彈性與塑性力學(xué)問題的建立與基本解法

彈性與塑性力學(xué)引論配套教材：《彈性與塑性力學(xué)引論》中國水利水電出版社，丁勇寧波大學(xué)建筑工程與環(huán)境學(xué)院聯(lián)系方式：137210762@彈性與塑性力學(xué)引論第6章彈性與塑性力學(xué)問題的建立與基本解法6.1彈性力學(xué)基本方程與邊界條件彈性力學(xué)基本方程平衡方程：?τ?σ?τ?z?+yx++

=zx

F

0x??x?ybx??τ

?σ

?τ?xy+y+F

0zy

+

=??x?y?zby???τ?τ?σ?z+yz+F

0?+

=xzz?x?ybz?用張量公式表示為σ

+

F

=

0ij,

jbi6.1彈性力學(xué)基本方程與邊界條件彈性力學(xué)基本方程幾何方程：?u?u

?v?εx

=εy

=εz

=γ

=

+xy??x?

?y

x??v?v

?w??

?z

yγ

=

+??yyz???w?w

?uγ

=

+??zzxx

z

??

?用張量公式表示為1(

)ε

=

u

+

uiji,jj,i2此外還可補(bǔ)充6個應(yīng)變協(xié)調(diào)方程6.1彈性力學(xué)基本方程與邊界條件彈性力學(xué)基本方程本構(gòu)方程：τ?1?

(

)?

γ

=

xyε

=

σ

?

v

σ

+σ???xyxxyzGτE1??ε=

?

?

(

+

)?σvσ

σγ=yz???yyzxyzE1G?τ??

(

)?ε

=

σ

?

v

σ

+σγ

zx

=

zx???zzxyEG?用張量公式表示為1+

vvε

=

σ

?

δ

σijijij

kkEE6.1彈性力學(xué)基本方程與邊界條件彈性力學(xué)邊界條件應(yīng)力邊界條件：p

σ

n

τ

n

+τ

n

?=+（張量形式)xx

xyx

yzx

z?p

=τ

n

+σ

n

+τ

np

=

σ

n?zy

ziij

jyxy

xy

y?p

=τ

n

+τ

n

+σ

n?zxz

xyz

yz

z位移邊界條件：ui

=

ui（張量形式)混合邊界條件：p

=

σ

nS在

上iij

jσui

=

uiS在

上u6.1彈性力學(xué)基本方程與邊界條件彈性力學(xué)問題的提法：彈性力學(xué)問題是在給定邊界或內(nèi)部作用（溫度、外力等）下，求解物體內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場。彈性力學(xué)問題共有15個方程，即3個平衡方程、6個幾何方程、6個本構(gòu)方程；求解變量也是15個，即3個位移分量、6個應(yīng)變分量、6個應(yīng)力分量，在給定邊界條件時，問題可解。σ

+

F

=

0平衡方程：幾何方程：ij,

jbi1(

)ε

=

u

+

uiji,jj,i21+

vvε

=

σ

?

δ

σ本構(gòu)方程：ijijij

kkEE6.2彈性力學(xué)問題的基本解法6.2.1位移法位移法是以位移為基本未知量的解法，為此需要用位移表示平衡方程。即先將應(yīng)力用應(yīng)變表示，再將應(yīng)變用位移表示；最后代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程??θ(

)u

F

0λ

+

μ

+

μ?2

+

=??xbx???θ(

)v

F

0λ

+

μ

+

μ?2

+

=??yby???θ(

)λ

+

μ

+

μ?2

+

=w

F

0???zbz??2??2??2θ

=

ε

+

ε

+

ε?2=

+

+其中，xyz222x

y

z6.2彈性力學(xué)問題的基本解法位移法：上述位移法平衡方程表示為張量形式為(

)λ

+

μ

u

+

μu

+

f

=

0j,

jii,

jji位移法平衡方程的推導(dǎo)包含了平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程的信息，求解時只需補(bǔ)充邊界條件。當(dāng)邊界條件為給定位移時，可以直接使用；當(dāng)邊界條件為給定面力時，則可通過廣義胡克定律和幾何關(guān)系，將其中的應(yīng)力用位移來表示。6.2彈性力學(xué)問題的基本解法6.2.1

應(yīng)力法應(yīng)力法是以應(yīng)力為基本未知量的方法，平衡方程?τ??σ?τ+yx++

Fbx

=

0xzx??x

?y

?z?τ

?σ

?τ??xy+y+Fzy

+

=

0??x

?y

?zby??τ??τ?σ+yz

+

+

F

=

0xzz??x

?y

?zbz?由應(yīng)力求得的應(yīng)變還需要滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。因為前面的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是用應(yīng)變表示的，所以還需要轉(zhuǎn)化為用應(yīng)力表示。6.2彈性力學(xué)問題的基本解法應(yīng)力法：應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程稱為米切爾方程：?Fby??2σ?

