推理與證明第三十八講推理與證明答案

專題十三 推理與證明第三十八講 推理與證明答案部分1．B【解析】解法一 因?yàn)閘nx≤x1(x 0)，所以ln(12aaaaaaa12343)≤1231，所以4111aaaa≤，又a，所以等比數(shù)列的公比q0．若q≤1，則(1)(120aaaaaqq）≤，12341123而a1a2a3≥a11，所以ln(aaa)0，與ln(aaa)aaaa≤0矛盾，1231234所以1q0，所以(1a1a3a1(1q)0，aaaqq22241)0，所以aa，13aa，故選B．24解法二因?yàn)閑x≥x1，a1a2a3a4ln(a1a2a3)，所以eaaaaaaa≥aaaa，則a≤，12312341412341又a，所以等比數(shù)列的公比q0．11(1)(120aaaaaqq）≤，12341若q≤1，則而 a a a≥a ，所以ln(a a a) 012311123與ln(a a a) a a a a≤0矛盾，1231234所以

1q

0，所以(12)0241(1a

a

a

q ，

a

a aq

q2131)0

，所以a a，13a

a，故選

B．242．D【解析】解法一

點(diǎn)

(2,1)

在直線

x

y1上，ax

y

4表示過定點(diǎn)(0,4)

，斜率為

a的直線，當(dāng) a 0時(shí)，x ay 2表示過定點(diǎn) (2,0)，斜率為 1 的直線，不等式 x ay≤2a表示的區(qū)域包含原點(diǎn)，不等式 ax y 4表示的區(qū)域不包含原點(diǎn)．直線axy4與直線xay2互相垂直，顯然當(dāng)直線axy4的斜率a0時(shí)，不等式axy4表13示的區(qū)域不包含點(diǎn) (2,1)，故排除 A；點(diǎn)(2,1)與點(diǎn)(0,4)連線的斜率為，當(dāng)2 a3，即3a 時(shí)，ax y 4表示的區(qū)域包含點(diǎn) (2,1)，此時(shí)x ay 2表示的2a2ax y 4表示的區(qū)域不包含點(diǎn) (2,1)，故排除 C，故選D．解法二若(2,1)A，則2a區(qū)域也包含點(diǎn)(2,1)，故排除B；當(dāng)直線axy4的斜率3，即3a時(shí)，214，解得3，所以當(dāng)且僅當(dāng)2a≤2(2,1)A．故選 D．23a≤時(shí)，3．D【解析】由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果，故選D．4．B【解析】設(shè)O為三角形ABC中心，底面如圖2，過O作OE RP，OF PQ，OG RQ，由題意可知 tan DO，tan OD，tanOEOFOD，OGDCQAGEOFPBQCARGOEPBxF圖1圖2由圖2所示，以 P為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) AB2，則A(1,0)，B(1,0)，C，(0,(0,3))Q，R(,)，O3，∵AP PB，BQ CR2，∴(1,23)3QCRA332333則直線 RP的方程為3y x，直線 PQ的方程為 y 23x，直線 RQ的方程為2yx ，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，知 221353OE，OF 39，1OG ，39221393∴OF OG OE，tan tan tan ，因?yàn)椋?，為銳角，所以 ．選B5．B【解析】由數(shù)據(jù)可知，進(jìn)入立定跳遠(yuǎn)決賽的 8人為1~8號(hào)，所以進(jìn)入 30秒跳繩決賽的6人從1~8號(hào)里產(chǎn)生．?dāng)?shù)據(jù)排序后可知3號(hào)，6號(hào)，7號(hào)必定進(jìn)入30秒跳繩決賽，則得分為63，a，60，63，al的5人中有3人進(jìn)入30秒跳繩決賽．若1號(hào)，5號(hào)學(xué)生未進(jìn)入30秒跳繩決賽，則4號(hào)學(xué)生就會(huì)進(jìn)入決賽，與事實(shí)矛盾，所以l號(hào)，5號(hào)學(xué)生必進(jìn)入30秒跳繩決賽，故選B．6．A【解析】當(dāng) s 4時(shí)，p，q，r都是取 0，1，2，3中的一個(gè)，有 444 64種，當(dāng)s 3時(shí)，p，q，r都是取 0，1，2中的一個(gè)，有333 27種，當(dāng)s2時(shí)，p，q，r都是取0，1中的一個(gè)，有2228種，當(dāng)s1時(shí)，p，q，r都取0，有1種，所以card642781100，當(dāng)t0時(shí)，u取1，2，3，4中的一個(gè)，有4種，當(dāng)t1時(shí)，u取2，3，4中的一個(gè)，有3種，當(dāng)t2時(shí)，u取3，4中的一個(gè)，有2種，當(dāng)t3時(shí)，u取4，有1種，所以t、u的取值有123410種，同理，v、w的取值也有10種，所以cardF所以card1010100，cardF100100200，故選D．7．B【解析】學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好，即學(xué)生甲兩門成績(jī)中一門高過學(xué)生乙，另一門不低于學(xué)生乙，一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好， 并且沒有相同的成績(jī)，則存 在的情況是，最多有 3人，其中一個(gè)語文最好，數(shù)學(xué)最差；另一個(gè)語文最差，數(shù)學(xué)最好；第三個(gè)人成績(jī)均為中等．故選B．8．A【解析】“至少有一個(gè)實(shí)根”的反面為“沒有實(shí)根”，故選A．9．D【解析】∵55 3125,5615625,57 78125,58 390625，591953125，5 9765625,10,∴5n(nZ,且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為

