工業(yè)考研-北工180元課本binder第八章采樣控制系統(tǒng)分析基礎

第八章采樣控制系統(tǒng)分析基礎采樣控制系統(tǒng)，又稱斷續(xù)控制系統(tǒng)、離散控制系統(tǒng)，它是建立在采樣信號基礎上的。前面各章所研究的系統(tǒng)，它們的輸入、輸出信號都是連續(xù)的時間函數(shù)，因此又被稱為連續(xù)時間信號，進而由輸入、輸出連續(xù)信號之間的關系所確定的系統(tǒng)稱為連續(xù)時間系統(tǒng)。對應于連續(xù)時間系統(tǒng)，由輸入信號的采樣信號與輸出信號的采樣信號所確定的系統(tǒng)就稱為采樣控制系統(tǒng)或者離散控制系統(tǒng)。采樣控制系統(tǒng)的分析方法，是經典控制理論中的重要內容。多年來，應用在許多近年來，隨著科學技術的迅速發(fā)展和計算機控制技術的廣泛應用，信號的采樣理論在信息與控制學科中的應用更為重要了。在當前工程控制應用中，采樣控制幾乎就是計算機控制，早期的采樣控制方式已逐步被計算機控制方式所取代，但是兩者還是有區(qū)別的。從概念上可以這樣區(qū)分，稱為采樣控制更加偏重于信號的采樣理論，那么稱為計算機控制就是偏重于控制方法與了。本章著重講述采樣控制系統(tǒng)分析的基礎內容。更加豐富的內容，可以查閱關于計算機控制或者微機控制方面的書籍?！?-1信號的采樣基于信號的采樣理論，續(xù)時間信號x(t)在滿足一定的條件下可以用它的采樣信號x*t來表示，如圖8-1所示。tttT

nT

0tt

nT 圖8-1連續(xù)時間信號與離散時間信號圖(a)為連續(xù)時間信號x(t)，圖(b)為在采樣器作用下的實際采樣信號x*t)采樣采樣器是可以將連續(xù)時間信號x(t)轉換為離散時間信號x(nT)的物理器件。采樣8-2假設采樣為等間隔采樣，即采樣間隔為常數(shù)T，則8-2tnT

xx出值等于

t

。采樣開關閉合時間為，到

tnT時刻，采樣開關打開，采樣器的輸出為零。8-1(b)所示的采樣實際采樣信

+開關打開圖8-2采樣開關x*(t)x(0)1[1(t)1(t)]x(T)1[1(tT)1(tT x(2T)1[1(t2T)1(t2T)]

x(nT)[1(tnT)1(tnT (8-理想采樣信一般情況下，采樣持續(xù)時間很小很小，遠遠小于采樣間隔時間T，也遠遠小于受控系統(tǒng)中的所有時間常數(shù)，這樣，令采樣持續(xù)時間趨于0時，就有圖8-1(b)limnT

0 這一點等價于單位脈沖函數(shù)(tnT t (tnT)

tnT(tnT)dt通脈沖，就得到了連續(xù)時間信號x(t的理想采樣表達式為x*(t)x(0)(t)x(T)(tT)x(2T)(t2T)

x(nT)(tnT (8-從采樣信號x*t的數(shù)學表示中還可以看到，在tnT處的x(t值即為x(nT)，x*(t)

x(nT)(tx*(t)

x(t)(t (8-是等價的。另外，由于(tnT是間隔為T的單位脈沖序列，表為T(nT)(8-2)從數(shù)學方法上是兩個離散時間序列x(nT)和T(nTx*(t)

