【南航-二院】機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)CH1課件

第一章

單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1第一章

單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1研究的起點(diǎn)----單自由度系統(tǒng)的確定振動(dòng)是以后研究復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)。有助于理解實(shí)際工程振動(dòng)問題。很多實(shí)際問題可簡化為單自由度問題。振動(dòng)工程研究所研究的起點(diǎn)----單自由度系統(tǒng)的確定振動(dòng)是以后研究復(fù)雜系統(tǒng)的1.0振動(dòng)的描述

1.0.1

簡諧振動(dòng)的表示三要素：振幅、頻率、相位（概念復(fù)習(xí)）簡諧振動(dòng)的三種表示法三角函數(shù)法振動(dòng)工程研究所注意位移、速度、加速度之間得相位關(guān)系1.0振動(dòng)的描述1.0.1簡諧振動(dòng)的表示振動(dòng)工程研究所復(fù)數(shù)法

振動(dòng)工程研究所旋轉(zhuǎn)向量法（幾何法）——縱軸投影復(fù)數(shù)法振動(dòng)工程研究所旋轉(zhuǎn)向量法（幾何法）——縱軸投影復(fù)數(shù)法的位移、速度、加速度關(guān)系振動(dòng)工程研究所復(fù)數(shù)法的位移、速度、加速度關(guān)系振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所三種表示法的差異三角函數(shù)最直接、最常用。旋轉(zhuǎn)向量法是三角函數(shù)幾何表示，用得不多，直觀。復(fù)數(shù)法與三角函數(shù)是一致的。向Y軸投影取虛部振動(dòng)工程研究所三種表示法的差異三角函數(shù)最直接、最常用。旋轉(zhuǎn)向簡諧振動(dòng)的合成

頻率相同的兩簡諧振動(dòng)合成后仍為簡諧振動(dòng)，且頻率不變。

振動(dòng)工程研究所用復(fù)數(shù)法簡諧振動(dòng)的合成振動(dòng)工程研究所用復(fù)數(shù)法不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成不再是簡諧振動(dòng)周期振動(dòng)(頻率可通約)振動(dòng)工程研究所證明關(guān)鍵整數(shù)倍數(shù)不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成不再是簡諧振動(dòng)振動(dòng)工程研究所證振動(dòng)工程研究所2.調(diào)制信號(hào)——用高頻傳遞低頻信號(hào)兩個(gè)振幅相同，而相位不同、頻率接近且可通約的諧振動(dòng)合成振動(dòng)工程研究所2.調(diào)制信號(hào)——用高頻傳遞低頻信幾個(gè)概念拍:周期振動(dòng)的一種拍頻:注意是拍的節(jié)律,不是包絡(luò)線頻率(差一倍)包絡(luò)線:有兩條振動(dòng)工程研究所幾個(gè)概念拍:周期振動(dòng)的一種振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所兩個(gè)振幅、相位、頻率都不同的諧振動(dòng)合成同振幅諧振動(dòng)的包絡(luò)線通過零點(diǎn)。由兩個(gè)頻率接近的簡諧振動(dòng)合成的拍是一種普遍的物理現(xiàn)象。

振動(dòng)工程研究所兩個(gè)振幅、相位、頻率都不同的諧振動(dòng)合成同振幅諧李沙育（Lissajous）圖振動(dòng)方向相互垂直的簡諧振動(dòng)合成Bowditch（鮑迪奇）在1815年首先研究這一族曲線，Lissajous在1857年作更詳細(xì)研究。振動(dòng)工程研究所李沙育（Lissajous）圖振動(dòng)方向相互垂直的簡諧振動(dòng)合成李沙育圖性質(zhì)如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡單的整數(shù)比，這樣就能合成一個(gè)穩(wěn)定、封閉的曲線圖形。如果這兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率為任意值，那么它們的合成運(yùn)動(dòng)就會(huì)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。振動(dòng)工程研究所李沙育圖性質(zhì)如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡單的整數(shù)比，這樣就能合成一李沙育圖用途示波器觀測頻率與象位的傳統(tǒng)工具用于相位差尋找與判定（教學(xué)）振動(dòng)工程研究所李沙育圖用途示波器觀測頻率與象位的傳統(tǒng)工具振動(dòng)工程研究所1.1單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)的組成三要素：質(zhì)量，剛度，阻尼

必須要素振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:運(yùn)動(dòng)方程（力平衡給出方程）振動(dòng)工程研究所kmcu(t)f(t)1.1單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)的組成振動(dòng)工程研究所km彈性恢復(fù)力與彈簧兩端的相對(duì)位移（變形）成正比，方向相反。彈簧受力有勢能；松弛完全放勢能（無阻尼）。

振動(dòng)工程研究所

fs方程中的彈性項(xiàng)彈性恢復(fù)力與彈簧兩端的相對(duì)位移（變形）成正比，方向相反。振動(dòng)粘性阻尼力與物體在介質(zhì)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向相反。（最簡阻尼形式）振動(dòng)工程研究所方程中的阻尼項(xiàng)粘性阻尼力與物體在介質(zhì)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向相反。（最根據(jù)D’Alembert原理（動(dòng)靜轉(zhuǎn)換），質(zhì)量塊（無變形）提供與外力大小相同、方向相反的慣性力振動(dòng)工程研究所方程中的慣性項(xiàng)根據(jù)D’Alembert原理（動(dòng)靜轉(zhuǎn)換），質(zhì)量塊（無變形）提建模步驟建立坐標(biāo)系

原點(diǎn)為靜止點(diǎn)(靜平衡點(diǎn))

坐標(biāo)正向?yàn)闃?biāo)示外力方向分離體法（材力，結(jié)力）

對(duì)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)明慣性力、彈性力、阻尼力力平衡

達(dá)朗貝爾原理振動(dòng)工程研究所建模步驟建立坐標(biāo)系振動(dòng)工程研究所方程分類單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程——無外激勵(lì)偏離靜平衡初始條件無阻尼自由振動(dòng)方程略去阻尼突出自由振動(dòng)的特點(diǎn)振動(dòng)工程研究所由繁入簡方程分類單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程振動(dòng)工程研究所由繁入簡1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)振動(dòng)工程研究所方程初始條件(定解條件)注意特點(diǎn)二階常系數(shù)齊次方程1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)振動(dòng)工程研究所方程初始條件解的形式與試探解微分方程解=通解（+特解）振動(dòng)工程研究所（1）試探解的提出與代入

單頻、等幅、初始點(diǎn)（2）用初始條件定系數(shù)數(shù)學(xué)理論實(shí)際經(jīng)驗(yàn)解的形式與試探解微分方程解=通解（+特解）振動(dòng)工程研究所（1因?yàn)?故得到有特征方程（以s為變量的代數(shù)方程）特征解（根）為其中為固有圓頻率或固有頻率（固有周期？）

振動(dòng)工程研究所自由振動(dòng)微分方程的特征解因?yàn)?故得到有特征方程振動(dòng)工自由運(yùn)動(dòng)方程的通解可取為:或其中或?yàn)榉e分常數(shù)。由初始條件定。無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所自由運(yùn)動(dòng)方程的通解可取為:振動(dòng)工程研究所無阻尼自由振動(dòng)的時(shí)間域響應(yīng)(時(shí)間歷程)可表達(dá)為或振動(dòng)工程研究所（易記憶）無阻尼自由振動(dòng)的時(shí)間域響應(yīng)(時(shí)間歷程)振動(dòng)工程研究所（易記憶振動(dòng)工程研究所兩個(gè)并聯(lián)彈簧剛度增加,兩個(gè)串聯(lián)彈簧剛度削弱,剛度元件的串并聯(lián)振動(dòng)工程研究所兩個(gè)并聯(lián)彈簧剛度增加,剛度元件的串并聯(lián)振動(dòng)工程研究所例:

升降機(jī)鋼絲繩中最大張力

mk振動(dòng)工程研究所例:升降機(jī)鋼絲繩中最大張力mk振動(dòng)工程研究所解：初始條件

方程固有頻率振幅

由振動(dòng)而引起的鋼絲繩中最大動(dòng)張力為

鋼絲繩中總張力的最大值是

振動(dòng)工程研究所解：初始條件方程1.3等效單自由度系統(tǒng)物理系統(tǒng)多樣數(shù)學(xué)模型唯一(等效性)工程實(shí)際簡化例子

汽車乘員抗顛簸性研究翼尖掛彈環(huán)境研究摩天輪剎車性能研究

振動(dòng)工程研究所1.3等效單自由度系統(tǒng)物理系統(tǒng)多樣擺振動(dòng)系統(tǒng)中不存在彈性元件，恢復(fù)力由擺錘重力提供。(勢能提供者為重力，地球是儲(chǔ)能元件)振動(dòng)工程研究所動(dòng)力矩方程或力矩平衡方程振動(dòng)的幅度很小時(shí)

擺振動(dòng)系統(tǒng)中不存在彈性元件，恢復(fù)力由擺錘重力提供。(勢能提小角度簡化方程為振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率

周期與擺線長關(guān)系

小角度簡化方程為振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率周期與擺線振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的Duffin方程

周期誤差與角度關(guān)系

大角度簡化方法振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的Duffin方程周期誤差與角度關(guān)系剛體擺質(zhì)量為m，質(zhì)心C距鉸中心O距離為l