4,記5n(nZ,且

n≥5)的末四位數(shù)字為

f(n),則

f(2011)

f(5014

7)

f(7)

，∴52011與

57

的末位數(shù)字相同，均為

8125，選D．10．D【解析】由給出的例子可以歸納推理得出：若函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù)是3奇函數(shù)，因?yàn)槎x在

R上的函數(shù)

f(x)

滿足

f(x)

f(x)，即函數(shù)

f(x)是偶函數(shù)，所

以它的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，即有

g(x)=g(x)，故選D．

11．27【解析】所有的正奇數(shù)和

2n(nN*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成 {a}，在數(shù)列{a}nn中，25前面有16個(gè)正奇數(shù)，即a2125，a3826．當(dāng)n1時(shí)，S1112a224，不符合題意；當(dāng)n2時(shí)，S2312a336，不符合題意；當(dāng)n3時(shí)，S3 612a4 48，不符合題意；當(dāng)n 4時(shí)，41012560S a ，不符合題意；??；21(141)2(12)=441+62=503<12a516，不符合題5262721222(143)2(125)=484+62=546>12a=540，符合題意；當(dāng)n27時(shí)，S2827212意．故使得S12a成立的n的最小值為27．當(dāng)n26時(shí)，Snn112．Qp【解析】設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C(x,y)，則Q2y，其中i1,2,312iiiiiii①由題意只需比較線段 AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小即可，作圖可得AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)比ii1A2B2,A3B3的中點(diǎn)縱坐標(biāo)大，所以第一位選．1OC斜率的大小，分別作 BBB②由題意pi，只需比較三條線段OC，OC1,2,3yixi123關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 2,3以選 p2.ABABAB斜率，可得 AB最大，所 ,12211,22,33BBB，比較直線1,2,313．1和3【解析】為方便說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C從丙出發(fā)，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是 5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪 一張，均含有數(shù)字 1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是 1可知，乙所拿的卡片必然 是C，最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是 2，知甲所拿的卡片為 B，此時(shí)丙所拿的 卡片為 A．414．【解析】根據(jù)已知，歸納可得結(jié)果為 n(n+1)．315．111123411112n12nn1n21．2n【解析】觀察等式知：第 n個(gè)等式的左邊有 2n個(gè)數(shù)相加減，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)， 1且分子為 1，分母是 1到2n的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是n1n 211 2n．16．4n-1【解析】 具體證明過程可以是：1C2n1CC2Ln1CC2Cn12n12n12n12n1(2222n1L22n122n1)1C0[(2n1C2n1C1)(2n1C2n2C2C2n3LCn1Cn)()(2n12n12n12n12n12n1)]21(2117．