x(nT)(tnT)x(nT)T(nT (8-對連續(xù)時間信號采樣的物理意義可以有兩種解釋。其一為連續(xù)時間信號被單位脈沖序列作了離散時間調制。其二為單位脈沖序列被連續(xù)時間信號作了幅值。這兩8-3tttt tttt 圖8-3采樣信號的物理意義采樣定理信號的采樣確定了連續(xù)時間信號x(t)的采樣表達式x*(t)，那么，采樣信號x*(t)是否仍然保留有原連續(xù)時間信號x(t)的所有信息。如果不是，那么能夠保留有多少原連續(xù)時間信號的信息量？所保留信息量的理論依據(jù)是什么？仙農采樣定理(Shannon)解決了上述問題，解決了采樣信號x*(t)與連續(xù)時間信號x(t)之間關于信息量的等價條件，得到了可以從采樣信號x*t中將原連續(xù)時間信號x(t恢復的條件。 設連續(xù)時間信號x(t)其付立葉變換為X()，X(頻譜分量中的最高頻率成分為。對連續(xù)時間信號x(t采樣，采樣頻率為，采樣后的離散時間信號為xt 如果滿足條件2，則可以從離散時間信號xt中將原連續(xù)時間信號x(t 否則，會發(fā)生頻率混迭，從離散時間信號xt中不能將原連續(xù)時間信號x(t恢復。設連續(xù)時間信號x(tX(如圖8-4X(t- 8-4號的時域表示與頻將其以等間隔采樣時間Ts采樣，則采樣信號x(t)x(t)

x(nT)(tnT (8- 期函數(shù)，如圖8-5所示。對于周期函數(shù)可以表為付立葉 00(t)Ce (8-6)其中C

1(t)ejntdt

8-5位脈沖序TCnTs

TTsTs

(8-s為與采樣周期Ts相對應的采樣頻率，其關系式為

(8-TsTs所以，單位脈沖序列T(t1T(t)

(8-

x(t) Ts

(8- Xsx(t)ejnst，其拉氏變換 X(sjnsX(s)L[x(t)]1

sX(sjns

(8-Tss

X()F[x(t)]1Ts

X(jjns (8-當n01

X( (8-1T主頻譜分量除了幅值相差一個常數(shù)之外，與連續(xù)時間信號x(tTs此其頻譜形狀相同，上限頻率也是 t-a0 t--a0 8-6當n0是作為的周期函數(shù)，從主頻譜分量的中心頻率0出發(fā)，以s的整數(shù)倍向頻率軸如果滿足條件s2a，鏡象頻譜與主頻譜相互分離，可以采用一個低通濾理 -2s-理 -2s-

-a0采樣定理從理論上指明了從采 信號xt中恢復原連續(xù)時間信號x(t的條件。對于頻譜豐富的時間信號，頻譜成分ybybcaxd1ysin1t2sin1a點，當采用睜眼、閉眼的方法來觀察點a的位置變化時，便構成了一個觀察點列，第一種觀察方式

1秒，采樣頻率為設每1/4秒睜眼觀察一次，則相當于采樣間隔為 s

s821ybacybac12td0從上圖可以看出，對離散采樣點作直線連接，信號的基頻成分與原信號相同，將離散信號作平滑濾波，就可以得到原信號的波形。第二種觀察方式設每3/4秒睜眼觀察一次，則相當于采樣間隔為Ts34ss

8

82 ybdcybdca 0從圖中可以看出，對離散采樣點作直線連接后，信號的基波為逆向的正弦波，而且其角頻率成為6，與觀察點列一致，所以觀察時的感覺為反轉，轉速變慢，與車輪實際的旋轉不同，發(fā)生頻率混迭，混入信號的角頻率為6，作低通濾波是不能濾除的。車輪效應在日常生活中是經?？梢杂^察到的，例如電扇扇葉的旋轉，小型轎車車利用采樣定理，將定頻率信號濾出，可以應用在許多方面，例如應用于旋轉機械§8-2信號復現(xiàn)與零階保從采樣信號中恢復出連續(xù)時間信號稱為信號的復現(xiàn)。上一節(jié)的采樣定理從理論上提出了采樣信號可以恢復為連續(xù)時間信號的條件，可以注意到，信號的復現(xiàn)需要通過一個理想的低通濾波器才可以實現(xiàn)。工程上采用的將采樣信號恢復為連續(xù)時間信號的裝置稱為保持器，所以，保持器是可以起到近似低通濾波器作用的工程器件。信號恢復與保持的實現(xiàn)所依據(jù)的是信號的定值外推理論，本節(jié)主要介紹零階保持器與其數(shù)學模型。保持由于采樣信號在兩個樣點時刻上有值，而在兩個樣點之間無值，為了使得兩個樣點之間為連續(xù)信號過渡，以前一時刻的樣點值為參考基值作外推，使得兩個樣點之間xn

