平行四邊形及特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}及培優(yōu)題

.50/50平行四邊形和特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}和培優(yōu)題一．選擇題〔共5小題1．如圖,把大小相同的兩個矩形拼成如下形狀,則△FBD是〔A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．一般三角形 D．等腰三角形2．如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中點(diǎn),那么CH的長是〔A．3.5 B． C． D．23．如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E,則AE的長是〔A．3 B．5 C．2.4 D．2.54．如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC的中點(diǎn),EF=7,BC=10,則△EFM的周長是〔A．17 B．21 C．24 D．275．如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不與A和D重合的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線,垂足為E、F,則PE+PF的值為〔A．10 B．4.8 C．6 D．5二．填空題〔共4小題6．如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,若∠CAE=15°,則∠BOE的度數(shù)等于．7．如圖,將平行四邊形ABCD的邊DC延長到E,使CE=CD,連接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,當(dāng)n=時,四邊形ABEC是矩形．8．如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC、AD、CE,CE交AD于點(diǎn)F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間的關(guān)系式是．9．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形OABC是矩形,A〔﹣10,0,C〔0,3,點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是．三．解答題〔共31小題10．如圖,正方形ABCD中,AE=AB,直線DE交BC于點(diǎn)F,求∠BEF的度數(shù)．11．如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．〔1求證：四邊形EFGH為正方形；〔2若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的邊長．12．如圖,點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn),BE和CF交于點(diǎn)P．求證：AP=AB．13．如圖,點(diǎn)P為正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F．〔1求證：PA=EF；〔2若正方形ABCD的邊長為a,求四邊形PFCE的周長．14．如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),連接DE,把△DEC沿DE折疊得到△DEF,延長EF交AB于G,連接DG．〔1求∠EDG的度數(shù)．〔2如圖2,E為BC的中點(diǎn),連接BF．①求證：BF∥DE；②若正方形邊長為6,求線段AG的長．15．如圖①,在正方形ABCD中,F是對角線AC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長線上,且BF=EF．〔1求證：BF=DF；〔2求證：∠DFE=90°；〔3如果把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變〔如圖②,當(dāng)∠ABC=50°時,∠DFE=度．16．已知正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于O．①如圖1,若E是AC上的點(diǎn),過A作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求證：OE=OF②如圖2,若點(diǎn)E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于G,AG延長DB延長線于點(diǎn)F,其它條件不變,OE=OF還成立嗎？17．如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD中對角線AC上的一點(diǎn),且PE=PB．〔1求證：PE=PD；〔2求證：∠PDC=∠PEB；〔3若∠BAD=80°,連接DE,試求∠PDE的度數(shù),并說明理由．18．如圖,正方形ABCD中,AB=1,點(diǎn)P是BC邊上的任意一點(diǎn)〔異于端點(diǎn)B、C,連接AP,過B、D兩點(diǎn)作BE⊥AP于點(diǎn)E,DF⊥AP于點(diǎn)F．〔1求證：EF=DF﹣BE；〔2若△ADF的周長為,求EF的長．19．如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn)為O,以O(shè)為端點(diǎn)引兩條互相垂直的射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F．〔1求證：0E=OF；〔2若正方形的邊長為4,求EF的最小值．20．如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn),BE的垂直平分線FG交對角AC于點(diǎn)F．求證：〔1BF=DF；〔2BF⊥FE．21．已知：如圖所示,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一點(diǎn),O是BD的中點(diǎn),連接MO,并延長MO到N,使NO=MO,連接BN與ND．〔1判斷四邊形BNDM的形狀,并證明；〔2若M是AC的中點(diǎn),則四邊形BNDM的形狀又如何？說明理由．22．如圖,在△ABC中,O是邊AC上的一動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．〔1求證：OE=OF；〔2當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時,四邊形AECF是矩形？23．〔1如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DP∥OC,且DP=OC,連接CP,判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．〔2如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明理由．〔3如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明理由．24．如圖1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D．〔1求證：四邊形ABCD為矩形；〔2E是AB邊的中點(diǎn),F為AD邊上一點(diǎn),∠DFC=2∠BCE．①如圖2,若F為AD中點(diǎn),DF=1.6,求CF的長度：②如圖2,若CE=4,CF=5,則AF+BC=,AF=．25．如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn)．求證：MN⊥BD．26．如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時,另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．〔1經(jīng)過多長時間,四邊形PQCD是平行四邊形？〔2經(jīng)過多長時間,四邊形PQBA是矩形？〔3經(jīng)過多長時間,當(dāng)PQ不平行于CD時,有PQ=CD．27．如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點(diǎn),滿足AE=DF．連接CF交BD于G,連接BE交AG于H．已知正方形ABCD的邊長為4cm,解決下列問題：〔1求證：BE⊥AG；〔2求線段DH的長度的最小值．28．如圖,點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn),PE⊥MC,PF⊥BM,垂足為E、F．〔1當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時,四邊形PEMF為矩形？猜想并證明你的結(jié)論．〔2在〔1中,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,矩形PEMF變?yōu)檎叫?為什么？29．某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動,過程如下：如圖①,正方形ABCD中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q．〔1求證：AP=CQ；〔2如圖②,小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明；〔3在〔2的條件下,若AP=1,求PE的長．30．如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點(diǎn)E、F同時由A、C兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動〔到點(diǎn)B為止,點(diǎn)E的速度為1cm/s,點(diǎn)F的速度為2cm/s,經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形,求t的值．31．如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),作∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E,〔1求證：DE∥BC；〔2若AE=3,AD=5,點(diǎn)P為BC上的一動點(diǎn),當(dāng)BP為何值時,△DEP為等腰三角形．