??

??Fbx?x1vFbxxF??????2σ

x

+=

?=

?=

?++++++bz

?

2???+

?1

v

x?2σ+

?1

v

y?2σ+

?1

v

y21

v???y?z?????Fby?Fby?y?

?F?

?1vFbxx2σ

y

+σ

y

+bz

?

2???21

v???y?z?????Fby?Fby?

?F?

?1vFbxx?2bz

?

2??21

v???y?zy?

??????2σ?

FF?

?bx1?2τ

+=

?by+++???xy1

v

x

y+

?

???yx????F

?by??2σ1

v

y

z+

?

??

?1Fbzy2τ

yz

+=

?=

??????z????1

?2σ?

?F?F

?bz2τ

zx

+bx??

??

zx

??

?1

v

z

x+

?

??因此，應(yīng)力法求解彈性力學(xué)問題，歸結(jié)為求滿足3個平衡方程，6個應(yīng)變協(xié)調(diào)方程以及邊界條件的6個應(yīng)力分量。6.3塑性力學(xué)基本方程與求解方法6.3.1基本方程塑性力學(xué)可采用增量理論或全量理論求解，相應(yīng)的基本方程與邊界條件有所不同。平衡方程：dσ

+

dF

=

0增量理論ij,

jbidσij,

jdF為應(yīng)力增量，

為體力增量。bi全量理論

σ

+

F

=

0ij,

jbi6.3塑性力學(xué)基本方程與求解方法幾何方程：1()j,idε

=

du

+

du增量理論iji,

j2dεdu為應(yīng)變增量，

為位移增量。iji1(

)ε

=

u

+

u全量理論iji,jj,i2本構(gòu)方程：d

d

dε

=

ε

e

+

ε

p增量理論ijijijdσ3vdεeij=dij

?

σ

δ其中彈性應(yīng)變增量塑性應(yīng)變增量m

ij2G

E??ε3dε

p

=

λd

d,

dλ

=pij?σij2σs6.3塑性力學(xué)基本方程與邊界條件本構(gòu)方程：3εe

=

s??ij

σ

ij2?全量理論?σE?εm

==m

,

K3K(

?

)3

1

2v

??除上述方程外，塑性力學(xué)問題還需要增加一個屈服條件方程屈服條件方程：(

)?

σ

,ξ

=

0ijα(

)?

σ

,ξ

<

0彈性區(qū)塑性區(qū)ijα(

)?

σ

,ξ

=

0ijα6.3塑性力學(xué)基本方程與邊界條件塑性力學(xué)邊界條件增量理論d

pi=

dσ

n應(yīng)力邊界條件：ijjdui

=

dui位移邊界條件：全量理論P(yáng)

=

σ

n應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：iij

jui

=

ui塑性力學(xué)問題共有16個方程，即3個平衡方程、6個幾何方程、6個本構(gòu)方程，1個屈服條件方程；求解變量也是15個，即3個位移分量、6個應(yīng)變分量、6個應(yīng)力分量，1個塑性參dλ數(shù)

。在給定邊界條件時，問題可解。6.3塑性力學(xué)基本方程與邊界條件6.3.2塑性力學(xué)問題的基本解法對應(yīng)于增量理論和全量理論，塑性力學(xué)問題采用不同的解法。增量理論中塑性力學(xué)問題的提法：已知物體的加載歷史、應(yīng)力場、應(yīng)變場、位移場、加載面方程，以及t

時刻物體上的體力增量、邊界面力增量（給定力邊界）、邊界位移增量（給定位移邊界），求解t

+

Δt時刻的位移場、應(yīng)變場和應(yīng)力場。增量理論對應(yīng)的解法：?σ

=

σ

+

dσ根據(jù)增量理論的平衡方程、幾何方ijijij?t+Δtt程、本構(gòu)方程、屈服條件、邊界條件，?ε

=

ε

+

dε?ij求出t

+

Δt時刻的應(yīng)力增量、應(yīng)變增量、ijijt+Δtt?位移增量，從而獲得此時的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場。u

du=

+ui??iit+Δtt6.3塑性力學(xué)基本方程與邊界條件6.3.2塑性力學(xué)問題的基本解法對應(yīng)于增量理論和全量理論，塑性力學(xué)問題采用不同的解法。全量理論中塑性力學(xué)問題的提法：已知作用于物體上的體力、邊界面力（給定力邊界上）、邊界位移增量（給定位移邊界上）的加載歷史，求解某一時刻物體的應(yīng)力場、應(yīng)變場、位移場。全量理論對應(yīng)的解法：根據(jù)全量理論的平衡方程、幾何方程、本構(gòu)方程、屈服條件、邊界條件，獲得某一時刻的應(yīng)力、應(yīng)變和位移場。實際解法與彈性問題一樣，有位移法、應(yīng)力法兩種基本方法。6.3塑性力學(xué)基本方程與邊界條件6.3.2塑性力學(xué)問題的基本解法全量理論的尹留申彈性解法：?