振動(dòng)工程研究所繞固定鉸使用動(dòng)量矩定理

考慮小角度條件固有頻率及固有周期

剛體擺質(zhì)量為m，質(zhì)心C距鉸中心O距離為l振動(dòng)工程研究所繞固與材料力學(xué)聯(lián)系單自由度扭振振動(dòng)工程研究所假定盤和軸都為均質(zhì)體，不考慮軸的質(zhì)量。設(shè)扭矩作用在盤面，此時(shí)圓盤產(chǎn)生一角位移，其中定義軸的扭轉(zhuǎn)剛度為

與材料力學(xué)聯(lián)系單自由度扭振振動(dòng)工程研究所假定盤和軸都為均質(zhì)體扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率

振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的自由振動(dòng)響應(yīng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)梁橫向振動(dòng)

例：簡支梁的橫向振動(dòng)，假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在梁的中部，取梁的中部撓度作為系統(tǒng)的位移，靜態(tài)撓度：振動(dòng)工程研究所等效剛度梁橫向振動(dòng)例：簡支梁的橫向振動(dòng)，假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為

振動(dòng)工程研究所振動(dòng)固有頻率

懸臂梁、固支梁情況類似，關(guān)鍵在于確定自由度與給出等效剛度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為振動(dòng)工程研究所振動(dòng)固有頻率懸臂梁、固支*用能量法確定固有頻率

振動(dòng)工程研究所根據(jù)機(jī)械能守恒條件可得

固有振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其位移和速度分別為

（一種簡單方法，也可發(fā)展用于近似求多自由度系統(tǒng)固有特性）*用能量法確定固有頻率振動(dòng)工程研究所根據(jù)機(jī)械能守恒條件可得振動(dòng)工程研究所右端稱作Rayleigh商，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法其中參考動(dòng)能：參考動(dòng)能求法：將最大動(dòng)能中的速度項(xiàng)換成位移項(xiàng)既成參考動(dòng)能。振動(dòng)工程研究所右端稱作Rayleigh商，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的振動(dòng)工程研究所半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體在半徑為R的內(nèi)圓柱面上繞最低點(diǎn)作純滾動(dòng)，試求其微振動(dòng)的固有頻率。例

圓柱體的微振動(dòng)解：設(shè)圓柱體作純滾動(dòng)，圓柱體的動(dòng)能是

重力勢能為

由Rayleigh商得系統(tǒng)固有頻率為

關(guān)鍵是確定便于建模的獨(dú)立自由度，簡化三角函數(shù)振動(dòng)工程研究所半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體在半徑為R的內(nèi)圓柱面*彈性元件的分布質(zhì)量及其簡化（1）假設(shè)速度分布（2）計(jì)算分布質(zhì)量動(dòng)能（3）根據(jù)動(dòng)能相等計(jì)算等效集中質(zhì)量振動(dòng)工程研究所例：一端固定彈簧，以自由端為分析自由度彈簧上距固定端x處點(diǎn)的位移：微段彈簧質(zhì)量：動(dòng)能：*彈性元件的分布質(zhì)量及其簡化（1）假設(shè)速度分布振動(dòng)工程研究振動(dòng)工程研究所等效質(zhì)量：振動(dòng)工程研究所等效質(zhì)量：無阻尼單自由度系統(tǒng)求解目的求固有特性（固有頻率，周期）（主要目的）研究極小阻尼下響應(yīng)（自由振動(dòng)響應(yīng)最值）振動(dòng)工程研究所無阻尼單自由度系統(tǒng)求解目的求固有特性（固有頻率，周期）振動(dòng)工1.4粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所求解初值問題：

它的解具有如下形式非平凡解特征方程含阻尼元件：線性阻尼無外激勵(lì)平凡解1.4粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所求振動(dòng)工程研究所解出一對(duì)特征根阻尼比定義固有頻率阻尼比不同，解形式不同。振動(dòng)工程研究所解出一對(duì)特征根阻尼比定義固有頻率阻尼比不同，解振動(dòng)工程研究所（1）過阻尼情況，特征根是一對(duì)互異實(shí)根

引入初始條件積分常數(shù)振動(dòng)工程研究所（1）過阻尼情況，特征根是一對(duì)互異實(shí)根引入初振動(dòng)工程研究所指數(shù)衰減振動(dòng)工程研究所指數(shù)衰減振動(dòng)工程研究所（2）臨界阻尼情況，特征根是一對(duì)相等的實(shí)根引入初始條件積分常數(shù)振動(dòng)工程研究所（2）臨界阻尼情況，特征根是一對(duì)相等的實(shí)根引振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所（3）欠阻尼情況（）,

這時(shí)特征根是一對(duì)共軛復(fù)根通解是:

（最主要）振動(dòng)工程研究所（3）欠阻尼情況（）,這時(shí)特征振動(dòng)工程研究所自然頻率（阻尼振動(dòng)頻率）引入初始條件積分常數(shù)參數(shù)與量綱振動(dòng)工程研究所自然頻率（阻尼振動(dòng)頻率）引入初始條件積分常數(shù)參振動(dòng)工程研究所通解形式初始位移引起的振動(dòng)初始速度引起的振動(dòng)解的迭加性振動(dòng)工程研究所通解形式初始位移引起的振動(dòng)初始速度引起的振動(dòng)解振動(dòng)工程研究所粘性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)解的另一形式由初始條件決定包絡(luò)線振動(dòng)工程研究所粘性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)解的另一形式由初始條振動(dòng)工程研究所欠阻尼系統(tǒng)振動(dòng)特性（1）自由振動(dòng)振幅按指數(shù)規(guī)律衰減（2）非周期振動(dòng)：振幅不同但有等時(shí)性。周期概念——自然周期（阻尼固有周期）概念振動(dòng)工程研究所欠阻尼系統(tǒng)振動(dòng)特性（1）自由振動(dòng)振幅按指數(shù)規(guī)律振動(dòng)工程研究所（3）阻尼比的影響關(guān)系：（4）振幅對(duì)數(shù)衰減率：經(jīng)過一個(gè)自然周期的振幅之比的自然對(duì)數(shù)。（5）由振幅對(duì)數(shù)衰減率求阻尼比（逆問題）工程性振動(dòng)工程研究所（3）阻尼比的影響關(guān)系：（4）振幅對(duì)數(shù)衰減率：振動(dòng)工程研究所阻尼比與解的關(guān)系簡諧振動(dòng)過阻尼衰減振動(dòng)工程研究所阻尼比與解的關(guān)系簡諧振動(dòng)過阻尼衰減小結(jié)數(shù)學(xué)模型建立特征解（動(dòng)特性）……固有……自然初始條件下響應(yīng)振動(dòng)工程研究所（沖擊響應(yīng)）（初始變形）小結(jié)數(shù)學(xué)模型建立振動(dòng)工程研究所（沖擊響應(yīng)）（初始變形）1.5簡諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

無阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)

或振動(dòng)工程研究所力激勵(lì)位移激勵(lì)1.5.1簡諧力激勵(lì)下受迫振動(dòng)的解1.5簡諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)振動(dòng)工程研究所(1)當(dāng)時(shí)特解形式為解的特性討論（試探解）強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)（非齊次方程解）由兩部分組成通解（自由振動(dòng)）特解（強(qiáng)迫振動(dòng)）振動(dòng)工程研究所(1)當(dāng)時(shí)特振動(dòng)工程研究所積分常數(shù)由初始條件決定。(2)當(dāng)時(shí),方程(1.5.1)的特解具有如下形式代入方程振動(dòng)工程研究所積分常數(shù)由初始條件決定。(2)當(dāng)振動(dòng)工程研究所運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)榉e分常數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)位移響應(yīng)中最后一部分隨時(shí)間增加趨于無窮，這是激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率相等時(shí)的共振現(xiàn)象。

（……超諧共振，亞諧共振）振動(dòng)工程研究所運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)榉e分常數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)位移響應(yīng)中最后振動(dòng)工程研究所線性阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程阻尼自由振動(dòng)通解強(qiáng)迫振動(dòng)特解（注意相位變化）振動(dòng)工程研究所線性阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程阻尼自由振動(dòng)工程研究所阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解為

（1）三角方程常利用待定系數(shù)法求解（2）運(yùn)用技巧較多振動(dòng)工程研究所阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解為（1）三角方程常利振動(dòng)工程研究所其中積分常數(shù)可由初始條件確定，它們是積分常數(shù)與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)；也與激振頻率有關(guān)。振動(dòng)工程研究所其中積分常數(shù)可由初始條件確定，它們是積分常數(shù)振動(dòng)工程研究所響應(yīng)由兩部分組成：a.第一部分類似于粘性阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，其幅值隨時(shí)間增長而衰減。初始條件響應(yīng)部分。

振動(dòng)工程研究所響應(yīng)由兩部分組成：振動(dòng)工程研究所b.第二部分響應(yīng)如圖1.5.1中細(xì)實(shí)線所示。它是簡諧力引起的簡諧振動(dòng)，其幅值是常數(shù)，不因阻尼而衰減，故稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)部分。

系統(tǒng)的完整受迫振動(dòng)由上述兩部分疊加而成。

在時(shí)間歷程上，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)分為兩個(gè)階段：

由給定的初始條件出發(fā)，系統(tǒng)振動(dòng)由自由衰減振動(dòng)響應(yīng)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)相疊加，呈現(xiàn)較為復(fù)雜的波形。隨著時(shí)間增長，自由衰減振動(dòng)響應(yīng)趨于零，而強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)成為主要成分。這個(gè)階段稱為過渡過程。過渡過程只經(jīng)歷一個(gè)不長的時(shí)間，阻尼越大，過渡過程持續(xù)的時(shí)間越短。經(jīng)過一段時(shí)間后，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)將以強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)為主，這一階段稱作穩(wěn)態(tài)過程。只要有激振力作用，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)將一直持續(xù)下去。振動(dòng)工程研究所b.第二部分響應(yīng)如圖1.5.1中細(xì)實(shí)線所示。振動(dòng)工程研究所1.5.2阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)

