祖氏父子的數(shù)學(xué)貢獻課件

4源遠(yuǎn)流長、成就卓著的中國古代數(shù)學(xué)

4源遠(yuǎn)流長、成就卓著的中國古代數(shù)學(xué)1中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國。中國古代的四大發(fā)明曾經(jīng)極大地推動了世界文明的進步。同樣，作為中國文化的一個重要組成部分，中國古代數(shù)學(xué)，由于其自身的歷史淵源和獨特的發(fā)展過程，形成了與西方迥然不同的風(fēng)格，成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中的一支不容忽視的源頭。數(shù)學(xué)是中國古代最為發(fā)達的學(xué)科之一，通常稱為“算術(shù)”即“算數(shù)之術(shù)”。就是說，古代中國的術(shù)語“算術(shù)”相當(dāng)于英文中的mathematics，而不是arithmetic,.所研究的內(nèi)容大體上是今天數(shù)學(xué)教科書中的算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等方面的內(nèi)容。后來，自述又稱為算學(xué)、算法。中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國。中2宋元時期開始使用“數(shù)學(xué)”一詞，此后算學(xué)、數(shù)學(xué)兩詞并用。1939年6月，經(jīng)中國數(shù)學(xué)名詞審查委員會確定用“數(shù)學(xué)”而不再用“算學(xué)”。與世界上其他民族的數(shù)學(xué)相比，中國數(shù)學(xué)源遠(yuǎn)流長，成就卓著。本章按照年代的順序，巡視一下中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的狀況。宋元時期開始使用“數(shù)學(xué)”一詞，此后算學(xué)、數(shù)學(xué)兩詞并用34.1先秦時期——中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國是世界著名的文明古國，和古巴比倫、埃及和印度一樣，她也是人類文化的發(fā)源地之一。數(shù)學(xué)作為中國文化的重要組成部分，它的起源可以追溯到遙遠(yuǎn)的古代。根據(jù)古籍記載、考古發(fā)現(xiàn)以及其他文字資料推測，至少在公元前3000年左右，在中華古老的土地上就有了數(shù)學(xué)的萌芽。一般認(rèn)為，這一時期的數(shù)學(xué)成就主要有以下幾點：4.1先秦時期——中國古代數(shù)學(xué)的萌芽中國44.1.1結(jié)繩記事中國古代記數(shù)方法的起源是很早的。據(jù)《易*系辭傳》稱：“上古結(jié)繩而治?！薄兑?九家義》明確地解釋了這種方法；“事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡?！边@種結(jié)繩記事的方法是很古老的。據(jù)《史記》記載：“伏羲始畫八封，造書契，以代結(jié)繩之治。”4.1.1結(jié)繩記事中國古代記數(shù)方法的起源是很早的。據(jù)《5這表明，在伏羲這一位中國神話中的人類始祖之前，結(jié)繩記事這種方法就已十分流行，并且在他的時代已開始用“八封”和“書契”等方法來代替“結(jié)繩記事“了。這表明，在伏羲這一位中國神話中的人類始祖之前，64.1.2規(guī)矩的使用規(guī)矩是中國傳統(tǒng)的幾何工具。至于它們的用途，《周禮》、《荀子》、《淮南子》、《莊子》等古籍都有明確的記載?！皥A者中規(guī)，方都中矩。”說明它們分別用于圓與方的問題。它們的起源也是很早的，據(jù)《史記》記載，夏禹在治水時就“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道”。甚至在漢武梁祠中還有“伏羲手執(zhí)矩，女社媧手執(zhí)規(guī)”的浮雕像，將這兩種工具的最早使用歸功于傳說中的伏羲與女媧。規(guī)與矩的使用，對于后來幾何學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展有著重要的意義，中國傳統(tǒng)幾何學(xué)大部分內(nèi)容都是圍繞圓與勾股形展開的，這與古代中國人擅長使用規(guī)與矩的關(guān)系是十分密切的。4.1.2規(guī)矩的使用規(guī)矩是中國傳統(tǒng)的幾74.1.3十進位制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算在中國第二個奴隸制王朝商代（公元前16世紀(jì)到公元前12世紀(jì)），甲骨文已發(fā)展成熟。據(jù)對河南安陽發(fā)掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古證明，中國當(dāng)時已采用了“十進位值制記數(shù)法”，并有十，百，千，萬等專用的大數(shù)名稱（如圖4-1）。這是對世界數(shù)學(xué)最偉大的貢獻，正如李約瑟博士所指出的那樣：“如果沒有這種十進制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們亮個統(tǒng)一化的世界了?！?.1.3十進位制記數(shù)法、分?jǐn)?shù)的應(yīng)用及籌算在中國第二個奴隸制8而這一點雙正是同時代的古埃及和古巴比倫數(shù)學(xué)所不及的。除了數(shù)學(xué)以外，中國古代對分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識也比較早，分?jǐn)?shù)的概念及其應(yīng)用，在《管子》、《墨子》、《商君書》、《考工記》等春秋戰(zhàn)車時代的古籍中都有明確的記載。到春秋戰(zhàn)車時代，自述四則運算已經(jīng)成熟。據(jù)漢時燕人韓嬰所撰的《韓詩外傳》介紹，標(biāo)志著乘除法運算法則成熟的“九九歌“在春秋時代已相當(dāng)普及。《呂氏春秋》還記載有這樣一個有趣的故事：在春秋時代的齊國，齊桓公執(zhí)政的時候，有一個背熟“九九歌”，便向齊桓公毛遂自薦，齊桓公問他：“道僅僅國為你精通九九之術(shù)，我便要重用你嗎？”這個人答道：“如果君王對我這樣一個僅會九九歌的人都能禮遇重用，還怕真正有才能的人不來為君王效力嗎？”齊桓公是否厚待此人不得而知，但這至少從一個側(cè)面說明了在當(dāng)時九九歌已被人們廣泛地應(yīng)用了。而這一點雙正是同時代的古埃及和古巴比倫數(shù)學(xué)所不及9算籌是中國古代的計算工具?；I即小竹棍或小木棍（也有用骨、金屬材料或象牙制成的，如圖４－２）。從出土的漢代算籌可以知道，這種算籌比我們?nèi)粘Ｊ褂玫目曜由远躺约?xì)一點，古人就用它來進行計算，相應(yīng)的第一套算法也就稱為籌算。從春秋戰(zhàn)國時期一直到元代末年，算籌在我國沿用了兩千多年。用算籌表示數(shù)有縱橫兩種擺法（如圖4—3）算籌是中國古代的計算工具。籌即小竹棍或小木棍（10記數(shù)時與十進位值制相配合，采用從左到右（或從上到下）縱橫相間的擺法。如6728表示為；如遇零時則空一格，如6708，表示為。即使這種空位很小，也會由縱橫相同的法則看出。與巴比倫相比，他們雖然也早有位值制的思想，但由于沒有零的記號，辯別一個具體的數(shù)時，往往令人難以琢磨。記數(shù)時與十進位值制相配合，采用從左到右（或從上到下）縱114.1.1精湛的幾何思想除了那些出土的陶器（如圖4-4）等給我們展示了那個時代各種精美的幾何圖形外，更令我們感興趣的是戰(zhàn)國時期（公元前475-公元前221年）的諸子百家，各古希臘的數(shù)學(xué)學(xué)派一樣，他們的著作包含了理論數(shù)學(xué)的萌芽，其中最為杰出的是“墨家”和“名家”。墨家的代表著作《墨經(jīng)》記載了許多幾何概念，如“平，同高也“（即兩條直線或兩個平面間的距離處處相等稱為平行）；4.1.1精湛的幾何思想除了那些出土的陶12“中，同長也”（即直線段的中點至兩端點的距離相等，或圓的圓心（球的球點）到圓周（球表面）的距離相等）；“圈，一中同長也”（即圓或球，皆有一個中心，即圓心或球心，圓周七球表面上任一點到中心的距離相等）；…………這些都是中國古代學(xué)者試圖用形式邏輯的方法定義幾何概念的證明。在這部著作中甚至還涉及到有窮和無窮的概念，稱“或不容尺，有窮；莫不容尺，無窮也?！薄爸校L也”（即直線段的中點至兩端點的距離相等，或圓的圓心13名家以善辯著稱，對無窮的概念有著更深刻的認(rèn)識。據(jù)《莊子》記載，名家的代表人物惠施曾經(jīng)提出：“至大無外謂之大一，至少無外謂之小一”。這里的“大一”、“小一”有無窮大和無窮小的意思。此外，《莊子》中還記載了許多著名的論斷：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”（即一尺長的要棒，第一日截去一半，第二日截去剩下一半的一半，如此下去，永遠(yuǎn)都不會截取完的）；“飛鳥之影，未富士通勸也；鏃矢之疾，而有不行不止時（即天上飛行的鳥不一定就是動的；飛速射來的箭既不是運動的，也不是靜止的）…………這些可以說與古希臘的芝諾悖論具有異曲同工之妙，也是世界數(shù)學(xué)史早期最光輝的數(shù)學(xué)思想之一。