微積分學(xué)課件-19第講微分中值定理

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程大學(xué)數(shù)學(xué)（一）——

一元微積分學(xué)第十九講 微分中值定理編寫：劉楚中教案制作：劉楚中第四章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分本章學(xué)

：理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念。熟悉導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系。熟悉一階微分形式不變性。熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算法則，能熟練運(yùn)用求導(dǎo)的基本公式、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、隱函數(shù)求導(dǎo)法、反函數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法等方法求出函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)和微分。了解n階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能較好運(yùn)用上述定理解決有關(guān)問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。掌握羅必塔法則并能熟練運(yùn)用它計(jì)算有關(guān)的不定式極限。第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第五節(jié)微分中值定理一.費(fèi)馬定理二.羅爾中值定理三.

拉格朗日中值定理四.

柯西中值定理費(fèi)馬定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理xf

(x

x)

f(x)f

(x)

limx0函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義為即函數(shù)在點(diǎn)

x

處的導(dǎo)數(shù)等于x

0

時(shí),

函數(shù)xf

(x

x)

f

(x)的極限值.在點(diǎn)x

處的差商導(dǎo)數(shù)與差商我們常常需要從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所給出的局部的或“小范圍”性質(zhì),推出其整體的或“大范圍”性質(zhì).

為此,我們需要建立函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式,

這些關(guān)系式稱為“微分學(xué)中值定理”.這些中值定理的創(chuàng)建要?dú)w功于費(fèi)馬、拉格朗日、柯西等數(shù)學(xué)家.首先,從直觀上來(lái)看看“函數(shù)的差商與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的基本關(guān)系式”是怎么一回事.Oxyx1x2y

f

(x)

可微ABPx0x2

x1k

f

(x2

)

f

(x1)割線AB

的斜率點(diǎn)P

處切線的斜率：k

f

(

x0

)導(dǎo)數(shù)與差商相等！將割線作平行移動(dòng),那么它至少有一次會(huì)達(dá)到這樣的位置：在曲線上與割線距離最遠(yuǎn)的那一點(diǎn)P

處成為切線,即在點(diǎn)P

處與曲線的切線重合.也就是說(shuō),

至少存在一點(diǎn)

(x1

,

x2

)

,

使得f

(

)

f

(x2

)

f

(x1)x2

x1該命題就是微分中值定理.極值的定義設(shè)

f

(

x)

在

U(x0

)

內(nèi)有定義,

若f

(x)

f

(x0

)

x

U?

(x0

)

,則稱f

(x0

)為f

(x)的極大值,f

(x)

f

(x0

)

x

U?

(x0

)

,則稱f

(x0

)為f

(x)的極小值,x0為函數(shù)的極大點(diǎn).x0為函數(shù)的極小點(diǎn).一.費(fèi)馬定理可微函數(shù)在區(qū)間取極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零.定理設(shè)

f x)

在(

區(qū)間

I

內(nèi)有定義,

且在

I

內(nèi)某點(diǎn)

處取極大（?。┲?

若

f

(

)

存在

,

則必有f

(

)

0

.Oxy

f

(x)abP費(fèi)馬定理的幾何解釋y如何證明？設(shè)

f(

x)

在區(qū)間

I

內(nèi)有定義,且在x

處取極大值f

(

),則有x

U?

(

)f

(x)

f

(

)若f

(

)xx0f

(

)

lim

f

(

x)

f

(

)

0

,xx0f

(

)

lim

f

(

x)

f

(

)

0

,于是f

(

)

0

.（極小值類似可證）f

(x)

C

是特殊情況如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？f

(x)

C([a,

b])

可保證f

(x)在[a, b]

內(nèi)取到它的最大最小值.Oxyaby

f

(x)但是……Oxy

f

(x)Pabf

(a)

f

(b)f

(x)

C([a,

b])f

(x)

在(a,

b)

存在f

(

)

0水平的可保證在一點(diǎn)取到極值y二.羅爾中值定理設(shè)

(1)

f

(x)

C([a,

b])

;(2)

f

(x)

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo);(3)

f

(a)

f

(b)

,f

(

)

0

.則至少存在一點(diǎn)

(a,

b)

,

使得定理Oxyy

f

(x)

abAB實(shí)際上,切線與弦線AB

平行.

f

(

x)

C([a,

b])

f

(x)

必在[a,

b]

上取到它的最大值最小值至少各一次.x[a,

b]x[a,

b]m

min

f

(x)令

M

max

f

(x)

