《概率論四種收斂性》課件

第三章

3.1四種收斂性1第三章

3.1四種收斂性1主要內容2幾乎處處收斂3依概率收斂4依分布收斂5r-階收斂1車貝曉夫不等式2主要內容2幾乎處處收斂3依概率收斂4依分布收斂5r-階收一、車貝曉夫不等式

3一、車貝曉夫不等式344由車貝曉夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.5由車貝曉夫不等式可以看出，若越小，則事當方差已知時，車貝曉夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3

的概率小于0.111.6當方差已知時，車貝曉夫不等式給出了r.vX與它的期望的偏差

車貝曉夫不等式只利用隨機變量的數(shù)學期望及方差就可對的概率分布進行估計。

從車貝曉夫不等式還可以看出,對于給定的>0,當方差越小時，事件{|X-E(X)|≥}發(fā)生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．這進一步說明方差確實是一個描述隨機變量與其期望值離散程度的一個量．

當D(X)已知時，車貝曉夫不等式給出了X與E(X)的偏差小于的概率的估計值．

車貝曉夫不等式的用途：

（1）證明大數(shù)定律；（2）估計事件的概率。7車貝曉夫不等式只利用隨機變量的數(shù)學期望及方差就可對的例1：設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假定燈的開、關是相互獨立的，使用車貝曉夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200盞之間的概率。

解令X表示在夜晚同時開著的燈數(shù)目，由車貝曉夫不等式可得:則X服從n=10000，p=0.7的二項分布，這時8例1：設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈例2：已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，標準差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)

P(5200X9400)

=P(-2100X-E(X)2100)

=P{|X-E(X)|2100}9例2：已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是730由車貝曉夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.10由車貝曉夫不等式P{|X-E(X)|

例3：在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用車貝曉夫不等式求：n需要多么大時，才能使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設X為n

次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n11例3：在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,

=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)

=

P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在車貝曉夫不等式中取n，則

=P{|X-E(X)|<0.01n}12=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=么么么么方面Sds絕對是假的么么么么方面Sds絕對是假的解得依題意，取

即n取18750時，可以使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.14解得依題意，取即n取18750時，可以使得在n次獨二、分布函數(shù)弱收斂

定義1：15二、分布函數(shù)弱收斂定義1：15三、依分布收斂

定義2：的分布函數(shù)分別為和若在的所有連續(xù)點

上都有

則稱隨機變量序列

依分布收斂于隨機變量Y，簡記為和隨機變量Y

設隨機變量16三、依分布收斂定義2：的分布函數(shù)分別為和若在的依分布收斂表示：當n充分大時，

的分布函數(shù)收斂于Y的分布函數(shù)

它是概率論中較弱的一種收斂性.17依分布收斂表示：當n充分大時，的分布函數(shù)收斂于Y的分布四、依概率收斂

定義3：任意實數(shù)有或和隨機變量Y(ω)，若對設隨機變量序列則稱隨機變量序列

依概率收斂于隨機變量Y，簡記為依概率收斂表示：Y的絕對誤差小于任意小的正數(shù)的概率將隨著n增大而愈來愈大，直至趨于118四、依概率收斂定義3：任意實數(shù)有或和隨機變量Y(ω)，若對五、r-階收斂

定義4：

特別的有1-階收斂又稱為平均收斂，2-階收斂又稱為均方收斂。均方收斂一定平均收斂19五、r-階收斂定義4：特別的有1-階收斂又稱為平六、以概率1收斂（幾乎處處收斂），若或簡記為收斂于隨機變量Y

，則稱隨機變量序列以概率1（或幾乎處處）20六、以概率1收斂（幾乎處處收斂），若或簡記為收斂于隨機變量Y下面定理揭示了四種收斂之間的關系。和隨機變量定理4.2

設隨機變量序列

(1)若，則(2)

若，則。(3)