名家以善辯著稱，對無窮的概念有著更深刻的認(rèn)識。據(jù)《莊子》記144.1.5數(shù)學(xué)教育的開始我國的甲骨文中早就有了關(guān)于教育的記載。而記載周代教育制度的古老典籍《周禮*地官》中保氏一節(jié)稱：“保氏掌誎王惡，而養(yǎng)國子以道。乃教之六藝：一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五御，五曰六書，六曰九數(shù)?！逼渲卸Y、樂、射、御為大藝，前者為大學(xué)所授，后都乃小學(xué)所習(xí)。并稱：“六年教之?dāng)?shù)，十年學(xué)書計。”4.1.5數(shù)學(xué)教育的開始我國的甲骨文中15可見，早在周代，國家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必修課藝之一，從六歲或十歲就教數(shù)數(shù)及計算了。對數(shù)學(xué)教學(xué)如此重視，且以典制的形式規(guī)定下來，這在世界歷史上是罕見的。可見，早在周代，國家就已把數(shù)學(xué)列為貴族子弟的必164.2漢唐時期－中國數(shù)學(xué)體系的形成從漢代開始，中國的經(jīng)濟文化有了進一步的發(fā)展，經(jīng)濟的繁榮給科學(xué)的進步提供了物質(zhì)基礎(chǔ)，特別是從秦代開始實施的文字與度量衡的統(tǒng)一、鐵器的使用以及大量興修水利工程和水陸交通的工程，為人們探索大自然的奧秘增強了動力，數(shù)學(xué)也有了長足的發(fā)展，其主根標(biāo)志是以《九章算術(shù)》為代表的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成。4.2漢唐時期－中國數(shù)學(xué)體系的形成從漢代174.2.1《周骨卑算經(jīng)》和勾股定理《漢書*藝文志》所記載的《杜忠算術(shù)》與《許商算術(shù)》大概是中國有記載可考的最早的數(shù)學(xué)著作，可惜均已失傳。1984年，湖北江陵張家山出土了一部漢簡《算數(shù)書》，據(jù)考證，此書是漢高祖（公元前206年？）到漢文帝（公元前179年）時期的一部數(shù)學(xué)著作，它也是中國目前所能見到的最早的數(shù)學(xué)專著。該書以問題集的體例編篡，全書共90題，包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運算，比例問題，面積與體積等，大部分內(nèi)容與《九章算術(shù)》相似。4.2.1《周骨卑算經(jīng)》和勾股定理《漢書*藝文志》18比《九章算術(shù)》稍早且流傳下來的一部重要的著作是《周骨卑算經(jīng)》，該書原名《周骨卑》，大約成書于公元前2世紀(jì)的西漢時期，其許多內(nèi)容甚至可以追溯到西周（公元前11世紀(jì)——公元前8世紀(jì)）。唐代李淳風(fēng)在為國子監(jiān)明算科選定教科書時將其列入《算經(jīng)十書》，并改名為《周骨卑算經(jīng)》。嚴(yán)格地講，它并不是一本數(shù)學(xué)專著，而是一部介紹“蓋天說“宇宙模型的天文學(xué)著作，但它包含了相當(dāng)深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其主要成就包括分?jǐn)?shù)運算、勾股定理及其在開方測量中的應(yīng)用。比《九章算術(shù)》稍早且流傳下來的一部重要的著作是19該書卷首記述了一段精彩的對話：“昔者周公問于商高曰：……古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？商高曰：數(shù)之法，出于圓方。圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。……故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！边@就是我國有關(guān)勾股定理的最早記錄，這里敘述了勾股定理的一個特例。接著，在陳子與榮方的“師生對話”中，借陳子之口又給出了一般的勾股定理：該書卷首記述了一段精彩的對話：20“求邪至日者，以日下為勾，日高為股。勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！比鐖D４－５，即給出公式邪至日（弦）＝中國關(guān)于勾股定理的證明最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的。趙爽是中國歷史上首先對《周骨卑》進行認(rèn)真研究和注釋的學(xué)者。他的工作主要包括三個方面的內(nèi)容：一為文字解釋；二為較詳細(xì)地數(shù)學(xué)理論推演，三是補圖。其中最為精彩的是“勾股圓方圖注”?！扒笮爸寥照撸匀障聻楣?，日高為股。勾股各自乘，21在這篇５００多字的注文中，趙爽首先給出勾股定理的一般證明：“按弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘，為中黃實。如差實一，亦成弦實。”即如圖４－６，以勾股作為長方形的二邊，其面積是朱色直角三角形面積的二倍。以勾股差為邊作中間的黃色正方形，加上四個朱色三角形與以弦為邊長的正方形面積相等．這樣，趙爽就利用面積割補的方法證明了勾股定理．另外，在這篇注文中，趙爽還給出并證明了有關(guān)解直角三角形的27個命題。此外，該書還介紹了許多種利用勾股定理進行測量的方法，如測量太陽的直徑、太陽的高等．同時，在勾股測量與計算中，還涉及到十分復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計算，這在以前的著作中是沒有的．在這篇５００多字的注文中，趙爽首先給出勾股定理224.2.2《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論體系形成的是《九章算術(shù)》的成書．該書的作者和成書年代難以確切地考證，多數(shù)學(xué)者認(rèn)為，它成書于西漢末東漢初，即公元1世紀(jì)初．中國的數(shù)學(xué)，經(jīng)過長期的積累，到西漢時已有很豐富的內(nèi)容，但這些內(nèi)容之間缺乏內(nèi)在的聯(lián)系，以前人們曾尋求以確定的方式建立某種聯(lián)系，例如墨家學(xué)派曾嘗試過用邏輯方法研究數(shù)學(xué)概念，但沒有成功．也許正是這種原因，決定了《九章算術(shù)》所特有的處理方式，并形成了中國傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)體系．4.2.2《九章算術(shù)》標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)23《九章算術(shù)》全書采用問題集的形式，書中每道題皆有問有答有術(shù)，其中“術(shù)”通常是解題的思想方法、公式和法則，有的一題一術(shù)，有的多題一術(shù)，有的一題多術(shù)．全書內(nèi)容豐富，且密切聯(lián)系實際，《九章算術(shù)》全書共有246個應(yīng)用題，基本上都是與生產(chǎn)實踐、日常生活有聯(lián)系的實際應(yīng)用問題．這些問題分別隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章．對于每類間題，《九章算術(shù)》中都給出了統(tǒng)一的解法，它們相當(dāng)于一些初等數(shù)學(xué)理和公式，但沒有證明。解法大多數(shù)是正確的，有些是近似的，極少數(shù)有錯誤．《九章算術(shù)》全書采用問題集的形式，書中每道題皆有問24“方田”是《九章算術(shù)》的開卷章，主要論述了各種平面圖形的地畝面積算法及分?jǐn)?shù)的運算法則．其中，平面圖形有方田（長方形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圓田（圓形田地）、宛田（說法不一，未有定論）、弧田（弓形田地）、環(huán)田（圓環(huán)或環(huán)缺形田地的面積算法，除宛田、弧田是近似計算方法外，其他各種圖形的面積算法都是確無誤的．分?jǐn)?shù)運算法則包括約分術(shù)（約分與通分）、合分術(shù)（分?jǐn)?shù)加法）、減術(shù)（分?jǐn)?shù)減法）、課分術(shù)（兩個分?jǐn)?shù)的大小比較）、平分術(shù)（求幾個分?jǐn)?shù)的算術(shù)均值）、乘分術(shù)（分?jǐn)?shù)乘法）、經(jīng)分術(shù)（分?jǐn)?shù)除法）和大廣田術(shù)（帶分?jǐn)?shù)除法），這些算法也都是正確的，且與現(xiàn)今的計算方法在理論上是一致的。“方田”是《九章算術(shù)》的開卷章，主要論述了各種25“粟米”章主要論述了20種糧食及其成品如稻、米、麥、面、飯等之的兌換比率及四項比例算法．