高考二次函數(shù)(二次函數(shù)在區(qū)間上的最值)課件

高考第一輪復習（第10講）二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題高考第一輪復習（第10講）二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題一、定義域為R的二次函數(shù)的值域另外也可以從函數(shù)的圖象上去理解。一、定義域為R的二次函數(shù)的值域另外也可以從函數(shù)的圖象上去理解21-121-13021-121-13021-121-13021-121-130二、定義域不為R的二次函數(shù)的值域練習322++-=xxy、的值域當x∈(2,3]時,求函數(shù)例1[)3,0]3,2(??yx時從圖象上觀察得到當)4,1[)1(-?x322+-=xxy的值域在下列條件下求函數(shù))11,2[)1(?y答3-1二、定義域不為R的二次函數(shù)的值域練習322++-=xxy、的解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。2yxo13a

∴當x=0時，ymax=3

當x=a時，ymin=a2-2a+31.當0<a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調遞減，三、定函數(shù)動區(qū)間的二次函數(shù)的值域解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求

∴當x=0時，ymax=3

當x=a時，ymin=a2-2a+3

,函數(shù)在[0,1]上單調遞減,在[1,a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2

當x=0時，ymax=3yxo1322a解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。2.當1<a<2時1.當a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調遞減，,函數(shù)在[0,1]上,函數(shù)在[0,1]上單調遞減,在[1，a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2,

當x=a時,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。3.當a≥2時2.當1<a<2時,函數(shù)在[0,1]上單調遞減,在[1,a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2;當x=0時，ymax=3解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上1.當a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調遞減，∴當x=0時，ymax=3;當x=a時，ymin=a2-2a+3,函數(shù)在[0,1]上單四、動函數(shù)定區(qū)間的二次函數(shù)的值域

例3、求在上的最值。1、由圖（1）得：當，即時，2、由圖（2）得：當，即時，0a3圖（1）10圖（2）10四、動函數(shù)定區(qū)間的二次函數(shù)的值域例3、求

例3、求在上的最值。3、由圖（3）得：當，即時，4、由圖（4）得：當，即時，0圖（3）1圖（4）1例3、求例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=xyo-1a五、動函數(shù)動區(qū)間的二次函數(shù)的值域(2)當a<時,即-1<a<0時,

例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解綜上所述:當-1<a<0時,ymax=0

當a≥0時,ymax=

例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=(2)當a<時,即-1<a<0時,

axyo-1由二次函數(shù)的圖象可知:ymax=f(a)=0綜上所述:當-1<a<0時,ymax=0例4求函數(shù)y=課堂小結：對于求有限閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，關鍵抓住二次函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸及定義區(qū)間，應用數(shù)形結合法求解。課堂小結：對于求有限閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，關鍵抓住二思考討論：思考討論：證:(1)令

F(x)=f(x)

-x,由于

x1,x2是方程

f(x)

-x=0

的兩根,所以可設

F(x)=a(x-x1)(x-x2).例8.已知二次函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的兩根x1,x2滿足

0<x1<x2<

.(1)當

x∈(0,x1)

時,

證明:

x<f(x)<x1;

(2)設函數(shù)

f(x)

的圖象關于直線

x=x0對稱,證明:x0<

.1a2x1∵0<x1<x2<

,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a當

x∈(0,x1)

時,

由

x1<x2及

a>0

有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即

f(x)

-x>0,從而

f(x)>x.又

x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴

x1-f(x)>0,從而

x1>f(x).

故當

x∈(0,x1)

時,

有

x<f(x)<x1;證:(1)令F(x)=f(x)-x,由于x1,(2)依題意

x0=-.

2ab由于

x1,x2是方程

f(x)-x=0

即

ax2+(b-1)x+c=0

的兩根,∴

x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a

∴

x0=-2ab1-a(x1+x2)

2a

=-a(x1+x2)-12a

=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a

=<=.∴

x02aax1故

x0<.2x1例8.已知二次函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的兩根x1,x2滿足

0<x1<x2<

.(1)當

x∈(0,x1)

時,

證明:

x<f(x)<x1;

(2)設函數(shù)

f(x)

的圖象關于直線

x=x0對稱,證明:x0<

.1a2x1(2)依題意x0=-.2ab由于x1,x2是例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解,求實數(shù)a

的取值范圍;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求實數(shù)

a

的取值范圍.解:(1)令

t=sinx,

則方程

2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解等價于:方程

2t2-4at+1-a=0

有一根為

0,另一根不在

(0,1)

內;或方程

2t2-4at+1-a=0

在

(0,1)

內有兩等根;

或方程

2t2-4at+1-a=0

有一解在

(0,1)

內,另一解在[0,1]外.