,(1)

若

M

mx

[a,

b]x

[a,

b]

m

f

(x)

M

f

(

x)

m故

(a,

b(2)

若

m

M

(即M

m)

f

(

x)

C([a,

b])

f

(x)

必在[a,

b]

上取到它的最大值最小值至少各一次.又

f

(a)

f

(b)

,故f

(x)不能同時(shí)在x

a

和x

b

處分別取到M和m

.即至少存在一點(diǎn)

(a,

b),

使得f

(

)

M由費(fèi)馬定理可知：f

(

)

0設(shè)

a,b,c,

d

皆為實(shí)數(shù),

a

b

c

d

,f

(x)

(x

a)(x

b)(x

c)(x

d

,證明方程

f

(x)

0

僅有三個(gè)實(shí)根,

并

根所在區(qū)間.f

(x)

C(

[a,

b],[b,

c],[c,

d

,),又

f

a

f

b

f

c

f

d

f x)

是(

四次多項(xiàng)式,

在

內(nèi)可微)在

[a, b]

,[b, c]

,[c, d

]

上運(yùn)用羅爾中值定理

,

得f

(1)

f

(2

)

f

(3

)

0

.例1其中,1

(, )

,

2

(, )

,

3abb(,ccd

)

.即

f

(x)

0

至少有三個(gè)實(shí)根

.

f

(x)是四次多項(xiàng)式,

f

(x)是三次多項(xiàng)式,f

(x)

0

至多有三個(gè)實(shí)根.綜上所述,f

(x)

0

僅有三個(gè)實(shí)根,分別在

(a,

b)設(shè)

f

(x)C([a,

b])2x

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)在(a,

b)

內(nèi)至少有一根.2x

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)

0(

x2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)

)

0a2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(a)

b2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(b)

a2

f

(b)

b2

f

(a)例2分析設(shè)

f

(x)C([a,

b])2x

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(x)例2在(a,

b)

內(nèi)至少有一根.令F

(x)

x2

(f

(b)

f

(a))(b2

a2

)f

(x)則由

f(

x)

的連續(xù)性和可導(dǎo)性,

得F

(x)

C([a,

b])

,

F

(x)

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo),又

F

(a)

F

(b)

a2

f

(b)

b2

f

(a)由羅爾定理,

至少存在一點(diǎn)

(a,

b)

使得F(

)

2

(

f

(b)

f

(a))

(b2

a2

)

f

(

)

0即

方程在(a,

b)

內(nèi)至少有一根.分析問題的條件,

作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵

.滿足1

n21

03 2n

1a

a

an

(1)n1證明方程a1

cos

x

a2

cos

3x

an

cos(2n

1)x

02在（0,

）內(nèi)至少有一根

,

其中實(shí)數(shù)

a

,

,

aaan213 2n

1a

sin

x

sin

3x

sin(2n

1)x令F

(x)2則F

(0)

F

(

)

0

,且滿足羅爾定理其它條件,故

(0,

)

使2F(

)

a1

cos

a2

cos

3

an

cos(2n

1)

0例32即方程在（0,

）內(nèi)至少有一根

.設(shè)

f

(x)、g(x)

C([a,

b])

,

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo),(g(x))2f

(x)g(x)

f

(x)g(x)

g(x)

f

(x)

如果

x1,

x2

是

f

(

x)

0

的兩個(gè)根

,

則f(x1)

f

(x2

)

0

(這時(shí)必須g(x)

0).g(x1)

g(x2

)例4分析且x

(a,

b),

f

(x)g(x)

f(x)g(x)

0

.

證明方程f

(x)

0

的兩各根之間至少有

g(x)

0

的一個(gè)根

.設(shè)

f

(x)

、g(

x)

C([a,

b])

,

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo),例4且x

(a,

b),

f

(x)g(x)

f(x)g(x)

0

.