四項比例算法當(dāng)時稱為“今有術(shù)”，其計算方法是：所求數(shù)＝（所有數(shù)X所求率）／所有率，這里，所有率、所求率、所有數(shù)與所求數(shù)是比例算法的四個專用名詞．如“已知麥與米的比率是3:2，現(xiàn)有麥子60斤，問能兌換大米多少斤？”在這個問題中，所有率是麥子的比率3，所求率是大米的比率2，所有數(shù)是已有麥子的斤數(shù)，所求數(shù)就是欲求的大米斤數(shù)，這樣，按上述公式，能兌換大米的斤數(shù)為（60X2）/3=40（斤），《九章算術(shù)》還將這一算法用于解決上些更復(fù)雜的問題．“粟米”章主要論述了20種糧食及其成品如稻、米26第三章“衰分”主要論述配分比例算法，其中問題多與商業(yè)、手工業(yè)及社會制度有關(guān)．例如第一問：“今有大夫、不更、簪褭(nia。讀音，下同）、上造、公士五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各幾何？”大夫、不更、簪褭、上造、公士是五種官爵，其分配原則是“位高者多得，位卑者少得”，故按大夫5、不更4,簪褭3、上造2、公士1的比率分配．其解法相當(dāng)于第三章“衰分”主要論述配分比例算法，其中問題多與商業(yè)、手工業(yè)27大夫得(頭）不更得(頭）簪裊得(頭）上造得(頭）公土得(頭）大夫得28第四章“少廣”主要成就包括開平方、開立方的算法．第五章“商功”主要論述各種立體圖形的體積算法，其中包括柱、錐、臺、球體等，內(nèi)容涉及筑城、修堤、開渠、糧垛等施工方面的計算問題．第六章“均輸”章主要論述較為復(fù)雜的配分比例問題．其中最引人注目的是“均輸術(shù)”．這是我國古代實行的“均輸制”在數(shù)學(xué)上的反映，主要解決按人口多少、路途遠(yuǎn)近、谷物貴賤等條件，平均繳納賦稅或攤派徭役等實際問題，這很類似于條件極值問題．第四章“少廣”主要成就包括開平方、開立方的算法．29第七章“盈不足”主要論述盈虧問題的解法．盈不足的典型問題是這樣的：若干人共買一物，若每人出錢，則多出錢；若每人出（<）錢，則又不足錢，求人數(shù)與物價．《九章算術(shù)》給出的方法相當(dāng)于公式：人數(shù)=物價=這一方法除了對于線性問題給出精確的解外，也為非線性問題提供了一個有效的近似解法．例如“雙鼠穿垣”題，講有一大一小兩只老第七章“盈不足”主要論述盈虧問題的解法．盈不足30鼠在城墻兩邊同時開始相向打洞，大、小鼠第一天皆各打洞一尺，但大鼠以后每天打洞的進度皆是前一天的兩倍，而小鼠的進度僅是前一天的一半，問需多長時間此二鼠才能打穿厚五尺的城墻相逢．依照題意，設(shè)兩鼠相逢日數(shù)為x，則有鼠在城墻兩邊同時開始相向打洞，大、小鼠第一天皆各打洞一尺，但31化簡后為一指數(shù)方程，解中需用到對數(shù)知識，而《九章算術(shù)》的作者通過對x值的兩次假設(shè)，將其轉(zhuǎn)化為盈不足問題，求出其近似解為日相逢．由此可知這一方法具有一定的實用價值.第八章“方程”主要研究線性方程組的解法，其基本思想是消元．在解方程組時，將方程組的系數(shù)（包括常數(shù)）分離出來排成一個數(shù)表，相當(dāng)于現(xiàn)在線性代數(shù)中的增廣矩陣，然后通過類似于矩陣初等變換的方法消元，這一思想方法在數(shù)學(xué)發(fā)展史上是非常重要的，在西方被稱為“高斯消去法”．化簡后為一指數(shù)方程，解中需用到對數(shù)知識，而《九章算術(shù)》的作者32以該章第一題為例，其大意為：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出糧三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出糧三十四斗；上等禾谷一捆，中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出糧二十六斗．問上中下等禾谷每捆出糧各多少？設(shè)上、中、下等禾谷每捆出糧分別為x,y,z斗，則有以該章第一題為例，其大意為：上等禾谷三捆，中等33《九章算術(shù)》給出的表示方法相等于下列矩陣上禾中禾下禾實其解法相當(dāng)于下列圖示方法《九章算術(shù)》給出的表示方法相等于下列矩陣34

35即上等禾谷每捆出糧取斗，中等禾谷每捆出糧斗，下等禾谷每捆出糧斗“方程”章的另一個重點就是對負(fù)數(shù)的概念、運算進行了研究．在解方程的過程中，由于無法回避被減數(shù)小于減數(shù)的情況出現(xiàn)，故《九章算術(shù)》提出了‘以五負(fù)術(shù)入之”，即引入負(fù)數(shù)及其運算法則：“正負(fù)術(shù)日：同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之；其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之．”即上等禾谷每捆出糧取斗，中等禾谷每捆出36即兩數(shù)相減時，同號則絕對值相減，異號則絕對值相加，正數(shù)減零為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)減零為正數(shù)；兩數(shù)相加時，同號則絕對值相加，異號則絕對值相減，正數(shù)加零為正數(shù)，負(fù)數(shù)加零為負(fù)數(shù)．在該書的實際問題中已涉及正負(fù)數(shù)的乘除運算，但《九章算術(shù)》和劉徽注中都沒有明確給出其運算法則．關(guān)于正負(fù)數(shù)的定義和表示法，劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中給出：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之；正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異?！奔凑?fù)是“得失相反”兩種情況在數(shù)學(xué)中的反映；可用紅、黑兩種顏色的算籌或正、斜排列的兩種籌式表示正、負(fù)數(shù)．即兩數(shù)相減時，同號則絕對值相減，異號則絕對值相加，正數(shù)減零為37這是世界上最早關(guān)于正負(fù)數(shù)應(yīng)用的記載。第九章“勾股”主要討論有關(guān)勾股問題的解法，并論及簡單的勾股測量。《九章算術(shù)》注重實際問題和長于計算的特點，對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著極其深刻的影響，可以說，與西方數(shù)學(xué)的演繹推理相映生輝的具有中國特色的算法體系的形成即始于《九章算術(shù)》．《九章算術(shù)》成書以后，便成為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的經(jīng)典，特別是唐代以來，經(jīng)官方認(rèn)定該書成為“算經(jīng)十書”中最重要的一部，成為后來的數(shù)學(xué)家們學(xué)習(xí)、研究和著述的依據(jù)．這是世界上最早關(guān)于正負(fù)數(shù)應(yīng)用的記載。38劉徽，魏晉時期人，祖籍淄鄉(xiāng)（今山東臨淄或淄川一帶），生卒年月不詳．他年輕時十分好學(xué)，尤其喜愛數(shù)學(xué)．在當(dāng)時的數(shù)學(xué)著作中，《九章算術(shù)》的不少數(shù)學(xué)問題難度較大，理論色彩也較濃，如“方田”章的分?jǐn)?shù)體系，“少廣章”的開方術(shù)，“方程”章的線性方程組解法與正負(fù)數(shù)的概念、運算法則，“勾股”章中的勾股應(yīng)用等，一般學(xué)者難以掌握，為了進一步探索數(shù)學(xué)的奧秘，讓更多人掌握數(shù)學(xué)，他立志要對《九章算術(shù)》作更深入的研究劉徽，魏晉時期人，祖籍淄鄉(xiāng)（今山東臨淄或淄川一394.2.3劉徽和祖氏父子1．劉徽的數(shù)學(xué)貢獻數(shù)學(xué)史界的一個普遍的觀點是，如果離開了劉徽的《九章算術(shù)注》去研究《九章算術(shù)》，則很難深人理解《九章算術(shù)》的精髓．事實上，劉徽的《九章算術(shù)注》對于闡發(fā)《九章算術(shù)》的思想方法，發(fā)展《九章算術(shù)》的理論，完善《九章算術(shù)》的體系，作出了杰出的貢獻．4.2.3劉徽和祖氏父子1．劉徽的數(shù)學(xué)貢獻40經(jīng)過多年的刻苦鉆研，劉徽不僅逐步領(lǐng)會了《九章算術(shù)》的精神實質(zhì)，而且對其中的深奧玄妙之處有了較透徹的理解，于是他決心把自己的研究所得以對《九章算術(shù)》作注的形式一一記載下來．為了使自己的敘述通俗化，他為自己規(guī)定的目標(biāo)是用言辭來分析與表達道理，用圖形來建立幾何直觀幫助解決問題．具體地說，就是要對《九章算術(shù)》中未加論證的公式（方法）和原理從理論上加以證明或闡說，特別是對其中的經(jīng)驗公式或錯誤公式分別從理論上指出它的近似程度或錯誤原因，并提出一些理論推斷．對于幾何概念和命題，則借助于圖形和應(yīng)用代數(shù)與幾何相結(jié)合的方法，進行一般論證或演繹推理．