請直接寫出所有BP的值．32．已知：如圖,BF、BE分別是∠ABC及其鄰補(bǔ)角的角平分線,AE⊥BE,垂足為點(diǎn)E,AF⊥BF,垂足為點(diǎn)F．EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：〔1四邊形AFBE是矩形；〔2BC=2MN．33．如圖,在邊長為5的菱形ABCD中,對角線BD=8,點(diǎn)O是直線BD上的動點(diǎn),OE⊥AB于E,OF⊥AD于F．〔1對角線AC的長是,菱形ABCD的面積是；〔2如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD上運(yùn)動時,OE+OF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；〔3如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD的延長線上時,OE+OF的值是否發(fā)生變化？若不變請說明理由,若變化,請直接寫出OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系,不用明理由．34．如圖,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直線上,連接BF、AE．〔1求證：四邊形ABFE是平行四邊形．〔2若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,將△ABD沿著BE方向以1cm/s的速度運(yùn)動,設(shè)△ABD運(yùn)動的時間為t,在△ABD運(yùn)動過程中,試解決以下問題：〔1當(dāng)四邊形ABEF是菱形時,求t的值；〔2是否存在四邊形ABFE是矩形的情形？如果存在,求出t的值,如果不存在,請說明理由．35．已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O．〔1如圖1,連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．〔2如圖1,求AF的長．〔3如圖2,動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動過程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①問在運(yùn)動的過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能,請求出運(yùn)動時間t和點(diǎn)Q的速度；若不可能,請說明理由．②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求t的值．36．如圖1,E,F是正方形ABCD的邊上兩個動點(diǎn),滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H〔1求證：AG⊥BE；〔2如圖2,連DH,若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是．37．如圖,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,點(diǎn)E時AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)M時AB邊上的一個動點(diǎn)〔不與點(diǎn)A重合,延長ME交CD的延長線于點(diǎn)N,連接MD,AN．〔1求證：四邊形AMDN是平行四邊形．〔2填空：①當(dāng)AM的值為時,四邊形AMDN是矩形；②當(dāng)AM的值為時,四邊形AMDN是菱形．38．如圖,已知正方形OABC的邊長為4,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P〔0,m是線段oc上的一動點(diǎn)9點(diǎn)P不與點(diǎn)O、C重合0,直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D．〔1求點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔用含m的代數(shù)式表示〔2若△APD是以AP邊為一腰的等腰三角形,求m的值．39．如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作BD的平行線,交CE的延長線于點(diǎn)F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG、DF．〔1證明：四邊形BDFG是菱形；〔2若AC=10,CF=6,求線段AG的長度．40．如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊AD上,點(diǎn)F在邊BC的延長線上,連接EF與邊CD相交于點(diǎn)G,連接BE與對角線AC相交于點(diǎn)H,AE=CF,BE=EG．〔1求證：EF∥AC；〔2求∠BEF大小；〔3若EB=4,則△BAE的面積為．初二數(shù)學(xué)平行四邊形和特殊四邊形提高練習(xí)?？碱}和培優(yōu)題參考答案與試題解析一．選擇題〔共5小題1．〔2012春?炎陵縣校級期中如圖,把大小相同的兩個矩形拼成如下形狀,則△FBD是〔A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．一般三角形 D．等腰三角形[分析]根據(jù)正方形性質(zhì)得出FG=BC,∠G=∠C=90°,GB=CD,根據(jù)SAS證△FGB≌△BCD,推出∠FBG=∠BDC,BF=BD,求出∠DBC+∠FBG=90°,求出∠FBD的度數(shù)即可．[解答]解：∵大小相同的兩個矩形GFEB、ABCD,∴FG=BE=AD=BC,GB=EF=AB=CD,∠G=∠C=∠ABG=∠ABC=90°,∵在△FGB和△BCD中,∴△FGB≌△BCD,∴∠FBG=∠BDC,BF=BD,∵∠BDC+∠DBC=90°,∴∠DBC+∠FBG=90°,∴∠FBD=180°﹣90°=90°,即△FBD是等腰直角三角形,故選B．[點(diǎn)評]本題考查了等腰直角三角形,全等三角形的性質(zhì)和判定,正方形性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是證出△FGB≌△BCD,主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．2．〔2015春?江陰市期中如圖,正方形ABCD和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=,CE=3,H是AF的中點(diǎn),那么CH的長是〔A．3.5 B． C． D．2[分析]根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延長AD交EF于M,連接AC、CF,求出AM=4,FM=2,∠AMF=90°,根據(jù)正方形性質(zhì)求出∠ACF=90°,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CH=AF,根據(jù)勾股定理求出AF即可．[解答]解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中,點(diǎn)D在CG上,BC=,CE=3,∴AB=BC=,CE=EF=3,∠E=90°,延長AD交EF于M,連接AC、CF,則AM=BC+CE=4,FM=EF﹣AB=2,∠AMF=90°,∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形,∴∠ACD=∠GCF=45°,∴∠ACF=90°,∵H為AF的中點(diǎn),∴CH=AF,在Rt△AMF中,由勾股定理得：AF==2,∴CH=,故選：C．[點(diǎn)評]本題考查了勾股定理,正方形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線,并求出AF的長和得出CH=AF,有一定的難度．3．〔2015春?泗洪縣校級期中如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E,則AE的長是〔A．3 B．5 C．2.4 D．2.5[分析]根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得出CE2=CD2+DE2,代入求出即可．[解答]解：∵在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,∴∠CDE=90°,AD=BC=8,AB=DC=4,AO=OC,∵OE⊥AC,∴AE=CE,在Rt△CDE中,由勾股定理得：CE2=CD2+DE2,即AE2=42+〔8﹣AE2,解得：AE=5,故選B．[點(diǎn)評]本題考查了矩形的性質(zhì),勾股定理,線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是得出關(guān)于AE的方程．4．〔2015秋?XX期中如圖,在△ABC中,CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC的中點(diǎn),EF=7,BC=10,則△EFM的周長是〔A．17 B．21 C．24 D．27[分析]根據(jù)CF⊥AB于F,BE⊥AC于E,M為BC的中點(diǎn),利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,求出FM和ME的長,即可求解．[解答]解：∵CF⊥AB,M為BC的中點(diǎn),∴MF是Rt△BFC斜邊上的中線,∴FM=BC=×10=5,同理可得,ME=BC=×10=5,又∵EF=7,∴△EFM的周長=EF+ME+FM=7+5+5=17．故選A．[點(diǎn)評]此題主要考查學(xué)生對直角三角形斜邊上的中線這個知識點(diǎn)的理解和掌握,解答此題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,求出FM和ME的長．5．〔2015春?烏蘭察布校級期中如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上不與A和D重合的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線,垂足為E、F,則PE+PF的值為〔A．