一點(diǎn)雙正是同時(shí)代的古埃及和古巴比倫數(shù)學(xué)所不及的。除了數(shù)學(xué)以外，中國(guó)古代對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)也比較早，分?jǐn)?shù)的概念及其應(yīng)用，在《管子》、《墨子》、《商君書(shū)》、《考工記》等春秋戰(zhàn)車(chē)時(shí)代的古籍中都有明確的記載。到春秋戰(zhàn)車(chē)時(shí)代，自述四則運(yùn)算已經(jīng)成熟。據(jù)漢時(shí)燕人韓嬰所撰的《韓詩(shī)外傳》介紹，標(biāo)志著乘除法運(yùn)算法則成熟的“九九歌“在春秋時(shí)代已相當(dāng)普及?！秴问洗呵铩愤€記載有這樣一個(gè)有趣的故事：在春秋時(shí)代的齊國(guó)，齊桓公執(zhí)政的時(shí)候，有一個(gè)背熟“九九歌”，便向齊桓公毛遂自薦，齊桓公問(wèn)他：“道僅僅國(guó)為你精通九九之術(shù)，我便要重用你嗎？”這個(gè)人答道：“如果君王對(duì)我這樣一個(gè)僅會(huì)九九歌的人都能禮遇重用，還怕真正有才能的人不來(lái)為君王效力嗎？”齊桓公是否厚待此人不得而知，但這至少?gòu)囊粋€(gè)側(cè)面說(shuō)明了在當(dāng)時(shí)九九歌已被人們廣泛地應(yīng)用了。而這一點(diǎn)雙正是同時(shí)代的古埃及和古巴比倫數(shù)學(xué)所不及9算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具?；I即小竹棍或小木棍（也有用骨、金屬材料或象牙制成的，如圖４－２）。從出土的漢代算籌可以知道，這種算籌比我們?nèi)粘Ｊ褂玫目曜由远躺约?xì)一點(diǎn)，古人就用它來(lái)進(jìn)行計(jì)算，相應(yīng)的第一套算法也就稱(chēng)為籌算。從春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期一直到元代末年，算籌在我國(guó)沿用了兩千多年。用算籌表示數(shù)有縱橫兩種擺法（如圖4—3）算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具?；I即小竹棍或小木棍（10記數(shù)時(shí)與十進(jìn)位值制相配合，采用從左到右（或從上到下）縱橫相間的擺法。如6728表示為；如遇零時(shí)則空一格，如6708，表示為。即使這種空位很小，也會(huì)由縱橫相同的法則看出。與巴比倫相比，他們雖然也早有位值制的思想，但由于沒(méi)有零的記號(hào)，辯別一個(gè)具體的數(shù)時(shí)，往往令人難以琢磨。記數(shù)時(shí)與十進(jìn)位值制相配合，采用從左到右（或從上到下）縱114.1.1精湛的幾何思想除了那些出土的陶器（如圖4-4）等給我們展示了那個(gè)時(shí)代各種精美的幾何圖形外，更令我們感興趣的是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期（公元前475-公元前221年）的諸子百家，各古希臘的數(shù)學(xué)學(xué)派一樣，他們的著作包含了理論數(shù)學(xué)的萌芽，其中最為杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨經(jīng)》記載了許多幾何概念，如“平，同高也“（即兩條直線(xiàn)或兩個(gè)平面間的距離處處相等稱(chēng)為平行）；4.1.1精湛的幾何思想除了那些出土的陶12“中，同長(zhǎng)也”（即直線(xiàn)段的中點(diǎn)至兩端點(diǎn)的距離相等，或圓的圓心（球的球點(diǎn)）到圓周（球表面）的距離相等）；“圈，一中同長(zhǎng)也”（即圓或球，皆有一個(gè)中心，即圓心或球心，圓周七球表面上任一點(diǎn)到中心的距離相等）；…………這些都是中國(guó)古代學(xué)者試圖用形式邏輯的方法定義幾何概念的證明。在這部著作中甚至還涉及到有窮和無(wú)窮的概念，稱(chēng)“或不容尺，有窮；莫不容尺，無(wú)窮也?！薄爸?，同長(zhǎng)也”（即直線(xiàn)段的中點(diǎn)至兩端點(diǎn)的距離相等，或圓的圓心13名家以善辯著稱(chēng)，對(duì)無(wú)窮的概念有著更深刻的認(rèn)識(shí)。據(jù)《莊子》記載，名家的代表人物惠施曾經(jīng)提出：“至大無(wú)外謂之大一，至少無(wú)外謂之小一”。這里的“大一”、“小一”有無(wú)窮大和無(wú)窮小的意思。此外，《莊子》中還記載了許多著名的論斷：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”（即一尺長(zhǎng)的要棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永遠(yuǎn)都不會(huì)截取完的）；“飛鳥(niǎo)之影，未富士通勸也；鏃矢之疾，而有不行不止時(shí)（即天上飛行的鳥(niǎo)不一定就是動(dòng)的；飛速射來(lái)的箭既不是運(yùn)動(dòng)的，也不是靜止的）…………這些可以說(shuō)與古希臘的芝諾悖論具有異曲同工之妙，也是世界數(shù)學(xué)史早期最光輝的數(shù)學(xué)思想之一。名家以善辯著稱(chēng)，對(duì)無(wú)窮的概念有著更深刻的認(rèn)識(shí)。據(jù)《莊子》記144.1.5數(shù)學(xué)教育的開(kāi)始我國(guó)的甲骨文中早就有了關(guān)于教育的記載。而記載周代教育制度的古老典籍《周禮*地官》中保氏一節(jié)稱(chēng)：“保氏掌誎王惡，而養(yǎng)國(guó)子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂(lè)，三曰五射，四曰五御，五曰六書(shū)，六曰九數(shù)?！逼渲卸Y、樂(lè)、射、御為大藝，前者為大學(xué)所授，后都乃小學(xué)所習(xí)。并稱(chēng)：“六年教之?dāng)?shù)，十年學(xué)書(shū)計(jì)。”4.1.5數(shù)學(xué)教育的開(kāi)始我國(guó)的甲骨文中15可見(jiàn)，早在周代，國(guó)家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必修課藝之一，從六歲或十歲就教數(shù)數(shù)及計(jì)算了。對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)如此重視，且以典制的形式規(guī)定下來(lái)，這在世界歷史上是罕見(jiàn)的?？梢?jiàn)，早在周代，國(guó)家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必164.2漢唐時(shí)期－中國(guó)數(shù)學(xué)體系的形成從漢代開(kāi)始，中國(guó)的經(jīng)濟(jì)文化有了進(jìn)一步的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)的繁榮給科學(xué)的進(jìn)步提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，特別是從秦代開(kāi)始實(shí)施的文字與度量衡的統(tǒng)一、鐵器的使用以及大量興修水利工程和水陸交通的工程，為人們探索大自然的奧秘增強(qiáng)了動(dòng)力，數(shù)學(xué)也有了長(zhǎng)足的發(fā)展，其主根標(biāo)志是以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成。4.2漢唐時(shí)期－中國(guó)數(shù)學(xué)體系的形成從漢代174.2.1《周骨卑算經(jīng)》和勾股定理《漢書(shū)*藝文志》所記載的《杜忠算術(shù)》與《許商算術(shù)》大概是中國(guó)有記載可考的最早的數(shù)學(xué)著作，可惜均已失傳。1984年，湖北江陵張家山出土了一部漢簡(jiǎn)《算數(shù)書(shū)》，據(jù)考證，此書(shū)是漢高祖（公元前206年？）到漢文帝（公元前179年）時(shí)期的一部數(shù)學(xué)著作，它也是中國(guó)目前所能見(jiàn)到的最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著。該書(shū)以問(wèn)題集的體例編篡，全書(shū)共90題，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，比例問(wèn)題，面積與體積等，大部分內(nèi)容與《九章算術(shù)》相似。4.2.1《周骨卑算經(jīng)》和勾股定理《漢書(shū)*藝文志》18比《九章算術(shù)》稍早且流傳下來(lái)的一部重要的著作是《周骨卑算經(jīng)》，該書(shū)原名《周骨卑》，大約成書(shū)于公元前2世紀(jì)的西漢時(shí)期，其許多內(nèi)容甚至可以追溯到西周（公元前11世紀(jì)——公元前8世紀(jì)）。唐代李淳風(fēng)在為國(guó)子監(jiān)明算科選定教科書(shū)時(shí)將其列入《算經(jīng)十書(shū)》，并改名為《周骨卑算經(jīng)》。嚴(yán)格地講，它并不是一本數(shù)學(xué)專(zhuān)著，而是一部介紹“蓋天說(shuō)“宇宙模型的天文學(xué)著作，但它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在開(kāi)方測(cè)量中的應(yīng)用。比《九章算術(shù)》稍早且流傳下來(lái)的一部重要的著作是19該書(shū)卷首記述了一段精彩的對(duì)話(huà)：“昔者周公問(wèn)于商高曰：……古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五?！视碇灾翁煜抡?，此數(shù)之所生也?！边@就是我國(guó)有關(guān)勾股定理的最早記錄，這里敘述了勾股定理的一個(gè)特例。接著，在陳子與榮方的“師生對(duì)話(huà)”中，借陳子之口又給出了一般的勾股定理：該書(shū)卷首記述了一段精彩的對(duì)話(huà)：20“求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日?！