公元263年（魏陳留王景元四年），劉徽的《九章算術(shù)注》終于問世了，書中載錄了劉徽在數(shù)學(xué)上的許多重要貢獻．經(jīng)過多年的刻苦鉆研，劉徽不僅逐步領(lǐng)會了《九章算41在算術(shù)方面，劉徽闡發(fā)了《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論．他的分?jǐn)?shù)的意義、表示方法、運算法則等代表了當(dāng)時世界上的最高水平，并已接近于近代的成熟程度．他把分?jǐn)?shù)看作比，由此發(fā)展出。率”的概念，又在“率”的基礎(chǔ)上提出了算術(shù)中的比例理論、“盈不足”方法等，成為中國傳統(tǒng)算法理論發(fā)展的重要基礎(chǔ)，并傳人印度、阿拉伯和歐洲，對這些地區(qū)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了較大的影響.在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》中的線性方程組解法以及正負(fù)數(shù)加減運算當(dāng)時世界上無與倫比的兩項重大成就．前者比歐洲早1500年，后者也早了1200多年，而給這兩項算法以完整在算術(shù)方面，劉徽闡發(fā)了《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)理論42的理論說明的正是劉徽，他第一個給出了方程定義并揭示了方程組的同解原理．對于正負(fù)數(shù)，劉徽的定義可以說是經(jīng)典性的．他把正與負(fù)看成是相對存在的數(shù)的兩種情況，從這一認(rèn)識出發(fā)，劉徽在世界數(shù)學(xué)史上第一個采取了把數(shù)的正負(fù)與加減運算關(guān)系統(tǒng)一起來的做法．他還運用平面與立體圖形對中國古代的開平方與開立方法作出了直觀解釋，這種方法對于幫助讀者正確理解與掌握開方程序是非常有益的．此外，他由取平方根的近似值而提出的小數(shù)概念和表示方法，不僅明顯具有近代特征，而且比歐洲最早的小數(shù)——斯蒂文（S.Stevin,1548-1620）的小數(shù)記法要早出1300多年。的理論說明的正是劉徽，他第一個給出了方程定義并43在幾何方面，劉徽的貢獻尤為突出，他是具有中國特色的傳統(tǒng)幾何理論的奠基者．他以別具一格的證明方法對中國古代提出的幾何命題予以科學(xué)的證明，這些方法包括“圖形割補法”、“代數(shù)法”、“極限法”以及“無窮小分割法”等等，其中最常用的是圖形割補法，這與他提出的“解體以圖”的目標(biāo)是一致的．劉徽對用圖很考究，不僅對插圖施以顏色，用黃屯朱、青三種顏色標(biāo)出各種不同的圖形，而且強調(diào)要“按圖為位”，使圖形與文字互相對照．特別是他為證明立體的體積公式所采用的立體圖形割補法尤為出色．在幾何方面，劉徽的貢獻尤為突出，他是具有中國特44（1）割圓術(shù)《九章算術(shù)》“圓田術(shù)”給出了圓面積的計算公式：“半周半徑相乘得積步”即圓田積步＝C*R/2（其中C為圓周長，R為圓的半徑）．可見，在《九章算術(shù)》的作者看來，圓與一個長為圓周的一半、高為半徑長方形，或以圓周為底邊、半徑為高的三角形面積相等．為了證明這一公式，劉徽創(chuàng)造了著名的“割圓術(shù)”．劉徽“割圓術(shù)”的基本思想是“化圓為方”，并借助于極限的方法．（1）割圓術(shù)45首先，劉徽以“割圓為六瓤圖”來指出古率“徑一周三”實際上是六瓤，（如圖4一9，正六邊形）的周長（）與直徑之比．然后從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并逐次計算得到正多邊形的周長和面積．如圖4一10首先，劉徽以“割圓為六瓤圖”來指出古率“徑一周46“以六瓤之一面乘半徑，因而三之，得十二瓤之冪”。即有若又割之，次以十二抓之一面乘半徑，因而六之，則得二十四瓤之冪”。即有若令，如即是圓除去其內(nèi)接“十二瓤”的小弓形面積總和，這些小弓形面積在割圓術(shù)“化圓為方”的過程中是要舍棄的．所以劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”“以六瓤之一面乘半徑，因而三之，得十二瓤之冪”。即有47即隨著分割的不斷細(xì)密，的值不斷變?。?dāng)分割至“不可割”的極限狀態(tài)時，內(nèi)接正多邊形與圓重合，而“無所失”了．劉徽還注意到，如果在圓的內(nèi)接正3X2“邊形的每一邊上作一高為“余徑”（半徑與邊心距之差）的矩形，就可得到<<這樣就不需要計算圓的外切正多邊形的面積來得到圓面積的上限和下限了．這一公式可以稱之為“劉徽不等式”．即隨著分割的不斷細(xì)密，的值不斷48劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一直推算到圓的內(nèi)接正192邊形．得到圓周率的近似值為，化為分?jǐn)?shù)就是157/50，這就是著名的“徽率”．劉徽還進一步聲明：“此率尚微少”，沿用這一方法可得到更為精確的近似值．(2）體積理論《九章算術(shù)》“商功”章給出了柱、錐、臺體及擬柱體的體積公式，其公式的編排明顯地帶有某種邏輯順序．劉徽首先將一個長方體（劉徽稱之為立方）剖分，得到了幾種基本的幾何體，如圖4一11劉徽從圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一49“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉孺．”“不有鱉濡，無以審陽馬之?dāng)?shù)；不有陽馬，無以知錐亭之類．功實之主也．”并指出：“陽馬居二，鱉濡居一，不易之率也．”為了證明這一關(guān)系，如圖4一12，劉徽將一個塹堵ACJLPR斜分為一個陽馬AJLRP和一個鱉ACLR，過此塹堵三度的中點進行剖分，則陽馬被分割成五個部分：一個小立方DEHGJKNM，兩個小塹堵GHMNQP和EHKNOL，以及兩個小陽馬ADEHG和HNORQ;鱉孺被分割成四個部分：“邪解立方得兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為50兩個小塹堵BCEFIH,EHIFLO和兩個小鱉孺ABEH,HIOR．將分割陽馬所得兩個小塹堵GHMNQP和EHKNOL合為一小立方，將分割鱉蠕所得兩個小塹堵BCEFIH和EHIFLO也合為另一小立方，這樣連同分割陽馬所得的小立方DEHGJKNM．這些體積是可以計算的，其結(jié)果是屬于陽馬的部分和屬于鱉蠕的部分的體積之比為2，1．剩下的小陽馬ADEHG（屬于陽馬）和小鱉蠕ABEH（屬于鱉蠕）、小陽馬HNORQ（屬于陽馬）和小鱉蠕HIOR（屬于鱉糯）又可合成兩個塹堵．重復(fù)上述過程，分屬于陽馬和鱉蠕的可計算部分的體積之比仍為2，1．將此過程無限地繼續(xù)下去，直到剩余體積為0。，而整個過程中能夠計算的陽馬與鱉孺的體積之比總是2:1.故劉徽得到了上述“不易之率”．兩個小塹堵BCEFIH,EHIFLO和兩個小鱉孺ABEH,51若以a,b,c。表示立方的三度，上述過程相當(dāng)于由公式推出了顯然，劉徽在這里熟練地運用了出人相補原理和無窮分求和原理．利用這四種基本幾何體，將其他的幾何體加以恰當(dāng)?shù)姆指?，就可以方便地求出它們的體積了．人們把劉徽的這種方法稱為“棋驗法”．如圖4一13，對于四棱臺，將其剖分為一個立方、四個塹堵和四個陽馬，分別計算它們的體積后再相加，即得正確的計算公式。若以a,b,c。表示立方的三度，上述過程相當(dāng)于由公式52(3)球體積計算劉徽一生不僅成就卓著，而且品格高尚．在學(xué)術(shù)研究中，他既不迷信古人，也不自命不凡，而是堅持實事求是，‘以理服人．如少廣章的“開立圓術(shù)”給出的球體積（）計算方法相當(dāng)于公式（這里的D為球直徑），粗徽對這一公式的正確性產(chǎn)生了懷疑，他嫻熟地使用截面法進行了驗證，發(fā)現(xiàn)內(nèi)切圓柱的體積(）與正方體的體積（）之比為/4，在《九章算術(shù)》取=3的情況下，只有在內(nèi)切球與圓柱的體積之比也是/4時，上述近似公式才成立，而實際上后者是不成立的.為了說明這一點，劉徽又引人了一種新的