10 B．4.8 C．6 D．5[分析]連接OP,利用勾股定理列式求出BD,再根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分求出OA、OD,然后根據(jù)S△AOD=S△AOP+S△DOP列方程求解即可．[解答]解：如圖,連接OP,∵AB=6,AD=8,∴BD===10,∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OD=×10=5,∵S△AOD=S△AOP+S△DOP,∴××6×8=×5?PE+×5?PF,解得PE+PF=4.8．故選B．[點(diǎn)評]本題考查了矩形的性質(zhì),三角形的面積,熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．二．填空題〔共4小題6．〔2016春?東平縣期中如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E,若∠CAE=15°,則∠BOE的度數(shù)等于75°．[分析]由矩形ABCD,得到OA=OB,根據(jù)AE平分∠BAD,得到等邊三角形OAB,推出AB=OB,求出∠OAB、∠OBC的度數(shù),根據(jù)平行線的性質(zhì)和等角對等邊得到OB=BE,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出答案．[解答]解：∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB,∴AB=BE,∵∠CAE=15°,∴∠DAC=45°﹣15°=30°,∠BAC=60°,∴△BAO是等邊三角形,∴AB=OB,∠ABO=60°,∴∠OBC=90°﹣60°=30°,∵AB=OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=〔180°﹣30°=75°．故答案為75°．[點(diǎn)評]本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理,矩形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)和判定,平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定等知識點(diǎn),解此題的關(guān)鍵是求出∠OBC的度數(shù)和求OB=BE．7．〔2014春?武昌區(qū)期中如圖,將平行四邊形ABCD的邊DC延長到E,使CE=CD,連接AE交BC于F,∠AFC=n∠D,當(dāng)n=2時,四邊形ABEC是矩形．[分析]首先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形,得到四邊形ABEC是平行四邊形,然后證得FC=FE,利用對角線互相相等的四邊形是矩形判定四邊形ABEC是矩形．[解答]解：當(dāng)∠AFC=2∠D時,四邊形ABEC是矩形．∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD,∠BCE=∠D,由題意易得AB∥EC,AB∥EC,∴四邊形ABEC是平行四邊形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE,∴當(dāng)∠AFC=2∠D時,則有∠FEC=∠FCE,∴FC=FE,∴四邊形ABEC是矩形,故答案為：2．[點(diǎn)評]此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定．此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是了解矩形的判定定理．8．〔2015春?南長區(qū)期中如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC、AD、CE,CE交AD于點(diǎn)F,連接BF,則線段AC、BF、CD之間的關(guān)系式是AC2+BF2=4CD2．[分析]首先根據(jù)菱形的判定方法,判斷出四邊形ABCF是菱形,再根據(jù)菱形的性質(zhì),即可判斷出AC⊥BF；然后根據(jù)勾股定理,可得OB2+OC2=BC2,據(jù)此推得AC2+BF2=4CD2即可．[解答]解：∵五邊形ABCDE是正五邊形,∴AB∥CE,AD∥BC,∴四邊形ABCF是平行四邊形,又∵AB=BC=CD=DE=EA,∴四邊形ABCF是菱形,∴AC⊥BF,∴OB2+OC2=BC2,∵AC=2OC,BF=2OB,∴AC2+BF2=〔2OC2+〔2OB2=4OC2+4OB2=4BC2,又∵BC=CD,∴AC2+BF2=4CD2．故答案為：AC2+BF2=4CD2．[點(diǎn)評]〔1此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確：菱形是在平行四邊形的前提下定義的,首先它是平行四邊形,但它是特殊的平行四邊形,特殊之處就是"有一組鄰邊相等",因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．〔2此題還考查了勾股定理的應(yīng)用：在任何一個直角三角形中,兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方,要熟練掌握．9．〔2015春?株洲校級期中如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形OABC是矩形,A〔﹣10,0,C〔0,3,點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動,當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔﹣4,3,或〔﹣1,3,或〔﹣9,3．[分析]先由矩形的性質(zhì)求出OD=5,分情況討論：〔1當(dāng)OP=OD=5時；根據(jù)勾股定理求出PC,即可得出結(jié)果；〔2當(dāng)PD=OD=5時；①作PE⊥OA于E,根據(jù)勾股定理求出DE,得出PC,即可得出結(jié)果；②作PF⊥OA于F,根據(jù)勾股定理求出DF,得出PC,即可得出結(jié)果．[解答]解：∵A〔﹣10,0,C〔0,3,∴OA=10,OC=3,∵四邊形OABC是矩形,∴BC=OA=10,AB=OC=3,∵D是OA的中點(diǎn),∴AD=OD=5,分情況討論：〔1當(dāng)OP=OD=5時,根據(jù)勾股定理得：PC==4,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔﹣4,3；〔2當(dāng)PD=OD=5時,分兩種情況討論：①如圖1所示：作PE⊥OA于E,則∠PED=90°,DE==4,∴PC=OE=5﹣4=1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔﹣1,3；②如圖2所示：作PF⊥OA于F,則DF==4,∴PC=OF=5+4=9,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔﹣9,3；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔﹣4,3,或〔﹣1,3,或〔﹣9,3；故答案為：〔﹣4,3,或〔﹣1,3,或〔﹣9,3．[點(diǎn)評]本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題〔共31小題10．〔2012春?西城區(qū)校級期中如圖,正方形ABCD中,AE=AB,直線DE交BC于點(diǎn)F,求∠BEF的度數(shù)．[分析]設(shè)∠BAE=x°,根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=AE=AD,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEB和∠AED的度數(shù),根據(jù)平角定義求出即可．[解答]解：設(shè)∠BAE=x°,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AB=AD,∵AE=AB,∴AB=AE=AD,∴∠ABE=∠AEB=〔180°﹣∠BAE=90°﹣x°,∠DAE=90°﹣x°,∠AED=∠ADE=〔180°﹣∠DAE=[180°﹣〔90°﹣x°]=45°+x°,∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED,=180°﹣〔90°﹣x°﹣〔45°+x°,=45°,答：∠BEF的度數(shù)是45°．[點(diǎn)評]本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形性質(zhì),正方形性質(zhì)的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是如何把已知角的未知角結(jié)合起來,題目比較典型,但是有一定的難度．11．〔2012秋?高淳縣期中如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AC⊥BD,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．〔1求證：四邊形EFGH為正方形；〔2若AD=1,BC=3,求正方形EFGH的邊長．[分析]〔1先由三角形的中位線定理求出四邊相等,然后由AC⊥BD入手,進(jìn)行正方形的判斷．〔2連接EG,利用梯形的中位線定理求出EG的長,然后結(jié)合〔1的結(jié)論求出EH2=2,也即得出了正方形EHGF的邊長．[解答]〔1證明：在△ABC中,∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),∴EF=同理FG=,GH=,HE=在梯形ABCD中,∵AB=DC,∴AC=BD,∴EF=FG=GH=HE∴四邊形EFGH為菱形．設(shè)AC與EH交于點(diǎn)M在△ABD中,∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn),∴EH∥BD,同理GH∥AC又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°．∴∠EHG=∠EMC=∠BOC=90°∴四邊形EFGH為正方形．