無量綱化激勵(lì)頻率,（便于觀察比較和使用）過渡過程很短暫，在實(shí)踐中主要關(guān)心系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

振幅放大系數(shù)（相對(duì)振幅）振動(dòng)工程研究所1.5.2阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)無量綱化激勵(lì)振動(dòng)工程研究所位移幅頻特性曲線位移相頻特性曲線振動(dòng)工程研究所位移幅頻特性曲線位移相頻特性曲線振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)速度函數(shù)描述速度振幅速度相位差速度振幅放大系數(shù)人為定義概念并選擇ωn振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)速度函數(shù)描述速度振幅速度振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加速度函數(shù)描述加速度振幅加速度相位差加速度振幅放大系數(shù)人為定義概念并選擇ωn振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加速度函數(shù)描述加速度振幅振動(dòng)工程研究所速度幅頻特性曲線

加速度幅頻特性曲線

振動(dòng)工程研究所速度幅頻特性曲線加速度幅頻特性曲線振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性低頻段（1）（2）（3）彈性占優(yōu)振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性低頻段（1）（2）（3）彈性占振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（續(xù)）高頻段（1）（2）（3）慣性占優(yōu)振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（續(xù)）高頻段（1）（2）（3）振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（共振）位移共振速度共振加速度共振共振頻率阻尼特性占優(yōu)阻尼力等于激勵(lì)相位共振振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（共振）位移共振速度共振加速度振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)（共振放大系數(shù)表示阻尼的又一參量）定義：共振區(qū)放大系數(shù)大于峰值處半功率點(diǎn)半功率帶寬振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)（共振放大系數(shù)表示阻尼的又一參量）振動(dòng)工程研究所共振的過渡過程

共振區(qū)及其半功率帶

STOP振動(dòng)工程研究所共振的過渡過程共振區(qū)及其半功率帶STOP例：旋轉(zhuǎn)部件偏心質(zhì)量引起的振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所例：旋轉(zhuǎn)部件偏心質(zhì)量引起的振動(dòng)振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所化為簡諧強(qiáng)迫振動(dòng)形式穩(wěn)態(tài)位移的幅值和相位分別為

穩(wěn)態(tài)位移幅值化為無量綱形式

其位移幅頻特性曲線與常幅值簡諧力激勵(lì)系統(tǒng)的加速度幅頻特性曲線相同

對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速

分母不是靜變形振動(dòng)工程研究所化為簡諧強(qiáng)迫振動(dòng)形式穩(wěn)態(tài)位移的幅值和相位分別為例：單盤轉(zhuǎn)子的弓形回旋振動(dòng)工程研究所圖1.5.8作同步弓形回旋的單盤轉(zhuǎn)子

選擇自由度：C點(diǎn)在ODC平面內(nèi)正交運(yùn)動(dòng)的自由度例：單盤轉(zhuǎn)子的弓形回旋振動(dòng)工程研究所圖1.5.8作同步弓形振動(dòng)工程研究所兩個(gè)互相獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

軸的動(dòng)撓度（即形心D的運(yùn)動(dòng)）軌跡是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的圓

注意振動(dòng)工程研究所兩個(gè)互相獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為軸的動(dòng)振動(dòng)工程研究所動(dòng)撓度與偏心距的比值可表示為如下無量綱形式

它也等于常幅值簡諧力激勵(lì)系統(tǒng)的加速度放大系數(shù)

轉(zhuǎn)子的共振動(dòng)撓度為：若阻尼比較小，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好（e很?。瑒?dòng)撓度r也會(huì)相當(dāng)大。這個(gè)轉(zhuǎn)速稱為單盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速剛性轉(zhuǎn)子柔性轉(zhuǎn)子振動(dòng)工程研究所動(dòng)撓度與偏心距的比值可表示為如下無量綱形式振動(dòng)工程研究所1.6基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

1.6.1振動(dòng)方程

振動(dòng)工程研究所1.6基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)1.6.1振動(dòng)工程研究所變量替換相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（以質(zhì)量塊與基礎(chǔ)距離改變?yōu)樽杂啥龋┙^對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（以質(zhì)量塊位移為自由度）振動(dòng)工程研究所變量替換相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（以質(zhì)量塊與基礎(chǔ)距離改變?yōu)檎駝?dòng)工程研究所采用正弦函數(shù)描述基礎(chǔ)簡諧運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可寫為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（特解）具有以下形式1.6.2穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為激勵(lì)初相位（與響應(yīng)幅值無關(guān)）振動(dòng)工程研究所采用正弦函數(shù)描述基礎(chǔ)簡諧運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可寫振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率定義為：解參數(shù)為：另一種形式：振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率定義為：解參數(shù)為：另一種形式：振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率的頻率特性

幅頻相頻振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率的頻率特性幅頻相頻振動(dòng)工程研究所（1）在低頻段（）系統(tǒng)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)接近于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)，它們之間基本上沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。（2）在共振頻段（）附近，有峰值；說明基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過彈簧和阻尼器后被放大傳遞到質(zhì)量塊。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞特性（3）幅頻特性曲線都在時(shí)通過。（4）在高頻段（），；說明基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)被彈簧和阻尼器隔離振動(dòng)工程研究所（1）在低頻段（振動(dòng)工程研究所相對(duì)運(yùn)動(dòng)解參數(shù)無量綱化相對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率振動(dòng)工程研究所相對(duì)運(yùn)動(dòng)解參數(shù)無量綱化相對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率振動(dòng)工程研究所1.7振動(dòng)的隔離

隔離振動(dòng)（簡稱隔振）就是研究物體之間振動(dòng)的傳遞關(guān)系，減小相互間所傳遞的振動(dòng)量。

第一類:隔力：通過彈性支撐來隔離振源傳到基礎(chǔ)的力（發(fā)動(dòng)機(jī)減振安裝）

第二類:隔幅：通過彈性支撐減小基礎(chǔ)傳到設(shè)備的振動(dòng)幅值（儀表環(huán)境改善）

振動(dòng)工程研究所1.7振動(dòng)的隔離隔離振動(dòng)（簡稱隔振）就振動(dòng)工程研究所1.7.1第一類隔振隔振器傳到剛性地基的彈性力和阻尼力

將經(jīng)過隔振器傳到基礎(chǔ)的力幅與激勵(lì)幅值之比定義為力傳遞率

二者相位差，其合力的幅值為

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)有隔力效果。振動(dòng)工程研究所1.7.1第一類隔振隔振器傳到剛性地基的彈性力振動(dòng)工程研究所1.7.2第二類隔振基礎(chǔ)作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率已由下式給出。顯然，只有當(dāng)時(shí)，,隔振器才有效果。

隔振器的剛度系數(shù)k應(yīng)滿足

阻尼越小傳遞率越低，隔振效果越好。但為了減少系統(tǒng)通過共振區(qū)時(shí)的振幅，必須為隔振器配置適當(dāng)?shù)淖枘帷?/p>

由于阻尼一般很小，或在高頻段可近似為

振動(dòng)工程研究所1.7.2第二類隔振基礎(chǔ)作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的絕振動(dòng)工程研究所例1.7.1

某直升機(jī)在旋翼額定轉(zhuǎn)速360rpm時(shí)機(jī)身強(qiáng)烈振動(dòng)，為使直升機(jī)上某電子設(shè)備的隔振效果達(dá)到，試求隔振器彈簧的在設(shè)備自重下的靜變形。解：記隔振器彈簧在設(shè)備自重作用下的靜變形為，由虎克定律變化放大系數(shù)簡化式為可見，低頻隔振器的彈簧必須很柔軟。柔軟彈簧帶來的問題一是隔振系統(tǒng)要有足夠大的靜變形空間，二是側(cè)向穩(wěn)定性差。因此，隔離低頻振動(dòng)是工程實(shí)踐中的難題。

綜合上兩式得到靜力學(xué)方法測動(dòng)特性，動(dòng)力學(xué)方法測靜力特性振動(dòng)工程研究所例1.7.1某直升機(jī)在旋翼額定轉(zhuǎn)速360rp幾種常用減振方法改變特性變剛度，質(zhì)量隔振：降低剛度，增加質(zhì)量變阻尼減振：加阻尼改變系統(tǒng)構(gòu)成吸振器，阻尼器，附加結(jié)構(gòu)振動(dòng)工程研究所幾種常用減振方法改變特性振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所1.8等效線性粘性阻尼

1.8.1阻尼的等效

一般阻尼動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)上式右端第一項(xiàng)為阻尼力。若系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)則阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)消耗的能量：阻尼力在微位移區(qū)間du上所做的功為：亦與位移有關(guān)周期內(nèi)阻尼作用等效振動(dòng)工程研究所1.8等效線性粘性阻尼1.8.1阻尼的等振動(dòng)工程研究所將上述阻尼力等效為粘性阻尼等效粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)所做的負(fù)功令等效粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)所做的負(fù)功與真實(shí)阻尼的相等：得等效粘性阻尼比若等效粘性阻尼比較大，應(yīng)檢查簡化條件！振動(dòng)工程研究所將上述阻尼力等效為粘性阻尼等效粘性阻尼在一個(gè)周振動(dòng)工程研究所損耗因子定義：系統(tǒng)阻尼在每個(gè)振動(dòng)周期中所耗能量與系統(tǒng)最大彈性勢能之比，再除以