1012C2n1C2n1C2n11LCn2n1Cn2n121)22LCn2n1141．nn2【解析】解法一直接遞推歸納；等腰直角三角形ABC中，斜邊BC22，所以42ABACaAAa12,12，AAa，31，AAaa567162121．()24解法二求通項(xiàng)：等腰直角三角形ABC中，斜邊BC22，所以ABACa12,AA1a22，，anA A asinn1nn1 anan2 ，故2() 2=12()6674222418．6【解析】因?yàn)棰僬_，②也正確，所以只有①正確是不可能的；若只有②正確，①③④都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正確，①②④都不正確，則符合條件的有序數(shù)組為 (3,1,2,4)；若只有④正確，①②③都不正確，則 符合條件的有序數(shù)組為 (2,1,4,，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．綜上符合條件的有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是6．19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料 B，6天后，師傅開始精加工原料 B，徒弟同時(shí)開始粗加工原料A，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A完成，此時(shí)師傅還在精加工原料B，27天后，師傅精加工原料B完成，然后接著精加工原料A，再15天后，師傅精加工原料A完成，整個(gè)工作完成，一共需要6+21+15=42個(gè)工作日．xxxx，【解析】由，得20．fxf1x12014xf1(x)2()()1x12x5可得xx，故可歸納得f2014(x)．12014xf3(x)f(f2(x))13x21．FVE2【解析】三棱柱中5+6-9=2；五棱錐中6+6-10=2；立方體中 6+8-12=2，由此歸納可得 FV E 2．22．12－22+32－42+?+（－1）n+1n2=（－1）n+1·n(n1) （n∈2N）【解析】觀察上式等號(hào)左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項(xiàng)數(shù)一次加 1，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，每項(xiàng)所含的底數(shù)的絕對(duì)值也增加1，一次為1，2，3，?n，指數(shù)都是2，符號(hào)成正負(fù)交替出現(xiàn)可以用(1)n1表示，等式的右邊數(shù)的絕對(duì)值是左邊項(xiàng)的底數(shù)的和，故等 式的右邊可以表示為 (1)n·(1)nn，所以第 n個(gè)式子可為 12－22+32－42+?2+(1)nn=（－1）n+1·n(n1)2（n∈N）．1223．1000【解析】觀察 n和n前面的系數(shù)，可知一個(gè)成遞增的等差數(shù)列另一個(gè)成遞減的等差數(shù)列，故Nn n2 n，N10,241000,241110124．121 321 421 52111【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第 n個(gè)不等式的左2626邊=1 221 321(n1)21，右邊= 2n11 ，所以第五個(gè)不等式為n1112 2342211152111 ．66225．（1）6；（2）32n114【解析】（1）當(dāng)N=16時(shí)，P xxxxxxLx，可設(shè)為(1,2,3,4,5,6,L,16)，012345616P xxxxLxxxxLx，即為 (1,3,5,7,9,L2,4,6,8,L,16)，113571524616PxxxxxxxxxxLx，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,L,16)，2159133711152616x位于P中72的第6個(gè)位置；（2）在 P中 x位于兩段中第一段的第 87個(gè)位置，位于奇數(shù)位置上，此時(shí)在