〔2解：連接EG,在梯形ABCD中,∵E、G分別是AB、DC的中點(diǎn),∴EG=〔AD+BC=〔1+3=2,在Rt△HEG中,EG2=EH2+HG2,4=2EH2,EH2=2,則EH=．即四邊形EFGH的邊長為．[點(diǎn)評]此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理得出EH=HG=GF=FE,這是本題的突破口．12．〔2013秋?XX期中如圖,點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn),BE和CF交于點(diǎn)P．求證：AP=AB．[分析]延長CF、BA交于點(diǎn)M,先證△BCE≌△CDF,再證△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜邊中線等于斜邊的一半,可得Rt△MBP中AP=BM,即AP=AB．[解答]證明：延長CF、BA交于點(diǎn)M,∵點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊CD和AD的中點(diǎn),∴BC=CD,∠BCE=∠CDF,CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴∠CBE=∠DCF．∵∠DCF+∠BCP=90°,∴∠CBE+∠BCP=90°,∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．又∵FD=FA,∠CDF=∠MAF,∠CFD=∠MFA,∴△CDF≌△AMF,∴CD=AM．∵CD=AB,∴AB=AM．∴PA是直角△BPM斜邊BM上的中線,∴AP=BM,即AP=AB．[點(diǎn)評]本題考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì),全等三角形的判定和對應(yīng)邊相等的性質(zhì),直角三角形斜邊中線長為斜邊長一半的性質(zhì),本題中求證△CDF≌△AMF是解題的關(guān)鍵．13．〔2015春?禹州市期中如圖,點(diǎn)P為正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F．〔1求證：PA=EF；〔2若正方形ABCD的邊長為a,求四邊形PFCE的周長．[分析]〔1連接PC,證四邊形PFCE是矩形,求出EF=PC,證△ABP≌△CBP,推出AP=PC即可；〔2證△CBD是等腰直角三角形,求出BF、PF,求出周長即可．[解答]解：證明：〔1連接PC,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,∠C=90°,在△ABP與△CBP中,,∴△ABP≌△CBP〔SAS,∴PA=PC,∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PFC=90°,∠PEC=90°．又∵∠C=90°,∴四邊形PFCE是矩形,∴EF=PC,∴PA=EF．〔2由〔1知四邊形PFCE是矩形,∴PE=CF,PF=CE,又∵∠CBD=45°,∠PEB=90°,∴BE=PE,又BC=a,∴矩形PFCE的周長為2〔PE+EC=2〔BE+EC=2BC=2a．[點(diǎn)評]本題主要考查正方形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的連接和掌握,能證出AP=PC是解此題的關(guān)鍵．14．〔2015秋?XX校級期中如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),連接DE,把△DEC沿DE折疊得到△DEF,延長EF交AB于G,連接DG．〔1求∠EDG的度數(shù)．〔2如圖2,E為BC的中點(diǎn),連接BF．①求證：BF∥DE；②若正方形邊長為6,求線段AG的長．[分析]〔1由正方形的性質(zhì)可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,由折疊的性質(zhì)得出∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,再求出∠DFG=∠A,DA=DF,然后由"HL"證明Rt△DGA≌Rt△DGF,由全等三角形對應(yīng)角相等得出∠3=∠4,得出∠2+∠3=45°即可；〔2①由折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,再由三角形的外角性質(zhì)得出∠5=∠DEC,然后利用同位角相等,兩直線平行證明即可；②設(shè)AG=x,表示出GF、BG,根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)求出BE、EF,從而得到GE的長度,再利用勾股定理列出方程求解即可；[解答]〔1解：如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°,∵△DEC沿DE折疊得到△DEF,∴∠DFE=∠C,DC=DF,∠1=∠2,∴∠DFG=∠A=90°,DA=DF,在Rt△DGA和Rt△DGF中,,∴Rt△DGA≌Rt△DGF〔HL,∴∠3=∠4,∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC,=〔∠ADF+∠FDC,=×90°,=45°；〔2①證明：如圖2所示：∵△DEC沿DE折疊得到△DEF,E為BC的中點(diǎn),∴CE=EF=BE,∠DEF=∠DEC,∴∠5=∠6,∵∠FEC=∠5+∠6,∴∠DEF+∠DEC=∠5+∠6,∴2∠5=2∠DEC,即∠5=∠DEC,∴BF∥DE；②解：設(shè)AG=x,則GF=x,BG=6﹣x,∵正方形邊長為6,E為BC的中點(diǎn),∴CE=EF=BE=×6=3,∴GE=EF+GF=3+x,在Rt△GBE中,根據(jù)勾股定理得：〔6﹣x2+32=〔3+x2,解得：x=2,即線段AG的長為2．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．15．〔2016春?召陵區(qū)期中如圖①,在正方形ABCD中,F是對角線AC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長線上,且BF=EF．〔1求證：BF=DF；〔2求證：∠DFE=90°；〔3如果把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變〔如圖②,當(dāng)∠ABC=50°時,∠DFE=50度．[分析]〔1根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC,對角線平分一組對角可得∠BCF=∠DCF,然后利用"邊角邊"證明即可；〔2易證∠FBE=∠FEB,又因為∠FBE=∠FDC,所以可證明∠FEB=∠FDC,進(jìn)而可證明∠DFE=90°；〔3根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠CBF=∠CDF,根據(jù)等邊對等角可得∠CBF=∠E,然后求出∠DFE=∠DCE,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得∠DCE=∠ABC,從而得解．[解答]〔1證明：在正方形ABCD中,BC=DC,∠BCF=∠DCF=45°,∵在△BCF和△DCF中,,∴△BCF≌△DCF〔SAS；∴BF=DF；〔2證明：∵BF=EF,∴∠FBE=∠FEB,又∵∠FBE=∠FDC,∴∠FEB=∠FDC,又∵∠DGF=∠EGC,∴∠DFG=∠ECG=90°,即∠DFE=90°；〔3證明：由〔1知,△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF,∵EE=FB,∴∠CBF=∠E,∵∠DGF=∠EGC〔對頂角相等,∴180°﹣∠DGF﹣∠CDF=180°﹣∠EGC﹣∠E,即∠DFE=∠DCE,∵AB∥CD,∴∠DCE=∠ABC,∴∠DFE=∠ABC=50°,故答案為：50．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCF=∠DCF是解題的關(guān)鍵．16．〔2015秋?泗縣期中已知正方形ABCD中,對角線AC、BD相交于O．①如圖1,若E是AC上的點(diǎn),過A作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求證：OE=OF②如圖2,若點(diǎn)E在AC的延長線上,AG⊥EB交EB的延長線于G,AG延長DB延長線于點(diǎn)F,其它條件不變,OE=OF還成立嗎？[分析]①由正方形的性質(zhì)得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余關(guān)系得出∠OBE=∠OAF,由ASA證明△BOE≌△AOF,得出對應(yīng)邊相等即可；②由正方形的性質(zhì)得出OA=OB,AC⊥BD,得出∠BOE=∠AOF=90°,由角的互余關(guān)系得出∠OBE=∠OAF,由ASA證明△BOE≌△AOF,得出對應(yīng)邊相等即可．[解答]①證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF〔ASA,∴OE=OF；②解：OE=OF還成立；理由如下：∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,AC⊥BD,∴∠BOE=∠AOF=90°,∴∠OEB+∠OBE=90°,∵AG⊥BE,∴∠AGE=90°,∴∠OEB+∠OAF=90°,∴∠OBE=∠OAF,在△BOE和△AOF中,,∴△BOE≌△AOF〔ASA,∴OE=OF．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì),并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．17．〔2016春?邳州市期中如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD中對角線AC上的一點(diǎn),且PE=PB．〔1求證：PE=PD；〔2求證：∠PDC=∠PEB；〔3若∠BAD=80°,連接DE,試求∠PDE的度數(shù),并說明理由．