2022橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程教案

《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)哈爾濱第三中學(xué)李艷潔課題：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課型：講授課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：1理解橢圓的定義明確焦點(diǎn)、焦距的概念2能由橢圓定義推導(dǎo)橢圓的方程3培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維能力過(guò)程與方法：通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法情感態(tài)度價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，自主探索、辨析，鼓勵(lì)學(xué)生善于觀察，勤于思考，勇于創(chuàng)新，以形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)精神。教學(xué)重點(diǎn)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教具多媒體、畫板、細(xì)繩、釘子等教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：一．情景設(shè)置昨天，中國(guó)的首位太空教師神舟十號(hào)航天員王亞平在天宮一號(hào)上給全國(guó)的中小學(xué)生上了一堂生動(dòng)的科普課，大家對(duì)神州十號(hào)一定都非常好奇，那大家知道神州十號(hào)的發(fā)射初始軌道嗎？近地點(diǎn)約200公里、遠(yuǎn)地點(diǎn)約330公里的橢圓軌道。橢圓軌道是普遍存在的一種之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)所遵循的現(xiàn)象，其實(shí)就在現(xiàn)在我們正和地球一起在圍繞太陽(yáng)的近似正圓的橢圓形軌道上運(yùn)動(dòng)呢!如果大家對(duì)浩瀚的宇宙感興趣就請(qǐng)同學(xué)們跟隨老師從本節(jié)課的橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)起吧！師：星體的軌道是我們所看不到摸不到的，那么在生活中還有哪些物體能給我們以橢圓的印象呢？學(xué)生：雞蛋，橄欖球，切片的黃瓜，陽(yáng)光下圓盤在地面上的影子等（對(duì)學(xué)生舉的例子進(jìn)行點(diǎn)評(píng)）其實(shí)橢圓真的是廣泛的存在于我們的生活中，請(qǐng)同學(xué)們看圖片。生活中的實(shí)例及多彩的多媒體圖片可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性。二．合作交流，概念形成師：那么我們是如何確定這些圖形是橢圓而不是圓形或其它圖形的呢？數(shù)學(xué)中橢圓到底是如何定義的呢？首先我們先來(lái)看看圓。生：平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。師：那么橢圓是如何定義的呢？為了弄清這個(gè)問(wèn)題，就請(qǐng)同學(xué)們與老師共同來(lái)畫一畫吧！手工操作演示橢圓的形成：取一條沒有彈性的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離時(shí)，用鉛筆把繩子拉緊，使筆尖在圖板上沿細(xì)繩慢慢移動(dòng)，這樣我們就得到了一個(gè)新的曲線，數(shù)學(xué)中我們把這個(gè)曲線叫做橢圓。師：在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，什么是不變的？學(xué)生：兩個(gè)定點(diǎn)，繩長(zhǎng)師：那體現(xiàn)在橢圓軌跡的動(dòng)點(diǎn)上，它保持了怎樣的幾何特征。即不論運(yùn)動(dòng)到何處，繩長(zhǎng)不變（即軌跡上與兩個(gè)定點(diǎn)距離之和不變）通過(guò)畫圖過(guò)程，揭示橢圓上的點(diǎn)所要滿足的條件．在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓定義定義：（平面內(nèi)）與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)（）的點(diǎn)軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距．學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)橢圓的幾何特征——到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離的和等于常數(shù)．這時(shí)教師在演示中再?gòu)膬煞矫婕右詮?qiáng)調(diào)：將穿有鉛筆的細(xì)繩拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形．使學(xué)生認(rèn)識(shí)到必須限制：“在平面內(nèi)”；②這里的常數(shù)為什么要大于？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng)，則所畫出的橢圓較扁（線段）在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）由此，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長(zhǎng)有關(guān)(為下面離心率概念作鋪墊)若常數(shù)，則點(diǎn)的軌跡是線段；若常數(shù)，則軌跡不存在．