13.4將軍飲馬-最短路徑問題教學設計（人教版八年級數學上冊）

將軍飲馬——最短路徑問題教學設計一、教學內容解析為了解決生產，經營中省時省力省錢而希望尋求最佳的解決方案而產生了最短路徑問題.初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”，為理論基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.本節(jié)內容是在學生學習平移、軸對稱等變換的基礎上對數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體進行變式設計，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱、平移將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”的問題.從中，讓學生借助所學知識和生活經驗獨立思考或與他人合作，經歷發(fā)現問題和提出問題，分析問題和解決、驗證問題的全過程，感悟數學各部分內容之間，數學與實際生活之間及其他學科的聯(lián)系，激發(fā)學生學習數學的興趣，加深對所學數學內容的理解，它既是軸對稱、平移知識運用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學生自行探究，學會思考，在知識與能力轉化上起到橋梁作用?；谝陨戏治觯竟?jié)課的教學重點確定為：[教學重點]利用軸對稱、平移等變換將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題.二、教學目標解析新課程標準明確要求，數學學習不僅要讓學生獲得必要的數學知識技能，還要包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面得到發(fā)展.因此，確定教學目標如下：[教學目標]能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟領會轉化的數學思想，培養(yǎng)學生探究問題的興趣和合作交流的意識，感受數學的實用性，體驗自己探究出問題的成就感.[目標解析]達線目標的標志是：學生能將實際問題中的“地點”、“河”、“草地”抽象為數學中的“點”、“線”，把最短路徑問題抽象為數學中的線段和最小問題，能利用軸對稱將處在直線同側的兩點，變?yōu)閮牲c處在直線的異側，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉化為“兩點之間，線段最短”問題，能通過邏輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會軸對稱、平移的作用，體會感悟轉化的數學思想三、學生學情診斷八年級的學生直接經驗少，理解能力差，抽象思維水平較低，處于直覺經驗型思維向邏輯思維的過渡階段，辯證思維還只是處在萌芽和初始的狀態(tài)上.最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手.解答：“當點A、B在直線的同側時，如何在上找點C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉化為“直線異側的兩點，與上的點的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉化，怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解和操作方面的困難.在證明“最短”時，需要在直線上任取一點，證明所連線段和大于或等于所求作的線段和.這種思路和方法，一些學生還想不到.在解答“使處在直線兩側的兩線段和最小”的問題，需要把它們平移拼接在一起，一些學生想不到.教學時，教師可以讓學生首先思考“直線的異側的兩點，與上的點的線段和最小”，給予學生啟發(fā)，在證明“最短”時，點撥學生要另選一個量，通過與求證的那個量進行比較來證明，同時讓學生體會“任意”的作用，因此確定本節(jié)課的教學難點為：[教學難點]如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.四、教學策略分析根據本節(jié)課的教學目標、教材內容以及學生的認知特點和實際水平，教學上采用“引導——探究——發(fā)現——證明——歸納總結”的教學模式，鼓勵引導學生、開動腦筋、大膽嘗試，在探究活動中培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維與想象能力.教師的教法：突出解題方法的引導與啟發(fā)，注重思維習慣的培養(yǎng)，為學生搭建參與和交流的平臺.通過對“將軍飲馬問題”而改編與設計， 增強數學課堂趣味性,相同背景，不同問題，由淺入深、層層遞進，有利于學生分析與解決問題，同時利用現代的信息技術，直觀地展示圖形的變化過程，提高學生學習興趣與激情.學生的學法：突出探究與發(fā)現，思考與歸納提升，在動手探究、自主思考、互動交流中，獲取知識與能力.五、教學基本流程探索新知——運用新知——拓展新知——提煉新知——課外思考六、教學過程設計一）探索新知1、建立模型問題1唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數學問題．詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的指揮部A地出發(fā)，到一條筆直的河邊 飲馬，然后到軍營B地，到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？追問1，這是一個實際問題，你打算首先做什么呢？師生活動：將A、B兩地抽象為兩個點，將河抽象為一條直線追問2，你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學的問題嗎？師生活動：學生交流討論，回答并相互補充，最后達成共識：（1）行走的路線：從A地出發(fā)，到河邊飲馬，然后到B地；（2）路線全程最短轉化為兩條線段和最短；（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線上的點.設C為直線l上的一個動點，上面的問題轉化為：當點C在的什么位置時，AC與CB的和最?。墼O計意圖］從數學史上久負盛名的“將軍飲馬問題”引入，增加學生們的數學底蘊，提高其人文思想.同時引導學生分析題意，畫出圖形.將實際問題轉化為數學問題更有利于分析問題、解決問題.2、 解決問題如圖點A、B在直線的同側，點C位直線上的一個動點，當點C在的什么位置時，AC與CB的和最?。繋熒顒樱鹤寣W生獨立思考、畫圖分析，并展示如果學生有困難，教師作如下提示：（1）如圖，如果軍營B地在河對岸，點C在的什么位置時，AC與CB的和最?。坑纱耸艿绞裁磫l(fā)呢？2）如圖，如何將點B“移”到的另一側B′處，且滿足直線上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等。［設計意圖］先通過學生對本題的思考嘗試，并展示，師生共同糾錯，提高認識與辯證思想，再通過老師的引導啟發(fā)明白解決這個問題應該運用軸對稱的性質，