P中

x位11732173

于四段中第一段的第

44個(gè)位置上，再作變換得

P時(shí)，x位于八段中第二段的第

22x

位于十六段中的第四段的第

11個(gè)位置上．也就是位于 P中3173個(gè)位置上，再作變換時(shí)，17364的第32n411個(gè)位置上． 26．n (n1)L (3n 2) (2n1)【解析】把已知等式與行數(shù)對(duì)應(yīng)起來， 則每一個(gè)2等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù) n，加數(shù)的個(gè)數(shù)是 2n1；等式右邊都是完全平方 數(shù)，行數(shù)1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49????1234??等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù)1357所以n (n1)L[n (2n1)1] (2n1)2，即n (n1)L (3n(2n1)20,n 【解析】根據(jù)合情推理，利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí) 27．11 n，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)nn230,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)可得T=n．12n13nn，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)28．962【解析】觀察等式可知，cos的最高次的系數(shù)2,8,32,128構(gòu)成了公比為4的等比數(shù)列，故m1284512．取0，則cos1，cos101，代入等式⑤得151212801120np1，即np350①取，則cos1，cos101，代入等式⑤得2113112112512()1280()1120()n()p()11086422②2222即n4p200聯(lián)立①②得，n400,p50，所以mnp=512(400)50962．29．【解析】(1)因?yàn)?1,1,0)，(0,1,1)，所以71M(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]2，21M(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]1．2(2)設(shè)(x,x,x,x)B，則M(,)xxxx．12341234由題意知 x，x，x，x∈{0，1}，且M(,)為奇數(shù)，1234所以 x， x， x， x中1的個(gè)數(shù)為 1或3．1234所以B {(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．將上述集合中的元素分成如下四組：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．經(jīng)驗(yàn)證，對(duì)于每組中兩個(gè)元素 ， ，均有 M(,)1．所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合 B的元素． 所以集合 B中元素的個(gè)數(shù)不超過 4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}滿足條件，所以集合B{(,,,)|(,,,),1,Sxx

中元素個(gè)數(shù)的最大值為xxxxAxxx

4．x

(3)設(shè)k12n12nk12k10}(k1,2,,n)，S1{(x1,x2,,x)|x1

x2

x 0}，nnn則ASUSU12US．n1對(duì)于 S（k1,2,k,n1）中的不同元素 ， ，經(jīng)驗(yàn)證， M(,)≥1．,n1）中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合 B的元素．所以 S（k1,2,k所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過 n1．取e(x,x,,x)S且x1x0（k1,2,,n1）．knk12nk令 B ee1 e USUS，則集合 B的元素個(gè)數(shù)為 n1，且滿足條件．(,,,)2n1nn1故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合．830．【解析】(1)記(abc)為排列abc的逆序數(shù)，對(duì) 1，2，3的所有排列，有(123)=0，(132)=1，(213)=1，(231)=2，(312)=2，(321)=3，所以f，ff．3(0)13(1)3(2)2對(duì)1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5．(2)對(duì)一般的n(n≥4)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12n，所以(0)1fn．逆序數(shù)為 1的排列只能是將排列 12所以f(1) n1．n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，為計(jì)算fn，當(dāng)1，2，?，n的排列及其逆序數(shù)確定后，將n1添加進(jìn)原排列，n11(2)在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置．因此， f1(2) f(2) f(1) f(0) f(2) n．nnnnn當(dāng)n≥5時(shí)，f(2)[f(2)f(2)][f(2)f(2)]?[f(2)f(2)]f(2)nnn1n1n2544nn22(n1)(n2)4f(2)42，2因此，n≥5時(shí)，f(2)nnn2．231．【解析】證明:（1）因?yàn)閍 a n d，1(1)a是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d，則nn從而，當(dāng) n≥4時(shí)，ankanka1

(n

k1)d

a1

(n

k1)d

2a

2(n1)d

2a

，

k1,2,3,1n所以

an

ananan

anan

an32+1+12+3，因此等差數(shù)列a是“P(3)數(shù)列”.n2）數(shù)列a既是“ P(2)數(shù)列”，又是“ P(3)數(shù)列”，因此，n當(dāng)n 3時(shí)，a2 a1 a1 annn24a，①nn9當(dāng)n4時(shí)，3211236.②a a a a a a annnnnnn由①知，

an3

an2

4an1

(an

an1)

，③a2

a3

4a1

(annn1

an)