當

t=0

時,a=1,方程

2t2-4at+1-a=0

的另一根為

2

且

2(0,1),∴a=1

適合題意;

方程

2t2-4at+1-a=0

有兩等根時,由

△=16a2-8(1-a)=0

得:a=-1

或.12例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0在例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解,求實數(shù)a

的取值范圍;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求實數(shù)

a

的取值范圍.∵a=-1時,方程

2t2-4at+1-a=0

的兩等根為-1

但

-

1(0,1),∴a=-1

不合題意,舍去;12又a=時,方程

2t2-4at+1-a=0

的兩等根為

且(0,1),1212∴a=

適合題意;

12

設

f(t)=2t2-4at+1-a,則方程

2t2-4at+1-a=0有一解在(0,1)內,另一解在[0,1]外等價于:f(0)f(1)<0,即

(1-a)(3-5a)<0.解得

<a<1.

35綜上所述,實數(shù)

a

的取值范圍是a=,或<a≤1.3512解法二:分離參數(shù):a=…(0≤sinx<1)來求.要注意不適合題意的情況.例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0在

(2)令

t=sinx,

則不等式

2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立等價于不等式

2t2-4at+1-a>0

在[0,1]上恒成立.等價于或或a<0f(0)>00≤a≤1f(a)>0a>1f(1)>0.即或或a<01-a>00≤a≤12a2+a-1<0a>13-5a>0.解得

a<,

12此即為所求實數(shù)

a

的取值范圍.

例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解,求實數(shù)a

的取值范圍;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求實數(shù)

a

的取值范圍.(2)令t=sinx,則不等式2sin2x-4a【例8】(06浙江)設，若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證：（1）a>0且（2）方程f(x)=0在(0,1)內有兩個實根?！痉治觥客ㄟ^已知條件消去c便可得到a與b的關系,從而得出b/a的范圍，要證f(x)=0在(0,1)內有兩個實根，只需證明對稱軸在(0,1)之間且頂點的縱坐標小于0即可?！纠?】(06浙江)設高考第一輪復習（第10講）二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題高考第一輪復習（第10講）二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題一、定義域為R的二次函數(shù)的值域另外也可以從函數(shù)的圖象上去理解。一、定義域為R的二次函數(shù)的值域另外也可以從函數(shù)的圖象上去理解21-121-13021-121-13021-121-13021-121-130二、定義域不為R的二次函數(shù)的值域練習322++-=xxy、的值域當x∈(2,3]時,求函數(shù)例1[)3,0]3,2(??yx時從圖象上觀察得到當)4,1[)1(-?x322+-=xxy的值域在下列條件下求函數(shù))11,2[)1(?y答3-1二、定義域不為R的二次函數(shù)的值域練習322++-=xxy、的解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。2yxo13a

∴當x=0時，ymax=3

當x=a時，ymin=a2-2a+31.當0<a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調遞減，三、定函數(shù)動區(qū)間的二次函數(shù)的值域解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求

∴當x=0時，ymax=3

當x=a時，ymin=a2-2a+3

,函數(shù)在[0,1]上單調遞減,在[1,a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2

當x=0時，ymax=3yxo1322a解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。2.當1<a<2時1.當a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調遞減，,函數(shù)在[0,1]上,函數(shù)在[0,1]上單調遞減,在[1，a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2,

當x=a時,ymax=a2-2a+3yxo132a2例2求函數(shù)y=x2-2x+3在區(qū)間[0，a]上的最值，并求此時x的值。3.當a≥2時2.當1<a<2時,函數(shù)在[0,1]上單調遞減,在[1,a]上單調遞增,∴當x=1時,ymin=2;當x=0時，ymax=3解:函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=1,拋物線開口向上1.當a≤1時，函數(shù)在[0，a]上單調遞減，∴當x=0時，ymax=3;當x=a時，ymin=a2-2a+3,函數(shù)在[0,1]上單四、動函數(shù)定區(qū)間的二次函數(shù)的值域