。等效粘性阻尼系數(shù)和損耗因子之間的關(guān)系為

對(duì)比振動(dòng)工程研究所損耗因子定義：系統(tǒng)阻尼在每個(gè)振動(dòng)周期中所耗能量振動(dòng)工程研究所1.8.2幾種阻尼的等效實(shí)例

低粘度流體阻尼Coulomb干摩擦阻尼

振動(dòng)工程研究所1.8.2幾種阻尼的等效實(shí)例低粘度流體阻振動(dòng)工程研究所

結(jié)構(gòu)阻尼

（遲滯阻尼）

是一常數(shù)，稱為遲滯阻尼系數(shù)

損耗因子為：

等效粘性阻尼系數(shù)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)微分方程復(fù)描述損耗因子非頻變振動(dòng)工程研究所結(jié)構(gòu)阻尼（遲滯阻尼）是一常數(shù)，稱為遲振動(dòng)工程研究所剛度表達(dá)式：粘性阻尼亦可等效為結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子頻變復(fù)剛度的準(zhǔn)確（頻域）表達(dá)方式：粘彈性材料的復(fù)模量頻域表達(dá)式：振動(dòng)工程研究所剛度表達(dá)式：粘性阻尼亦可等效為結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子振動(dòng)工程研究所復(fù)剛度描述下的簡諧振動(dòng)穩(wěn)態(tài)解動(dòng)力學(xué)方程代入試探解得穩(wěn)態(tài)解位移放大系數(shù)振動(dòng)工程研究所復(fù)剛度描述下的簡諧振動(dòng)穩(wěn)態(tài)解動(dòng)力學(xué)方程代入試探振動(dòng)工程研究所方程：無阻尼－－有阻尼激勵(lì)：單頻－－多頻－－無限頻率自由度：單－－多－－無限研究進(jìn)展圖振動(dòng)工程研究所方程：無阻尼－－有阻尼激勵(lì)：單頻－－多頻－－無振動(dòng)工程研究所1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析

將周期激勵(lì)作Fourier展開，得到一系列簡諧激勵(lì)的線性組合，分別求解簡諧激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)，然后根據(jù)線性疊加原理進(jìn)行疊加，得到整個(gè)響應(yīng)。

解決問題的思路

問題及方程振動(dòng)工程研究所1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析將周期激勵(lì)作Fo振動(dòng)工程研究所周期函數(shù)滿足一定條件后可展開為Fourier級(jí)數(shù)1.9.1周期（激勵(lì)）函數(shù)的付氏級(jí)數(shù)展開

振動(dòng)工程研究所周期函數(shù)滿足一定條件后可展開為Fourier級(jí)各諧分量的系數(shù)為該分量的譜振動(dòng)工程研究所周期振動(dòng)：離散譜各諧分量的系數(shù)為該分量的譜振動(dòng)工程研究所周期振動(dòng)：離散譜復(fù)數(shù)表示振動(dòng)工程研究所利用得到歐拉公式雙邊頻譜復(fù)數(shù)表示振動(dòng)工程研究所利用得到歐拉公式雙邊頻譜幾個(gè)概念與思考振動(dòng)工程研究所振動(dòng)是在實(shí)數(shù)域內(nèi)的，為什么可用復(fù)數(shù)表達(dá)？基頻r階諧波頻譜圖：幅頻、相頻階數(shù)是否總有無限多項(xiàng)為什么單邊頻譜幅值是雙邊的二倍幾個(gè)概念與思考振動(dòng)工程研究所振動(dòng)是在實(shí)數(shù)域內(nèi)的，為什么可用基諧波逼近振動(dòng)工程研究所對(duì)矩形波的諧波逼近?諧波分量幅值與階次成反比（思考意義）諧波逼近振動(dòng)工程研究所對(duì)矩形波的諧波逼近?諧波分量幅值與階次長（無限）周期的譜分析（周期無限的諧波分析）諧波分析-譜分析F級(jí)數(shù)-F變換周期變大-圓頻率變小譜線連續(xù)振動(dòng)工程研究所長（無限）周期的譜分析（周期無限的諧波分析）振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所變量代數(shù)變換代入振動(dòng)工程研究所變量代數(shù)變換代入計(jì)算機(jī)計(jì)算方法軟件：VC，VB函數(shù)；MATLAB；MATHCAD；MAPLE名稱：FFTDFT

結(jié)果：(幅值，相位）

(實(shí)部，虛部）六十年代發(fā)現(xiàn)之后對(duì)信息、電子、通訊作用巨大振動(dòng)工程研究所計(jì)算機(jī)計(jì)算方法軟件：VC，VB函數(shù)；MATLAB；MA振動(dòng)工程研究所由于線性系統(tǒng)解的線性迭加性，解應(yīng)為各頻率分量激勵(lì)對(duì)應(yīng)解的和

穩(wěn)態(tài)解：1.9.2周期激勵(lì)受迫振動(dòng)響應(yīng)振動(dòng)工程研究所由于線性系統(tǒng)解的線性迭加性，解應(yīng)為各頻率分量激振動(dòng)工程研究所或振動(dòng)工程研究所或振動(dòng)工程研究所周期力作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性：

a.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是周期振動(dòng)，其周期等于激振力的周期b.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)由激振力的各次諧波分量分別作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加而成。c.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中，頻率最靠近固有頻率的諧波最大，在響應(yīng)中占主要成分；頻率遠(yuǎn)離固有頻率的諧波很小，在響應(yīng)中占次要成分。換言之，系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)濾波器，放大了靠近固有頻率的激勵(lì)諧波分量，而抑制了遠(yuǎn)離固有頻率的激勵(lì)諧波分量的響應(yīng)。振動(dòng)工程研究所周期力作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性：a.系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)解法1、求通解形式2、求穩(wěn)態(tài)特解和式3、通解＋特解4、代入初始條件，得通解系數(shù)。振動(dòng)工程研究所瞬態(tài)響應(yīng)解法1、求通解形式振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所1.10一般（瞬態(tài)）激勵(lì)下的振動(dòng)分析

其中是一個(gè)任意函數(shù)。求解思路：先把一般激勵(lì)分解為一系列簡單激勵(lì)的線性組合，然后求出各簡單激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)，再運(yùn)用線性系統(tǒng)響應(yīng)的可疊加性獲得一般激勵(lì)引起的響應(yīng)。

問題及方程振動(dòng)工程研究所1.10一般（瞬態(tài)）激勵(lì)下的振動(dòng)分析其中1.10.1Fourier變換法

對(duì)一般激勵(lì)進(jìn)行分解的一種直觀方法是將其分解為無限多簡諧激勵(lì)之和

振動(dòng)工程研究所F氏變換(無窮大周期F級(jí)數(shù)展開)式中激勵(lì)頻域分布周期激勵(lì)擴(kuò)展1.10.1Fourier變換法對(duì)一般激勵(lì)進(jìn)行分解的振動(dòng)工程研究所頻域響應(yīng)解(位移)頻響函數(shù)重要概念單位簡諧力引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移，又稱作動(dòng)柔度

(1)是系統(tǒng)輸出與輸入的Fourier變換之比，與激勵(lì)幅值大小無關(guān)，與系統(tǒng)初始條件無關(guān)。(2)完整地包含了系統(tǒng)的動(dòng)特性信息。測試?yán)碚摴秸駝?dòng)工程研究所頻域響應(yīng)解(位移)頻響函數(shù)重要概念單位簡諧力引振動(dòng)工程研究所頻響函數(shù)與放大系數(shù)關(guān)系頻響函數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)域意義單位脈沖響應(yīng)與頻響函數(shù)互為F氏變換時(shí)域解的兩種解法振動(dòng)工程研究所頻響函數(shù)與放大系數(shù)關(guān)系頻響函數(shù)對(duì)應(yīng)的時(shí)域意義單1.10.2Laplace變換法

L氏變換定義振動(dòng)工程研究所RZZR一般不作直接計(jì)算式1.10.2Laplace變換法L氏變換定義振動(dòng)工程研究振動(dòng)工程研究所動(dòng)力學(xué)方程與L氏域解（與初始條件有關(guān)）零初始條件振動(dòng)工程研究所動(dòng)力學(xué)方程與L氏域解（與初始條件有關(guān)）零初始條振動(dòng)工程研究所Laplace逆變換得傳遞函數(shù)定義定義系統(tǒng)位移（輸出量）的Laplace變換與激振力（輸入量）的Laplace變換之比為傳遞函數(shù)

振動(dòng)工程研究所Laplace逆變換得傳遞函數(shù)定義定義系統(tǒng)位移振動(dòng)工程研究所傳遞函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)Laplace變換對(duì)

傳遞函數(shù)與頻響函數(shù)關(guān)系頻率域是s域的特款，而頻響函數(shù)是傳遞函數(shù)的特款。

振動(dòng)工程研究所傳遞函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)Laplace變換振動(dòng)工程研究所1.10.3單位脈沖響應(yīng)法

矩形波（1）單位脈沖函數(shù)（Dirac)及其性質(zhì)