比鐖D４－５，即給出公式邪至日（弦）＝中國(guó)關(guān)于勾股定理的證明最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的。趙爽是中國(guó)歷史上首先對(duì)《周骨卑》進(jìn)行認(rèn)真研究和注釋的學(xué)者。他的工作主要包括三個(gè)方面的內(nèi)容：一為文字解釋?zhuān)欢檩^詳細(xì)地?cái)?shù)學(xué)理論推演，三是補(bǔ)圖。其中最為精彩的是“勾股圓方圖注”?！扒笮爸寥照?，以日下為勾，日高為股。勾股各自乘，21在這篇５００多字的注文中，趙爽首先給出勾股定理的一般證明：“按弦圖又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四。以勾股之差自相乘，為中黃實(shí)。如差實(shí)一，亦成弦實(shí)?！奔慈鐖D４－６，以勾股作為長(zhǎng)方形的二邊，其面積是朱色直角三角形面積的二倍。以勾股差為邊作中間的黃色正方形，加上四個(gè)朱色三角形與以弦為邊長(zhǎng)的正方形面積相等．這樣，趙爽就利用面積割補(bǔ)的方法證明了勾股定理．另外，在這篇注文中，趙爽還給出并證明了有關(guān)解直角三角形的27個(gè)命題。此外，該書(shū)還介紹了許多種利用勾股定理進(jìn)行測(cè)量的方法，如測(cè)量太陽(yáng)的直徑、太陽(yáng)的高等．同時(shí)，在勾股測(cè)量與計(jì)算中，還涉及到十分復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算，這在以前的著作中是沒(méi)有的．在這篇５００多字的注文中，趙爽首先給出勾股定理224.2.2《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系形成的是《九章算術(shù)》的成書(shū)．該書(shū)的作者和成書(shū)年代難以確切地考證，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為，它成書(shū)于西漢末東漢初，即公元1世紀(jì)初．中國(guó)的數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的積累，到西漢時(shí)已有很豐富的內(nèi)容，但這些內(nèi)容之間缺乏內(nèi)在的聯(lián)系，以前人們?cè)鴮で笠源_定的方式建立某種聯(lián)系，例如墨家學(xué)派曾嘗試過(guò)用邏輯方法研究數(shù)學(xué)概念，但沒(méi)有成功．也許正是這種原因，決定了《九章算術(shù)》所特有的處理方式，并形成了中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系．4.2.2《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)23《九章算術(shù)》全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，書(shū)中每道題皆有問(wèn)有答有術(shù)，其中“術(shù)”通常是解題的思想方法、公式和法則，有的一題一術(shù)，有的多題一術(shù)，有的一題多術(shù)．全書(shū)內(nèi)容豐富，且密切聯(lián)系實(shí)際，《九章算術(shù)》全書(shū)共有246個(gè)應(yīng)用題，基本上都是與生產(chǎn)實(shí)踐、日常生活有聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．這些問(wèn)題分別隸屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章．對(duì)于每類(lèi)間題，《九章算術(shù)》中都給出了統(tǒng)一的解法，它們相當(dāng)于一些初等數(shù)學(xué)理和公式，但沒(méi)有證明。解法大多數(shù)是正確的，有些是近似的，極少數(shù)有錯(cuò)誤．《九章算術(shù)》全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，書(shū)中每道題皆有問(wèn)24“方田”是《九章算術(shù)》的開(kāi)卷章，主要論述了各種平面圖形的地畝面積算法及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則．其中，平面圖形有方田（長(zhǎng)方形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圓田（圓形田地）、宛田（說(shuō)法不一，未有定論）、弧田（弓形田地）、環(huán)田（圓環(huán)或環(huán)缺形田地的面積算法，除宛田、弧田是近似計(jì)算方法外，其他各種圖形的面積算法都是確無(wú)誤的．分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則包括約分術(shù)（約分與通分）、合分術(shù)（分?jǐn)?shù)加法）、減術(shù)（分?jǐn)?shù)減法）、課分術(shù)（兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小比較）、平分術(shù)（求幾個(gè)分?jǐn)?shù)的算術(shù)均值）、乘分術(shù)（分?jǐn)?shù)乘法）、經(jīng)分術(shù)（分?jǐn)?shù)除法）和大廣田術(shù)（帶分?jǐn)?shù)除法），這些算法也都是正確的，且與現(xiàn)今的計(jì)算方法在理論上是一致的?！胺教铩笔恰毒耪滤阈g(shù)》的開(kāi)卷章，主要論述了各種25“粟米”章主要論述了20種糧食及其成品如稻、米、麥、面、飯等之的兌換比率及四項(xiàng)比例算法．四項(xiàng)比例算法當(dāng)時(shí)稱(chēng)為“今有術(shù)”，其計(jì)算方法是：所求數(shù)＝（所有數(shù)X所求率）／所有率，這里，所有率、所求率、所有數(shù)與所求數(shù)是比例算法的四個(gè)專(zhuān)用名詞．如“已知麥與米的比率是3:2，現(xiàn)有麥子60斤，問(wèn)能兌換大米多少斤？”在這個(gè)問(wèn)題中，所有率是麥子的比率3，所求率是大米的比率2，所有數(shù)是已有麥子的斤數(shù)，所求數(shù)就是欲求的大米斤數(shù)，這樣，按上述公式，能兌換大米的斤數(shù)為（60X2）/3=40（斤），《九章算術(shù)》還將這一算法用于解決上些更復(fù)雜的問(wèn)題．“粟米”章主要論述了20種糧食及其成品如稻、米26第三章“衰分”主要論述配分比例算法，其中問(wèn)題多與商業(yè)、手工業(yè)及社會(huì)制度有關(guān)．例如第一問(wèn)：“今有大夫、不更、簪褭(nia。讀音，下同）、上造、公士五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問(wèn)各幾何？”大夫、不更、簪褭、上造、公士是五種官爵，其分配原則是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4,簪褭3、上造2、公士1的比率分配．其解法相當(dāng)于第三章“衰分”主要論述配分比例算法，其中問(wèn)題多與商業(yè)、手工業(yè)27大夫得(頭）不更得(頭）簪裊得(頭）上造得(頭）公土得(頭）大夫得28第四章“少?gòu)V”主要成就包括開(kāi)平方、開(kāi)立方的算法．第五章“商功”主要論述各種立體圖形的體積算法，其中包括柱、錐、臺(tái)、球體等，內(nèi)容涉及筑城、修堤、開(kāi)渠、糧垛等施工方面的計(jì)算問(wèn)題．第六章“均輸”章主要論述較為復(fù)雜的配分比例問(wèn)題．其中最引人注目的是“均輸術(shù)”．這是我國(guó)古代實(shí)行的“均輸制”在數(shù)學(xué)上的反映，主要解決按人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物貴賤等條件，平均繳納賦稅或攤派徭役等實(shí)際問(wèn)題，這很類(lèi)似于條件極值問(wèn)題．第四章“少?gòu)V”主要成就包括開(kāi)平方、開(kāi)立方的算法．29第七章“盈不足”主要論述盈虧問(wèn)題的解法．盈不足的典型問(wèn)題是這樣的：若干人共買(mǎi)一物，若每人出錢(qián)，則多出錢(qián)；若每人出（<）錢(qián)，則又不足錢(qián)，求人數(shù)與物價(jià)．《九章算術(shù)》給出的方法相當(dāng)于公式：人數(shù)=物價(jià)=這一方法除了對(duì)于線(xiàn)性問(wèn)題給出精確的解外，也為非線(xiàn)性問(wèn)題提供了一個(gè)有效的近似解法．例如“雙鼠穿垣”題，講有一大一小兩只老第七章“盈不足”主要論述盈虧問(wèn)題的解法．盈不足30鼠在城墻兩邊同時(shí)開(kāi)始相向打洞，大、小鼠第一天皆各打洞一尺，但大鼠以后每天打洞的進(jìn)度皆是前一天的兩倍，而小鼠的進(jìn)度僅是前一天的一半，問(wèn)需多長(zhǎng)時(shí)間此二鼠才能打穿厚五尺的城墻相逢．依照題意，設(shè)兩鼠相逢日數(shù)為x，則有鼠在城墻兩邊同時(shí)開(kāi)始相向打洞，大、小鼠第一天皆各打洞一尺，但31化簡(jiǎn)后為一指數(shù)方程，解中需用到對(duì)數(shù)知識(shí)，而《九章算術(shù)》的作者通過(guò)對(duì)x值的兩次假設(shè)，將其轉(zhuǎn)化為盈不足問(wèn)題，求出其近似解為日相逢．由此可知這一方法具有一定的實(shí)用價(jià)值.第八章“方程”主要研究線(xiàn)性方程組的解法，其基本思想是消元．在解方程組時(shí)，將方程組的系數(shù)（包括常數(shù)）分離出來(lái)排成一個(gè)數(shù)表，相當(dāng)于現(xiàn)在線(xiàn)性代數(shù)中的增廣矩陣，然后通過(guò)類(lèi)似于矩陣初等變換的方法消元，這一思想方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是非常重要的，在西方被稱(chēng)為“高斯消去法”．化簡(jiǎn)后為一指數(shù)方程，解中需用到對(duì)數(shù)知識(shí)，而《九章算術(shù)》的作者32以該章第一題為例，其大意為：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出糧三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出糧三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出糧二十六斗．問(wèn)上中下等禾谷每捆出糧各多少？設(shè)上、中、下等禾谷每捆出糧分別為x,y,z斗，則有以該章第一題為例，其大意為：上等禾谷三捆，中等33《九章算術(shù)》給出的表示方法相等于下列矩陣上禾中禾下禾實(shí)其解法相當(dāng)于下列圖示方法《九章算術(shù)》給出的表示方法相等于下列矩陣34

