九年級中考數(shù)學二次函數(shù)專題專練-幾何最值之阿式圓

二次函數(shù)專題專練——幾何最值之阿式圓1．如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的函數(shù)解析式；（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在點P使得以P、O、B三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，OC＝4，⊙A的半徑為2，點M是⊙A上的一個動點，求MC+OM的最小值．2．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點，直線AC：y=-交y軸與點C，點E是直線AB上的動點，過點EF∥y軸交AC于點F，交拋物線于點G．（1）直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為_______；（2）在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為圓E上一動點，求AM+CM的最小值．3．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于點A和，交y軸于點，拋物線的對稱軸交x軸于點E，交拋物線于點F．（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，求的最小值；（3）M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A，B，M，N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，其中點的坐標為，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點是直線下方的拋物線上一個動點，是否存在點使四邊形的面積為16，若存在，求出點的坐標若不存在，請說明理由；(3)如圖2，過點作交拋物線的對稱軸于點，以點為圓心，2為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．5．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，過點C作x軸的平行線交拋物線于點P．連接AC．(1)求點P的坐標及直線AC的解析式；(2)如圖2，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OF，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接FA、FC．求AF+CF的最小值．6．如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（6，4）三點.（1）求此二次函數(shù)解析式和頂點D的坐標；（2）①E為拋物線對稱軸上一點，過點E作FG//x軸，分別交拋物線于F、G兩點，若，求點E的坐標；②若拋物線對稱軸上點H到直線BC的距離等于點H到x軸的距離，則求出點H的坐標；（3）在（2）的條件下，以點I（1，）為圓心，IH的長為半徑作⊙I，J為⊙I上的動點,求是否存在一個定值，使得CJ+?EJ的最小值是若不存在，請說明理由.若存在，請求出的值；7．已知：如圖1，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，點D為頂點．求拋物線解析式及點D的坐標；若直線l過點D，P為直線l上的動點，當以A、B、P為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式；如圖2，E為OB的中點，將線段OE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，當取得最小值時，求直線與拋物線的交點坐標．

8．如圖，拋物線與軸交于，，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且，的平分線交軸于點，過點且垂直于的直線交軸于點，點是軸下方拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為，交直線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）設點的橫坐標為，當時，求的值；（3）當直線為拋物線的對稱軸時，以點為圓心，為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．9．如圖1，拋物線y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0），與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點P（m，0）（0＜m＜4），過點P作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點M．（1）求拋物線的解析式；（2）若PN：PM＝1：4，求m的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，設動點P對應的位置是P1，將線段OP1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接AP2、BP2，求AP2+的最小值．10．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B（1）求拋物線解析式及B點坐標；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點是半徑為2的⊙B上一動點，連接PC、PA，當點P運動到某一位置時，PC+PA的值最小，請求出這個最小值，并說明理由．參考答案1．解（1）如圖1，過點B作BD⊥x軸于點D，∴∠BDO＝90°，∵OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°至OB，∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，∴sin∠BOD＝，cos∠BOD＝，∴BD＝OB＝2，OD＝OB＝2，∴B（﹣2，2），設過點A（4，0），B（﹣2，2），O（0，0）的拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，∴