所以要使軌跡是橢圓，必須加上限制條件：“常數(shù)大于”．學(xué)生在探究過(guò)程中，滲透分類討論的思想。培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手的實(shí)踐能力，通過(guò)討論交流以及發(fā)現(xiàn)的種種問(wèn)題，因勢(shì)利導(dǎo)，在學(xué)生體驗(yàn)成功快樂(lè)的同時(shí)，提煉總結(jié)能力。三．探索發(fā)現(xiàn)，方程推導(dǎo)由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征（用教具演示橢圓是軸對(duì)稱圖形），但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)則一無(wú)所知，為了進(jìn)一步了解橢圓的性質(zhì)，需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．師：求曲線方程的一般步驟建系設(shè)點(diǎn)，寫出滿足條件的點(diǎn)的集合，列式，化簡(jiǎn)，證明師：建系是求曲線方程重要而關(guān)鍵的一步。如何建立坐標(biāo)系，能使求出的方程最簡(jiǎn)單？學(xué)生：會(huì)有多種建系方式師：任何一種方式都能得到橢圓方程，為使得到的方程簡(jiǎn)單，應(yīng)遵循對(duì)稱性原則，使坐標(biāo)、幾何量的表達(dá)式都盡量的簡(jiǎn)單?？紤]到橢圓本身對(duì)稱性，大家有哪些建系方式呢？即使兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而可有以下兩種建系方式我們以第一種建系方式為例來(lái)推導(dǎo)橢圓方程（1）建系設(shè)點(diǎn)：以F1、F2所在的直線為軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，焦距為，則；則（2）寫出點(diǎn)集：由橢圓定義，橢圓就是集合（3）列式：（4）化簡(jiǎn)：師：化簡(jiǎn)含有根號(hào)的式子時(shí)，我們通常有什么方法？學(xué)生：可以兩邊平方。師：對(duì)于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平方？學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對(duì)于這個(gè)方程，直接平方不利于化簡(jiǎn)，而整理后再平方，最后能得到圓滿的結(jié)果。這樣，橢圓方程的化簡(jiǎn)這一難點(diǎn)也就迎刃而解了。通過(guò)此種提示分析使學(xué)生在化簡(jiǎn)過(guò)程中首先掃除心理障礙，能敢于去探究、嘗試，從而化解難點(diǎn)移項(xiàng)：平方：再平方：同除得為了使方程簡(jiǎn)單對(duì)稱和諧，引入〉0，使，得到方程．形式多么簡(jiǎn)單美麗，大家很有成就感吧！其實(shí)之所以它如此簡(jiǎn)單美麗是與我們利用對(duì)稱性建直角坐標(biāo)系有關(guān)的，也正因?yàn)樗暮?jiǎn)單美麗我們把以這種建系方式得到的這個(gè)方程叫做焦點(diǎn)在軸的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。類似的如果橢圓的焦點(diǎn)在軸上（選取方式不同，調(diào)換軸）焦點(diǎn)則變成,只要將方程中調(diào)換得與都叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)我們得到的兩個(gè)方程在形式上有何共同點(diǎn)，有何不同點(diǎn)？共同點(diǎn)：（1）型：平方和為1（2）要區(qū)別與習(xí)慣思維下的勾股定理（3），，、大小不確定有這么多共同點(diǎn)那么具體給出一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何具體判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上呢？我們說(shuō)在哪，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上，即看分母的大小，誰(shuí)的分母大焦點(diǎn)就在誰(shuí)的軸上。四．例題講解例1：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）解：由題意焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．，∴，∴所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由橢圓的定義知：∴，又∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．另法：設(shè)所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為依題意得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．點(diǎn)評(píng)：由已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的解題模式是：先確定焦點(diǎn)的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程（若不能確定焦點(diǎn)的位置，則應(yīng)分類討論），再用待定系數(shù)法確定、的值．五．課堂小結(jié)1．橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)、的距離