數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析專題07 空間向量投影的應(yīng)用

全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題07空間向量投影的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：空間向量數(shù)量積的幾何意義體現(xiàn)空間向量具有鮮明的幾何背景，空間圖形的許多性質(zhì)可以由空間向量的運(yùn)算表示出來，投影向量的引入，為學(xué)生解決空間點(diǎn)?線?面的位置關(guān)系提供了一種全新的視角，為后面向量法解決立體幾何問題提供了理論依據(jù).向量a的投影1.如圖（1），在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c=|a|cos<a，b>，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線l投影（如圖（2））.2.如圖（3），向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.這時(shí)，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.[新增內(nèi)容的考查分析]1.求投影的長度【考法示例1】已知線段AB的長度為，與直線l的正方向的夾角為120°，則在l上的射影的長度為______.【答案】【解析】設(shè)與直線l的正方向一致的單位向量為，于是得在直線l的正方向的投影向量為，則，所以在l上的射影的長度為.故答案為：.2.求投影向量【考法示例2】已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是____.【答案】【分析】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，求得實(shí)數(shù)的值，即可得解.【解析】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，即，解得，因此，向量在向量上的投影向量是.故答案為：.3.求向量的投影已知，則在上的投影為__________【答案】【解析】因?yàn)?，所以設(shè)與的夾角為，所以根據(jù)空間向量的幾何意義可得：在上的投影為，故答案為：[新增內(nèi)容的針對(duì)訓(xùn)練]1.平面向量，，滿足，，，，則下列說法一定正確的有（）A.在上的投影向量為 B.在上的投影向量為C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量公式判斷AB；利用向量數(shù)量積公式判斷CD.【詳解】A.在上的投影向量為，故A正確；B.在上的投影向量是，因?yàn)橄蛄课粗?，所以無法求得在上的投影向量，故B錯(cuò)誤；C.，當(dāng)時(shí)，，若，，不滿足C，故C錯(cuò)誤；D.，所以，正確，故D正確.故選：AD2.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是_____________.【答案】【解析】【分析】利用向量在向量上的投影乘以與同向的單位向量即可得解.【詳解】向量在向量上的投影是，所以向量在向量上的投影向量是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解向量在向量上的投影向量的概念是解題關(guān)鍵.3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是____．【答案】【解析】【分析】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，求得