證明方程f

(x)

0

的兩各根之間至少有

g(x)

0

的一個(gè)根

.設(shè)

x1,

x2

(a,

b)

是

f

(

x)

0

的兩個(gè)根.不妨假設(shè)x1

x2

.并設(shè)方程g(x)

0

在x1

與x2

及其之間沒有根.令

F

(

x)

f

(x)

,

此時(shí)

g(x)

0）.g(x)則由已知條件可知:F

(x)

在[

x1,

x2

]

上滿足羅爾定理?xiàng)l件,,)使得故至少存在一點(diǎn)

(x1,

x2F

(

)

f

(

)g(

)

f

(

)g(

)

0.,0與)()已()(知)(g(

)2從而

f

g

f

g

該說(shuō)明命題為真.如果使用一次羅爾定理后,f

(x)仍滿足羅爾定理?xiàng)l件,能否再一次使用羅爾定理?如果需要,

當(dāng)然可以使用.例5設(shè)

f

(

x),

g(x)

C([a,

b]),

在(a,b)

內(nèi)二階可導(dǎo),且

f

(a)

g(a),

f

(c)

g(c),

f

(b)

g(b),

c

(a,b),證明:

至少存在一點(diǎn)

(a,b),

使得

f

(

)

g

(

).令

(x)

f

(x)

g(x),

則

(a)

(c)

,由羅爾中值定理,至少存在一點(diǎn)1

(a,c),使得(1)

0.同理,

至少存在一點(diǎn)2

(c,b),

使得(2

)

0.在[1,2

]

上對(duì)函數(shù)(

x)

再運(yùn)用羅爾中值定理,

則至少存在一點(diǎn)

(1,2

)

(a,b),

使得((

))

(

)

0,即

f

(

)

g

(

).例6設(shè)

f

(x),

g(x)

在區(qū)間

I

上可微,

且有

f

(a)

0,f

(b)

0,

a,

b

I

,

證明方程

f

(

x)

f

(x)g(x)

0至少存在一根x0

(a,b).由于

(ex

)

ex

,

ex

0

x

(,),

所以,

令F

(x)

eg

(

x)

f

(x),0

0

000

f

(x

)e g

(x

)

0.

f

(x

)eg

(

x

)

g

(

x

)xx0F(x

)

(eg

(

x)

f

(x))則由已知條件可知:F

(x)

C([a,b]),

在(a,b)

內(nèi)可導(dǎo),

且

F

(a)

F

(b)

0,故由羅爾中值定理:至少存在一點(diǎn)x0

(a,b)使得0,

故有

f

(x0

)

f

(x0

)g(x0

)

0,

即得所證.0因?yàn)閑g

(x0

)達(dá)布中值定理引理1設(shè)

f

(

x)

在

[a,b]

上處處可導(dǎo),

且

f

(a)

f

(b)

0,則至少存在一點(diǎn)

(a,b),

使得

f

(

)

0.達(dá)布中值定理設(shè)

f

(

x)

在

[a,b]

上處處可導(dǎo),

且

f

(a)

f

(b),則對(duì)介于

f

(a)

和

f

(b)

之間的任何一個(gè)數(shù)值

,都至少存在一點(diǎn)

(a,b),

使得

f

(

)

.費(fèi)馬定理的一種推廣引理1中不要求f

(x)連續(xù).證明引理1不妨設(shè)

f

(a)

0,

f

(b)

0.x

a由

lim

f

(x)

f

(a)

f

(a)

0,

根據(jù)極限的保號(hào)性得xax

U

(a),x

af

(x)

f

(a)

0,x[a,b]從而可推出:

x1

U?

(a)

(a,b),

使得

f

(x1)

f

(a).由此斷定f

(a)不是f

(x)在[a,b]上的最小值.類似地,

可以斷定

f

(b)

不是

f

(x)

在[a,b]

上的最小值.綜上所述,

可知至少存在一點(diǎn)(內(nèi)點(diǎn))

(a,b)

使得f

(

)

min

f

(x),

故由費(fèi)馬定理得f

(

)

0.證明達(dá)布中值定理利用推論1即可.作輔助函數(shù)F

(x)

f

(x)

x,推論1

和推論2

中的導(dǎo)數(shù)f

(a),f

(b)可以換成f(a),f(b).請(qǐng)自己完成!Oxyy

f

(x)abAABBPb

af

(

)

f

(b)

f

(a)如何描述這一現(xiàn)象三.