t

x(nT)x(nT)(tnT)

x(nT)(tnT) 2

(8-式(8-14)即為tnT)

x(nT)

1{x(nT)x[(n1)TT

(8-x(nT…

1{x(nT)x[(n1)TT

(8-保持器的階只取一項x(nT)時，可以將采樣樣點的幅值保持至下一時刻，則稱為零階保持xn(t)x(nT nTt(n (8-x(nT1x(nT)(tnT2x(t)x(nT)x(nT)x[(n1)Tntt0t0

t(n(8-0t 0t零階保持器零階保持器可以將第n個樣點的幅值保持至下一個采樣點時刻，從而使得兩個樣點之間不為零值。采樣信號經零階保持器保持后，成為階梯波信號如圖-12所示。如果取兩個采樣點的中點做平滑，平滑后的信號與原連續(xù)時間信號x(t)1

t0Ts2Ts樣間隔時間的滯后，成為x(t Ts)。因此，2論采樣間隔Ts取多么小，經零階保持器恢復的連續(xù)時間信號都是帶有時間滯后的。一般情況下，采樣間隔Ts都很小，可以將這種滯后忽略。零階保持器的數(shù)學模型了表示簡潔，采樣間隔時間Ts今后都表為T。ttTtT-1(t- -gh(t)1(t)1(tT (8-

1Ts1Gh(s)

(8-sj1

1e

(e1

e1jT22Gh(j) 22 T

sin(TT

je (8-由于采樣間隔為Ts

2sin( 1Gh(j)s

s

2 (8- 于s的高頻成分，還做不到零衰減。因此，零階保持器的工程實現(xiàn)

0-在工程上，零階保持器可以采用不同的方法實現(xiàn)。由變換的延遲因子展開eTs1Ts1T2s21

(8-Gh(s)

(1

e 1

(8-

RRCL 如果取泰勒級數(shù)的前三項代入零階保持器的傳遞函數(shù)，就可以得到更加精確的實現(xiàn)為11G(s)T (8- 1Ts1T2D/A器，所實現(xiàn)的功能就是零階保持功能。D/ARC作平滑，濾去高頻分量，就可以得到相對于離散時間序列x(nT)的連續(xù)時間信號x(t?！?-3采樣信號的zx(nT)也可以在變換域中來表示。不同的是，相對應的變換為z變換。x(t)X(s)示。使得諸如正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等函數(shù)，在變換域中成為有理函數(shù)。z變換與zz變換是從拉氏變換演變而來的，因zz變換時，以應用為主，省略去一些理采樣信號的z變換z變換的定義已知連續(xù)時間信號x(t)，其采樣信號為xt)。當為理想采樣時，采樣信號xz變換定X(z)Z[x(t)]x(nT)z