例3、求在上的最值。1、由圖（1）得：當，即時，2、由圖（2）得：當，即時，0a3圖（1）10圖（2）10四、動函數(shù)定區(qū)間的二次函數(shù)的值域例3、求

例3、求在上的最值。3、由圖（3）得：當，即時，4、由圖（4）得：當，即時，0圖（3）1圖（4）1例3、求例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=xyo-1a五、動函數(shù)動區(qū)間的二次函數(shù)的值域(2)當a<時,即-1<a<0時,

例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解綜上所述:當-1<a<0時,ymax=0

當a≥0時,ymax=

例4求函數(shù)y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴對稱軸在x=-的右邊.∴(1)當-1<≤a時,即a≥0時,由二次函數(shù)圖象可知:ymax=f()=(2)當a<時,即-1<a<0時,

axyo-1由二次函數(shù)的圖象可知:ymax=f(a)=0綜上所述:當-1<a<0時,ymax=0例4求函數(shù)y=課堂小結：對于求有限閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，關鍵抓住二次函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸及定義區(qū)間，應用數(shù)形結合法求解。課堂小結：對于求有限閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問題，關鍵抓住二思考討論：思考討論：證:(1)令

F(x)=f(x)

-x,由于

x1,x2是方程

f(x)

-x=0

的兩根,所以可設

F(x)=a(x-x1)(x-x2).例8.已知二次函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的兩根x1,x2滿足

0<x1<x2<

.(1)當

x∈(0,x1)

時,

證明:

x<f(x)<x1;

(2)設函數(shù)

f(x)

的圖象關于直線

x=x0對稱,證明:x0<

.1a2x1∵0<x1<x2<

,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0.1a當

x∈(0,x1)

時,

由

x1<x2及

a>0

有:F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0.即

f(x)

-x>0,從而

f(x)>x.又

x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∴

x1-f(x)>0,從而

x1>f(x).

故當

x∈(0,x1)

時,

有

x<f(x)<x1;證:(1)令F(x)=f(x)-x,由于x1,(2)依題意

x0=-.

2ab由于

x1,x2是方程

f(x)-x=0

即

ax2+(b-1)x+c=0

的兩根,∴

x1+x2=-,∴b=1-a(x1+x2).b-1a

∴

x0=-2ab1-a(x1+x2)

2a

=-a(x1+x2)-12a

=.∵ax2<1,即ax2-1<0,2x1a(x1+x2)-12a

=<=.∴

x02aax1故

x0<.2x1例8.已知二次函數(shù)

f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程

f(x)

-x=0

的兩根x1,x2滿足

0<x1<x2<

.(1)當

x∈(0,x1)

時,

證明:

x<f(x)<x1;

(2)設函數(shù)

f(x)

的圖象關于直線

x=x0對稱,證明:x0<

.1a2x1(2)依題意x0=-.2ab由于x1,x2是例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解,求實數(shù)a

的取值范圍;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求實數(shù)

a

的取值范圍.解:(1)令

t=sinx,

則方程

2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解等價于:方程

2t2-4at+1-a=0

有一根為

0,另一根不在

(0,1)

內;或方程

2t2-4at+1-a=0

在

(0,1)

內有兩等根;

或方程

2t2-4at+1-a=0

有一解在

(0,1)

內,另一解在[0,1]外.

當

t=0

時,a=1,方程

2t2-4at+1-a=0

的另一根為

2

且

2(0,1),∴a=1

適合題意;

方程

2t2-4at+1-a=0

有兩等根時,由

△=16a2-8(1-a)=0

得:a=-1

或.12例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0在例8.(1)設方程2sin2x-4asinx+1-a=0

在[0,]上有兩個不同的解,求實數(shù)a

的取值范圍;(2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a>0

在[0,]上恒成立,求實數(shù)

a

的取值范圍.∵a=-1時,方程

2t