(3)球體積計算53立方體：以正方體相鄰的兩個側(cè)面為底分別作兩次內(nèi)切圓柱切割，剔除外部，剩下的內(nèi)核部分劉徽稱之為“牟合方蓋，;(如圖4一14中的)·他用截面法證明內(nèi)切球與“牟合方蓋”的體積之比為/4，而明顯可以看出，“牟合方蓋”的體積比圓柱要小，故上述公式是錯誤的．顯然，如果能求出牟合方蓋的體積，球的體積就自然可以求出了．但對于牟合方蓋的體積如何求出，劉徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俊能言者”．由此我們可以看出劉徽學(xué)術(shù)研究中的嚴(yán)謹(jǐn)與謙遜的態(tài)度，也許正是這二者的結(jié)合，使得劉徽在數(shù)學(xué)研究方面做出了舉世矚目的成就，給后人留下豐富的文立方體：以正方體相鄰的兩個側(cè)面為底分別作兩次內(nèi)切圓柱切割，剔54(4)勾股測量劉徽不僅注重數(shù)學(xué)的理論研究，而且也注重數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用．他在為《九章算術(shù)》作注的同時，還實際處理了許多測量問題．他的另一部著作《海島算經(jīng)》，就是在測量的具體實踐過程中總結(jié)而成的關(guān)于“測高望遠(yuǎn)之術(shù)”的專著．該書共9問，涉及到的勾股測量方法有重表、累矩、連索以及兩望、三望、四望．如第二問：“今有松生山上，不知高下．立兩表，齊高三丈，前后相去五十步，令后表與前表參相直．從前表卻行七步四尺，薄地遙望松末，與表端參合．又望松本，入表二尺八寸．復(fù)從后(4)勾股測量55表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合．問松高及山去表各幾何？”如圖4一15，劉徽借助于相似勾股形的比例關(guān)系和中國古代的“重差術(shù)”得到表卻行八步五尺，薄地遙望松末，亦與表端參合．問松高及56從而有所以從而有57由此可以看出，‘海島算經(jīng)，是劉徽對幗古代重差理論的進一步發(fā)展，展示了勾股比率和重差測量的演化歷程，標(biāo)志著中算家在測量技術(shù)及理論萬面所達到的新的高度．2．祖氏父子的數(shù)學(xué)貢獻祖沖之（429-500)，字文遠(yuǎn)，祖籍范陽遒縣（今河北沫水縣）．他生活在南北朝，家學(xué)淵博，加上他自幼刻苦勤奮，對天文、數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，而成一位博學(xué)多才的天文學(xué)家與數(shù)學(xué)家、機械制造專家、文學(xué)家．他編制的《大明歷》，首次考慮到歲差的計算，其日、月運行周期的數(shù)據(jù)也比當(dāng)時頒行的歷法精確．此外，他還改造了指南車，制造了水碓由此可以看出，‘海島算經(jīng)，是劉徽對幗古代重差理58磨、千里船等．他的兒子祖恒，字景爍，也精通歷法、數(shù)學(xué)．父子倆都對《九章算術(shù)》與劉徽注有濃厚的興趣，他們的著作《綴術(shù)》在唐代曾被李淳風(fēng)收人“算經(jīng)十書”作為數(shù)學(xué)教科書．祖沖之繼承了劉徽的思想，其最突出的成就是對圓周率值的推算．《隋書·律歷志》記載著他對圓周率的研究成果=3.1415926．由于中國古代習(xí)慣使用分?jǐn)?shù)，故祖沖之又給出了圓周率的兩個分?jǐn)?shù)值：密率為355/113；約率為22/7．其中密率在歐洲由德國數(shù)學(xué)家奧托（1550-1605)于1573年得到，磨、千里船等．他的兒子祖恒，字景爍，也精通歷法、數(shù)學(xué)．59這比祖沖之要晚1100年之久，密率是一個很好的分?jǐn)?shù)近似值，如果用它亞計算斗徑為10公里的圓的面積，其誤差僅幾個平方毫米，可見其精確度是很高的。至于祖之沖是如何得到圓周率的，由于他的著作已經(jīng)失傳，已無從了解了。但大多數(shù)人認(rèn)為，他可能使用的就是劉徽的割圓術(shù)。祖氏父子在研究《九章算術(shù)》及劉徽注時發(fā)現(xiàn)了劉徽遺留下的如何計算“牟合方蓋”的體積問題，并開始沿著劉徽開辟的道路繼續(xù)探索。經(jīng)父子兩代人不懈的努力，終于由祖恒解決了牟合方蓋與其外切正方體的體積比為2/3。這比祖沖之要晚1100年之久，密率是一個很好的分?jǐn)?shù)近60如圖4-17，他把正方體（邊長為D）等分為8個小正方體，去出其中之一個，以左下棱為軸、棱長（D/2）為半徑作四分之一圓柱面；再以后下棱為軸作1/4圓柱面，二次分割得到4個曲面立體:其中一塊稱為內(nèi)棋（,即牟合方蓋的1/8），還有3塊稱為外棋并將這4塊幾何體用水平面（立標(biāo)記為z）去截分別得到截面：一個大正方形（邊長記為y0，小正方體和兩個長方形，由勾股定理得如圖4-17，他把正方體（邊長為D）等分為861于是。再考慮到以D/2為底面邊長和高的倒立正四棱錐？在立標(biāo)為z處的截面面積也是，由“祖恒原理”有。由圖4-18所示關(guān)

系，有令則得于是。再考62祖氏父子所用的方法論證嚴(yán)謹(jǐn)，推導(dǎo)完善，無懈可擊；同時，祖恒還將其推導(dǎo)過程中所用的、事實上也是劉徽已經(jīng)使用過的不可分量原理，總結(jié)提煉成一般的命題：“緣冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，若所得截面總相等，剛此二幾何體體積相等。它被稱為“祖恒原理”，這實際上也就是西文數(shù)學(xué)界所謂的“卡瓦列利原理”。這一原理在西文直到17世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家瓦列里發(fā)現(xiàn)，比祖恒晚了1100多年。祖氏父子所用的方法論證嚴(yán)謹(jǐn)，推導(dǎo)完善，無懈可擊63由于祖氏父子的著作均已失傳，他倆的這一研究成果幸虧被唐代李淳風(fēng)摘錄在《九章算術(shù)》“商功”章“開立圓術(shù)”劉徽注的后面，才使我們得以見到這一光輝成就。由于祖氏父子的著作均已失傳，他倆的這一研究成644.2.4《算經(jīng)十書》魏晉時期是中國古代學(xué)術(shù)研究繼春秋戰(zhàn)國以后又一個繁榮時期．劉徽注《九章算術(shù)》、趙爽注《周稗》及祖氏父子的工作，使中國古代數(shù)學(xué)在理論研究方面達到了一個新的高度．這一時期的數(shù)學(xué)著作較多；流傳至今的就有《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《數(shù)術(shù)記遺》和《夏侯陽算經(jīng)》等，這些著作大多反映了當(dāng)時社會各方面的需要，在內(nèi)容上基本是《九章算術(shù)》的沿襲與補充，在編寫風(fēng)格上也大多模仿《九章算術(shù)》．這些著作的出現(xiàn)，標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究的深人和數(shù)學(xué)教育的普及．4.2.4《算經(jīng)十書》魏晉時期是中國古代學(xué)65隋唐時期是中國封建社會發(fā)展的鼎盛階段，社會穩(wěn)定，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展迅速，使得與生產(chǎn)密切相關(guān)的歷法、數(shù)學(xué)又有了長足的進步．從隋代開始，中國有了專門的數(shù)學(xué)教育機構(gòu)，在其最高學(xué)府—國子監(jiān)中，設(shè)立算學(xué)科，專門從事數(shù)學(xué)教學(xué)．唐朝建立以后，在隋的基礎(chǔ)上，繼續(xù)在國子監(jiān)中設(shè)立數(shù)學(xué)教育機構(gòu)，他們把數(shù)學(xué)教育與明經(jīng)、明法、明書等并列為六科，稱作明算科，設(shè)有算學(xué)博士與算學(xué)助教各二人，并招收算學(xué)生80人．為了教學(xué)的需要，由數(shù)學(xué)家李淳風(fēng)等人共同審定并注釋了十部算經(jīng)作為數(shù)學(xué)教材，這十部著作是《周牌算經(jīng)》隋唐時期是中國封建社會發(fā)展的鼎盛階段，社會穩(wěn)定66《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《綴術(shù)》和《緝古算經(jīng)》，這就是歷史上著名的“算經(jīng)十書”，其記載了漢唐的數(shù)學(xué)成就，并成為后人數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的重要源泉．除了前面已經(jīng)介紹過的《周骨卑.算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》以及祖氏父子的《綴術(shù)》外，其他算經(jīng)也包含了一些重要的數(shù)學(xué)成就．《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張邱建算經(jīng)》67《孫子算經(jīng)》出現(xiàn)在4-5世紀(jì)，其具體的成書年代與作者姓名已不可考，這是繼《九章算術(shù)》之后又一部重要的數(shù)學(xué)著作．《孫子算經(jīng)》分上、中、下三卷，卷上敘述度量衡制度、籌算記數(shù)和籌算乘除運算方法；卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和開平方算法，以及簡單的面積、體積計算；卷下是各種應(yīng)用問題，涉及田域、倉窖、營建、賦役、軍旅等·從其內(nèi)容特色來看，它以實際應(yīng)用為主，注重計算技術(shù)，題目通俗有趣，解法巧妙簡便，在中國古代數(shù)學(xué)著作中是很有代表性的．《孫子算經(jīng)》還記載了舉世聞名的“孫子間題”，這就是卷下第26題，也即全書的最后一題．原文是這樣的《孫子算經(jīng)》出現(xiàn)在4-5世紀(jì)，其具體的成書年代68“今有物不知數(shù)．三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二，問物幾何？”其意思是：有堆東西不知有多少，如果三個三個地數(shù)，最后余下兩個；五個五個地數(shù)，最后余下三個；七個七個地數(shù)，最后余下二個，問這堆東西共有多少？雖然《孫子算經(jīng)》記載的“孫子問題”似乎是一個數(shù)字游戲，但古代產(chǎn)生這一間題的背景卻是非常深刻的，這主要是天文歷法的需要．例如在制定魏景初歷（公元237年）時就明確規(guī)定，把冬至、月朔和甲子日零時重合的時刻取作歷法起算的原點，古代歷法中稱之為“上元”．如果制訂歷法那一年冬至發(fā)生在甲子“今有物不知數(shù)．三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩69日零時后r1日，在月朔后r2日，那么，這一年冬至距上元的年數(shù)x就是同余式組