(8-已知連續(xù)時間信號x(t)，其采樣信號為x(t)。當為理想采樣時，即采樣脈沖x(t)x(nT)(tnT

(8-X(s)L[x(t)]L[x(nT)(tnT x(nT)上式中含有指數(shù)函數(shù)因子 ，它是一個函數(shù)，因此作變z

(8-(8-

s1ln (8-TszT為離散化時所用的采樣間隔時間。將其代入采樣信號的拉氏變換式，得到采樣信號的z變換為關于z變換的說明z變換的離散特

X(z)Z[x(t)]x(nT)z

(8-由于只有在采樣點上才有x(nT)x(tZ[x(t)]Z[x也就是說，z變換所處理的對象是離散時間序列，而不帶有原信號采樣點之間的任何信息。如圖8-16所示的幾種信號其z變換是相同的。tTtTtTtT x1tzX1zx2tz變換信號x3(t)的半周期與信號

X1(z)X2(z)X3x(t)x(nT)(tnTx(0)(t)x(T)(tT)x(2T)(t2T)相對應的z變換其X(z)x(nT)z

(8-x(0)x(T)z1x(2T)z2 (8-x(nT)相同，而時間域的各延遲調制脈沖(tnT)則對應于變換zn，由兩域的對應關系，將因z1稱為一步延遲因子。因此變換域的算子z帶有明顯的時間信息。而拉氏變換的算子s，并不表現(xiàn)出zz變換X(z)x(nT)zz對于工程上常用的信號來說，是滿足上述冪級數(shù)收斂條件的，因此可以寫出它們的收斂和式。收斂和式為自變量z的有理分式函數(shù)，這一點類似變換，在工程典型時間信號的z變單位脈沖信號為(t)

f(t)0

tt

(8-A (t)dt所以由z變換的定義求得單位脈沖函數(shù)的z變換x(nT)(tZ[(t)] x(nT)zx(nT)(t

(8-(8-由z變換的定義求得

x(t)

(8-X(z)x(nT)z

x(nT)1(t)1(nT)z1z1z2

(8-X(z) 1z1

X(z)

z

(8-z變換

x(t)t

(8-X(z)x(nT)zz1

x(nT)nT(nT)z

(8-

z

z(n)

n1 (zX(z)(nT)z

(8-(zz變換

x(t)

(8-X(z)enTzn1eTz1e2Tz2

(8-上式是公比為eTz1z1X(z) 1eTz

X(z)

z

(8-得到其z

X(t)sin (8-sint1(ejtejt2X(z)Z[2

(ejtejt)]1{Z[ejt]Z[ejt2

(8-利用指數(shù)函數(shù)的z變換1X(z)2

[ze

]ze

z22cosTz

(8-x(t)L1[X8-1]X(s) s(s試求zX(z)X(s) s(s

1s

1sx(t)L1[1s

1s

]1(t)z

z(1eT

x(z)Z[1(t)1

]1z11z1eT(z1)(zeTT

常用函數(shù)的z變換可以查閱表8-1z變換表。z變換的基本定理和拉氏變換一樣，z變換也有一些相應的基本定理。利用這些基本定理，可以使一些z變換的運算簡化。如果時間信號x1tx2t)z變換分別為X1zX2z)，且a1a2為常數(shù)有Z[a1x1(t)a2x2(t)]a1X1(z)a2X2 (8-和拉氏變換的線性定理相類似，z變換的線性定理表明了連續(xù)時間信號代數(shù)和

Z[x(tmT)]zmX

(8-Z[x(tmT)]zmX(z)zmx(mT)zm(8-8-1zXX1112e(tmTz31szz41st(z52tT2z(z1)(z1)3611(tnTzz71szz81(stTeaT(zeaT9s2sinsinTz22cosTzss2z(zcosTz22cosTz(sa)2eatsineaTsinTz22eaTcosTzs(sa)2eatz(zeaTcosTz22eaTcosTzzzancoszz Z[x(tmT)]x(nTmT)znx(nTmT)znzmz

zmx[(nm)T]z(nm)zmx[(nm)T]z

zmX

(8-m1

Z[x(tmT)]x(nTmT)z Z[x(tT)]x[(n1)T]znzx[(n1)T]z

m2

z{x[(n1)T]z(n1)zX(z)z (8- Z[x(t2T)]x[(n2)T]znz2x[(n2)T]z

z2{x[(n2)T]z(n2)x(0)z1x(Tz2X(z)z2x(0)zx(T (8-Z[x(tmT)]zmX(z)zmx(0)zm1x(T)zmX(z)zmx(mT)z