[分析]〔1由菱形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,由SAS證明△CDP≌△CBP,得出PB=PD,再由PE=PB,即可得出結(jié)論；〔2由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PBC=∠PEB,由全等三角形的性質(zhì)得出∠PDC=∠PBC,即可得出∠PDC=∠PEB；〔3由四邊形內(nèi)角和定理得出∠DPE=100°,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．[解答]〔1解：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠DCP=∠BCP,在△DCP和△BCP中,,∴△CDP≌△CBP〔SAS,∴PB=PD,∵PE=PB,∴PE=PD；〔2證明：∵PE=PB,∴∠PBC=∠PEB,∵△CDP≌△CBP,∴∠PDC=∠PBC,∴∠PDC=∠PEB；〔3解：如圖所示：∠PDE=40°；理由如下：在四邊形DPEC中,∵∠DPE=360°﹣〔∠PDC+∠PEC+∠DCB=360°﹣〔∠PEB+∠PEC+∠DCB=360°﹣〔180°+80°=100°,∵PE=PD∴∠PDE=∠PED=40°．[點(diǎn)評]本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．18．〔2016春?昆山市期中如圖,正方形ABCD中,AB=1,點(diǎn)P是BC邊上的任意一點(diǎn)〔異于端點(diǎn)B、C,連接AP,過B、D兩點(diǎn)作BE⊥AP于點(diǎn)E,DF⊥AP于點(diǎn)F．〔1求證：EF=DF﹣BE；〔2若△ADF的周長為,求EF的長．[分析]〔1由正方形的性質(zhì)得出AD=AB,證出∠DAF=∠ABE,由AAS證明△ADF≌△BAE,得出AF=BE,DF=AE,即可得出結(jié)論；〔2設(shè)DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b＞0,由已知條件得出DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得出a2+b2=1,再由完全平方公式得出a﹣b即可．[解答]〔1證明：∵BE⊥AP,DF⊥AP,∴∠DFA=∠AEB=90°,∠ABE+∠BAE=90°,∵四邊形ABCD為正方形,∴AD=AB,∠DAB=90°=∠DAF+∠BAE,∴∠DAF=∠ABE,在△ADF和△BAE中,,∴△ADF≌△BAE〔AAS,∴AF=BE,DF=AE,∴EF=AE﹣AF=DF﹣BE；〔2解：設(shè)DF=a,AF=b,EF=DF﹣AF=a﹣b＞0,∵△ADF的周長為,AD=1,∴DF+AF=,即a+b=,由勾股定理得：DF2+AF2=AD2,即a2+b2=1,∴〔a﹣b2=2〔a2+b2﹣〔a+b2=2﹣=,∴a﹣b=,即EF=．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì),由勾股定理得出a與b的關(guān)系式是解決問題〔2的關(guān)鍵．19．〔2015春?繁昌縣期中如圖,正方形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn)為O,以O(shè)為端點(diǎn)引兩條互相垂直的射線OM、ON,分別交邊AB、BC于點(diǎn)E、F．〔1求證：0E=OF；〔2若正方形的邊長為4,求EF的最小值．[分析]〔1根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠EAO=∠FBO=45°,OA=OB,再根據(jù)同角的余角相等可得∠AOE=∠BOE,然后利用"角邊角"證明△AOE和△BOF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；〔2根據(jù)等腰直角三角形△EOF,當(dāng)OE最小時,再根據(jù)勾股定理得出EF的最小值．[解答]解：〔1∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOB=90°,∠EAO=∠FBO=45°,∴∠AOE+∠BOE=90°,∵OE⊥OF,∴∠BOF+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠BOF,在△AOE與△BOF中,,∴△AOE≌△BOF〔ASA,∴OE=OF；〔2由〔1可知,△EOF是等腰直角三角形,∠EOF是直角,當(dāng)OE最小時,EF的值最小,∵OA=OB,OE⊥AB,∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),∴OE=AB,∵AB=4,∴OE=2,∴EF=,即EF的最小值是2．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì),解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．正確作出輔助線是關(guān)鍵．20．〔2016春?江寧區(qū)期中如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn),BE的垂直平分線FG交對角AC于點(diǎn)F．求證：〔1BF=DF；〔2BF⊥FE．[分析]〔1由正方形的性質(zhì)得出AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,由SAS證明△BAF≌△DAF,得出對應(yīng)邊相等即可；〔2由線段垂直平分線的性質(zhì)得出BF=EF,證出EF=DF,得出∠FDE=∠FED,再由全等三角形的性質(zhì)證出∠ABF=∠FED,由鄰補(bǔ)角關(guān)系得出∠FED+∠FEA=180°,證出∠ABF+∠FEA=180°,由四邊形內(nèi)角和得出∠BAE+∠BFE=180°,求出∠BFE=90°即可．[解答]證明：如圖所示：〔1∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAF=∠DAF=45°,∠BAE=90°,在△BAF和△DAF中,,∴△BAF≌△DAF〔SAS,∴BF=DF；〔2∵BE的垂直平分線FG交對角AC于點(diǎn)F,∴BF=EF,∵BF=DF,∴EF=DF,∴∠FDE=∠FED,∵△BAF≌△DAF,∴∠ABF=∠FDE,∴∠ABF=∠FED,∵∠FED+∠FEA=180°,∴∠ABF+∠FEA=180°,∴∠BAE+∠BFE=180°,∴∠BFE=90°,∴BF⊥FE．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．21．〔2015春?XX校級期中已知：如圖所示,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,M是AC上任一點(diǎn),O是BD的中點(diǎn),連接MO,并延長MO到N,使NO=MO,連接BN與ND．〔1判斷四邊形BNDM的形狀,并證明；〔2若M是AC的中點(diǎn),則四邊形BNDM的形狀又如何？說明理由．[分析]〔1由對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得出結(jié)論；〔2由直角三角形斜邊上1的中線性質(zhì)得出BM=AC,DM=AC,得出BM=DM,即可得出結(jié)論．[解答]〔1解：四邊形BNDM是平行四邊形,理由如下：∵O是BD的中點(diǎn),∴OB=OD,∵NO=MO,∴四邊形BNDM是平行四邊形；〔2解：四邊形BNDM是菱形；理由如下：∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中點(diǎn),∴BM=AC,DM=AC,∴BM=DM,∴四邊形BNDM是菱形．[點(diǎn)評]本題考查了平行四邊形的判定方法、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、菱形的判定方法；熟練掌握平行四邊形和菱形的判定方法,并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．22．〔2016春?柘城縣期中如圖,在△ABC中,O是邊AC上的一動點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．〔1求證：OE=OF；〔2當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時,四邊形AECF是矩形？[分析]〔1根據(jù)MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；〔2根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：對角線且互相平分,即AO=CO,OE=OF,故當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到AC的中點(diǎn)時,四邊形AECF是矩形．[解答]〔1證明：∵M(jìn)N∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠BCE=∠ACE=∠OEC,∠OCF=∠FCD=∠OFC,∴OE=OC,OC=OF,∴OE=OF．〔2解：當(dāng)O運(yùn)動到AC中點(diǎn)時,四邊形AECF是矩形,∵AO=CO,OE=OF,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵∠ECA+∠ACF=∠BCD,∴∠ECF=90°,∴四邊形AECF是矩形．[點(diǎn)評]此題主要考查了矩形的判定,關(guān)鍵是掌握有一個角為直角的平行四邊形是矩形．23．〔2015春?北京校級期中〔1如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作DP∥OC,且DP=OC,連接CP,判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．〔2如果題目中的矩形變?yōu)榱庑?結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明理由．〔3如果題目中的矩形變?yōu)檎叫?結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁?？說明理由．