積分性質(zhì)(定義)取極限脈沖函數(shù)演化單位性振動(dòng)工程研究所1.10.3單位脈沖響應(yīng)法矩形波（1）單位脈振動(dòng)工程研究所度量性（象尺一樣量出各時(shí)刻的函數(shù)值）（2）脈沖載荷及其響應(yīng)

理想脈沖力：作用時(shí)間極短，幅值極大，但沖量有限。脈沖載荷定義：單位脈沖力：沖量—速度變換：沖量沖量定理振動(dòng)工程研究所度量性（象尺一樣量出各時(shí)刻的函振動(dòng)工程研究所當(dāng)脈沖在作用時(shí)，響應(yīng)延遲為當(dāng)沖量I=1,單位脈沖響應(yīng)(阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)解)系統(tǒng)進(jìn)行初始條件如下的自由振動(dòng)。專用h(t)表示t時(shí)刻單位原點(diǎn)脈沖激勵(lì)的響應(yīng)

相當(dāng)于y軸前移振動(dòng)工程研究所當(dāng)脈沖在作用時(shí)，響應(yīng)振動(dòng)工程研究所（3）Duhamel積分（脈沖激勵(lì)響應(yīng)的線性疊加）

線性系統(tǒng)數(shù)乘特性線性系統(tǒng)疊加特性可改寫成振動(dòng)工程研究所（3）Duhamel積分（脈沖激勵(lì)響應(yīng)的線性振動(dòng)工程研究所例：

試求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在如下單位階躍力作用下的響應(yīng)。

解：考慮阻尼的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及初始條件可寫為系統(tǒng)響應(yīng)可由上述Duhamel積分求得，或用坐標(biāo)變換得到坐標(biāo)變換（實(shí)際位移—靜變形）方程變?yōu)檎駝?dòng)工程研究所例：試求初始靜止的單自由度系統(tǒng)在如下單位階躍振動(dòng)工程研究所單位階躍響應(yīng)

響應(yīng)為阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)解專用g(t)表示t時(shí)刻單位原點(diǎn)階躍激勵(lì)的響應(yīng)

振動(dòng)工程研究所單位階躍響應(yīng)響應(yīng)為阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)解專用g振動(dòng)工程研究所單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)在新平衡位置的自由振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所單位階躍響應(yīng)是系統(tǒng)在新平衡位置的自由振動(dòng)振動(dòng)工程研究所單位脈沖力與單位階躍力有如下關(guān)系

單位脈沖響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)也有類似關(guān)系

（4）非零初始條件與激勵(lì)聯(lián)合激發(fā)的響應(yīng)

或無阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)：

振動(dòng)工程研究所單位脈沖力與單位階躍力有如下關(guān)系單位脈沖響應(yīng)振動(dòng)工程研究所階躍分解法

對(duì)激勵(lì)作分解的第二種直觀方法是將其視作一系列階躍激勵(lì)的疊加，系統(tǒng)響應(yīng)將等于各個(gè)階躍激勵(lì)響應(yīng)的疊加。

應(yīng)用Duhamel積分

振動(dòng)工程研究所階躍分解法對(duì)激勵(lì)作分解的第二種直觀方法是將其振動(dòng)工程研究所例：零初始條件下無阻尼系統(tǒng)在受如下矩形脈沖力作用的響應(yīng)。

解：此時(shí)有、，故STOP推廣至i個(gè)跳躍點(diǎn)振動(dòng)工程研究所例：零初始條件下無阻尼系統(tǒng)在受如下矩形脈沖力作受迫振動(dòng)分析方法匯總時(shí)域脈沖（階躍）響應(yīng)法h(t)g(t)頻域F氏變換法頻響函數(shù)H(w)L氏域L氏變換法傳遞函數(shù)振動(dòng)工程研究所受迫振動(dòng)分析方法匯總時(shí)域脈沖（階躍）響應(yīng)法h(t)g(結(jié)束第一章134結(jié)束第一章134第一章

單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)135第一章

單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)1研究的起點(diǎn)----單自由度系統(tǒng)的確定振動(dòng)是以后研究復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)。有助于理解實(shí)際工程振動(dòng)問題。很多實(shí)際問題可簡化為單自由度問題。振動(dòng)工程研究所研究的起點(diǎn)----單自由度系統(tǒng)的確定振動(dòng)是以后研究復(fù)雜系統(tǒng)的1.0振動(dòng)的描述

1.0.1

簡諧振動(dòng)的表示三要素：振幅、頻率、相位（概念復(fù)習(xí)）簡諧振動(dòng)的三種表示法三角函數(shù)法振動(dòng)工程研究所注意位移、速度、加速度之間得相位關(guān)系1.0振動(dòng)的描述1.0.1簡諧振動(dòng)的表示振動(dòng)工程研究所復(fù)數(shù)法

振動(dòng)工程研究所旋轉(zhuǎn)向量法（幾何法）——縱軸投影復(fù)數(shù)法振動(dòng)工程研究所旋轉(zhuǎn)向量法（幾何法）——縱軸投影復(fù)數(shù)法的位移、速度、加速度關(guān)系振動(dòng)工程研究所復(fù)數(shù)法的位移、速度、加速度關(guān)系振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所三種表示法的差異三角函數(shù)最直接、最常用。旋轉(zhuǎn)向量法是三角函數(shù)幾何表示，用得不多，直觀。復(fù)數(shù)法與三角函數(shù)是一致的。向Y軸投影取虛部振動(dòng)工程研究所三種表示法的差異三角函數(shù)最直接、最常用。旋轉(zhuǎn)向簡諧振動(dòng)的合成

頻率相同的兩簡諧振動(dòng)合成后仍為簡諧振動(dòng)，且頻率不變。

振動(dòng)工程研究所用復(fù)數(shù)法簡諧振動(dòng)的合成振動(dòng)工程研究所用復(fù)數(shù)法不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成不再是簡諧振動(dòng)周期振動(dòng)(頻率可通約)振動(dòng)工程研究所證明關(guān)鍵整數(shù)倍數(shù)不同頻率的簡諧振動(dòng)的合成不再是簡諧振動(dòng)振動(dòng)工程研究所證振動(dòng)工程研究所2.調(diào)制信號(hào)——用高頻傳遞低頻信號(hào)兩個(gè)振幅相同，而相位不同、頻率接近且可通約的諧振動(dòng)合成振動(dòng)工程研究所2.調(diào)制信號(hào)——用高頻傳遞低頻信幾個(gè)概念拍:周期振動(dòng)的一種拍頻:注意是拍的節(jié)律,不是包絡(luò)線頻率(差一倍)包絡(luò)線:有兩條振動(dòng)工程研究所幾個(gè)概念拍:周期振動(dòng)的一種振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所兩個(gè)振幅、相位、頻率都不同的諧振動(dòng)合成同振幅諧振動(dòng)的包絡(luò)線通過零點(diǎn)。由兩個(gè)頻率接近的簡諧振動(dòng)合成的拍是一種普遍的物理現(xiàn)象。

振動(dòng)工程研究所兩個(gè)振幅、相位、頻率都不同的諧振動(dòng)合成同振幅諧李沙育（Lissajous）圖振動(dòng)方向相互垂直的簡諧振動(dòng)合成Bowditch（鮑迪奇）在1815年首先研究這一族曲線，Lissajous在1857年作更詳細(xì)研究。振動(dòng)工程研究所李沙育（Lissajous）圖振動(dòng)方向相互垂直的簡諧振動(dòng)合成李沙育圖性質(zhì)如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡單的整數(shù)比，這樣就能合成一個(gè)穩(wěn)定、封閉的曲線圖形。如果這兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)的頻率為任意值，那么它們的合成運(yùn)動(dòng)就會(huì)比較復(fù)雜，而且軌跡是不穩(wěn)定的。振動(dòng)工程研究所李沙育圖性質(zhì)如果兩個(gè)振動(dòng)的頻率成簡單的整數(shù)比，這樣就能合成一李沙育圖用途示波器觀測頻率與象位的傳統(tǒng)工具用于相位差尋找與判定（教學(xué)）振動(dòng)工程研究所李沙育圖用途示波器觀測頻率與象位的傳統(tǒng)工具振動(dòng)工程研究所1.1單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)的組成三要素：質(zhì)量，剛度，阻尼

必須要素振動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:運(yùn)動(dòng)方程（力平衡給出方程）振動(dòng)工程研究所kmcu(t)f(t)1.1單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程振動(dòng)系統(tǒng)的組成振動(dòng)工程研究所km彈性恢復(fù)力與彈簧兩端的相對(duì)位移（變形）成正比，方向相反。彈簧受力有勢能；松弛完全放勢能（無阻尼）。

振動(dòng)工程研究所

fs方程中的彈性項(xiàng)彈性恢復(fù)力與彈簧兩端的相對(duì)位移（變形）成正比，方向相反。振動(dòng)粘性阻尼力與物體在介質(zhì)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向相反。（最簡阻尼形式）振動(dòng)工程研究所方程中的阻尼項(xiàng)粘性阻尼力與物體在介質(zhì)中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，方向相反。（最根據(jù)D’Alembert原理（動(dòng)靜轉(zhuǎn)換），質(zhì)量塊（無變形）提供與外力大小相同、方向相反的慣性力振動(dòng)工程研究所方程中的慣性項(xiàng)根據(jù)D’Alembert原理（動(dòng)靜轉(zhuǎn)換），質(zhì)量塊（無變形）提建模步驟建立坐標(biāo)系

原點(diǎn)為靜止點(diǎn)(靜平衡點(diǎn))