35即上等禾谷每捆出糧取斗，中等禾谷每捆出糧斗，下等禾谷每捆出糧斗“方程”章的另一個(gè)重點(diǎn)就是對(duì)負(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算進(jìn)行了研究．在解方程的過(guò)程中，由于無(wú)法回避被減數(shù)小于減數(shù)的情況出現(xiàn)，故《九章算術(shù)》提出了‘以五負(fù)術(shù)入之”，即引入負(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則：“正負(fù)術(shù)日：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之．”即上等禾谷每捆出糧取斗，中等禾谷每捆出36即兩數(shù)相減時(shí)，同號(hào)則絕對(duì)值相減，異號(hào)則絕對(duì)值相加，正數(shù)減零為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)減零為正數(shù)；兩數(shù)相加時(shí)，同號(hào)則絕對(duì)值相加，異號(hào)則絕對(duì)值相減，正數(shù)加零為正數(shù)，負(fù)數(shù)加零為負(fù)數(shù)．在該書(shū)的實(shí)際問(wèn)題中已涉及正負(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，但《九章算術(shù)》和劉徽注中都沒(méi)有明確給出其運(yùn)算法則．關(guān)于正負(fù)數(shù)的定義和表示法，劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中給出：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之；正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異?！奔凑?fù)是“得失相反”兩種情況在數(shù)學(xué)中的反映；可用紅、黑兩種顏色的算籌或正、斜排列的兩種籌式表示正、負(fù)數(shù)．即兩數(shù)相減時(shí)，同號(hào)則絕對(duì)值相減，異號(hào)則絕對(duì)值相加，正數(shù)減零為37這是世界上最早關(guān)于正負(fù)數(shù)應(yīng)用的記載。第九章“勾股”主要討論有關(guān)勾股問(wèn)題的解法，并論及簡(jiǎn)單的勾股測(cè)量。《九章算術(shù)》注重實(shí)際問(wèn)題和長(zhǎng)于計(jì)算的特點(diǎn)，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著極其深刻的影響，可以說(shuō)，與西方數(shù)學(xué)的演繹推理相映生輝的具有中國(guó)特色的算法體系的形成即始于《九章算術(shù)》．《九章算術(shù)》成書(shū)以后，便成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的經(jīng)典，特別是唐代以來(lái)，經(jīng)官方認(rèn)定該書(shū)成為“算經(jīng)十書(shū)”中最重要的一部，成為后來(lái)的數(shù)學(xué)家們學(xué)習(xí)、研究和著述的依據(jù)．這是世界上最早關(guān)于正負(fù)數(shù)應(yīng)用的記載。38劉徽，魏晉時(shí)期人，祖籍淄鄉(xiāng)（今山東臨淄或淄川一帶），生卒年月不詳．他年輕時(shí)十分好學(xué)，尤其喜愛(ài)數(shù)學(xué)．在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)著作中，《九章算術(shù)》的不少數(shù)學(xué)問(wèn)題難度較大，理論色彩也較濃，如“方田”章的分?jǐn)?shù)體系，“少?gòu)V章”的開(kāi)方術(shù)，“方程”章的線(xiàn)性方程組解法與正負(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算法則，“勾股”章中的勾股應(yīng)用等，一般學(xué)者難以掌握，為了進(jìn)一步探索數(shù)學(xué)的奧秘，讓更多人掌握數(shù)學(xué)，他立志要對(duì)《九章算術(shù)》作更深入的研究劉徽，魏晉時(shí)期人，祖籍淄鄉(xiāng)（今山東臨淄或淄川一394.2.3劉徽和祖氏父子1．劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)數(shù)學(xué)史界的一個(gè)普遍的觀(guān)點(diǎn)是，如果離開(kāi)了劉徽的《九章算術(shù)注》去研究《九章算術(shù)》，則很難深人理解《九章算術(shù)》的精髓．事實(shí)上，劉徽的《九章算術(shù)注》對(duì)于闡發(fā)《九章算術(shù)》的思想方法，發(fā)展《九章算術(shù)》的理論，完善《九章算術(shù)》的體系，作出了杰出的貢獻(xiàn)．4.2.3劉徽和祖氏父子1．劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)40經(jīng)過(guò)多年的刻苦鉆研，劉徽不僅逐步領(lǐng)會(huì)了《九章算術(shù)》的精神實(shí)質(zhì)，而且對(duì)其中的深?yuàn)W玄妙之處有了較透徹的理解，于是他決心把自己的研究所得以對(duì)《九章算術(shù)》作注的形式一一記載下來(lái)．為了使自己的敘述通俗化，他為自己規(guī)定的目標(biāo)是用言辭來(lái)分析與表達(dá)道理，用圖形來(lái)建立幾何直觀(guān)幫助解決問(wèn)題．具體地說(shuō)，就是要對(duì)《九章算術(shù)》中未加論證的公式（方法）和原理從理論上加以證明或闡說(shuō)，特別是對(duì)其中的經(jīng)驗(yàn)公式或錯(cuò)誤公式分別從理論上指出它的近似程度或錯(cuò)誤原因，并提出一些理論推斷．對(duì)于幾何概念和命題，則借助于圖形和應(yīng)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法，進(jìn)行一般論證或演繹推理．公元263年（魏陳留王景元四年），劉徽的《九章算術(shù)注》終于問(wèn)世了，書(shū)中載錄了劉徽在數(shù)學(xué)上的許多重要貢獻(xiàn)．經(jīng)過(guò)多年的刻苦鉆研，劉徽不僅逐步領(lǐng)會(huì)了《九章算41在算術(shù)方面，劉徽闡發(fā)了《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論．他的分?jǐn)?shù)的意義、表示方法、運(yùn)算法則等代表了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度．他把分?jǐn)?shù)看作比，由此發(fā)展出。率”的概念，又在“率”的基礎(chǔ)上提出了算術(shù)中的比例理論、“盈不足”方法等，成為中國(guó)傳統(tǒng)算法理論發(fā)展的重要基礎(chǔ)，并傳人印度、阿拉伯和歐洲，對(duì)這些地區(qū)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響.在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》中的線(xiàn)性方程組解法以及正負(fù)數(shù)加減運(yùn)算當(dāng)時(shí)世界上無(wú)與倫比的兩項(xiàng)重大成就．前者比歐洲早1500年，后者也早了1200多年，而給這兩項(xiàng)算法以完整在算術(shù)方面，劉徽闡發(fā)了《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論42的理論說(shuō)明的正是劉徽，他第一個(gè)給出了方程定義并揭示了方程組的同解原理．對(duì)于正負(fù)數(shù)，劉徽的定義可以說(shuō)是經(jīng)典性的．他把正與負(fù)看成是相對(duì)存在的數(shù)的兩種情況，從這一認(rèn)識(shí)出發(fā)，劉徽在世界數(shù)學(xué)史上第一個(gè)采取了把數(shù)的正負(fù)與加減運(yùn)算關(guān)系統(tǒng)一起來(lái)的做法．他還運(yùn)用平面與立體圖形對(duì)中國(guó)古代的開(kāi)平方與開(kāi)立方法作出了直觀(guān)解釋?zhuān)@種方法對(duì)于幫助讀者正確理解與掌握開(kāi)方程序是非常有益的．此外，他由取平方根的近似值而提出的小數(shù)概念和表示方法，不僅明顯具有近代特征，而且比歐洲最早的小數(shù)——斯蒂文（S.Stevin,1548-1620）的小數(shù)記法要早出1300多年。的理論說(shuō)明的正是劉徽，他第一個(gè)給出了方程定義并43在幾何方面，劉徽的貢獻(xiàn)尤為突出，他是具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)幾何理論的奠基者．他以別具一格的證明方法對(duì)中國(guó)古代提出的幾何命題予以科學(xué)的證明，這些方法包括“圖形割補(bǔ)法”、“代數(shù)法”、“極限法”以及“無(wú)窮小分割法”等等，其中最常用的是圖形割補(bǔ)法，這與他提出的“解體以圖”的目標(biāo)是一致的．劉徽對(duì)用圖很考究，不僅對(duì)插圖施以顏色，用黃屯朱、青三種顏色標(biāo)出各種不同的圖形，而且強(qiáng)調(diào)要“按圖為位”，使圖形與文字互相對(duì)照．特別是他為證明立體的體積公式所采用的立體圖形割補(bǔ)法尤為出色．