的解．這里a是一回歸年的日數(shù)，b是一朔望月的日數(shù)．據(jù)研究，早在公元前2世、紀(jì)時，我國就已研究過需要一次同余式才能解決的天文問題．這類問題在中國古代數(shù)學(xué)中是經(jīng)常碰到的，不過由于問題的提法不同而賦予不同的名稱，如“鬼谷算”、“秦王暗點兵”、“剪管術(shù)”、“隔墻算”等等．把上述間題用同余式組表示出來就是日零時后r1日，在月朔后r2日，那么，這一年冬至距上元的年數(shù)70求x，這里表示a與b同時被p除所得的余數(shù)相同．《孫子算經(jīng)》的解答原文如下：“答日：二十三．術(shù)日：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得．凡三三數(shù)之剩一，則置七十；五五數(shù)之剩一，則置二十一；七七數(shù)之剩一，則里十五；一百五上，以一百五減之，即得．”這段原文隱晦難懂，但它卻揭示了這類問題解法的關(guān)鍵是要找出70,21,15這三個常數(shù)，為什么呢？因為70不僅是5X7的倍數(shù)（2倍），求x，這里表示a71而且被3除余1;21不僅是3X7的倍數(shù)（(1倍），且被5除余1;15不僅是3X5的倍數(shù)（(1倍），且被7除余1，即(4.1)(4.2)(4.3)由題設(shè)，用3,5,7分別除以x所得的余數(shù)為2,3,2，故用2,3,2分別去乘（4.1),(4.2),(4.3）式，再相加即得而且被3除余1;21不僅是3X7的倍數(shù)（(1倍），且被5除余72這表示233是滿足條件的x的一個解．為了求滿足條件的最小解，可用3X5X7=105的倍數(shù)去減233，得到的差23便是所求的解．后來有人將這一問題的解法寫成一首詩歌，這就是明代數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》卷五所載的“孫子歌”：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知．《張邱建算經(jīng)》三卷，為5世紀(jì)時期北魏人張邱建所撰。其主要數(shù)學(xué)成就有：最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的應(yīng)用、等差數(shù)列、開帶從平方和不定方程。著名的“百雞問題”即出自此書。該書卷下最后一題就是所謂“百雞問題”：這表示233是滿足條件的x的一個解．為了求滿足條件的最73今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢買雞百只。問翁、雞母、雞雛各幾何？”此題相當(dāng)于給出不定方程組：

這里的x，y,z分別為所買雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)．張邱建給出了三組解,,今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢74這恰好是所有可能的三組正整數(shù)解。至于如何得到這三組解，《張邱建算經(jīng)》的“術(shù)”文是：雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。”這實際上指出了這個不定方程的通解公式為t取0。1。2這恰好是所有可能的三組正整數(shù)解。至于如何得到這三組解，《張邱75《五曹算經(jīng)》為北周甄鸞所撰，共2卷。該書對《尚書》、《詩經(jīng)》《周易》《禮記》和，《論語》等儒家經(jīng)典及其古代經(jīng)師的注解中所涉及的數(shù)學(xué)知識進行解釋，但數(shù)學(xué)內(nèi)容并不深。現(xiàn)傳本《夏侯陽算經(jīng)》已不是唐代立于學(xué)官的原著，是北宋時期重刻《算經(jīng)十書》時頂替早已亡佚的原著而選用的唐代中葉的一本實用算術(shù)書，其作者可能是韓延．該書共3卷，較為重要的是有許多關(guān)于捷算方法的記載．《緝古算經(jīng)》為唐代數(shù)學(xué)家王孝通所撰。全書共20題，最重要的有堤岸的體積計算公式和對高次方程的研究，彌補了《九章算術(shù)》與《綴術(shù)》等書的不足。《五曹算經(jīng)》為北周甄鸞所撰，共2卷。該書對《尚76盡管隋唐時期對數(shù)學(xué)教育十分重視，但就數(shù)學(xué)成就面言，這一時期并不十分突出。不過也還是出現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)成就。如在天文歷法的研究中，隋代卓越的天文學(xué)家劉焯（544-610）在《周骨卑算經(jīng)》中一次同內(nèi)插法的啟發(fā)下，首先在天文歷法研究中應(yīng)用了等間距二次內(nèi)插法公式。接著，唐代的僧一行（俗名張遂，687-727）推廣建立了不等間距的二次內(nèi)插法公式，即數(shù)學(xué)史上有名的“張遂內(nèi)插法公式”，同時，僧一行還組織了世界上第一次對地球子午線的實際測量……這些都是中國數(shù)學(xué)史上光輝的一頁。盡管隋唐時期對數(shù)學(xué)教育十分重視，但就數(shù)學(xué)成就面774.3宋元時期——中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的興盛這一時期包括宋元兩代，即900年到1368年。眾所周知，宋代結(jié)束了五代十國的封建割據(jù)的局面以后，出現(xiàn)了社會穩(wěn)定，生產(chǎn)發(fā)展、經(jīng)濟繁榮的景象，特別是統(tǒng)治者鼓勵發(fā)展科學(xué)技術(shù)，同時改革舊的科舉制度，極大地推動了科學(xué)文化技術(shù)的發(fā)展。聞名于世的中國古代“四大發(fā)明”中的指南針、火藥和活字印刷這三大發(fā)明就都是在宋代完成并獲得廣泛應(yīng)用的。到了元代，蒙古騎兵占領(lǐng)了歐亞大陸的廣大地區(qū)，促進了中外交流，印刷術(shù)的發(fā)展了推動了數(shù)學(xué)教育與研究，再加上前一時期數(shù)學(xué)出現(xiàn)了極其輝煌的成就，到達了興盛時期。4.3宋元時期——中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的興盛這一時78這一時期的一個顯著標(biāo)志是數(shù)學(xué)家及其數(shù)學(xué)著作的大批出現(xiàn)。據(jù)不完全統(tǒng)計，著名的數(shù)學(xué)家數(shù)十人，有記載的數(shù)學(xué)專著百余種，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出前面的各個時期。數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容也有了顯著的變化，如果說由趙君卿、劉徽至王孝通的這一時期。幾何學(xué)得到了高度的發(fā)展。那么宋元高峰時期基本上是以代數(shù)為中心的時期。在這個時期，關(guān)于高次方程的數(shù)值解法、線性方程組的解法、高階等差數(shù)列、組合數(shù)學(xué)、半符號代數(shù)以及屬于數(shù)論范疇的同余式組的解法等，都達到了當(dāng)時世界的最高水平。這一時期的一個顯著標(biāo)志是數(shù)學(xué)家及其數(shù)學(xué)著作的大794．3．1高次方程的數(shù)值解法《九章算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》等著作中所載的開平方、開立方法已具備了解二次、三次方程的雛形。宋代以前，也曾經(jīng)有人嘗試將這種方法推廣到解更高次的方程。但目前明確記載并保存下來的應(yīng)是北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)造的“增乘開方法”。4．3．1高次方程的數(shù)值解法《九章算術(shù)》、《緝801050年前后，北宋數(shù)學(xué)家賈憲撰寫了一部名為《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，給出了用“增乘開方”來解形如的方程的方法，邁出了將傳統(tǒng)的開平方、開立方法推廣為求解一般高次方程的重要一步。