，④n將③④代入②，得 an1 an12an，其中 n 4，所以a3,a4,a5,L是等差數(shù)列，設(shè)其公差為 d'.在①中，取 n 4，則a a d'，a232 a3 a5 a6 4a4，所以在①中，取 n 3，則122a1 a2 a4 a5 4a3，所以 a a d'，所以數(shù)列{a}是等差數(shù)列.n32．【解析】（Ⅰ）易知 a11，35a ，22a3 3且b ，11b ，23b所以

c1

b1

a1110,cb ab a ，2max{121,222}max{121,322}1cb ab ab a ．3max{131,232,333}max{131,332,533}下面證明：對(duì)任意nN*且n≥2，都有 cn b1 a1n．當(dāng)kN*且2≤k≤n時(shí)，(b an) (b an)kk11 [(2k1) nk]1n (2k 2) n(k1) (k1)(2 n)∵k10且2 n0∴(bk akn) (b1 a1n)≤0 (b an)≥(b an)．11kk因此對(duì)任意nN*且n≥2，cn b1 a1n1n，則c1 c 1．nn又∵c2 c1 1，10故cn1 cn 1對(duì)n N均成立，從而{cn}是等差數(shù)列*（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a}和的公差分別為 d,d，下面我們考慮c的取值．nnabn對(duì)b an，b an，b an，1122nn考慮其中任意項(xiàng)b an(iN*且1≤i≤n)，iib an [b (i1)d][a (i1)d]niiba(b an) (i1)(d dn)11ba下面分 d 0，daa0，d 0三種情況進(jìn)行討論．a(chǎn)（1）若d 0，則b an (b an) (i1)daii11b①若0d≤，則(b an) (b an) (i1)d≤0bii11b則對(duì)于給定的正整數(shù) n而言， c b ann11此時(shí)ca，故{}c是等差數(shù)列n1n1ndb0，則(ban)(ban)(in)d≤0iinnb則對(duì)于給定的正整數(shù) n而言， c b an b annnnn此時(shí)c c d a，故{}c是等差數(shù)列n1nb1n此時(shí)取 m1，則1,2,3,ccc2）若da是等差數(shù)列，命題成立．0，則此時(shí)為一個(gè)關(guān)于 n的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)． dndab故必存在 mN*，使得當(dāng) n≥m時(shí)，dn d 0ab則當(dāng)n≥m時(shí)，(b an) (b an) (i1)(dn d)≤0(iN*,1≤i≤n)ii11ab因此，當(dāng) n≥m時(shí)，c b an．n11此時(shí)ca，故{c}從第m項(xiàng)開始為等差數(shù)列，命題成立．n1n1n3）da0，則此時(shí) dn d為一個(gè)關(guān)于 n的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)．a(chǎn)b11故必存在 sN*，使得當(dāng) n≥s時(shí)，dn d 0ab則當(dāng)n≥s時(shí)，(b an) (b an) (i n)(dn d)≤0(iN*,1≤i≤n)iinnab因此當(dāng) n≥s時(shí)，c b an．nnnc此時(shí)nb annnba n dn (d a d)nd1bbnananbaa1n1b令d

A 0，

d

a d

B，b

d C1cCAnB下面證明

對(duì)任意正數(shù)

M，存在正整數(shù)

m，使得當(dāng)

n≥

m時(shí)，ncnM．n|M B|①若C≥0，則取 （[x]表示不等于 x的最大整數(shù)）m[]1An當(dāng)n≥m時(shí)，cn|M B|≥AnB≥AmBA([A]1)BABABMn此時(shí)命題成立．若C0，則取m[|MCB|]1A當(dāng)n≥m時(shí)cn|MC B|≥AnBC≥AmBCA([]1)BCA≥MC B B C M此時(shí)命題成立．因此，對(duì)任意正數(shù) M，使得當(dāng) n≥m時(shí)，nc M．n綜合以上三種情況，命題得證．*n1nN.33．【解析】(1)由已知得 a an13,于是當(dāng)T{2,4}時(shí)，S a2 a4 3a1 27a1 30a1.r又S30，故11130a 30，即a .r1*所以數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式為 a 3n,nN.nn(2)因?yàn)門 {1,2,L,k}，a 3nn1 0,nN，12*所以13S a aL a Lr12k3k11(31)3 .kk因此，S a .rk1(3)下面分三種情況證明.①若D是C的子集，則 S SCCDISCDS S 2SDDD.②若C是D的子集，則 S SCCDIS S 2SCC2SCD.③若D不是C的子集，且C不是D的子集.令 E CICD，