在幾何方面，劉徽的貢獻(xiàn)尤為突出，他是具有中國(guó)特44（1）割圓術(shù)《九章算術(shù)》“圓田術(shù)”給出了圓面積的計(jì)算公式：“半周半徑相乘得積步”即圓田積步＝C*R/2（其中C為圓周長(zhǎng)，R為圓的半徑）．可見(jiàn)，在《九章算術(shù)》的作者看來(lái)，圓與一個(gè)長(zhǎng)為圓周的一半、高為半徑長(zhǎng)方形，或以圓周為底邊、半徑為高的三角形面積相等．為了證明這一公式，劉徽創(chuàng)造了著名的“割圓術(shù)”．劉徽“割圓術(shù)”的基本思想是“化圓為方”，并借助于極限的方法．（1）割圓術(shù)45首先，劉徽以“割圓為六瓤圖”來(lái)指出古率“徑一周三”實(shí)際上是六瓤，（如圖4一9，正六邊形）的周長(zhǎng)（）與直徑之比．然后從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并逐次計(jì)算得到正多邊形的周長(zhǎng)和面積．如圖4一10首先，劉徽以“割圓為六瓤圖”來(lái)指出古率“徑一周46“以六瓤之一面乘半徑，因而三之，得十二瓤之冪”。即有若又割之，次以十二抓之一面乘半徑，因而六之，則得二十四瓤之冪”。即有若令，如即是圓除去其內(nèi)接“十二瓤”的小弓形面積總和，這些小弓形面積在割圓術(shù)“化圓為方”的過(guò)程中是要舍棄的．所以劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”“以六瓤之一面乘半徑，因而三之，得十二瓤之冪”。即有47即隨著分割的不斷細(xì)密，的值不斷變?。?dāng)分割至“不可割”的極限狀態(tài)時(shí)，內(nèi)接正多邊形與圓重合，而“無(wú)所失”了．劉徽還注意到，如果在圓的內(nèi)接正3X2“邊形的每一邊上作一高為“余徑”（半徑與邊心距之差）的矩形，就可得到<<這樣就不需要計(jì)算圓的外切正多邊形的面積來(lái)得到圓面積的上限和下限了．這一公式可以稱(chēng)之為“劉徽不等式”．即隨著分割的不斷細(xì)密，的值不斷48劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一直推算到圓的內(nèi)接正192邊形．得到圓周率的近似值為，化為分?jǐn)?shù)就是157/50，這就是著名的“徽率”．劉徽還進(jìn)一步聲明：“此率尚微少”，沿用這一方法可得到更為精確的近似值．(2）體積理論《九章算術(shù)》“商功”章給出了柱、錐、臺(tái)體及擬柱體的體積公式，其公式的編排明顯地帶有某種邏輯順序．劉徽首先將一個(gè)長(zhǎng)方體（劉徽稱(chēng)之為立方）剖分，得到了幾種基本的幾何體，如圖4一11劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一49“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉孺．”“不有鱉濡，無(wú)以審陽(yáng)馬之?dāng)?shù)；不有陽(yáng)馬，無(wú)以知錐亭之類(lèi)．功實(shí)之主也．”并指出：“陽(yáng)馬居二，鱉濡居一，不易之率也．”為了證明這一關(guān)系，如圖4一12，劉徽將一個(gè)塹堵ACJLPR斜分為一個(gè)陽(yáng)馬AJLRP和一個(gè)鱉ACLR，過(guò)此塹堵三度的中點(diǎn)進(jìn)行剖分，則陽(yáng)馬被分割成五個(gè)部分：一個(gè)小立方DEHGJKNM，兩個(gè)小塹堵GHMNQP和EHKNOL，以及兩個(gè)小陽(yáng)馬ADEHG和HNORQ;鱉孺被分割成四個(gè)部分：“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為50兩個(gè)小塹堵BCEFIH,EHIFLO和兩個(gè)小鱉孺ABEH,HIOR．將分割陽(yáng)馬所得兩個(gè)小塹堵GHMNQP和EHKNOL合為一小立方，將分割鱉蠕所得兩個(gè)小塹堵BCEFIH和EHIFLO也合為另一小立方，這樣連同分割陽(yáng)馬所得的小立方DEHGJKNM．這些體積是可以計(jì)算的，其結(jié)果是屬于陽(yáng)馬的部分和屬于鱉蠕的部分的體積之比為2，1．剩下的小陽(yáng)馬ADEHG（屬于陽(yáng)馬）和小鱉蠕ABEH（屬于鱉蠕）、小陽(yáng)馬HNORQ（屬于陽(yáng)馬）和小鱉蠕HIOR（屬于鱉糯）又可合成兩個(gè)塹堵．重復(fù)上述過(guò)程，分屬于陽(yáng)馬和鱉蠕的可計(jì)算部分的體積之比仍為2，1．將此過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去，直到剩余體積為0。，而整個(gè)過(guò)程中能夠計(jì)算的陽(yáng)馬與鱉孺的體積之比總是2:1.故劉徽得到了上述“不易之率”．兩個(gè)小塹堵BCEFIH,EHIFLO和兩個(gè)小鱉孺ABEH,51若以a,b,c。表示立方的三度，上述過(guò)程相當(dāng)于由公式推出了顯然，劉徽在這里熟練地運(yùn)用了出人相補(bǔ)原理和無(wú)窮分求和原理．利用這四種基本幾何體，將其他的幾何體加以恰當(dāng)?shù)姆指睿涂梢苑奖愕厍蟪鏊鼈兊捏w積了．人們把劉徽的這種方法稱(chēng)為“棋驗(yàn)法”．如圖4一13，對(duì)于四棱臺(tái)，將其剖分為一個(gè)立方、四個(gè)塹堵和四個(gè)陽(yáng)馬，分別計(jì)算它們的體積后再相加，即得正確的計(jì)算公式。若以a,b,c。表示立方的三度，上述過(guò)程相當(dāng)于由公式52(3)球體積計(jì)算劉徽一生不僅成就卓著，而且品格高尚．在學(xué)術(shù)研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是堅(jiān)持實(shí)事求是，‘以理服人．如少?gòu)V章的“開(kāi)立圓術(shù)”給出的球體積（）計(jì)算方法相當(dāng)于公式（這里的D為球直徑），粗徽對(duì)這一公式的正確性產(chǎn)生了懷疑，他嫻熟地使用截面法進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)內(nèi)切圓柱的體積(）與正方體的體積（）之比為/4，在《九章算術(shù)》取=3的情況下，只有在內(nèi)切球與圓柱的體積之比也是/4時(shí)，上述近似公式才成立，而實(shí)際上后者是不成立的.為了說(shuō)明這一點(diǎn)，劉徽又引人了一種新的

(3)球體積計(jì)算53立方體：以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底分別作兩次內(nèi)切圓柱切割，剔除外部，剩下的內(nèi)核部分劉徽稱(chēng)之為“牟合方蓋，;(如圖4一14中的)·他用截面法證明內(nèi)切球與“牟合方蓋”的體積之比為/4，而明顯可以看出，“牟合方蓋”的體積比圓柱要小，故上述公式是錯(cuò)誤的．顯然，如果能求出牟合方蓋的體積，球的體積就自然可以求出了．但對(duì)于牟合方蓋的體積如何求出，劉徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俊能言者”．由此我們可以看出劉徽學(xué)術(shù)研究中的嚴(yán)謹(jǐn)與謙遜的態(tài)度，也許正是這二者的結(jié)合，使得劉徽在數(shù)學(xué)研究方面做出了舉世矚目的成就，給后人留下豐富的文立方體：以正方體相鄰的兩個(gè)側(cè)面為底分別作兩次內(nèi)切圓柱切割，剔54(4)勾股測(cè)量劉徽不僅注重?cái)?shù)學(xué)的理論研究，而且也注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用．他在為《九章算術(shù)》作注的同時(shí)，還實(shí)際處理了許多測(cè)量問(wèn)題．他的另一部著作《海島算經(jīng)》，就是在測(cè)量的具體實(shí)踐過(guò)程中總結(jié)而成的關(guān)于“測(cè)高望遠(yuǎn)之術(shù)”的專(zhuān)著．該書(shū)共9問(wèn)，涉及到的勾股測(cè)量方法有重表、累矩、連索以及兩望、三望、四望．如第二問(wèn)：“今有松生山上，不知高下．立兩表，齊高三丈，前后相去五十步，令后表與前表參相直．從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合．又望松本，入表二尺八寸．復(fù)從后(4)勾股測(cè)量55表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合．問(wèn)松高及山去表各幾何？”如圖4一15，劉徽借助于相似勾股形的比例關(guān)系和中國(guó)古代的“重差術(shù)”得到表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合．問(wèn)松高及56從而有所以從而有57由此可以看出，‘海島算經(jīng)，是劉徽對(duì)幗古代重差理論的進(jìn)一步發(fā)展，展示了勾股比率和重差測(cè)量的演化歷程，標(biāo)志著中算家在測(cè)量技術(shù)及理論萬(wàn)面所達(dá)到的新的高度．2．祖氏父子的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)祖沖之（429-500)，字文遠(yuǎn)，祖籍范陽(yáng)遒縣（今河北沫水縣）．他生活在南北朝，家學(xué)淵博，加上他自幼刻苦勤奮，對(duì)天文、數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，而成一位博學(xué)多才的天文學(xué)家與數(shù)學(xué)家、機(jī)械制造專(zhuān)家、文學(xué)家．他編制的《大明歷》，首次考慮到歲差的計(jì)算，其日、月運(yùn)行周期的數(shù)據(jù)也比當(dāng)時(shí)頒行的歷法精確．此外，他還改造了指南車(chē)，制造了水碓由此可以看出，‘海島算經(jīng)，是劉徽對(duì)幗古代重差理58磨、千里船等．他的兒子祖恒，字景爍，也精通歷法、數(shù)學(xué)．父子倆都對(duì)《九章算術(shù)》與劉徽注有濃厚的興趣，他們的著作《綴術(shù)》在唐代曾被李淳風(fēng)收人“算經(jīng)十書(shū)”作為數(shù)學(xué)教科書(shū)．祖沖之繼承了劉徽的思想，其最突出的成就是對(duì)圓周率值的推算．《隋書(shū)·律歷志》記載著他對(duì)圓周率的研究成果=3.1415926．