坐標(biāo)正向?yàn)闃?biāo)示外力方向分離體法（材力，結(jié)力）

對(duì)質(zhì)點(diǎn)標(biāo)明慣性力、彈性力、阻尼力力平衡

達(dá)朗貝爾原理振動(dòng)工程研究所建模步驟建立坐標(biāo)系振動(dòng)工程研究所方程分類單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程自由振動(dòng)方程——無外激勵(lì)偏離靜平衡初始條件無阻尼自由振動(dòng)方程略去阻尼突出自由振動(dòng)的特點(diǎn)振動(dòng)工程研究所由繁入簡方程分類單自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程振動(dòng)工程研究所由繁入簡1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)振動(dòng)工程研究所方程初始條件(定解條件)注意特點(diǎn)二階常系數(shù)齊次方程1.2無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)振動(dòng)工程研究所方程初始條件解的形式與試探解微分方程解=通解（+特解）振動(dòng)工程研究所（1）試探解的提出與代入

單頻、等幅、初始點(diǎn)（2）用初始條件定系數(shù)數(shù)學(xué)理論實(shí)際經(jīng)驗(yàn)解的形式與試探解微分方程解=通解（+特解）振動(dòng)工程研究所（1因?yàn)?故得到有特征方程（以s為變量的代數(shù)方程）特征解（根）為其中為固有圓頻率或固有頻率（固有周期？）

振動(dòng)工程研究所自由振動(dòng)微分方程的特征解因?yàn)?故得到有特征方程振動(dòng)工自由運(yùn)動(dòng)方程的通解可取為:或其中或?yàn)榉e分常數(shù)。由初始條件定。無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所自由運(yùn)動(dòng)方程的通解可取為:振動(dòng)工程研究所無阻尼自由振動(dòng)的時(shí)間域響應(yīng)(時(shí)間歷程)可表達(dá)為或振動(dòng)工程研究所（易記憶）無阻尼自由振動(dòng)的時(shí)間域響應(yīng)(時(shí)間歷程)振動(dòng)工程研究所（易記憶振動(dòng)工程研究所兩個(gè)并聯(lián)彈簧剛度增加,兩個(gè)串聯(lián)彈簧剛度削弱,剛度元件的串并聯(lián)振動(dòng)工程研究所兩個(gè)并聯(lián)彈簧剛度增加,剛度元件的串并聯(lián)振動(dòng)工程研究所例:

升降機(jī)鋼絲繩中最大張力

mk振動(dòng)工程研究所例:升降機(jī)鋼絲繩中最大張力mk振動(dòng)工程研究所解：初始條件

方程固有頻率振幅

由振動(dòng)而引起的鋼絲繩中最大動(dòng)張力為

鋼絲繩中總張力的最大值是

振動(dòng)工程研究所解：初始條件方程1.3等效單自由度系統(tǒng)物理系統(tǒng)多樣數(shù)學(xué)模型唯一(等效性)工程實(shí)際簡化例子

汽車乘員抗顛簸性研究翼尖掛彈環(huán)境研究摩天輪剎車性能研究

振動(dòng)工程研究所1.3等效單自由度系統(tǒng)物理系統(tǒng)多樣擺振動(dòng)系統(tǒng)中不存在彈性元件，恢復(fù)力由擺錘重力提供。(勢能提供者為重力，地球是儲(chǔ)能元件)振動(dòng)工程研究所動(dòng)力矩方程或力矩平衡方程振動(dòng)的幅度很小時(shí)

擺振動(dòng)系統(tǒng)中不存在彈性元件，恢復(fù)力由擺錘重力提供。(勢能提小角度簡化方程為振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率

周期與擺線長關(guān)系

小角度簡化方程為振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率周期與擺線振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的Duffin方程

周期誤差與角度關(guān)系

大角度簡化方法振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)振動(dòng)的Duffin方程周期誤差與角度關(guān)系剛體擺質(zhì)量為m，質(zhì)心C距鉸中心O距離為l

振動(dòng)工程研究所繞固定鉸使用動(dòng)量矩定理

考慮小角度條件固有頻率及固有周期

剛體擺質(zhì)量為m，質(zhì)心C距鉸中心O距離為l振動(dòng)工程研究所繞固與材料力學(xué)聯(lián)系單自由度扭振振動(dòng)工程研究所假定盤和軸都為均質(zhì)體，不考慮軸的質(zhì)量。設(shè)扭矩作用在盤面，此時(shí)圓盤產(chǎn)生一角位移，其中定義軸的扭轉(zhuǎn)剛度為

與材料力學(xué)聯(lián)系單自由度扭振振動(dòng)工程研究所假定盤和軸都為均質(zhì)體扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率

振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)的自由振動(dòng)響應(yīng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)對(duì)初始擾動(dòng)梁橫向振動(dòng)

例：簡支梁的橫向振動(dòng)，假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中在梁的中部，取梁的中部撓度作為系統(tǒng)的位移，靜態(tài)撓度：振動(dòng)工程研究所等效剛度梁橫向振動(dòng)例：簡支梁的橫向振動(dòng)，假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為

振動(dòng)工程研究所振動(dòng)固有頻率

懸臂梁、固支梁情況類似，關(guān)鍵在于確定自由度與給出等效剛度系統(tǒng)自由振動(dòng)方程為振動(dòng)工程研究所振動(dòng)固有頻率懸臂梁、固支*用能量法確定固有頻率

振動(dòng)工程研究所根據(jù)機(jī)械能守恒條件可得

固有振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其位移和速度分別為

（一種簡單方法，也可發(fā)展用于近似求多自由度系統(tǒng)固有特性）*用能量法確定固有頻率振動(dòng)工程研究所根據(jù)機(jī)械能守恒條件可得振動(dòng)工程研究所右端稱作Rayleigh商，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的方法其中參考動(dòng)能：參考動(dòng)能求法：將最大動(dòng)能中的速度項(xiàng)換成位移項(xiàng)既成參考動(dòng)能。振動(dòng)工程研究所右端稱作Rayleigh商，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率的振動(dòng)工程研究所半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體在半徑為R的內(nèi)圓柱面上繞最低點(diǎn)作純滾動(dòng)，試求其微振動(dòng)的固有頻率。例

圓柱體的微振動(dòng)解：設(shè)圓柱體作純滾動(dòng)，圓柱體的動(dòng)能是

重力勢能為

由Rayleigh商得系統(tǒng)固有頻率為

關(guān)鍵是確定便于建模的獨(dú)立自由度，簡化三角函數(shù)振動(dòng)工程研究所半徑為r、質(zhì)量為m的圓柱體在半徑為R的內(nèi)圓柱面*彈性元件的分布質(zhì)量及其簡化（1）假設(shè)速度分布（2）計(jì)算分布質(zhì)量動(dòng)能（3）根據(jù)動(dòng)能相等計(jì)算等效集中質(zhì)量振動(dòng)工程研究所例：一端固定彈簧，以自由端為分析自由度彈簧上距固定端x處點(diǎn)的位移：微段彈簧質(zhì)量：動(dòng)能：*彈性元件的分布質(zhì)量及其簡化（1）假設(shè)速度分布振動(dòng)工程研究振動(dòng)工程研究所等效質(zhì)量：振動(dòng)工程研究所等效質(zhì)量：無阻尼單自由度系統(tǒng)求解目的求固有特性（固有頻率，周期）（主要目的）研究極小阻尼下響應(yīng)（自由振動(dòng)響應(yīng)最值）振動(dòng)工程研究所無阻尼單自由度系統(tǒng)求解目的求固有特性（固有頻率，周期）振動(dòng)工1.4粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所求解初值問題：

它的解具有如下形式非平凡解特征方程含阻尼元件：線性阻尼無外激勵(lì)平凡解1.4粘性阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所求振動(dòng)工程研究所解出一對(duì)特征根阻尼比定義固有頻率阻尼比不同，解形式不同。振動(dòng)工程研究所解出一對(duì)特征根阻尼比定義固有頻率阻尼比不同，解振動(dòng)工程研究所（1）過阻尼情況，特征根是一對(duì)互異實(shí)根

引入初始條件積分常數(shù)振動(dòng)工程研究所（1）過阻尼情況，特征根是一對(duì)互異實(shí)根引入初振動(dòng)工程研究所指數(shù)衰減振動(dòng)工程研究所指數(shù)衰減振動(dòng)工程研究所（2）臨界阻尼情況，特征根是一對(duì)相等的實(shí)根引入初始條件積分常數(shù)振動(dòng)工程研究所（2）臨界阻尼情況，特征根是一對(duì)相等的實(shí)根引振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所（3）欠阻尼情況（）,

這時(shí)特征根是一對(duì)共軛復(fù)根通解是:

（最主要）振動(dòng)工程研究所（3）欠阻尼情況（）,這時(shí)特征振動(dòng)工程研究所自然頻率（阻尼振動(dòng)頻率）引入初始條件積分常數(shù)參數(shù)與量綱振動(dòng)工程研究所自然頻率（阻尼振動(dòng)頻率）引入初始條件積分常數(shù)參振動(dòng)工程研究所通解形式初始位移引起的振動(dòng)初始速度引起的振動(dòng)解的迭加性振動(dòng)工程研究所通解形式初始位移引起的振動(dòng)初始速度引起的振動(dòng)解振動(dòng)工程研究所粘性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)解的另一形式由初始條件決定包絡(luò)線振動(dòng)工程研究所粘性阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)解的另一形式由初始條振動(dòng)工程研究所欠阻尼系統(tǒng)振動(dòng)特性（1）自由振動(dòng)振幅按指數(shù)規(guī)律衰減（2）非周期振動(dòng)：振幅不同但有等時(shí)性。周期概念——自然周期（阻尼固有周期）概念振動(dòng)工程研究所欠阻尼系統(tǒng)振動(dòng)特性（1）自由振動(dòng)振幅按指數(shù)規(guī)律振動(dòng)工程研究所（3）阻尼比的影響關(guān)系：（4）振幅對(duì)數(shù)衰減率：經(jīng)過一個(gè)自然周期的振幅之比的自然對(duì)數(shù)。（5）由振幅對(duì)數(shù)衰減率求阻尼比（逆問題）工程性振動(dòng)工程研究所（3）阻尼比的影響關(guān)系：（4）振幅對(duì)數(shù)衰減率：振動(dòng)工程研究所阻尼比與解的關(guān)系簡諧振動(dòng)過阻尼衰減振動(dòng)工程研究所阻尼比與解的關(guān)系簡諧振動(dòng)過阻尼衰減小結(jié)數(shù)學(xué)模型建立特征解（動(dòng)特性）……固有……自然初始條件下響應(yīng)振動(dòng)工程研究所（沖擊響應(yīng)）（初始變形）小結(jié)數(shù)學(xué)模型建立振動(dòng)工程研究所（沖擊響應(yīng)）（初始變形）1.5簡諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

無阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)

或振動(dòng)工程研究所力激勵(lì)位移激勵(lì)1.5.1簡諧力激勵(lì)下受迫振動(dòng)的解1.5簡諧力激勵(lì)下的受迫振動(dòng)無阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)振動(dòng)工程研究所(1)當(dāng)時(shí)特解形式為解的特性討論（試探解）強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)（非齊次方程解）由兩部分組成通解（自由振動(dòng)）特解（強(qiáng)迫振動(dòng)）振動(dòng)工程研究所(1)當(dāng)時(shí)特振動(dòng)工程研究所積分常數(shù)由初始條件決定。(2)當(dāng)時(shí),方程(1.5.1)的特解具有如下形式代入方程振動(dòng)工程研究所積分常數(shù)由初始條件決定。(2)當(dāng)振動(dòng)工程研究所運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)榉e分常數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)位移響應(yīng)中最后一部分隨時(shí)間增加趨于無窮，這是激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率相等時(shí)的共振現(xiàn)象。

（……超諧共振，亞諧共振）振動(dòng)工程研究所運(yùn)動(dòng)方程的解變?yōu)榉e分常數(shù)變?yōu)橄到y(tǒng)位移響應(yīng)中最后振動(dòng)工程研究所線性阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程阻尼自由振動(dòng)通解強(qiáng)迫振動(dòng)特解（注意相位變化）振動(dòng)工程研究所線性阻尼系統(tǒng)的簡諧激勵(lì)受迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程阻尼自由振動(dòng)工程研究所阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解為

（1）三角方程常利用待定系數(shù)法求解（2）運(yùn)用技巧較多振動(dòng)工程研究所阻尼系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)方程的解為（1）三角方程常利振動(dòng)工程研究所其中積分常數(shù)可由初始條件確定，它們是積分常數(shù)與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)；也與激振頻率有關(guān)。振動(dòng)工程研究所其中積分常數(shù)可由初始條件確定，它們是積分常數(shù)振動(dòng)工程研究所響應(yīng)由兩部分組成：a.第一部分類似于粘性阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，其幅值隨時(shí)間增長而衰減。初始條件響應(yīng)部分。

振動(dòng)工程研究所響應(yīng)由兩部分組成：振動(dòng)工程研究所b.第二部分響應(yīng)如圖1.5.1中細(xì)實(shí)線所示。它是簡諧力引起的簡諧振動(dòng)，其幅值是常數(shù)，不因阻尼而衰減，故稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)部分。

系統(tǒng)的完整受迫振動(dòng)由上述兩部分疊加而成。

在時(shí)間歷程上，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)分為兩個(gè)階段：

由給定的初始條件出發(fā)，系統(tǒng)振動(dòng)由自由衰減振動(dòng)響應(yīng)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)相疊加，呈現(xiàn)較為復(fù)雜的波形。隨著時(shí)間增長，自由衰減振動(dòng)響應(yīng)趨于零，而強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)成為主要成分。這個(gè)階段稱為過渡過程。過渡過程只經(jīng)歷一個(gè)不長的時(shí)間，阻尼越大，過渡過程持續(xù)的時(shí)間越短。經(jīng)過一段時(shí)間后，系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)將以強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)為主，這一階段稱作穩(wěn)態(tài)過程。只要有激振力作用，穩(wěn)態(tài)振動(dòng)將一直持續(xù)下去。振動(dòng)工程研究所b.第二部分響應(yīng)如圖1.5.1中細(xì)實(shí)線所示。振動(dòng)工程研究所1.5.2阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)

無量綱化激勵(lì)頻率,（便于觀察比較和使用）過渡過程很短暫，在實(shí)踐中主要關(guān)心系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。

振幅放大系數(shù)（相對(duì)振幅）振動(dòng)工程研究所1.5.2阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)無量綱化激勵(lì)振動(dòng)工程研究所位移幅頻特性曲線位移相頻特性曲線振動(dòng)工程研究所位移幅頻特性曲線位移相頻特性曲線振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)速度函數(shù)描述速度振幅速度相位差速度振幅放大系數(shù)人為定義概念并選擇ωn振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)速度函數(shù)描述速度振幅速度振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加速度函數(shù)描述加速度振幅加速度相位差加速度振幅放大系數(shù)人為定義概念并選擇ωn振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加速度函數(shù)描述加速度振幅振動(dòng)工程研究所速度幅頻特性曲線

加速度幅頻特性曲線

振動(dòng)工程研究所速度幅頻特性曲線加速度幅頻特性曲線振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性低頻段（1）（2）（3）彈性占優(yōu)振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性低頻段（1）（2）（3）彈性占振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（續(xù)）高頻段（1）（2）（3）慣性占優(yōu)振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（續(xù)）高頻段（1）（2）（3）振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（共振）位移共振速度共振加速度共振共振頻率阻尼特性占優(yōu)阻尼力等于激勵(lì)相位共振振動(dòng)工程研究所穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率特性（共振）位移共振速度共振加速度振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)（共振放大系數(shù)表示阻尼的又一參量）定義：共振區(qū)放大系數(shù)大于峰值處半功率點(diǎn)半功率帶寬振動(dòng)工程研究所系統(tǒng)品質(zhì)因數(shù)（共振放大系數(shù)表示阻尼的又一參量）振動(dòng)工程研究所共振的過渡過程

共振區(qū)及其半功率帶

STOP振動(dòng)工程研究所共振的過渡過程共振區(qū)及其半功率帶STOP例：旋轉(zhuǎn)部件偏心質(zhì)量引起的振動(dòng)

振動(dòng)工程研究所例：旋轉(zhuǎn)部件偏心質(zhì)量引起的振動(dòng)振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所化為簡諧強(qiáng)迫振動(dòng)形式穩(wěn)態(tài)位移的幅值和相位分別為

穩(wěn)態(tài)位移幅值化為無量綱形式

其位移幅頻特性曲線與常幅值簡諧力激勵(lì)系統(tǒng)的加速度幅頻特性曲線相同

對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速

分母不是靜變形振動(dòng)工程研究所化為簡諧強(qiáng)迫振動(dòng)形式穩(wěn)態(tài)位移的幅值和相位分別為例：單盤轉(zhuǎn)子的弓形回旋振動(dòng)工程研究所圖1.5.8作同步弓形回旋的單盤轉(zhuǎn)子

選擇自由度：C點(diǎn)在ODC平面內(nèi)正交運(yùn)動(dòng)的自由度例：單盤轉(zhuǎn)子的弓形回旋振動(dòng)工程研究所圖1.5.8作同步弓形振動(dòng)工程研究所兩個(gè)互相獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

軸的動(dòng)撓度（即形心D的運(yùn)動(dòng)）軌跡是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的圓

注意振動(dòng)工程研究所兩個(gè)互相獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為軸的動(dòng)振動(dòng)工程研究所動(dòng)撓度與偏心距的比值可表示為如下無量綱形式

它也等于常幅值簡諧力激勵(lì)系統(tǒng)的加速度放大系數(shù)

轉(zhuǎn)子的共振動(dòng)撓度為：若阻尼比較小，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好（e很?。瑒?dòng)撓度r也會(huì)相當(dāng)大。這個(gè)轉(zhuǎn)速稱為單盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速剛性轉(zhuǎn)子柔性轉(zhuǎn)子振動(dòng)工程研究所動(dòng)撓度與偏心距的比值可表示為如下無量綱形式振動(dòng)工程研究所1.6基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)

1.6.1振動(dòng)方程

振動(dòng)工程研究所1.6基礎(chǔ)簡諧激勵(lì)下的受迫振動(dòng)1.6.1振動(dòng)工程研究所變量替換相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（以質(zhì)量塊與基礎(chǔ)距離改變?yōu)樽杂啥龋┙^對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（以質(zhì)量塊位移為自由度）振動(dòng)工程研究所變量替換相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程（以質(zhì)量塊與基礎(chǔ)距離改變?yōu)檎駝?dòng)工程研究所采用正弦函數(shù)描述基礎(chǔ)簡諧運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可寫為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（特解）具有以下形式1.6.2穩(wěn)態(tài)振動(dòng)分析絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為激勵(lì)初相位（與響應(yīng)幅值無關(guān)）振動(dòng)工程研究所采用正弦函數(shù)描述基礎(chǔ)簡諧運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程可寫振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率定義為：解參數(shù)為：另一種形式：振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率定義為：解參數(shù)為：另一種形式：振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率的頻率特性