F DICC則

E

，

F

，

EIF

.UUS S

SI于是CECD，SDES.F

SF

SCID，進(jìn)而由

SC

SD

，得

S設(shè)k是E中的最大數(shù)，l為F中的最大數(shù)，則k1,l1,k l.由（2）知，a，于是3k1SSa3kSl1lFEk1

，所以

l1k

，即

l

k.E又

k

l，故

l

k1，l1313k1a1SkE從而1aaa13 L Ll3l122，F(xiàn)2故SF2S1，所以S SCDI2(S SDCD)1I，即SCSCDI2SD1E.綜合①②③得， S SCCDI2SD.2341x41x34．【解析】(1)因?yàn)?x x xxx由于x231x0,1，有14≤，即1x x1x1xx1 ≤，1x所以 f(x)≥1x x.2(2)由0≤x≤1得x3≤x，故311f(x) x≤1x1x所以3f(x)≤.2xx3312133≤，222x12213由(1)得()12(1)233fx≥xxx≥，24411933f，所以 fx ，又因?yàn)?() 2244433(x)≤． 綜上，f4235．【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?,)，f(x)1ex．當(dāng)f(x)0，即x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)0，即x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)．當(dāng)x 0時(shí)，f(x) f(0) 0，即1x ex．令x11，即(11)e1 ，得1en(*)nnnnb1bbbb1(2)11(1)1112；12 1 2 22(1)2(21)232；a1aaaa211212bbbbbb1123123233．33(1)(31)4aaaaaa3123123由此推測(cè)：bbLb (n1)n ．(**)12naaLa12n下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②．①當(dāng)

n1時(shí)，左邊

右邊

2，(**)成立．bbLb

(k1)k

．②假設(shè)當(dāng)n12kaaLa12k

k時(shí)，(**)成立，即1當(dāng)n k1時(shí)，b(k1)(1)1ak，由歸納假設(shè)可得 k1k1k1bbLbbbbLbb112kk112k1k(k1)(k1)(1k) (k 2)k1k1．a(chǎn)aLaa12kk1aaLaa12kk1k1

所以當(dāng)

n

k1時(shí)，(**)

也成立．根據(jù)①②，可知

(**)對(duì)一切正整數(shù)

n都成立．(3)由 c的定義，(**)，算術(shù)-幾何平均不等式，b的定義及(*)得nnn312n1Tc c cL cn123n(a) (aa) (aaa)L(aaLa)1111()()bbbbbLbbbb311122()()nL n12312234n1bb bb b bb bL bL11212312122334n(n1)14n11 b[ L 122311]b[ L n(n1)233411]Lbn(n1)1n(n1)1211111b(1) b( )L b( )1 2 nn12n1nn1bbb1L(1)1a (1)211aL(1)a12nn12n12n12nL eeaeaeaS，即T eS．12nnnn36．【解析】(1)f613．n 2 n n ,n6t 23n1n(2)當(dāng)n 6時(shí)， 2 1n,n6t1fn23nn2n2,n6t223n1nn2,n6t323nn1n2,n6t423n1n 2n2,n6t5 23下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：nt）．（66①當(dāng)n 6時(shí)，f6 6 213，結(jié)論成立； 23②假設(shè)n k（k 6）時(shí)結(jié)論成立，那么 nk1時(shí)，S 在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元k1素在1,k1，2,k1，3,k1中產(chǎn)生，分以下情形討論：1）若k16t，則k 6t15，