拉格朗日中值定理設(shè)f

(x)

C([a,

b])

;f

(x)

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)

(a,

b)

,

使得f

(

)

f

(b)

f

(a)b

af

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)即定理Oxyy

f

(x)abAB切線與弦線AB

平行b

ay

f

(a)

f

(b)

f

(a)

(x

a)弦AB

的方程：如何利用羅爾定理來(lái)證明？b

a令

(

x)

f

(x)

f

(a)

f

(b)

f

(a)

(x

a)則由已知條件可得：

(x)

C([a,

b])

,

(x)

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo).且

(a)

(b)

0

,故由羅爾定理,

至少存在一點(diǎn)

(a,

b)

,

使得(

)

f

(

)

f

(b)

f

(a)

0b

af

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)即定理的證明方法很多,

例如,

可作輔助函數(shù)F

(x)

(

f

(b)

f

(a))x

(b

a)

f

(x)不論a

b

還是a

b

定理中的公式均可寫成f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a) (

在a,b

之間)拉格朗日有限增量公式f

(x

x)

f

(x)

f

(x

x)x

(0

1)y

f

(

)x

(

在x

與x

x

之間)拉格朗日中值定理的公式可寫成|

f

(b)

f

(a)|

|

f

(

)||

b

a

| (

在a,b

之間)拉格朗日中值定理告訴我們,在t=a

到t=b

的時(shí)間段內(nèi),連續(xù)運(yùn)動(dòng)的物體至少會(huì)在某一時(shí)刻達(dá)到它的平均速度.由拉格朗日中值定理可以得出其它的什么結(jié)論？f

(b)

f

(a)

f

(

)

(b

a)f

(x2

)

f

(x1)

f

(

)

(

x2

x1)f

(x)f

(x)|

f

(x)

|

M

.(3)

f

(x)|

f

(x)

f(x0

)

|

M

|

x

x0

|

.f

(x)

()還有什么？f

(

)???f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)若

f

(x)

0

,

x

I

.

則

x1,

x2

I

,

有f

(x1)

f

(x2

)

f

(

)(x1

x2

)

0

,f

(x1)

f

(x2

)

.推論1若

f

(

x)

0

,

x

I

,

則

f

(x)

C

,

x

I

.(

f

(x)

g(x))

f

(x)

g(x)若

f

(

x)

g(x)

x

I

,推論2若

f

(

x)

g(x)

x(C

為常數(shù))x

I

,x

I

.則F(x)(f

(x)

g(x))

0,F

(x)

f

(x)

g(x)

C

,f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)推論3f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)若

|

f

(x)

|

M

(即

f

(x)

有界)

,則

|

f

(b)

f

(a)

|

|

f

(

)

||

b

a

|

M

|

b

a

|

.若

f

(x)

在[a,

b]

上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,

且

|

f

(x)|

f

(b)

f

(a)

|

M

|

b

a

|用來(lái)證明一些重要的不等式推論4f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)x1,x2

I,

不妨設(shè)x2

x1

.f

(x2

)

f(x1)

f

(

)(x2

x1) (

x1

x2

)x

I

,

則

f

(x2

)

f

(x1)

,x

I

,

則

f

(x2

)

f

(x1)

,若f

(x)

0若f

(x)

0若f

(x)在區(qū)間I

可導(dǎo),且f

(x)

0(f

(x)

0),則

f

(

x)

在區(qū)間

I

上單調(diào)增加(減少)用來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性在推論4

中,如果

f

(

x)

在[a,

b]

上連續(xù),

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo),且

f

(x)

0 (

f

(x)

0)

,

則可推出

f

(x)

[a,

b

][a,(

f

(x)如果在區(qū)間I

上

f

(

x)

0 (

f

(x)

0)

,

則

f

(

x)在區(qū)間I

上嚴(yán)格單調(diào)增加(嚴(yán)格單調(diào)減少).如果

f

(

x)

0 (

f

(x)

0),

但僅在孤立點(diǎn)處出現(xiàn)

f

(

x)

0,

則

f(

x)

仍在區(qū)間

I

上嚴(yán)格單調(diào)增加(嚴(yán)格單調(diào)減少).推論5設(shè)f

(x),g(x)在區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),且f

(a)

g(a)(

a

I

)

.

若

f

(x)

g(x)

x

(a,

b)

I

,

則f

(x)

g(x)令

(x)

f

(x)

g(x)

,

則

(x)

0,

(a)

0.再由推論

4,

即得命題成立.該推論可以用來(lái)證明不等式.y

x3

,

x

的單調(diào)性.Oxyy

x3(故

xx

(,

)時(shí),y

(x3

)

3x2

0

,且僅當(dāng)

x

0

時(shí),

y

0

,解例7證明：當(dāng)0

a

b

時(shí),b

a

ln

b

b

a

.b

a

a即要證

1

(b

a)

ln

b

ln

a

1

(b

a)b

a令

f

(

x)

ln

x

,

x

[a,

b],則

f

(x)

在[a,

b]