幅頻相頻振動(dòng)工程研究所絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率的頻率特性幅頻相頻振動(dòng)工程研究所（1）在低頻段（）系統(tǒng)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)接近于基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)，它們之間基本上沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。（2）在共振頻段（）附近，有峰值；說明基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過彈簧和阻尼器后被放大傳遞到質(zhì)量塊。絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞特性（3）幅頻特性曲線都在時(shí)通過。（4）在高頻段（），；說明基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)被彈簧和阻尼器隔離振動(dòng)工程研究所（1）在低頻段（振動(dòng)工程研究所相對(duì)運(yùn)動(dòng)解參數(shù)無量綱化相對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率振動(dòng)工程研究所相對(duì)運(yùn)動(dòng)解參數(shù)無量綱化相對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率振動(dòng)工程研究所1.7振動(dòng)的隔離

隔離振動(dòng)（簡稱隔振）就是研究物體之間振動(dòng)的傳遞關(guān)系，減小相互間所傳遞的振動(dòng)量。

第一類:隔力：通過彈性支撐來隔離振源傳到基礎(chǔ)的力（發(fā)動(dòng)機(jī)減振安裝）

第二類:隔幅：通過彈性支撐減小基礎(chǔ)傳到設(shè)備的振動(dòng)幅值（儀表環(huán)境改善）

振動(dòng)工程研究所1.7振動(dòng)的隔離隔離振動(dòng)（簡稱隔振）就振動(dòng)工程研究所1.7.1第一類隔振隔振器傳到剛性地基的彈性力和阻尼力

將經(jīng)過隔振器傳到基礎(chǔ)的力幅與激勵(lì)幅值之比定義為力傳遞率

二者相位差，其合力的幅值為

當(dāng)時(shí)，，這時(shí)有隔力效果。振動(dòng)工程研究所1.7.1第一類隔振隔振器傳到剛性地基的彈性力振動(dòng)工程研究所1.7.2第二類隔振基礎(chǔ)作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞率已由下式給出。顯然，只有當(dāng)時(shí)，,隔振器才有效果。

隔振器的剛度系數(shù)k應(yīng)滿足

阻尼越小傳遞率越低，隔振效果越好。但為了減少系統(tǒng)通過共振區(qū)時(shí)的振幅，必須為隔振器配置適當(dāng)?shù)淖枘帷?/p>

由于阻尼一般很小，或在高頻段可近似為

振動(dòng)工程研究所1.7.2第二類隔振基礎(chǔ)作簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的絕振動(dòng)工程研究所例1.7.1

某直升機(jī)在旋翼額定轉(zhuǎn)速360rpm時(shí)機(jī)身強(qiáng)烈振動(dòng)，為使直升機(jī)上某電子設(shè)備的隔振效果達(dá)到，試求隔振器彈簧的在設(shè)備自重下的靜變形。解：記隔振器彈簧在設(shè)備自重作用下的靜變形為，由虎克定律變化放大系數(shù)簡化式為可見，低頻隔振器的彈簧必須很柔軟。柔軟彈簧帶來的問題一是隔振系統(tǒng)要有足夠大的靜變形空間，二是側(cè)向穩(wěn)定性差。因此，隔離低頻振動(dòng)是工程實(shí)踐中的難題。

綜合上兩式得到靜力學(xué)方法測動(dòng)特性，動(dòng)力學(xué)方法測靜力特性振動(dòng)工程研究所例1.7.1某直升機(jī)在旋翼額定轉(zhuǎn)速360rp幾種常用減振方法改變特性變剛度，質(zhì)量隔振：降低剛度，增加質(zhì)量變阻尼減振：加阻尼改變系統(tǒng)構(gòu)成吸振器，阻尼器，附加結(jié)構(gòu)振動(dòng)工程研究所幾種常用減振方法改變特性振動(dòng)工程研究所振動(dòng)工程研究所1.8等效線性粘性阻尼

1.8.1阻尼的等效

一般阻尼動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)上式右端第一項(xiàng)為阻尼力。若系統(tǒng)作簡諧振動(dòng)則阻尼力在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)消耗的能量：阻尼力在微位移區(qū)間du上所做的功為：亦與位移有關(guān)周期內(nèi)阻尼作用等效振動(dòng)工程研究所1.8等效線性粘性阻尼1.8.1阻尼的等振動(dòng)工程研究所將上述阻尼力等效為粘性阻尼等效粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)所做的負(fù)功令等效粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)所做的負(fù)功與真實(shí)阻尼的相等：得等效粘性阻尼比若等效粘性阻尼比較大，應(yīng)檢查簡化條件！振動(dòng)工程研究所將上述阻尼力等效為粘性阻尼等效粘性阻尼在一個(gè)周振動(dòng)工程研究所損耗因子定義：系統(tǒng)阻尼在每個(gè)振動(dòng)周期中所耗能量與系統(tǒng)最大彈性勢能之比，再除以

。等效粘性阻尼系數(shù)和損耗因子之間的關(guān)系為

對(duì)比振動(dòng)工程研究所損耗因子定義：系統(tǒng)阻尼在每個(gè)振動(dòng)周期中所耗能量振動(dòng)工程研究所1.8.2幾種阻尼的等效實(shí)例

低粘度流體阻尼Coulomb干摩擦阻尼

振動(dòng)工程研究所1.8.2幾種阻尼的等效實(shí)例低粘度流體阻振動(dòng)工程研究所

結(jié)構(gòu)阻尼

（遲滯阻尼）

是一常數(shù)，稱為遲滯阻尼系數(shù)

損耗因子為：

等效粘性阻尼系數(shù)結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)微分方程復(fù)描述損耗因子非頻變振動(dòng)工程研究所結(jié)構(gòu)阻尼（遲滯阻尼）是一常數(shù)，稱為遲振動(dòng)工程研究所剛度表達(dá)式：粘性阻尼亦可等效為結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子頻變復(fù)剛度的準(zhǔn)確（頻域）表達(dá)方式：粘彈性材料的復(fù)模量頻域表達(dá)式：振動(dòng)工程研究所剛度表達(dá)式：粘性阻尼亦可等效為結(jié)構(gòu)阻尼損耗因子振動(dòng)工程研究所復(fù)剛度描述下的簡諧振動(dòng)穩(wěn)態(tài)解動(dòng)力學(xué)方程代入試探解得穩(wěn)態(tài)解位移放大系數(shù)振動(dòng)工程研究所復(fù)剛度描述下的簡諧振動(dòng)穩(wěn)態(tài)解動(dòng)力學(xué)方程代入試探振動(dòng)工程研究所方程：無阻尼－－有阻尼激勵(lì)：單頻－－多頻－－無限頻率自由度：單－－多－－無限研究進(jìn)展圖振動(dòng)工程研究所方程：無阻尼－－有阻尼激勵(lì)：單頻－－多頻－－無振動(dòng)工程研究所1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析

將周期激勵(lì)作Fourier展開，得到一系列簡諧激勵(lì)的線性組合，分別求解簡諧激勵(lì)下系統(tǒng)的響應(yīng)，然后根據(jù)線性疊加原理進(jìn)行疊加，得到整個(gè)響應(yīng)。

解決問題的思路

問題及方程振動(dòng)工程研究所1.9周期激勵(lì)下的振動(dòng)分析將周期激勵(lì)作Fo振動(dòng)工程研究所周期函數(shù)滿足一定條件后可展開為Fourier級(jí)數(shù)1.9.1周期（激勵(lì)）函數(shù)的付氏級(jí)數(shù)展開

振動(dòng)工程研究所周期函數(shù)滿足一定條件后可展開為Fourier級(jí)各諧分量的系數(shù)為該分量的譜振動(dòng)工程研究所周期振動(dòng)：離散譜各諧分量的系數(shù)為該分量的譜振動(dòng)工程研究所周期振動(dòng)：離散譜復(fù)數(shù)表示振動(dòng)工程研究所利用得到歐拉公式雙邊頻譜復(fù)數(shù)表示振動(dòng)工程研究所利用得到歐拉公式雙邊頻譜幾個(gè)概念與思考振動(dòng)工程研究所振動(dòng)是在實(shí)數(shù)域內(nèi)的，為什么可用復(fù)數(shù)表達(dá)？基頻r階諧波頻譜圖：幅頻、相頻階數(shù)是否總有無限多項(xiàng)為什么單邊頻譜幅值是雙邊的二倍幾個(gè)概念與思考振動(dòng)工程研究所振動(dòng)是在實(shí)數(shù)域內(nèi)的，為什么可用基諧波逼近振動(dòng)工程研究所對(duì)矩形波的諧波逼近?諧波分量幅值與階次成反比（思考意義）諧波逼近振動(dòng)工程研究所對(duì)矩形波的諧波逼近?諧波分量幅值與階次長（無限）周期的譜分析（周期無限的諧波分析）諧波分析-譜分析F級(jí)數(shù)-F變換周期變大-圓頻率變小譜線連續(xù)振動(dòng)工程研究所長（無限）周期的譜分析（周期無限的諧波分析）振動(dòng)工程