[分析]〔1根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形,根據(jù)菱形的判定推出即可；〔2根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DOC=90°,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形,根據(jù)矩形的判定推出即可；〔3根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OD=OC,∠DOC=90°,根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形,根據(jù)正方形的判定推出即可；[解答]解：〔1四邊形CODP的形狀是菱形,理由是：∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴OC=OD,∵DP∥OC,DP=OC,∴四邊形CODP是平行四邊形,∵OC=OD,∴平行四邊形CODP是菱形；〔2四邊形CODP的形狀是矩形,理由是：∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∵DP∥OC,DP=OC,∴四邊形CODP是平行四邊形,∵∠DOC=90°,∴平行四邊形CODP是矩形；〔3四邊形CODP的形狀是正方形,理由是：∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,∴∠DOC=90°,OD=OC,∵DP∥OC,DP=OC,∴四邊形CODP是平行四邊形,∵∠DOC=90°,OD=OC∴平行四邊形CODP是正方形．[點(diǎn)評]本題考查了平行四邊形的判定,矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定,主要考查學(xué)生的猜想能力和推理能力,題目具有一定的代表性,是一道比較好的題目．24．〔2015春?青山區(qū)期中如圖1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D．〔1求證：四邊形ABCD為矩形；〔2E是AB邊的中點(diǎn),F為AD邊上一點(diǎn),∠DFC=2∠BCE．①如圖2,若F為AD中點(diǎn),DF=1.6,求CF的長度：②如圖2,若CE=4,CF=5,則AF+BC=5,AF=．[分析]〔1先證明四邊形ABCD是平行四邊形,再證明∠A=90°,即可得出結(jié)論；〔2①延長DA,CE交于點(diǎn)G,證明△AGE≌△BCE,得出AG=BC,再證明CF=FG即可；②由①得：AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,即可得出AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；設(shè)DF=x,根據(jù)勾股定理得出：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2,列出方程52﹣x2=82﹣〔5+x2,解方程求出x,得出DG、AD,即可得出AF．[解答]〔1證明：∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD為平行四邊形,∵∠A=∠D,∠A+∠D=180°,∴∠A=90°,∴四邊形ABCD為矩形,〔2解：①延長DA,CE交于點(diǎn)G,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DAB=∠B=90°,AD∥BC,∴∠GAE=90°,∠G=∠ECB,∵E是AB邊的中點(diǎn),∴AE=BE,在△AGE和△BCE中,,∴△AGE≌△BCE〔AAS,∴AG=BC,∵DF=1.6,F為AD中點(diǎn),∴BC=3.2,∴AG=BC=3.2,∴FG=3.2+1.6=4.8,∵AD∥BC,∴∠DFC=∠BCF,∵∠DFC=2∠BCE,∴∠BCE=∠FCE,∵AD∥BC,∴∠BCE=∠G,∴CF=FG=4.8；②若CE=4,CF=5,由①得：AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,AG=AD,∴CG=8,AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；故答案為：5；設(shè)DF=x,根據(jù)勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2,即52﹣x2=82﹣〔5+x2,解得：x=,∴DG=5+=,∴AD=DG=,∴AF=AD﹣DF=；故答案為：．[點(diǎn)評]本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理的運(yùn)用；本題有一定難度,特別是〔2中,需要通過作輔助線證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理才能得出結(jié)果．25．〔2015秋?揚(yáng)中市期中如圖,直線a、b相交于點(diǎn)A,C、E分別是直線b、a上兩點(diǎn)且BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M、N是EC、DB的中點(diǎn)．求證：MN⊥BD．[分析]根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=EC,BM=EC,從而得到DM=BM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明．[解答]證明：∵BC⊥a,DE⊥b,點(diǎn)M是EC的中點(diǎn),∴DM=EC,BM=EC,∴DM=BM,∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn),∴MN⊥BD．[點(diǎn)評]本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．26．〔2016春?天河區(qū)期中如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動,動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿著CB方向向點(diǎn)B以3cm/s的速度運(yùn)動．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時,另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．〔1經(jīng)過多長時間,四邊形PQCD是平行四邊形？〔2經(jīng)過多長時間,四邊形PQBA是矩形？〔3經(jīng)過多長時間,當(dāng)PQ不平行于CD時,有PQ=CD．[分析]〔1設(shè)經(jīng)過ts時,四邊形PQCD是平行四邊形,根據(jù)DP=CQ,代入后求出即可；〔2設(shè)經(jīng)過ts時,四邊形PQBA是矩形,根據(jù)AP=BQ,代入后求出即可；〔3設(shè)經(jīng)過t〔s,四邊形PQCD是等腰梯形,利用EP=2列出有關(guān)t的方程求解即可．[解答]解：〔1設(shè)經(jīng)過x〔s,四邊形PQCD為平行四邊形即PD=CQ所以24﹣x=3x,解得：x=6．〔2設(shè)經(jīng)過y〔s,四邊形PQBA為矩形,即AP=BQ,所以y=26﹣3y,解得：y=．〔3設(shè)經(jīng)過t〔s,四邊形PQCD是等腰梯形．過Q點(diǎn)作QE⊥AD,過D點(diǎn)作DF⊥BC,∴∠QEP=∠DFC=90°∵四邊形PQCD是等腰梯形,∴PQ=DC．又∵AD∥BC,∠B=90°,∴AB=QE=DF．在Rt△EQP和Rt△FDC中,,∴Rt△EQP≌Rt△FDC〔HL．∴FC=EP=BC﹣AD=26﹣24=2．又∵AE=BQ=26﹣3t,∴EP=AP﹣AE=t﹣〔26﹣3t=2．得：t=7．∴經(jīng)過7s,PQ=CD．[點(diǎn)評]此題主要考查平行四邊形、矩形及等腰梯形的判定掌握情況,本題解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系即可得解．27．〔2014春?泰興市校級期中如圖,E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點(diǎn),滿足AE=DF．連接CF交BD于G,連接BE交AG于H．已知正方形ABCD的邊長為4cm,解決下列問題：〔1求證：BE⊥AG；〔2求線段DH的長度的最小值．[分析]〔1根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用"邊角邊"證明△ABE和△DCF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2,利用"邊角邊"證明△ADG和△CDG全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2=∠3,從而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB=90°,再根據(jù)垂直的定義證明即可；〔2根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,然后求出OH=AB=1,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時,DH的長度最?。甗解答]〔1證明：在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,在△ABE和△DCF中,,∴△ABE≌△DCF〔SAS,∴∠1=∠2,在△ADG和△CDG中,,∴△ADG≌△CDG〔SAS,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,∴∠1+∠BAH=90°,∴∠AHB=180°﹣90°=90°,∴BE⊥AG；〔2解：如圖,取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,則OH=AO=AB=2,在Rt△AOD中,OD===2,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OH+DH＞OD,∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時,DH的長度最小,DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系,確定出DH最小時點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn)．28．〔2011秋?