由于中國(guó)古代習(xí)慣使用分?jǐn)?shù)，故祖沖之又給出了圓周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)值：密率為355/113；約率為22/7．其中密率在歐洲由德國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W托（1550-1605)于1573年得到，磨、千里船等．他的兒子祖恒，字景爍，也精通歷法、數(shù)學(xué)．59這比祖沖之要晚1100年之久，密率是一個(gè)很好的分?jǐn)?shù)近似值，如果用它亞計(jì)算斗徑為10公里的圓的面積，其誤差僅幾個(gè)平方毫米，可見(jiàn)其精確度是很高的。至于祖之沖是如何得到圓周率的，由于他的著作已經(jīng)失傳，已無(wú)從了解了。但大多數(shù)人認(rèn)為，他可能使用的就是劉徽的割圓術(shù)。祖氏父子在研究《九章算術(shù)》及劉徽注時(shí)發(fā)現(xiàn)了劉徽遺留下的如何計(jì)算“牟合方蓋”的體積問(wèn)題，并開(kāi)始沿著劉徽開(kāi)辟的道路繼續(xù)探索。經(jīng)父子兩代人不懈的努力，終于由祖恒解決了牟合方蓋與其外切正方體的體積比為2/3。這比祖沖之要晚1100年之久，密率是一個(gè)很好的分?jǐn)?shù)近60如圖4-17，他把正方體（邊長(zhǎng)為D）等分為8個(gè)小正方體，去出其中之一個(gè)，以左下棱為軸、棱長(zhǎng)（D/2）為半徑作四分之一圓柱面；再以后下棱為軸作1/4圓柱面，二次分割得到4個(gè)曲面立體:其中一塊稱(chēng)為內(nèi)棋（,即牟合方蓋的1/8），還有3塊稱(chēng)為外棋并將這4塊幾何體用水平面（立標(biāo)記為z）去截分別得到截面：一個(gè)大正方形（邊長(zhǎng)記為y0，小正方體和兩個(gè)長(zhǎng)方形，由勾股定理得如圖4-17，他把正方體（邊長(zhǎng)為D）等分為861于是。再考慮到以D/2為底面邊長(zhǎng)和高的倒立正四棱錐？在立標(biāo)為z處的截面面積也是，由“祖恒原理”有。由圖4-18所示關(guān)

系，有令則得于是。再考62祖氏父子所用的方法論證嚴(yán)謹(jǐn)，推導(dǎo)完善，無(wú)懈可擊；同時(shí)，祖恒還將其推導(dǎo)過(guò)程中所用的、事實(shí)上也是劉徽已經(jīng)使用過(guò)的不可分量原理，總結(jié)提煉成一般的命題：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，若所得截面總相等，剛此二幾何體體積相等。它被稱(chēng)為“祖恒原理”，這實(shí)際上也就是西文數(shù)學(xué)界所謂的“卡瓦列利原理”。這一原理在西文直到17世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家瓦列里發(fā)現(xiàn)，比祖恒晚了1100多年。祖氏父子所用的方法論證嚴(yán)謹(jǐn)，推導(dǎo)完善，無(wú)懈可擊63由于祖氏父子的著作均已失傳，他倆的這一研究成果幸虧被唐代李淳風(fēng)摘錄在《九章算術(shù)》“商功”章“開(kāi)立圓術(shù)”劉徽注的后面，才使我們得以見(jiàn)到這一光輝成就。由于祖氏父子的著作均已失傳，他倆的這一研究成644.2.4《算經(jīng)十書(shū)》魏晉時(shí)期是中國(guó)古代學(xué)術(shù)研究繼春秋戰(zhàn)國(guó)以后又一個(gè)繁榮時(shí)期．劉徽注《九章算術(shù)》、趙爽注《周稗》及祖氏父子的工作，使中國(guó)古代數(shù)學(xué)在理論研究方面達(dá)到了一個(gè)新的高度．這一時(shí)期的數(shù)學(xué)著作較多；流傳至今的就有《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《數(shù)術(shù)記遺》和《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》等，這些著作大多反映了當(dāng)時(shí)社會(huì)各方面的需要，在內(nèi)容上基本是《九章算術(shù)》的沿襲與補(bǔ)充，在編寫(xiě)風(fēng)格上也大多模仿《九章算術(shù)》．這些著作的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究的深人和數(shù)學(xué)教育的普及．4.2.4《算經(jīng)十書(shū)》魏晉時(shí)期是中國(guó)古代學(xué)65隋唐時(shí)期是中國(guó)封建社會(huì)發(fā)展的鼎盛階段，社會(huì)穩(wěn)定，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展迅速，使得與生產(chǎn)密切相關(guān)的歷法、數(shù)學(xué)又有了長(zhǎng)足的進(jìn)步．從隋代開(kāi)始，中國(guó)有了專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)，在其最高學(xué)府—國(guó)子監(jiān)中，設(shè)立算學(xué)科，專(zhuān)門(mén)從事數(shù)學(xué)教學(xué)．唐朝建立以后，在隋的基礎(chǔ)上，繼續(xù)在國(guó)子監(jiān)中設(shè)立數(shù)學(xué)教育機(jī)構(gòu)，他們把數(shù)學(xué)教育與明經(jīng)、明法、明書(shū)等并列為六科，稱(chēng)作明算科，設(shè)有算學(xué)博士與算學(xué)助教各二人，并招收算學(xué)生80人．為了教學(xué)的需要，由數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)等人共同審定并注釋了十部算經(jīng)作為數(shù)學(xué)教材，這十部著作是《周牌算經(jīng)》隋唐時(shí)期是中國(guó)封建社會(huì)發(fā)展的鼎盛階段，社會(huì)穩(wěn)定66《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》，這就是歷史上著名的“算經(jīng)十書(shū)”，其記載了漢唐的數(shù)學(xué)成就，并成為后人數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的重要源泉．除了前面已經(jīng)介紹過(guò)的《周骨卑.算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》以及祖氏父子的《綴術(shù)》外，其他算經(jīng)也包含了一些重要的數(shù)學(xué)成就．《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》67《孫子算經(jīng)》出現(xiàn)在4-5世紀(jì)，其具體的成書(shū)年代與作者姓名已不可考，這是繼《九章算術(shù)》之后又一部重要的數(shù)學(xué)著作．《孫子算經(jīng)》分上、中、下三卷，卷上敘述度量衡制度、籌算記數(shù)和籌算乘除運(yùn)算方法；卷中舉例說(shuō)明籌算分?jǐn)?shù)算法和開(kāi)平方算法，以及簡(jiǎn)單的面積、體積計(jì)算；卷下是各種應(yīng)用問(wèn)題，涉及田域、倉(cāng)窖、營(yíng)建、賦役、軍旅等·從其內(nèi)容特色來(lái)看，它以實(shí)際應(yīng)用為主，注重計(jì)算技術(shù)，題目通俗有趣，解法巧妙簡(jiǎn)便，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中是很有代表性的．《孫子算經(jīng)》還記載了舉世聞名的“孫子間題”，這就是卷下第26題，也即全書(shū)的最后一題．原文是這樣的《孫子算經(jīng)》出現(xiàn)在4-5世紀(jì)，其具體的成書(shū)年代68“今有物不知數(shù)．三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？”其意思是：有堆東西不知有多少，如果三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，最后余下兩個(gè)；五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，最后余下三個(gè)；七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)，最后余下二個(gè)，問(wèn)這堆東西共有多少？雖然《孫子算經(jīng)》記載的“孫子問(wèn)題”似乎是一個(gè)數(shù)字游戲，但古代產(chǎn)生這一間題的背景卻是非常深刻的，這主要是天文歷法的需要．例如在制定魏景初歷（公元237年）時(shí)就明確規(guī)定，把冬至、月朔和甲子日零時(shí)重合的時(shí)刻取作歷法起算的原點(diǎn)，古代歷法中稱(chēng)之為“上元”．如果制訂歷法那一年冬至發(fā)生在甲子“今有物不知數(shù)．三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩69日零時(shí)后r1日，在月朔后r2日，那么，這一年冬至距上元的年數(shù)x就是同余式組