賈憲的著作早已失傳，但其主要內(nèi)容被南宋時期的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家楊輝摘錄在他自己的著作《詳解九章算法》（1261）中，由此我們可以看出，賈憲的高次開方法是以“開方作法本源”圖為基礎(chǔ)的。1050年前后，北宋數(shù)學(xué)家賈憲撰寫了一部名為《81圖4-19中數(shù)字排列成一個三角形。該三角形的每N橫行恰好是二項展開式中的各項系數(shù)圖下注文為:“左袤乃積數(shù)，左袤乃隅算，中藏者皆廉乘商方，命實以除之?！鼻皟删涫侵溉切巫钔膺叺膬闪袛?shù)字分別對應(yīng)各次開方之積與隅算，第三句是說中間的數(shù)字分別對應(yīng)開方過程中所出現(xiàn)的各廉，后兩句是對開方算法的概括．圖4-19中數(shù)字排列成一個三角形。該三角形的每N橫行恰好是二82賈憲的解法大體上可用現(xiàn)代語言解釋如下：對于方程（4.4)，若x僅為一位數(shù)字，不難通過試驗確定其值；若x有2位有效數(shù)字時，令x=a+b(其中a的位值是b的10倍），則有即賈憲的解法大體上可用現(xiàn)代語言解釋如下：對于方程（4.4)，若83在估算出a以后作減法,然后利用上述關(guān)系就可以求出b來．如果x的有效數(shù)字的個數(shù)多于2時，在求出第二位有效數(shù)字以后又可依照同樣的方法繼續(xù)計算后面的有效數(shù)字．以楊輝《詳解九章算法》中所記載的求1336336的四次方根為例，該題相當(dāng)于求解方程6當(dāng)然，楊輝這里所求的是該方程的正根．他的方法相當(dāng)于首先令將原方程變換為議得首商為3,令,則利用二項展開式的系數(shù)表，得到減根變換后的方程為在估算出a以后作減法,然后利用上述關(guān)系就84其中的系數(shù)如表4一1由所謂“增乘”程序得到其中的系數(shù)85即再令,將方程變?yōu)槎茸h和次商為4，令重復(fù)上述“增乘”程序得即86由于常數(shù)項恰好為0。，整個計算過程到此結(jié)束，得到原開方式的精確值為34．若常數(shù)項不為0。時，還可繼續(xù)重復(fù)增乘程序來求小數(shù)點后的各位數(shù)字?！霸龀碎_方法”包括了四種算法：縮根（將方根縮小至原來的1/而使其僅保留一位整數(shù))、估根（通過試除確定這個整數(shù)的數(shù)值）、減根（除去這個確定的整數(shù)）和倍根（使方根的剩余部分?jǐn)U大10倍而重現(xiàn)一位整數(shù)）．在開方過程中，隨乘隨加、反復(fù)迭代，計算減根變換后方程各項系數(shù)的方法，具有鮮明的算法特點，這與現(xiàn)代所用的“霍納算法”已基本一致．由于常數(shù)項恰好為0。，整個計算過程到此結(jié)束87賈憲的“增乘開方法”盡管已經(jīng)可以用于解高次方程，但賈憲本人卻只是單純地用它來處理開方問題，而且在他以及以前的中國數(shù)學(xué)家的論述中，由開方引出的方程其系數(shù)都是正數(shù)．雖然12世紀(jì)北宋學(xué)者劉益對方程系數(shù)必須為正的限制已經(jīng)有所突破，并在他所著的《議古根源》一書中允許方程的系數(shù)為負(fù)數(shù)，但由于該書的亡失，其方法并沒有流傳下來．將“增乘開方法”推廣到高次方程一般情況的是南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶．賈憲的“增乘開方法”盡管已經(jīng)可以用于解高次方程，88秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳（今四川安岳），其父曾任南宋四川巴州守，優(yōu)越的家庭環(huán)境使得秦九韶能有機會去向掌管歷法的太史局官員求教天文歷法，在數(shù)學(xué)上又得到過“隱君子”的指點教誨，成年后相繼在四川、湖北、安徽、江蘇等地做官，但任期都不太長，后因參與派系斗爭失敗而被貶滴至梅州，1261年死于任所．《數(shù)書九章》這部傳世名著是他1244-1247年在家守母孝期間撰寫的，其主要內(nèi)容是他此前十?dāng)?shù)年間埋頭鉆研數(shù)學(xué)的結(jié)果．這部著作繼承了中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特色，特別是受《九章算術(shù)》的影響，采用了問題集的形式．全書秦九韶，字道古，1202年生于普州安岳（89搜集了與當(dāng)時社會生活密切相關(guān)的81個數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題，按性質(zhì)分為九類，每類九題，共18卷．其中，他推廣傳統(tǒng)的“開方法”，創(chuàng)立了“正負(fù)開方術(shù)”．其方法是先列出相當(dāng)于的方程，其中可正可負(fù)，而常數(shù)項則總是負(fù)的（“實常為負(fù)”）．若試商為式，作減根變換則將方程變形為搜集了與當(dāng)時社會生活密切相關(guān)的81個數(shù)學(xué)實際應(yīng)用問題，按性質(zhì)90然后利用類似于賈憲的“增乘開方法”的迭代程序來計算變換后所得到的新方程的各項系數(shù)

他的程序與賈憲方法的區(qū)別在于：由于規(guī)定了“實常為負(fù)”，整個程序便統(tǒng)一用加法，真正實現(xiàn)了隨乘隨加的機械操作．然后利用類似于賈憲的“增乘開方法”的迭代程序來計算變換后所得914.3.2中國剩余定理如前所述，《孫子算經(jīng)》提出了著名的“孫子問題”，其給出的解法雖然是針對具體問題的，但具有一般性．我們?nèi)菀淄茝V如下：如要求一個最小整數(shù)Ｎ，它被兩兩互素的，s個數(shù)除時，余數(shù)分別為仿照上述方法，首先對每一個作4.3.2中國剩余定理如前所述，《孫子算經(jīng)》提出了著名92然后找一個整數(shù)（這里的相當(dāng)于孫子問題解法中的70,21,15)，再將分別與相乘后求和，設(shè)為

如果則M即為所求；如果則M被除后所得的余數(shù)即為所求．這就是數(shù)論中著名的“剩余定理”．然后找一個整數(shù)93應(yīng)該指出，《孫子算經(jīng)》對于這類問題的研究只是初具雛形，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)談不上完整，其不足之處在于：(1)沒有把解法總結(jié)成文，致使后人研究時多憑猜測；(2)模數(shù)僅限于兩兩互素的正整數(shù)，未涉及一般情況；(3)未能進一步探討同余式（組）有解的條件等理論間題．應(yīng)該指出，《孫子算經(jīng)》對于這類問題的研究只是初具雛形，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)94因此，后人把這一命題及其解法稱為“孫子定理”，主要是推崇《孫子算經(jīng)》處理這類問題在時間上領(lǐng)先．其思想方法的成熟，還有待于后來的中國古代數(shù)學(xué)家們的工作．秦九韶在《數(shù)書九章》卷一“大衍總數(shù)術(shù)”中推廣了“孫子間題”的解法．為了避免對秦九韶的原文作出生硬的書面翻譯，下面我們將采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言對他的成就做一個一般的敘述．需要指出，秦九韶的方法是通過對具體問題的討論給出的，但具有一般性．因此，后人把這一命題及其解法稱為“孫子定理”95秦九韶對同余式的解法是將a,b輾轉(zhuǎn)相除，秦九韶稱之為“更相減損”，除至余數(shù)為1時停止．設(shè)商數(shù)序列是再作遞推公式于是，當(dāng)n是奇數(shù)時，所求的解為秦九韶不討論負(fù)數(shù)解．設(shè)秦九韶對同余式的解法96(1）先求數(shù)設(shè)作這相當(dāng)于解同余式可簡化為(1）先求數(shù)97(2）求和數(shù)，由（1)顯然有(3)假設(shè)a是問題的最小解，則一般的解可由公式表示．它由我們上面已經(jīng)介紹過的類似方法解決這是秦九韶對“孫子問題”的推廣．他的方法是：如果同余式組(2）求和數(shù)，由（1)顯然有98中的模數(shù)不兩兩互素，則把它們分解為素因數(shù)（但秦九韶并沒有提出素因數(shù)的一般概念，的積，由此求出