睢寧縣校級期中如圖,點(diǎn)M是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn),點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn),PE⊥MC,PF⊥BM,垂足為E、F．〔1當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時,四邊形PEMF為矩形？猜想并證明你的結(jié)論．〔2在〔1中,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,矩形PEMF變?yōu)檎叫?為什么？[分析]〔1根據(jù)矩形的性質(zhì)推出∠A=∠D=90°,AB=CD,AM=DM,求出∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,求出∠BMC,即可求出矩形PEMF．〔2根據(jù)AAS證△BFP≌△CEP,推出PE=PF即可．[解答]〔1解：當(dāng)AD=2AB時,四邊形PEMF為矩形．證明：∵四邊形ABCD為矩形,∴∠A=∠D=90°,∵AD=2AB=2CD,AM=DM=AD,∴AB=AM=DM=CD,∴∠ABM=∠AMB=45°,∠DCM=∠DMC=45°,∴∠BMC=180°﹣45°﹣45°=90°,∵PE⊥MC,PF⊥BM,∴∠MEP=∠FPE=90°,∴四邊形PEMF為矩形,即當(dāng)AD=2AB時,四邊形PEMF為矩形．〔2解：當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時,矩形PEMF為正方形．理由是：∵四邊形PEMF為矩形,∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°,在△BFP和△CEP中,∴△BFP≌△CEP〔AAS,∴PE=PF,∵四邊形PEMF是矩形,∴矩形PEMF是正方形,即當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時,矩形PEMF為正方形．[點(diǎn)評]本題主要考查對矩形的判定和性質(zhì),正方形的判定,等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握,熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．29．〔2016春?微山縣期中某校數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次課外活動,過程如下：如圖①,正方形ABCD中,AB=4,將三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角頂點(diǎn)與D點(diǎn)重合．三角板的一邊交AB于點(diǎn)P,另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q．〔1求證：AP=CQ；〔2如圖②,小明在圖1的基礎(chǔ)上作∠PDQ的平分線DE交BC于點(diǎn)E,連接PE,他發(fā)現(xiàn)PE和QE存在一定的數(shù)量關(guān)系,請猜測他的結(jié)論并予以證明；〔3在〔2的條件下,若AP=1,求PE的長．[分析]〔1由正方形的性質(zhì)得出∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,證出∠ADP=∠CDQ,由ASA證明△APD≌△CQD,得出對應(yīng)邊相等即可；〔2由全等三角形的性質(zhì)得出PD=QD,證出∠PDE=∠QDE,由SAS證明△PDE≌△QDE,得出對應(yīng)邊相等即可；〔3由〔2和〔1得出PE=QE,CQ=AP=1,求出BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得出方程,解方程即可．[解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ADC=∠A=∠B=∠BCD=∠DCQ=90°,AD=BC=CD=AB=4,∵∠PDQ=90°,∴∠ADP=∠CDQ,在△APD和△CQD中,,∴△APD≌△CQD〔ASA,∴AP=CQ；〔2解；PE=QE,理由如下：由〔1得：△APD≌△CQD,∴PD=QD,∵DE平分∠PDQ,∴∠PDE=∠QDE,在△PDE和△QDE中,,∴△PDE≌△QDE〔SAS,∴PE=QE；〔3解：由〔2得：PE=QE,由〔1得：CQ=AP=1,∴BQ=BC+CQ=5,BP=AB﹣AP=3,設(shè)PE=QE=x,則BE=5﹣x,在Rt△BPE中,由勾股定理得：32+〔5﹣x2=x2,解得：x=3.4,即PE的長為3.4．[點(diǎn)評]本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì),證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．30．〔2015春?羅田縣期中如圖,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,點(diǎn)E、F同時由A、C兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、CB方向向點(diǎn)B勻速移動〔到點(diǎn)B為止,點(diǎn)E的速度為1cm/s,點(diǎn)F的速度為2cm/s,經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形,求t的值．[分析]首先連接BD,由在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,可得△ABD是等邊三角形,又由△DEF為等邊三角形,可得△ADE≌△BDF〔SAS,繼而可得當(dāng)AE=BF時,△DEF是等邊三角形,即可求得答案．[解答]解：連接BD,∵在菱形ABCD中,∠ADC=120°,∴AD=AB,∠A=60°,∠ADB=∠ADC=60°,∴△ABD是等邊三角形,∴BD=AD,∵若△DEF是等邊三角形,則∠DEF=60°,DE=DF,∴∠ADE=∠BDF,在△ADE和△BDF中,,∴△ADE≌△BDF〔SAS,∴AE=BF,∴當(dāng)AE=BF時,△DEF是等邊三角形,∵E的速度為1cm/s,點(diǎn)F的速度為2cm/s,∴AE=tcm,CF=2tcm,則BF=BC﹣CF=4﹣2t〔cm,∴t=4﹣2t,解得：t=．[點(diǎn)評]此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABD是等邊三角形且△ADE≌△BDF是關(guān)鍵．31．〔2014秋?東陽市校級期中如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),作∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E,〔1求證：DE∥BC；〔2若AE=3,AD=5,點(diǎn)P為BC上的一動點(diǎn),當(dāng)BP為何值時,△DEP為等腰三角形．請直接寫出所有BP的值,2,4﹣,4+．[分析]〔1根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BD=AD=AC,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得DE⊥AB,再根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行證明；〔2利用勾股定理列式求出DE的長,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BE=AE,然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三種情況討論求解．[解答]〔1證明：∵∠ABC=90°,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∴BD=AD=AC,∵DE是∠ADB的角平分線,∴DE⊥AB,又∵∠ABC=90°,∴DE∥BC；〔2解：∵AE=3,AD=5,DE⊥AB,∴DE===4,∵DE⊥AB,AD=BD,∴BE=AE=3,①DE=EP時,BP==,②DP=EP時,BP=DE=×4=2,③DE=DP時,過點(diǎn)D作DF⊥BC于F,則DF=BE=3,由勾股定理得,FP==,點(diǎn)P在F下邊時,BP=4﹣,點(diǎn)P在F上邊時,BP=4+,綜上所述,BP的值為,2,4﹣,4+．故答案為：,2,4﹣,4+．[點(diǎn)評]本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定,難點(diǎn)在于〔2要分情況討論．32．〔2014春?XX期中已知：如圖,BF、BE分別是∠ABC及其鄰補(bǔ)角的角平分線,AE⊥BE,垂足為點(diǎn)E,AF⊥BF,垂足為點(diǎn)F．EF分別交邊AB、AC于點(diǎn)M、N．求證：〔1四邊形AFBE是矩形；〔2BC=2MN．[分析]〔1由BF、BE是角平分線可得∠EBF是90°,進(jìn)而由條件中的兩個垂直可得兩個直角,可得四邊形AEBF是矩形；〔2由矩形的性質(zhì)可得∠2=∠5進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠5,可得MF∥BC,進(jìn)而可得△AMN∽△ABC,那么BC=2MN．[解答]證明：〔1∵BF、BE分別是△ABC中∠B及它的外角的平分線,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,∵AE⊥BE,E為垂足,AF⊥BF,F為垂足,∴∠AFB=∠AEB=90°,∴四邊形AEBF為矩形；〔2∵四邊形AEBF為矩形,∴BM=MA=MF,∴∠2=∠5,∵∠2=∠1,∴∠1=∠5∴MF∥BC,∴△AMN∽△ABC,∵M(jìn)是AB的中點(diǎn),∴〔或MN為△ABC的中位線∴MN=BC,BC=2MN．[點(diǎn)評]綜合考查了矩形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)；用到的知識點(diǎn)為：有3個角是直角的四邊形是矩形；矩形的對角線平分且相等；相似三角形的對應(yīng)邊成比例．33．〔2015春?工業(yè)園區(qū)期中如圖,在邊長為5的菱形ABCD中,對角線BD=8,點(diǎn)O是直線BD上的動點(diǎn),OE⊥AB于E,OF⊥AD于F．