的解．這里a是一回歸年的日數(shù)，b是一朔望月的日數(shù)．據(jù)研究，早在公元前2世、紀(jì)時(shí)，我國(guó)就已研究過(guò)需要一次同余式才能解決的天文問(wèn)題．這類(lèi)問(wèn)題在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中是經(jīng)常碰到的，不過(guò)由于問(wèn)題的提法不同而賦予不同的名稱(chēng)，如“鬼谷算”、“秦王暗點(diǎn)兵”、“剪管術(shù)”、“隔墻算”等等．把上述間題用同余式組表示出來(lái)就是日零時(shí)后r1日，在月朔后r2日，那么，這一年冬至距上元的年數(shù)70求x，這里表示a與b同時(shí)被p除所得的余數(shù)相同．《孫子算經(jīng)》的解答原文如下：“答日：二十三．術(shù)日：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得．凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則里十五；一百五上，以一百五減之，即得．”這段原文隱晦難懂，但它卻揭示了這類(lèi)問(wèn)題解法的關(guān)鍵是要找出70,21,15這三個(gè)常數(shù)，為什么呢？因?yàn)?0不僅是5X7的倍數(shù)（2倍），求x，這里表示a71而且被3除余1;21不僅是3X7的倍數(shù)（(1倍），且被5除余1;15不僅是3X5的倍數(shù)（(1倍），且被7除余1，即(4.1)(4.2)(4.3)由題設(shè)，用3,5,7分別除以x所得的余數(shù)為2,3,2，故用2,3,2分別去乘（4.1),(4.2),(4.3）式，再相加即得而且被3除余1;21不僅是3X7的倍數(shù)（(1倍），且被5除余72這表示233是滿(mǎn)足條件的x的一個(gè)解．為了求滿(mǎn)足條件的最小解，可用3X5X7=105的倍數(shù)去減233，得到的差23便是所求的解．后來(lái)有人將這一問(wèn)題的解法寫(xiě)成一首詩(shī)歌，這就是明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》卷五所載的“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知．《張邱建算經(jīng)》三卷，為5世紀(jì)時(shí)期北魏人張邱建所撰。其主要數(shù)學(xué)成就有：最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用、等差數(shù)列、開(kāi)帶從平方和不定方程。著名的“百雞問(wèn)題”即出自此書(shū)。該書(shū)卷下最后一題就是所謂“百雞問(wèn)題”：這表示233是滿(mǎn)足條件的x的一個(gè)解．為了求滿(mǎn)足條件的最73今有雞翁一，直錢(qián)五；雞母一，直錢(qián)三；雞雛三，直錢(qián)一。凡百錢(qián)買(mǎi)雞百只。問(wèn)翁、雞母、雞雛各幾何？”此題相當(dāng)于給出不定方程組：

這里的x，y,z分別為所買(mǎi)雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)．張邱建給出了三組解,,今有雞翁一，直錢(qián)五；雞母一，直錢(qián)三；雞雛三，直錢(qián)74這恰好是所有可能的三組正整數(shù)解。至于如何得到這三組解，《張邱建算經(jīng)》的“術(shù)”文是：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得?！边@實(shí)際上指出了這個(gè)不定方程的通解公式為t取0。1。2這恰好是所有可能的三組正整數(shù)解。至于如何得到這三組解，《張邱75《五曹算經(jīng)》為北周甄鸞所撰，共2卷。該書(shū)對(duì)《尚書(shū)》、《詩(shī)經(jīng)》《周易》《禮記》和，《論語(yǔ)》等儒家經(jīng)典及其古代經(jīng)師的注解中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解釋?zhuān)珨?shù)學(xué)內(nèi)容并不深。現(xiàn)傳本《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》已不是唐代立于學(xué)官的原著，是北宋時(shí)期重刻《算經(jīng)十書(shū)》時(shí)頂替早已亡佚的原著而選用的唐代中葉的一本實(shí)用算術(shù)書(shū)，其作者可能是韓延．該書(shū)共3卷，較為重要的是有許多關(guān)于捷算方法的記載．《緝古算經(jīng)》為唐代數(shù)學(xué)家王孝通所撰。全書(shū)共20題，最重要的有堤岸的體積計(jì)算公式和對(duì)高次方程的研究，彌補(bǔ)了《九章算術(shù)》與《綴術(shù)》等書(shū)的不足。《五曹算經(jīng)》為北周甄鸞所撰，共2卷。該書(shū)對(duì)《尚76盡管隋唐時(shí)期對(duì)數(shù)學(xué)教育十分重視，但就數(shù)學(xué)成就面言，這一時(shí)期并不十分突出。不過(guò)也還是出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)成就。如在天文歷法的研究中，隋代卓越的天文學(xué)家劉焯（544-610）在《周骨卑算經(jīng)》中一次同內(nèi)插法的啟發(fā)下，首先在天文歷法研究中應(yīng)用了等間距二次內(nèi)插法公式。接著，唐代的僧一行（俗名張遂，687-727）推廣建立了不等間距的二次內(nèi)插法公式，即數(shù)學(xué)史上有名的“張遂內(nèi)插法公式”，同時(shí)，僧一行還組織了世界上第一次對(duì)地球子午線(xiàn)的實(shí)際測(cè)量……這些都是中國(guó)數(shù)學(xué)史上光輝的一頁(yè)。盡管隋唐時(shí)期對(duì)數(shù)學(xué)教育十分重視，但就數(shù)學(xué)成就面774.3宋元時(shí)期——中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的興盛這一時(shí)期包括宋元兩代，即900年到1368年。眾所周知，宋代結(jié)束了五代十國(guó)的封建割據(jù)的局面以后，出現(xiàn)了社會(huì)穩(wěn)定，生產(chǎn)發(fā)展、經(jīng)濟(jì)繁榮的景象，特別是統(tǒng)治者鼓勵(lì)發(fā)展科學(xué)技術(shù)，同時(shí)改革舊的科舉制度，極大地推動(dòng)了科學(xué)文化技術(shù)的發(fā)展。聞名于世的中國(guó)古代“四大發(fā)明”中的指南針、火藥和活字印刷這三大發(fā)明就都是在宋代完成并獲得廣泛應(yīng)用的。到了元代，蒙古騎兵占領(lǐng)了歐亞大陸的廣大地區(qū)，促進(jìn)了中外交流，印刷術(shù)的發(fā)展了推動(dòng)了數(shù)學(xué)教育與研究，再加上前一時(shí)期數(shù)學(xué)出現(xiàn)了極其輝煌的成就，到達(dá)了興盛時(shí)期。4.3宋元時(shí)期——中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的興盛這一時(shí)78這一時(shí)期的一個(gè)顯著標(biāo)志是數(shù)學(xué)家及其數(shù)學(xué)著作的大批出現(xiàn)。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，著名的數(shù)學(xué)家數(shù)十人，有記載的數(shù)學(xué)專(zhuān)著百余種，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出前面的各個(gè)時(shí)期。數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容也有了顯著的變化，如果說(shuō)由趙君卿、劉徽至王孝通的這一時(shí)期。幾何學(xué)得到了高度的發(fā)展。那么宋元高峰時(shí)期基本上是以代數(shù)為中心的時(shí)期。在這個(gè)時(shí)期，關(guān)于高次方程的數(shù)值解法、線(xiàn)性方程組的解法、高階等差數(shù)列、組合數(shù)學(xué)、半符號(hào)代數(shù)以及屬于數(shù)論范疇的同余式組的解法等，都達(dá)到了當(dāng)時(shí)世界的最高水平。這一時(shí)期的一個(gè)顯著標(biāo)志是數(shù)學(xué)家及其數(shù)學(xué)著作的大794．3．1高次方程的數(shù)值解法《九章算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》等著作中所載的開(kāi)平方、開(kāi)立方法已具備了解二次、三次方程的雛形。宋代以前，也曾經(jīng)有人嘗試將這種方法推廣到解更高次的方程。但目前明確記載并保存下來(lái)的應(yīng)是北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)造的“增乘開(kāi)方法”。4．3．1高次方程的數(shù)值解法《九章算術(shù)》、《緝801050年前后，北宋數(shù)學(xué)家賈憲撰寫(xiě)了一部名為《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，給出了用“增乘開(kāi)方”來(lái)解形如的方程的方法，邁出了將傳統(tǒng)的開(kāi)平方、開(kāi)立方法推廣為求解一般高次方程的重要一步。賈憲的著作早已失傳，但其主要內(nèi)容被南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家楊輝摘錄在他自己的著作《詳解九章算法》（1261）中，由此我們可以看出，賈憲的高次開(kāi)方法是以“開(kāi)方作法本源”圖為基礎(chǔ)的。1050年前后，北宋數(shù)學(xué)家賈憲撰寫(xiě)了一部名為《81圖4-19中數(shù)字排列成一個(gè)三角形。該三角形的每N橫行恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)圖下注文為:“左袤乃積數(shù)，左袤乃隅算，中藏者皆廉乘商方，命實(shí)以除之?！鼻皟删涫侵溉切巫钔膺叺膬闪袛?shù)字分別對(duì)應(yīng)各次開(kāi)方之積與隅算，第三句是說(shuō)中間的數(shù)字分別對(duì)應(yīng)開(kāi)方過(guò)程中所出現(xiàn)的各廉，后兩句是對(duì)開(kāi)方算法的概括．圖4-19中數(shù)字排列成一個(gè)三角形。該三角形的每N橫行恰好是二82賈憲的解法大體上可用現(xiàn)代語(yǔ)言解釋如下：對(duì)于方程（4.4)，若x僅為一位數(shù)字，不難通過(guò)試驗(yàn)確定其值；若x有2位有效數(shù)字時(shí)，令x=a+b(其中a的位值是b的10倍），則有即賈憲的解法大體上可用現(xiàn)代語(yǔ)言解釋如下：對(duì)于方程（4.4)，若83在估算出a以后作減法,然后利用上述關(guān)系就可以求出b來(lái)．如果x的有效數(shù)字的個(gè)數(shù)多于2時(shí)，在求出第二位有效數(shù)字以后又可依照同樣的方法繼續(xù)計(jì)算后面的有效數(shù)字．