上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件

,故

ln

b

ln

a

1

(b

a)a

b,從而b

a

ln

b

b

a

.b

a

a例8證明：當(dāng)x

1即要證

x

1

ln

x

(

x

1)比較

f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)在[1,

x]

上運(yùn)用

ln1

0

,

有x

1

ln

x

ln1.令

f

(t)

lnt t

[1,

x],

則由拉格朗日中值定理(1

x).得

ln

x

ln1

1

(x

1)

x

1,ex故當(dāng)

x

1時(shí),

ex.例92x

[1,

1].證明：arcsin

x

arccos

x

,11)

0

,

(當(dāng)x

[1,1]時(shí),(arcsin

x

arccos

x)

2arcsin

x

arccos

x

x

(1,

1)

.1

x2

1

x2故

arcsin

x

arccos

x

C x

(1,

1)取x

0

計(jì)算得

C

,

從而2

例102x

[1,

1].arcsin

x

arccos

x

由

(arcsin

x

arccos

x)

C([1,

1]

)

,

可得延拓!證明：若f

(x)在(,

)內(nèi)滿足關(guān)系式f

(0)

1,

f

(

x)

fx

(,

)

.f

(x)

1,ex即要證,

x

(,

),f

(x)ex令

(

x)

問題轉(zhuǎn)化為證

(x)

Ce2

xf

(x)ex

f

(x)

ex

(

x)

例11

(x)

C,

0,

x

(,

),f

(0)

1,x

(,

).

又ef

(x)x

C

(x)

故

(0)

f

(0)

1C

1.從而x

(,

)

.e0f

(x)

ex

,定理的條件.由

(3b2

2b

5)

(3a2

2a

5)

(6

2)(b

a)

,得

3(b

a)

6

,2

b

a

.從而所求為f

(b)

f

(a)

f

(

)(b

a)例12設(shè)

f

(

x)

3x2

2x

5

,

求

f

(

x)

在[a,

b]上滿足拉格朗日中值定理的

值.解

易驗(yàn)證

f

(

x)

在[a,

b]

滿足拉格朗日中值y

x

sin

x

在[0,

2

]

上的單調(diào)性.

y

x

sin

x

C([0,

2

]

)

,y

1

cos

x

0

,

x

(0,

,

y

x

sin

x

[0,

2

]

.例13解f

(

x)

C([0,

)

)

,又1f

(0)

0

,

0,

(x

0

時(shí)),1

xf

(x)

1

故f

(x)

[0,

)

,(

x

0)

,從而

f

(x)

f

(0)

0

,即x

0

時(shí),例14證明：x

0

時(shí),

x

ln(1

x)

.證

令

f

(x)

x

ln(1

x)

,

x

[0,

)

,則x1

x證明：x

0

時(shí),

ln(1

x)

令f

(x)

ln(1

x),.,

x

[0,

)

.1

xxg(

x)

f

(0)

11

x又

f

(x)

,1(1

x)2,

g(x)

x

(0,

)

,x

(0,

)

,且

f

(x)

g(x)

,故

f

(x)

g(x)

,即.x1

xx

0

時(shí),

ln(1

x)

則

f

(x),

g(x)

在(0,

)

內(nèi)可導(dǎo),例15設(shè)弧AB

的參數(shù)方程為t

[a,

b]

x

g(t)

y

f

(t)則弧AB

上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為d

y

f

(t)d

x

g(t)而弦AB

的斜率為g(b)

g(a)k

f

(b)

f

(a)OxyAB

y

f

(x)在拉格朗日中值定理中,將曲線用參數(shù)方程表示,會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)論？由拉格朗日中值定理,至少存在一點(diǎn)P

,使曲線在該點(diǎn)的切線與弦線平行,即它們的斜率相等.設(shè)對(duì)應(yīng)于

P

點(diǎn),

t

,

則有(

g(t)

0)g(b)

g(a)g(

)f

(b)

f

a

f

(

)注意:當(dāng)f

(t)與g(t

)真正具有任意性時(shí),上述結(jié)論就是柯西定理.曲線的參數(shù)方程表示式中f

(t)與g(t)之間并不具備任意性,它們間的關(guān)系由曲線確定.四.柯西中值定理設(shè)g(

)g(b)

g(a)f

(b)

f

(a)

f

(

)f

(x)

,

g(

x)

C([a,

b])

;f

(x)

,

g(

x)

在(a,

b)

內(nèi)可導(dǎo)

,且g(x)

0,則至少