分類變量與列聯(lián)表課件-高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

分類變量與列聯(lián)表F佳

2022年06月吸煙的危害

吸煙已成為全球范圍內(nèi)嚴重危害健康、危害人類生存環(huán)境、降低人們的生活質(zhì)量、縮短人類壽命的緊迫問題．為此，聯(lián)合國固定每年5月31日為全球戒煙日．

在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關聯(lián)性或互相影響的問題.吸煙是否會增加患肺癌的風險？

例如,就讀不同學校是否對學生的成績有影響,不同班級學生用于體育鍛煉的時間是否有差別,吸煙是否會增加患肺癌的風險,等等,本節(jié)將要學習的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案.

在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關聯(lián)性或互相影響的問題.在討論上述問題時,為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機變量稱為分類變量.兩種變量分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、宗教信仰、國籍等等變量♂對于性別變量,其取值為男和女兩種.♀

這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這類變量稱為分類變量.兩種變量數(shù)值變量的取值一定是實數(shù),

例如身高、體重、考試成績等，張明的身高是180cm，李立的身高是175cm。數(shù)值變量：體重、身高、溫度、考試成績等等

兩種變量分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、宗教信仰、國籍等等變量數(shù)值變量的取值為實數(shù)，其大小和運算都有實際含義.分類變量是區(qū)別不同的現(xiàn)象和性質(zhì)的一種特殊的隨機變量．本節(jié)主要討論取值于{0,1}的分類變量的關聯(lián)性.①分類變量的取值也可以用實數(shù)來表示，例如男性，女性可以用1,0表示，學生的班級可以用1,2,3來表示．②這些數(shù)值只作編號使用，并沒有大小和運算意義．③分類變量是相對于數(shù)值變量來說的．但要注意到：問題:為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查.全校生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?解法一：

比較經(jīng)常鍛煉的學生在女生和男生的比率.問題:為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性,某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查.全校生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?

男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個百分點,所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉.解法二：

對于Ω中的每一名學生，分別令性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響：性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：合計男生（X=1）女生（X=0）經(jīng)常（Y=1）不經(jīng)常（Y=0）合計鍛煉性別

由

可以作出判斷，在該校的學生中，性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,男生更經(jīng)常性的鍛煉.

在上面問題的兩種解答中，使用了學校全部學生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問題所需的比率和條件概率.然而,對于大多數(shù)實際問題，我們無法獲得所關心的全部對象的數(shù)據(jù)，因此無法準確計算出有關的比率或條件概率.

在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點為我們提供了一個解決問題的思路.比較簡單的做法是利用隨機抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對問題答案作出推斷.（用樣本估計總體）在實踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存,我們將上表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.表格直觀呈現(xiàn)了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)。分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：

以上表為例,2×2列聯(lián)包含了X和Y的如下信息:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點的個數(shù);

最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點的個數(shù);中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點的個數(shù);

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù).班級鍛煉合計80分及80分以上80分以下實驗班321850對照班24m50合計5644n練習：某校為了檢驗高中數(shù)學新課程改革的成果，在兩個班進行教學方式的對比試驗，兩個月后進行了一次檢測，試驗班與對照班成績統(tǒng)計如2×2列聯(lián)表所示（單位∶人），則其中m=________________,n=__________________.例1：

為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學生中有10名數(shù)學成績優(yōu)秀；乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀.試分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：用Ω表示兩所學校的全體學生構成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對于Ω中每一名學生，定義分類變量X和Y如下：合計乙校(X=1)甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計數(shù)學成績學校

例1：

為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學生中有10名數(shù)學成績優(yōu)秀；乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀.試分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.因此,甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為：乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為：可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結果：通過比較發(fā)現(xiàn),兩個學校學生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷甲校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率大于乙校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率.

因此，可以認為兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率比乙校學生的高.

依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷：P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).也就是說，如果從甲校和乙校各隨機選取一名學生，那么甲校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率大于乙校學生數(shù)學成績優(yōu)秀的概率，因此，可以認為兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率比乙校學生的高.

反思一個現(xiàn)象：

學生提出：“我很有能力，我只是沒有考上一個好的大學，而那些好的企業(yè)卻只去名校招聘，這是不是不公平？”

結合剛才例題的啟發(fā)，嘗試從一個企業(yè)的角度去想想，為什么他們“更偏向于去好學校招聘”。

反思2：你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結論是否有可能是錯誤的？有可能

“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這個結論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.后面我們將討論犯這種錯誤的概率大小問題.練習：（多選）下圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學生喜歡理科的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖中可以看出（

）A.性別與喜歡理科無關B.女生中喜歡理科的比為80%C.男生比女生喜歡理科的可能性大些D.男生不喜歡理科的比為40%課本P127練習4假設在本小節(jié)"問題"中，只是隨機抽取了44名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表∶（單位：人）（1）據(jù)此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經(jīng)常性;（2）說明你的推斷結論是否可能犯錯，并解釋原因.性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計113344練習：某學校對高三學生作一項調(diào)查后發(fā)現(xiàn)∶在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學生中有213名在考前心情緊張.請作出考前心情緊張與性格情況的列聯(lián)表.練習：在一項有關醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表。

作業(yè)：課本P135習題8.35兩個分類變量之間關聯(lián)關系的定性分析的方法：(1)頻率分析法：通過對樣本的每個分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進行比較來分析分類變量之間是否有關聯(lián)關系.

如可以通過列聯(lián)表中