以楊輝《詳解九章算法》中所記載的求1336336的四次方根為例，該題相當(dāng)于求解方程6當(dāng)然，楊輝這里所求的是該方程的正根．他的方法相當(dāng)于首先令將原方程變換為議得首商為3,令,則利用二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)表，得到減根變換后的方程為在估算出a以后作減法,然后利用上述關(guān)系就84其中的系數(shù)如表4一1由所謂“增乘”程序得到其中的系數(shù)85即再令,將方程變?yōu)槎茸h和次商為4，令重復(fù)上述“增乘”程序得即86由于常數(shù)項(xiàng)恰好為0。，整個(gè)計(jì)算過(guò)程到此結(jié)束，得到原開(kāi)方式的精確值為34．若常數(shù)項(xiàng)不為0。時(shí)，還可繼續(xù)重復(fù)增乘程序來(lái)求小數(shù)點(diǎn)后的各位數(shù)字。“增乘開(kāi)方法”包括了四種算法：縮根（將方根縮小至原來(lái)的1/而使其僅保留一位整數(shù))、估根（通過(guò)試除確定這個(gè)整數(shù)的數(shù)值）、減根（除去這個(gè)確定的整數(shù)）和倍根（使方根的剩余部分?jǐn)U大10倍而重現(xiàn)一位整數(shù)）．在開(kāi)方過(guò)程中，隨乘隨加、反復(fù)迭代，計(jì)算減根變換后方程各項(xiàng)系數(shù)的方法，具有鮮明的算法特點(diǎn)，這與現(xiàn)代所用的“霍納算法”已基本一致．由于常數(shù)項(xiàng)恰好為0。，整個(gè)計(jì)算過(guò)程到此結(jié)束87賈憲的“增乘開(kāi)方法”盡管已經(jīng)可以用于解高次方程，但賈憲本人卻只是單純地用它來(lái)處理開(kāi)方問(wèn)題，而且在他以及以前的中國(guó)數(shù)學(xué)家的論述中，由開(kāi)方引出的方程其系數(shù)都是正數(shù)．雖然12世紀(jì)北宋學(xué)者劉益對(duì)方程系數(shù)必須為正的限制已經(jīng)有所突破，并在他所著的《議古根源》一書(shū)中允許方程的系數(shù)為負(fù)數(shù)，但由于該書(shū)的亡失，其方法并沒(méi)有流傳下來(lái)．將“增乘開(kāi)方法”推廣到高次方程一般情況的是南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶．賈憲的“增乘開(kāi)方法”盡管已經(jīng)可以用于解高次方程，88秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳（今四川安岳），其父曾任南宋四川巴州守，優(yōu)越的家庭環(huán)境使得秦九韶能有機(jī)會(huì)去向掌管歷法的太史局官員求教天文歷法，在數(shù)學(xué)上又得到過(guò)“隱君子”的指點(diǎn)教誨，成年后相繼在四川、湖北、安徽、江蘇等地做官，但任期都不太長(zhǎng)，后因參與派系斗爭(zhēng)失敗而被貶滴至梅州，1261年死于任所．《數(shù)書(shū)九章》這部傳世名著是他1244-1247年在家守母孝期間撰寫(xiě)的，其主要內(nèi)容是他此前十?dāng)?shù)年間埋頭鉆研數(shù)學(xué)的結(jié)果．這部著作繼承了中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色，特別是受《九章算術(shù)》的影響，采用了問(wèn)題集的形式．全書(shū)秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳（89搜集了與當(dāng)時(shí)社會(huì)生活密切相關(guān)的81個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，按性質(zhì)分為九類(lèi)，每類(lèi)九題，共18卷．其中，他推廣傳統(tǒng)的“開(kāi)方法”，創(chuàng)立了“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”．其方法是先列出相當(dāng)于的方程，其中可正可負(fù)，而常數(shù)項(xiàng)則總是負(fù)的（“實(shí)常為負(fù)”）．若試商為式，作減根變換則將方程變形為搜集了與當(dāng)時(shí)社會(huì)生活密切相關(guān)的81個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，按性質(zhì)90然后利用類(lèi)似于賈憲的“增乘開(kāi)方法”的迭代程序來(lái)計(jì)算變換后所得到的新方程的各項(xiàng)系數(shù)

他的程序與賈憲方法的區(qū)別在于：由于規(guī)定了“實(shí)常為負(fù)”，整個(gè)程序便統(tǒng)一用加法，真正實(shí)現(xiàn)了隨乘隨加的機(jī)械操作．然后利用類(lèi)似于賈憲的“增乘開(kāi)方法”的迭代程序來(lái)計(jì)算變換后所得914.3.2中國(guó)剩余定理如前所述，《孫子算經(jīng)》提出了著名的“孫子問(wèn)題”，其給出的解法雖然是針對(duì)具體問(wèn)題的，但具有一般性．我們?nèi)菀淄茝V如下：如要求一個(gè)最小整數(shù)Ｎ，它被兩兩互素的，s個(gè)數(shù)除時(shí)，余數(shù)分別為仿照上述方法，首先對(duì)每一個(gè)作4.3.2中國(guó)剩余定理如前所述，《孫子算經(jīng)》提出了著名92然后找一個(gè)整數(shù)（這里的相當(dāng)于孫子問(wèn)題解法中的70,21,15)，再將分別與相乘后求和，設(shè)為

如果則M即為所求；如果則M被除后所得的余數(shù)即為所求．這就是數(shù)論中著名的“剩余定理”．然后找一個(gè)整數(shù)93應(yīng)該指出，《孫子算經(jīng)》對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的研究只是初具雛形，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)談不上完整，其不足之處在于：(1)沒(méi)有把解法總結(jié)成文，致使后人研究時(shí)多憑猜測(cè)；(2)模數(shù)僅限于兩兩互素的正整數(shù)，未涉及一般情況；(3)未能進(jìn)一步探討同余式（組）有解的條件等理論間題．應(yīng)該指出，《孫子算經(jīng)》對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題的研究只是初具雛形，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)94因此，后人把這一命題及其解法稱(chēng)為“孫子定理”，主要是推崇《孫子算經(jīng)》處理這類(lèi)問(wèn)題在時(shí)間上領(lǐng)先．其思想方法的成熟，還有待于后來(lái)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們的工作．秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》卷一“大衍總數(shù)術(shù)”中推廣了“孫子間題”的解法．為了避免對(duì)秦九韶的原文作出生硬的書(shū)面翻譯，下面我們將采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)他的成就做一個(gè)一般的敘述．需要指出，秦九韶的方法是通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的討論給出的，但具有一般性．因此，后人把這一命題及其解法稱(chēng)為“孫子定理”95秦九韶對(duì)同余式的解法是將a,b輾轉(zhuǎn)相除，秦九韶稱(chēng)之為“更相減損”，除至余數(shù)為1時(shí)停止．設(shè)商數(shù)序列是再作遞推公式于是，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，所求的解為秦九韶不討論負(fù)數(shù)解．設(shè)秦九韶對(duì)同余式的解法96(1）先求數(shù)設(shè)作這相當(dāng)于解同余式可簡(jiǎn)化為(1）先求數(shù)97(2）求和數(shù)，由（1)顯然有(3)假設(shè)a是問(wèn)題的最小解，則一般的解可由公式表示．它由我們上面已經(jīng)介紹過(guò)的類(lèi)似方法解決這是秦九韶對(duì)“孫子問(wèn)題”的推廣．他的方法是：如果同余式組(2）求和數(shù)，由（1)顯然有98中的模數(shù)不兩兩互素，則把它們分解為素因數(shù)（但秦九韶并沒(méi)有提出素因數(shù)的一般概念，的積，由此求出

的最小公倍數(shù)為，據(jù)此易求得正整數(shù)使它們兩兩互素，且它們的乘積恰好是的最小公倍數(shù)，并使得則我們就可將用來(lái)代替，從而把模數(shù)不兩兩互素的同余式組轉(zhuǎn)化為兩兩互素的問(wèn)題來(lái)中的模數(shù)不兩兩99解決．通過(guò)進(jìn)一步研究，我們還可以發(fā)現(xiàn)，秦九韶的方法與現(xiàn)在通常所說(shuō)的連分?jǐn)?shù)解法完全一致．使我們驚奇的是，這類(lèi)問(wèn)題的研究雖最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》，但秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》自序中卻說(shuō)：他對(duì)這一問(wèn)題的探討，是由于它“不載《九章》，未有能推之者”，所以他才發(fā)憤鉆研的，至于他是否了解《孫子算經(jīng)》的內(nèi)容，全然沒(méi)有提及．由此我們可以想像，秦九韶的工作盡管可能沒(méi)有以《孫子算經(jīng)》為基礎(chǔ)，但他青年時(shí)代曾隨“太史”學(xué)習(xí)造歷知識(shí)，必然接觸到天文歷法中的同余式思想，因此，他的研究是有一定的歷史背景的．經(jīng)過(guò)秦九韶的刻苦鉆研，終于使解決一次同余式（組）問(wèn)題的方法形成了較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論，其功績(jī)是十分巨大的．解決．通過(guò)進(jìn)一步研究，我們還可以發(fā)現(xiàn)，秦九韶的方法與100與中國(guó)相比，西方數(shù)學(xué)家對(duì)于同余式（組）的研究則要遲得多．