(

)?

代入位移s

=

2G

1?ω

ε

e??把應(yīng)力應(yīng)變偏量之間的關(guān)系式法平衡方程的推導(dǎo)中，得到ijij(

)(

)λ

+

μ

u

+

μu

+

f

=

2μ

ωej,

jii,

jjiij,

j首先令ω

=

0，上式退化為線彈性方程，求得彈性解；再將彈性解作為第一次近似解，代入式上右端項作為已知量，求解上式，得到二次近似解。重復(fù)以上過程，直到前后兩次近似解的值差別很小，即可認(rèn)為得到彈塑性解。6.4解的唯一性定理

圣維南原理

疊加原理6.4.1解的唯一性定理彈塑性力學(xué)基本方程在給定邊界條件情況下，其解是唯一的。下面在小變形、線彈性條件下來證明。假設(shè)同一彈性力學(xué)問題的存在兩組應(yīng)力解，它們的差為σ*ij=

σ

(1)

?σ

(2)ijij(2)ij,

j(1)ij,

jσ

+

=σ

+

F

=

0F

0由平衡方程得到bibiσ+*ij,j=0（*）11+

v由應(yīng)變協(xié)調(diào)方程得到?2σ*ijσ*=0,

ij（**）(2)ij(1)ijσ

=σ

n

=

Pn

P由邊界條件得到j(luò)ijin

0σ

*

=（***）ij

j6.4解的唯一性定理

圣維南原理

疊加原理6.4.1解的唯一性定理σ

*綜上所述，

滿足無體力、無面力的自然狀態(tài)下的平衡方程ij和邊界條件，此時σ*ij=0所以(1)ij(2)ij*ijσ

?σ

=σ

=

0(1)ij2(

)ijσ

σ即

和

實際上是同一組解，由此說明彈性力學(xué)問題的解是唯一的。6.4解的唯一性定理

圣維南原理

疊加原理6.4.1解的唯一性定理解的唯一性定理可以簡化彈塑性力學(xué)問題的求解，它是逆解法、半逆解法的理論依據(jù)。逆解法：預(yù)先選取一組位移或應(yīng)力函數(shù)，然后驗證其滿足彈塑性基本方程和邊界條件，該組函數(shù)即為問題的解。半逆解法：在所有的未知量中，預(yù)先假設(shè)一部分已知，另一部分則根據(jù)基本方程和邊界條件求出，從而得到全部的未知量解的唯一性定理說明由逆解法、半逆解法得到的解答是彈塑性力學(xué)問題的唯一解。6.4解的唯一性定理

圣維南原理

疊加原理6.4.2圣維南原理作用在彈性體表面局部面積上的力系，如果被同一作用面上的等效力系所代替，只會影響與荷載作用處很近處的應(yīng)力，對荷載較遠(yuǎn)處只有極小的影響。上圖鉗子夾住一根直桿，那么直桿上加上了一組平衡力系，實驗證明，無論作用的力有多大，在A區(qū)域以外的應(yīng)力很小。這一現(xiàn)象可以用圣維南原理來解釋。研究表明，影響區(qū)域的大小，大致與外力作用區(qū)的大小相當(dāng)。6.4解的唯一性定理

圣維南原理

疊加原理6.4.2圣維南原理右圖試驗中，端部施加的既不是集中力，也不是均布力，因此按均布力考慮的受力分析圖與實際情況存在一定的差異。但是根據(jù)圣維南原理，這種差異只會影響作用點附近的應(yīng)力，影響范圍與桿件橫截面的尺寸接近。在上圖中，即使端部應(yīng)力分布不均勻，到距離受力端超過b以后，桿件橫截面上應(yīng)力接近均勻分布。6.4解的唯一性定理

圣維南原理

疊加原理6.4.3疊加原理在彈性力學(xué)中，可以將復(fù)雜荷載作用分解為多個簡單荷載的疊加，復(fù)雜荷載下的彈性力學(xué)解也是簡單荷載單獨作用下解的疊加，這就是疊加原理。(1)ij1(

)(1)biσF疊加原理成立時，如果

是面力P

和體力

作用下的彈性i(2)ij2(

)