〔1對角線AC的長是6,菱形ABCD的面積是24；〔2如圖1,當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD上運(yùn)動時,OE+OF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；〔3如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在對角線BD的延長線上時,OE+OF的值是否發(fā)生變化？若不變請說明理由,若變化,請直接寫出OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系,不用明理由．[分析]〔1連接AC與BD相交于點(diǎn)G,根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出BG,再利用勾股定理列式求出AG,然后根據(jù)AC=2AG計算即可得解；再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解；〔2連接AO,根據(jù)S△ABD=S△ABO+S△ADO列式計算即可得解；〔3連接AO,根據(jù)S△ABD=S△ABO﹣S△ADO列式整理即可得解．[解答]解：〔1如圖,連接AC與BD相交于點(diǎn)G,在菱形ABCD中,AC⊥BD,BG=BD=×8=4,由勾股定理得,AG===3,∴AC=2AG=2×3=6,菱形ABCD的面積=AC?BD=×6×8=24；故答案為：6；24；〔2如圖1,連接AO,則S△ABD=S△ABO+S△ADO,∴BD?AG=AB?OE+AD?OF,即×8×3=×5?OE+×5?OF,解得OE+OF=4.8是定值,不變；〔3如圖2,連接AO,則S△ABD=S△ABO﹣S△ADO,∴BD?AG=AB?OE﹣AD?OF,即×8×3=×5?OE﹣×5?OF,解得OE﹣OF=4.8,是定值,不變,∴OE+OF的值變化,OE、OF之間的數(shù)量關(guān)系為：OE﹣OF=4.8．[點(diǎn)評]本題考查了菱形的性質(zhì),三角形的面積,主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì),第〔2〔3問作輔助線構(gòu)造出兩個三角形是解題的關(guān)鍵．34．〔2014春?XX期中如圖,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直線上,連接BF、AE．〔1求證：四邊形ABFE是平行四邊形．〔2若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,將△ABD沿著BE方向以1cm/s的速度運(yùn)動,設(shè)△ABD運(yùn)動的時間為t,在△ABD運(yùn)動過程中,試解決以下問題：〔1當(dāng)四邊形ABEF是菱形時,求t的值；〔2是否存在四邊形ABFE是矩形的情形？如果存在,求出t的值,如果不存在,請說明理由．[分析]〔1根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比相等得到AB平行且等于EF,利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定即可；〔2①根據(jù)菱形的對角線的性質(zhì)得到當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)D重合時,四邊形ABFE是菱形,求出此時t的值即可；②當(dāng)四邊形ABFE是矩形時,∠BAE=90°,根據(jù)矩形的性質(zhì)求得線段CD的長,從而求得t的值．[解答]解：〔1∵Rt△ABD≌Rt△FEC,∴AB=EF,∠ABD=∠FEC,∴AB∥EF,∴平行四邊形ABFE是平行四邊形；〔2①如圖,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時,四邊形ABFE是菱形,此時△ABD運(yùn)動的距離為4cm,∴t=4；②存在當(dāng)四邊形ABFE是矩形時,∠BAE=90°,∴∠AEB=90°﹣60°=30°,∵AB=2cm,∴BE=4cm,BD=1cm,∴CD=4﹣1﹣1=2cm,∴t=2．[點(diǎn)評]本題考查了平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知識,綜合性較強(qiáng),但難度不算很大．35．〔2012春?南湖區(qū)校級期中已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O．〔1如圖1,連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．〔2如圖1,求AF的長．〔3如圖2,動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動過程中,點(diǎn)P的速度為每秒1cm,設(shè)運(yùn)動時間為t秒．①問在運(yùn)動的過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形嗎？若有可能,請求出運(yùn)動時間t和點(diǎn)Q的速度；若不可能,請說明理由．②若點(diǎn)Q的速度為每秒0.8cm,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,求t的值．[分析]〔1證△AEO≌△CFO,推出OE=OF,根據(jù)平行四邊形和菱形的判定推出即可；〔2設(shè)AF=CF=a,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于a的方程,求出即可；〔3①只有當(dāng)P運(yùn)動到B點(diǎn),Q運(yùn)動到D點(diǎn)時,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,求出時間t,即可求出答案；②分為三種情況,P在AF上,P在BF上,P在AB上,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出即可．[解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∵AC的垂直平分線EF,∴AO=OC,AC⊥EF,在△AEO和△CFO中∵,∴△AEO≌△CFO〔AAS,∴OE=OF,∵OA=OC,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵AC⊥EF,∴平行四邊形AECF是菱形；〔2解：設(shè)AF=acm,∵四邊形AECF是菱形,∴AF=CF=acm,∵BC=8cm,∴BF=〔8﹣acm,在Rt△ABF中,由勾股定理得：42+〔8﹣a2=a2,a=5,即AF=5cm；〔3解：①在運(yùn)動過程中,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,只有當(dāng)P運(yùn)動到B點(diǎn),Q運(yùn)動到D點(diǎn)時,以A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形有可能是矩形,P點(diǎn)運(yùn)動的時間是：〔5+3÷1=8,Q的速度是：4÷8=0.5,即Q的速度是0.5cm/s；②分為三種情況：第一、P在AF上,∵P的速度是1cm/s,而Q的速度是0.8cm/s,∴Q只能再CD上,此時當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形；第二、當(dāng)P在BF上時,Q在CD或DE上,只有當(dāng)Q在DE上時,當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形才有可能是平行四邊形,如圖,∵AQ=8﹣〔0.8t﹣4,CP=5+〔t﹣5,∴8﹣〔0.8t﹣4=5+〔t﹣5,t=,第三情況：當(dāng)P在AB上時,Q在DE或CE上,此時當(dāng)A、P、C、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不是平行四邊形；即t=．[點(diǎn)評]本題考查了矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的判定和性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定,線段垂直平分線性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用,用了方程思想,分類討論思想．36．〔2014春?洪山區(qū)期中如圖1,E,F是正方形ABCD的邊上兩個動點(diǎn),滿足AE=DF,連接CF交BD于G,連接BE交AG于點(diǎn)H〔1求證：AG⊥BE；〔2如圖2,連DH,若正方形的邊長為4,則線段DH長度的最小值是2﹣2．[分析]〔1根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°,然后利用"邊角邊"證明△ABE和△DCF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABE=∠DCF,再利用"邊角邊"證明△ADG和△CDG全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAG=∠DCF,從而得到∠ABE=∠DAG,再根據(jù)∠DAG+∠BAH=90°求出∠BAE+∠BAH=90°,然后求出∠AHB=90°,再根據(jù)垂直的定義證明；〔2取AB的中點(diǎn)O,連接OD、OH,利用勾股定理列式求出OD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OH,再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出O、D、H三點(diǎn)共線時,DH最?。甗解答]〔1證明：∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CD,∠BAD=∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°,在△ABE和△DCF中,,∴△ABE≌△DCF〔SAS,∴∠ABE=∠DCF,在△ADG和△CDG中,,∴△ADG≌△CDG〔SAS,∴∠DAG=∠DCF,∴∠ABE=∠DAG,∵∠DAG+∠BAH=90°,∴∠BAE+∠BAH=