意大利學(xué)者斐波那契的《算術(shù)》(1202年）中雖有好幾道同余式組的問(wèn)題，但其研究的水平不高于《孫子算經(jīng)》．從14世紀(jì)到17世紀(jì)，西歐數(shù)學(xué)著作中僅零星出現(xiàn)少量的一次同余式問(wèn)題．對(duì)于這些問(wèn)題，即使有正確答案，也沒(méi)有一般的解法．從18世紀(jì)上半葉開(kāi)始，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler,1707-1783)、法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日（JosephLouisLagrange,1736-1813）和德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855）等相繼開(kāi)始研究同余式的問(wèn)題．1734年，歐拉在俄羅斯彼得堡學(xué)報(bào)發(fā)表與中國(guó)相比，西方數(shù)學(xué)家對(duì)于同余式（組）的研究101了關(guān)于同余式的解法，他的方法是通過(guò)對(duì)a,b輾轉(zhuǎn)相除來(lái)求解的，與秦九韶的“更相減損”思想完全一致．拉格朗日利用連分?jǐn)?shù)討論這一問(wèn)題，他把既約分?jǐn)?shù)化成連分?jǐn)?shù)了關(guān)于同余式的解法，他102刪去最后一項(xiàng)1/n，再化成普通分?jǐn)?shù)y/x，其分子，分母當(dāng),N是偶數(shù)個(gè)時(shí)是ax=by+1的解；當(dāng)它們是奇數(shù)個(gè)時(shí)，則是ax=by-1的解．1801年，“數(shù)學(xué)王子”高斯出版了他的數(shù)學(xué)巨著《算術(shù)研究》，全書(shū)共七章，第二章專(zhuān)門(mén)討論一次同余式及同余式組的解法．他討論了模數(shù)不兩兩互素的情形，方法是利用算術(shù)基本定理將模數(shù)化為素因數(shù)的連乘積．高斯的研究，給出了一次同余式的最一般的定理，使這一理論最終得到完善．刪去最后一項(xiàng)1/n，再化成普通分?jǐn)?shù)y/x，其分子，分母當(dāng)103無(wú)獨(dú)有偶，西方對(duì)同余式問(wèn)題的研究也是起源于天文歷法，如高斯在《算術(shù)研究》中解釋某一同余式問(wèn)題的起源時(shí)說(shuō)：“這一問(wèn)題是從年序?qū)W產(chǎn)生的．”由此可見(jiàn)，在西方，直到18世紀(jì)，經(jīng)歐拉、拉格朗日和高斯三代巨匠前后60多年的努力，才比較系統(tǒng)地建立起一次同余式的理論．這在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了很大的轟動(dòng)，當(dāng)時(shí)居世界數(shù)學(xué)中心地位的彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院等競(jìng)相刊登這些成果，以示祝賀．然而他們并不知道，早在500年前的東方，相應(yīng)的成果就已燦爛奪目了．當(dāng)然，他們的研究也彌補(bǔ)了中國(guó)數(shù)學(xué)的不足，即做出了更為細(xì)致的討論和嚴(yán)格的證明．無(wú)獨(dú)有偶，西方對(duì)同余式問(wèn)題的研究也是起源于天文104由于客觀(guān)條件的限制，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的這一杰出成就很晚才被西方數(shù)學(xué)界所知．1839年，畢歐在《亞洲雜志》上發(fā)表了一篇關(guān)于程大位《算法統(tǒng)宗》的文章，文中論述了“孫子問(wèn)題”，但這個(gè)關(guān)于中國(guó)剩余定理的最早報(bào)道好像在歐洲并沒(méi)有引起人們的重視．1842年，《數(shù)書(shū)九章》的“宜稼堂叢書(shū)”本出版，這使得正在中國(guó)與李善蘭合作翻譯介紹西方科學(xué)文化的英國(guó)人偉烈亞力，第一次接觸到中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的原始資料．時(shí)隔10年，偉烈亞力在《字林西報(bào)》上發(fā)表了關(guān)于中國(guó)科學(xué)技術(shù)史的論文—《中國(guó)科學(xué)的論述》，其中論述了《孫子算經(jīng)》中的“孫子間題”，在這篇論文中，最重要由于客觀(guān)條件的限制，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的這一杰出成就很晚才被西方數(shù)105的一點(diǎn)是偉烈亞力首次向西方解釋了秦九韶的“大衍總數(shù)術(shù)”，并介紹了秦九韶的第一道題的全部解說(shuō)，以及其他問(wèn)題的一些注記．1856年，偉烈亞力的這篇論文被譯成德文發(fā)表，于是，中國(guó)的“大衍術(shù)”開(kāi)始在歐洲數(shù)學(xué)界為人們所知曉，但由于偉烈亞力解釋的不確切和翻譯的錯(cuò)誤，人們對(duì)這一成就的認(rèn)識(shí)并不充分．當(dāng)時(shí)，德國(guó)著名數(shù)學(xué)史家康托爾在他的《關(guān)于數(shù)學(xué)的歷史》一書(shū)中就認(rèn)為：“看來(lái)中國(guó)人在不定分析研究方面比同時(shí)有文化的民族較為遜色．”的一點(diǎn)是偉烈亞力首次向西方解釋了秦九韶的“大衍總數(shù)術(shù)”，并介106首先認(rèn)識(shí)到中國(guó)“大衍術(shù)”真正意義的是德國(guó)人馬蒂生．他從1876年開(kāi)始，發(fā)表了一系列論著，高度評(píng)價(jià)了秦九韶的“大衍求一術(shù)”，指出它實(shí)質(zhì)上與高斯定理是等價(jià)的，并且訂正了德文翻譯的錯(cuò)誤，給出剩余問(wèn)題的正確闡述．馬蒂生的工作終于改變了歐洲學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題的看法。例如前面提到的康托爾，在讀了馬蒂生的論述后，承認(rèn)這一法則的正確性并由衷地贊美它，稱(chēng)秦九韶是“最幸運(yùn)的天才”．從數(shù)學(xué)史的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，一篇最重要的論文是瑪赫勒1957年發(fā)表的“中國(guó)剩余定理”，正是這篇論文首次提出用中國(guó)來(lái)命名這一偉大的數(shù)學(xué)成就，以表彰中國(guó)數(shù)學(xué)家們所做出的杰出貢獻(xiàn)．這一命名很快就風(fēng)行全球，并被教科書(shū)所采納。首先認(rèn)識(shí)到中國(guó)“大衍術(shù)”真正意義的是德國(guó)人馬蒂1074.3.3“天元術(shù)”和“四元術(shù)”“天元術(shù)”的產(chǎn)生標(biāo)志著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展到一個(gè)新的高度，這就是半符號(hào)代數(shù)的產(chǎn)生．由于高次方程數(shù)值解法的發(fā)展，必然引起人們對(duì)列方程方法的探求．據(jù)研究，這一先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生于12世紀(jì)，李冶的《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》是現(xiàn)存最早的系統(tǒng)介紹和研究“天元術(shù)”的著作．4.3.3“天元術(shù)”和“四元術(shù)”“天108李冶（1192-1279)曾中過(guò)金朝進(jìn)士，并擔(dān)任過(guò)地方官．金朝滅亡后，他隱居于今山西、河北一帶，一面進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，一面收徒講學(xué)．在這期間，他完成了《測(cè)圓海鏡》十二卷（1248年）和《益古演段》三卷（1259年）．在這兩部著作中，他對(duì)已有的“天元術(shù)”進(jìn)行了改進(jìn)與簡(jiǎn)化，其方法是：首先“立天元一為某某”，這相當(dāng)于“設(shè)x為未知數(shù)”，“天元一”就表示未知數(shù)．在籌算盤(pán)上列天元式，如圖4一20所示，先確定未知數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)的位置，在其旁邊置一個(gè)“元，’（天元）字表示未知數(shù)，其余各項(xiàng)按未知數(shù)冪次相當(dāng)于一次項(xiàng)上下遞增或遞減排列．有時(shí)李冶也會(huì)在常數(shù)項(xiàng)旁置一個(gè)太”李冶（1192-1279)曾中過(guò)金朝進(jìn)士，并擔(dān)任過(guò)地方官．金109（太極）來(lái)表示該項(xiàng)．該圖相當(dāng)于方程這樣就拋棄了那種每一項(xiàng)都要用一個(gè)文字來(lái)表示的繁瑣的方法，形成了一種簡(jiǎn)捷的固定形式．作為應(yīng)用，他在《測(cè)圓海鏡》中利用“天元術(shù)”解決了六七百條幾何命題的證明，主要是勾股容圓問(wèn)題．其《益古演段》大都闡述平面圖形間的面積關(guān)系．（太極）來(lái)表示該項(xiàng)．該圖相當(dāng)于方程110當(dāng)問(wèn)題中含有不止一個(gè)未知數(shù)時(shí)，“天元術(shù)”就自然要被推廣了．元代數(shù)學(xué)家朱世杰推廣了“天元術(shù)”，提出用“四元術(shù)”來(lái)解四元方程，可以說(shuō)這是中國(guó)籌算代數(shù)學(xué)的頂峰．朱世杰，字漢卿，寓居北京，，是一位杰出的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家．他精通《九章算術(shù)》，“旁通諸術(shù)”，“以數(shù)學(xué)名家周游湖海十余年，四方之來(lái)學(xué)者日眾”，他曾數(shù)次到江蘇揚(yáng)州一帶傳授數(shù)學(xué)，深受當(dāng)?shù)貙W(xué)者的歡迎．他