的最小公倍數(shù)為，據(jù)此易求得正整數(shù)使它們兩兩互素，且它們的乘積恰好是的最小公倍數(shù)，并使得則我們就可將用來代替，從而把模數(shù)不兩兩互素的同余式組轉(zhuǎn)化為兩兩互素的問題來中的模數(shù)不兩兩99解決．通過進一步研究，我們還可以發(fā)現(xiàn)，秦九韶的方法與現(xiàn)在通常所說的連分?jǐn)?shù)解法完全一致．使我們驚奇的是，這類問題的研究雖最早見于《孫子算經(jīng)》，但秦九韶在《數(shù)書九章》自序中卻說：他對這一問題的探討，是由于它“不載《九章》，未有能推之者”，所以他才發(fā)憤鉆研的，至于他是否了解《孫子算經(jīng)》的內(nèi)容，全然沒有提及．由此我們可以想像，秦九韶的工作盡管可能沒有以《孫子算經(jīng)》為基礎(chǔ)，但他青年時代曾隨“太史”學(xué)習(xí)造歷知識，必然接觸到天文歷法中的同余式思想，因此，他的研究是有一定的歷史背景的．經(jīng)過秦九韶的刻苦鉆研，終于使解決一次同余式（組）問題的方法形成了較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論，其功績是十分巨大的．解決．通過進一步研究，我們還可以發(fā)現(xiàn)，秦九韶的方法與100與中國相比，西方數(shù)學(xué)家對于同余式（組）的研究則要遲得多．意大利學(xué)者斐波那契的《算術(shù)》(1202年）中雖有好幾道同余式組的問題，但其研究的水平不高于《孫子算經(jīng)》．從14世紀(jì)到17世紀(jì)，西歐數(shù)學(xué)著作中僅零星出現(xiàn)少量的一次同余式問題．對于這些問題，即使有正確答案，也沒有一般的解法．從18世紀(jì)上半葉開始，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler,1707-1783)、法國數(shù)學(xué)家拉格朗日（JosephLouisLagrange,1736-1813）和德國數(shù)學(xué)家高斯(CarlFriedrichGauss,1777-1855）等相繼開始研究同余式的問題．1734年，歐拉在俄羅斯彼得堡學(xué)報發(fā)表與中國相比，西方數(shù)學(xué)家對于同余式（組）的研究101了關(guān)于同余式的解法，他的方法是通過對a,b輾轉(zhuǎn)相除來求解的，與秦九韶的“更相減損”思想完全一致．拉格朗日利用連分?jǐn)?shù)討論這一問題，他把既約分?jǐn)?shù)化成連分?jǐn)?shù)了關(guān)于同余式的解法，他102刪去最后一項1/n，再化成普通分?jǐn)?shù)y/x，其分子，分母當(dāng),N是偶數(shù)個時是ax=by+1的解；當(dāng)它們是奇數(shù)個時，則是ax=by-1的解．1801年，“數(shù)學(xué)王子”高斯出版了他的數(shù)學(xué)巨著《算術(shù)研究》，全書共七章，第二章專門討論一次同余式及同余式組的解法．他討論了模數(shù)不兩兩互素的情形，方法是利用算術(shù)基本定理將模數(shù)化為素因數(shù)的連乘積．高斯的研究，給出了一次同余式的最一般的定理，使這一理論最終得到完善．刪去最后一項1/n，再化成普通分?jǐn)?shù)y/x，其分子，分母當(dāng)103無獨有偶，西方對同余式問題的研究也是起源于天文歷法，如高斯在《算術(shù)研究》中解釋某一同余式問題的起源時說：“這一問題是從年序?qū)W產(chǎn)生的．”由此可見，在西方，直到18世紀(jì)，經(jīng)歐拉、拉格朗日和高斯三代巨匠前后60多年的努力，才比較系統(tǒng)地建立起一次同余式的理論．這在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了很大的轟動，當(dāng)時居世界數(shù)學(xué)中心地位的彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院等競相刊登這些成果，以示祝賀．然而他們并不知道，早在500年前的東方，相應(yīng)的成果就已燦爛奪目了．當(dāng)然，他們的研究也彌補了中國數(shù)學(xué)的不足，即做出了更為細(xì)致的討論和嚴(yán)格的證明．無獨有偶，西方對同余式問題的研究也是起源于天文104由于客觀條件的限制，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的這一杰出成就很晚才被西方數(shù)學(xué)界所知．1839年，畢歐在《亞洲雜志》上發(fā)表了一篇關(guān)于程大位《算法統(tǒng)宗》的文章，文中論述了“孫子問題”，但這個關(guān)于中國剩余定理的最早報道好像在歐洲并沒有引起人們的重視．1842年，《數(shù)書九章》的“宜稼堂叢書”本出版，這使得正在中國與李善蘭合作翻譯介紹西方科學(xué)文化的英國人偉烈亞力，第一次接觸到中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的原始資料．時隔10年，偉烈亞力在《字林西報》上發(fā)表了關(guān)于中國科學(xué)技術(shù)史的論文—《中國科學(xué)的論述》，其中論述了《孫子算經(jīng)》中的“孫子間題”，在這篇論文中，最重要由于客觀條件的限制，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的這一杰出成就很晚才被西方數(shù)105的一點是偉烈亞力首次向西方解釋了秦九韶的“大衍總數(shù)術(shù)”，并介紹了秦九韶的第一道題的全部解說，以及其他問題的一些注記．1856年，偉烈亞力的這篇論文被譯成德文發(fā)表，于是，中國的“大衍術(shù)”開始在歐洲數(shù)學(xué)界為人們所知曉，但由于偉烈亞力解釋的不確切和翻譯的錯誤，人們對這一成就的認(rèn)識并不充分．當(dāng)時，德國著名數(shù)學(xué)史家康托爾在他的《關(guān)于數(shù)學(xué)的歷史》一書中就認(rèn)為：“看來中國人在不定分析研究方面比同時有文化的民族較為遜色．”的一點是偉烈亞力首次向西方解釋了秦九韶的“大衍總數(shù)術(shù)”，并介106首先認(rèn)識到中國“大衍術(shù)”真正意義的是德國人馬蒂生．他從1876年開始，發(fā)表了一系列論著，高度評價了秦九韶的“大衍求一術(shù)”，指出它實質(zhì)上與高斯定理是等價的，并且訂正了德文翻譯的錯誤，給出剩余問題的正確闡述．馬蒂生的工作終于改變了歐洲學(xué)者對這一問題的看法。例如前面提到的康托爾，在讀了馬蒂生的論述后，承認(rèn)這一法則的正確性并由衷地贊美它，稱秦九韶是“最幸運的天才”．從數(shù)學(xué)史的觀點來看，一篇最重要的論文是瑪赫勒1957年發(fā)表的“中國剩余定理”，正是這篇論文首次提出用中國來命名這一偉大的數(shù)學(xué)成就，以表彰中國數(shù)學(xué)家們所做出的杰出貢獻．這一命名很快就風(fēng)行全球，并被教科書所采納。首先認(rèn)識到中國“大衍術(shù)”真正意義的是德國人馬蒂1074.3.3“天元術(shù)”和“四元術(shù)”“天元術(shù)”的產(chǎn)生標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展到一個新的高度，這就是半符號代數(shù)的產(chǎn)生．由于高次方程數(shù)值解法的發(fā)展，必然引起人們對列方程方法的探求．據(jù)研究，這一先進的數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生于12世紀(jì)，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》是現(xiàn)存最早的系統(tǒng)介紹和研究“天元術(shù)”的著作．4.3.3“天元術(shù)”和“四元術(shù)”“天108李冶（1192-1279)曾中過金朝進士，并擔(dān)任過地方官．金朝滅亡后，他隱居于今山西、河北一帶，一面進行數(shù)學(xué)研究，一面收徒講學(xué)．在這期間，他完成了《測圓海鏡》十二卷（1248年）和《益古演段》三卷（1259年）．在這兩部著作中，他對已有的“天元術(shù)”進行了改進與簡化，其方法是：首先“立天元一為某某”，這相當(dāng)于“設(shè)x為未知數(shù)”，“天元一”就表示未知數(shù)．在籌算盤上列天元式，如圖4一20所示，先確定未知數(shù)一次項系數(shù)的位置，在其旁邊置一個“元，’（天元）字表示未知數(shù)，其余各項按未知數(shù)冪次相當(dāng)于一次項上下遞增或遞減排列．有時李冶也會在常數(shù)項旁置一個太”李冶（1192-1279)曾中過金朝進士，并擔(dān)任過地方官．金109（太極）來表示該項．該圖相當(dāng)于方程這樣就拋棄了那種每一項都要用一個文字來表示的繁瑣的方法，形成了一種簡捷的固定形式．作為應(yīng)用，他在《測圓海鏡》中利用“天元術(shù)”解決了六七百條幾何命題的證明，主要是勾股容圓問題．其《益古演段》大都闡述平面圖形間的面積關(guān)系．（太極）來表示該項．該圖相當(dāng)于方程110當(dāng)問題中含有不止一個未知數(shù)時，“天元術(shù)”就自然要被推廣了．元代數(shù)學(xué)家朱世杰推廣了“天元術(shù)”，提出用“四元術(shù)”來解四元方程，可以說這是中國籌算代數(shù)學(xué)的頂峰．朱世杰，字漢卿，寓居北京，，是一位杰出的數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家．他精通《九章算術(shù)》，“旁通諸術(shù)”，“以數(shù)學(xué)名家周游湖海十余年，四方之來學(xué)者日眾”，他曾數(shù)次到江蘇揚州一帶傳授數(shù)學(xué)，深受當(dāng)?shù)貙W(xué)者的歡迎．他