解得：，∴拋物線的函數(shù)解析式為y＝x2﹣x；（2）存在△POB為等腰三角形，∵拋物線與x軸交點為A（4，0），O（0，0），∴對稱軸為直線x＝2，設點P坐標為（2，p），則OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣2）2＝p2﹣4p+28，①若OP＝OB＝4，則4+p2＝42解得：p1＝2，p2＝﹣2，當p＝﹣2時，∠POA＝60°，即點P、O、B在同一直線上，∴p≠﹣2，∴P（2，2），②若BP＝OB＝4，則p2﹣4p+28＝42解得：p1＝p2＝2，∴P（2，2）；③若OP＝BP，則4+p2＝p2﹣4p+28，解得：p＝2，∴P（2，2）；綜上所述，符合條件的點P只有一個，坐標為（2，2）；（3）在OA上取點K，使AK＝1，連接CK交圓與點M，連接OM、CM，此時，MC+OM＝MC+KM＝CK為最小值，理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK?OA，而∠MAO＝∠OAM，∴△AKM∽△AMO，∴＝，即：MC+OM＝MC+KM＝CK，CK＝＝5，即：MC+OM的最小值為CK＝5．2．解：（1）將點代入拋物線解析式可得：，解得拋物線的解析式為（2）設直線解析式為將代入得，解得由題意可得：設，，則∵，，∴為直角三角形，結(jié)合圖形可得，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的矩形為矩形，為矩形的對角線由矩形的性質(zhì)可得，線段的中點重合則，解得，∴，由E點坐標可知，E在x軸上（3）取的中點，如下圖：由（2）可知，，，∴∴連接交圓于點，連接∴∴又∵∴∴∴∴，當三點共線時，等號成立設，化簡得解得或（舍去，在點的左邊）∴∴即的最小值為3．解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得：，∴b=-2，c=3，∴y=-x2-2x+3，（2）在OE上取一點D，使得OD=OE，連接DE'，BD，∵OD＝OE＝OE′，對稱軸x=-1，∴E（-1，0），OE=1，∴OE'=OE=1，OA=3，∴，又∵∠DOE'=∠E'OA，△DOE'∽△E'OA，∴DE′＝AE′，∴BE′+AE′＝BE′+DE′，當B，E'，D三點共線時，BE′+DE′最小為BD，，∴BE′+AE′的最小值為；（3）存在，∵A（-3，0），B（0，3），設N（n，-n2-2n+3），則AB2=18，AN2=（n2+2n-3）2+（n+3）2，BN2=n2+（n2+2n）2，∵以點A，B，M，N為頂點構(gòu)成的四邊形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜邊，則AB2=AN2+BN2，即18=（n2+2n-3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：，∴N的橫坐標為或，若AN是斜邊，則AN2=AB2+BN2，即（n2+2n-3）2+（n+3）2=18+n2+（n2+2n）2，解得n=0（與點B重合，舍去）或n=-1，∴N的橫坐標是-1，若BN是斜邊，則BN2=AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2=18+（n2+2n-3）2+（n+3）2，解得n=-3（與點B重合，舍去）或n=2，∴N的橫坐標為2，綜上N的橫坐標為，，-1，2．4．解：(1)∵拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點的坐標為，拋物線的對稱軸是直線，∴，，解得，拋物線解析式為：，(2)當，即，解得，，，設直線解析式為，，解得，直線解析式為，設，過點作軸交直線于點，則，，四邊形的面積為16，，解得，或，(3)如圖，過點作交拋物線的對稱軸于點，以點為圓心，2為半徑作，是拋物線的對稱軸，，，，，，，在上取，過點作，交軸于點，交拋物線對稱軸于點，則，，，，，，，，，當三點共線時，取得最小值，最小值為，．則的最小值為．5．解：(1)在拋物線y＝x2+x+3中，當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），當y＝3時，x1＝0，x2＝2，∴P（2，3），當y＝0時，x1＝﹣4，x2＝6，B（﹣4，0），A（6，0），設直線AC的解析式為y＝kx+3，將A（6，0）代入，得，k＝﹣，∴yAC＝﹣x+3，∴點P坐標為P（2，3），直線AC的解析式為yAC＝﹣x+3；(2)在OC上取點H（0，），連接HF，AH，則OH＝，AH＝，∵，，且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴，∴HF＝CF，∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值為；6．解：（1）設拋物線解析式為，則有，解得，故拋物線解析式為，對稱軸為，頂點坐標D（1，）.（2）①設E（1，t），則有，即故，即，由，解得，∴，解得，故E（1，）.②如圖，作∠ABC的平分線與對稱軸x=1的交點即為符合題意的H點，記為H1；在x軸上取點R（-2,0），連結(jié)RC交∠ABC的平分線BH1于Q，則有RB=5；過點C作CN⊥x軸交x軸于點N，在Rt△BCN中，∵BN=3，CN=4，∴BC=5，∴BC=RB，在△BCR中，∵BC=RB，BQ平分∠ABC，∴Q為RC中點∵R(-2，0),C(6，4)∴Q（2,2），∵B（3，0），∴過點B、Q兩點的一次函數(shù)解析式為當x=1時，y=4.故H1（1，4）如圖，過點B作交對稱軸于點H2，則點H2符合題意，記對稱軸于x軸交于點T.∵即∵，

∵∠BTH2=∠H1TB,∴Rt△BTH2∽Rt△H1TB，

∴即解得即H2（1，-1）綜上，、.（3）存在定值，使得.理由如下：如圖，在對稱軸上取點K（1，3），則，,故，∵∠JIE=∠KIJ,∴△IJE∽△IKJ，∴，即，從而，當且僅當K、J、C三點共線時，，即，故存在定值，使得.7．解：拋物線與x軸交于，兩點，．，拋物線的頂點坐標為．過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點Q．以AB為直徑的如果與直線l相交，那么就有2個點Q；如果圓與直線l相切，就只有1個點Q了．如圖所示：以AB為直徑作，作QD與相切，則，過Q作．，，．．又，．，，．點Q的坐標為．設l的解析式為，則，解得：，，直線l的解析式為．由圖形的對稱性可知：當直線l經(jīng)過點時，直線l與相切，則，解得：，，直線l的解析式為．綜上所述，直線l的解析式為或．如圖所示：取M使，連接．，，，，．又，∽，．．，當M、、B在一條直線上時，有最小值，∵直線BE′的解析式為，由，解得或，直線BE′與拋物線的交點坐標為．8．解：（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F(xiàn)（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍棄），∴當FH＝HP時，m的值為．（3）如圖，∵PF是對稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點K，使得HK，此時K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當E、Q、K共線時，AQ+QE的值最小，最小值．9．解：（1）∵A（4，0）在拋物線上，∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝；（2）∵∴令x＝0可得y＝2，∴OB＝2，∵OP＝m，∴AP＝4﹣m，∵PM⊥x軸，∴△OAB∽△PAN，∴，∴，∴，∵M在拋物線上，∴PM＝+2，∵PN：MN＝1：3，∴PN：PM＝1：4，∴，解得m＝3或m＝4（舍去）；（3）在y軸上取一點Q，使，如圖，由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，∴，且∠P2OB＝∠QOP2，∴△P2OB∽△QOP2，∴，∴當Q（0，）時，QP2＝，∴AP2+BP