若，則21下面定理揭示了四種收斂之間的關系。和隨機變量定理4.2(2)

若，則22(2)若，則22例題11-2-1(2001，數(shù)一）23例題11-2-1(2001，數(shù)一）2324242525第三章

3.1四種收斂性26第三章

3.1四種收斂性1主要內容2幾乎處處收斂3依概率收斂4依分布收斂5r-階收斂1車貝曉夫不等式27主要內容2幾乎處處收斂3依概率收斂4依分布收斂5r-階收一、車貝曉夫不等式

28一、車貝曉夫不等式3294由車貝曉夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機變量X集中在期望附近的可能性越大.30由車貝曉夫不等式可以看出，若越小，則事當方差已知時，車貝曉夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計式.如取可見，對任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過3

的概率小于0.111.31當方差已知時，車貝曉夫不等式給出了r.vX與它的期望的偏差

車貝曉夫不等式只利用隨機變量的數(shù)學期望及方差就可對的概率分布進行估計。

從車貝曉夫不等式還可以看出,對于給定的>0,當方差越小時，事件{|X-E(X)|≥}發(fā)生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．這進一步說明方差確實是一個描述隨機變量與其期望值離散程度的一個量．

當D(X)已知時，車貝曉夫不等式給出了X與E(X)的偏差小于的概率的估計值．

車貝曉夫不等式的用途：

（1）證明大數(shù)定律；（2）估計事件的概率。32車貝曉夫不等式只利用隨機變量的數(shù)學期望及方差就可對的例1：設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈開燈的概率均為0.7，假定燈的開、關是相互獨立的，使用車貝曉夫不等式估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800到7200盞之間的概率。

解令X表示在夜晚同時開著的燈數(shù)目，由車貝曉夫不等式可得:則X服從n=10000，p=0.7的二項分布，這時33例1：設電站供電網有10000盞電燈，夜晚每盞燈例2：已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，標準差是700.利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設每毫升白細胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)

P(5200X9400)

=P(-2100X-E(X)2100)

=P{|X-E(X)|2100}34例2：已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是730由車貝曉夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計每毫升白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.35由車貝曉夫不等式P{|X-E(X)|

例3：在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用車貝曉夫不等式求：n需要多么大時，才能使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設X為n

次試驗中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n36例3：在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.75,

=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)

=

P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在車貝曉夫不等式中取n，則

=P{|X-E(X)|<0.01n}37=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=么么么么方面Sds絕對是假的么么么么方面Sds絕對是假的解得依題意，取

即n取18750時，可以使得在n次獨立重復試驗中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.39解得依題意，取即n取18750時，可以使得在n次獨二、分布函數(shù)弱收斂

定義1：40二、分布函數(shù)弱收斂定義1：15三、依分布收斂

定義2：的分布函數(shù)分別為和若在的所有連續(xù)點

上都有

則稱隨機變量序列

依分布收斂于隨機變量Y，簡記為和隨機變量Y

設隨機變量41三、依分布收斂定義2：的分布函數(shù)分別為和若在的依分布收斂表示：當n充分大時，

的分布函數(shù)收斂于Y的分布函數(shù)

它是概率論中較弱的一種收斂性.42依分布收斂表示：當n充分大時，的分布函數(shù)收斂于Y的分布四、依概率收斂

定義3：任意實數(shù)有或和隨機變量Y(ω)，若對設隨機變量序列則稱隨機變量序列

依概率收斂于隨機變量Y，簡記為依概率收斂表示：Y的絕對誤差小于任意小的正數(shù)的概率將隨著n增大而愈來愈大，直至趨于143四、依概率收斂定義3：任意實數(shù)有或和隨機變量Y(ω)，若對五、r-階收斂

定義4：

特別的有1-階收斂又稱為平均收斂，2-階收斂又稱為均方收斂。均方收斂一定平均收斂44五、r-階收斂定義4：特別的有1-階收斂又稱為平六、以概率