(8-Z[x(t)et]X(zeT可以由z變換的定義式直接證

(8-

Z[tx(t)]Tz

[X

(8-將z變換的定義式兩邊對z求導 x(nT [Zn dz x(nT)(n)Zn11x(nT)

(nT)Z Tz

Z[tZ[tx(t)]Tz

[Xx(0)limx(t)limX (8-t

x(tzX(zX(z在單位圓內的極點全部為單極點，x()limx(t)lim(z1)X (8-t Z{x[(n1)T]x(nT)}zX(z)zx(0)X(z)(z1)X(z)z(z1)X(z)zx(0)Z{x[(n1)T]x(nTz1lim[(z1)X(z)]lim{zx(0)x[(n1)Tx(nT)]z x(0)[x(T)x(0)][x(2T)x(T)]如果時間信x1tx2t)z變換分別為X1zX2z)，則mZ{x1[(ni)T]x2(iT)}X1(z)X2

(8-x1(nTx2(nTz域的乘積求得，證z反變的離散時間序列x(nT)。求z反變換的方法有三x(nTzX(zz域x(nT)cX(z)(z1)

(8-在復變函數(shù)積分理論中，積分值的計算是借助于留數(shù)定理來獲得的。由于圍線x(nT)Res[X(z)zn1]z

(8- [例[例8-2]已知z域函X(z) (z1)(z解X(zz11z22x(nT)Res[X(z)kz

zznz

z10zz z1010

(1eaTX(z)

(z1)(zeaT解X(z有兩個極z11z2eaT，由圍線積x(nT)Res[X(z) z z(1eaT)zzz1e

z

(1eaT)zzz

z沖函數(shù)(t)的一步延遲，所以可以直接以無窮項時間序列來得到z反變換。azbzm zm1bazaX(z)a

nm1

0 n (8- 按照z1的降冪排列，用分子多項式除以分母多項式可以得到X(z)ccz1cz2czn (8- 對上式作z反變換x(nT)c0(t)c1(tT)c2(t2T)cn(tnT)

(8-X(z) (z1)(z解由于X(z) (z1)(z

13z113z12z210z 10z30z20z30z30z20z90z60z70z70z60z210z 140zz反變換

X(z)10z130z270z3x(t)0(t)10(tT)30(t2T)70(t3T)

(1eaTX(z) (z1)(zeaT解由于(1eaT (1eaT)zX(z) (z1)(zeaT 1(1eaT)z1eaTX(z)(1eaT)z1(1e2aT)z2(1e3aT)z3z反變換x(t)(1eaT)(tT)(1e2aT)(t2T)(1e3aT)(t3T)x(t)z變換可以zX(z)分解為對應于基本信號的部分分式，再查表來求得其z反變換。由于基本信號的z變換都帶有因子z，所以，

Xz

X(z) (z1)(z解X(zz11z22

X(z)z

(z1)(zX(z)

10z

zz變換

z

z得到的z反變

Z1[z

] Z z

]x(nT)10(12n(1eaT

X(z)

(z1)(zeaTX(z) (1eaT 1

(z1)(zeaTX(z)zz

zzz

zz 1 1Zz 1 1

]X(z)z反變換

z

x(nT)1eanT差分方程對于連續(xù)時間系統(tǒng)，輸入信號與輸出信號之間的關系由描述系統(tǒng)運動的微分方程

8-17類系統(tǒng)與其端兩個樣點信息之間的差值即稱為差分。實際上，在近似計算中用到的數(shù)學微商，就是差分。即yf(xx)fx(nT)x[(n1)T

(8-xn (8-T的大小，設T1秒，上述差分式簡化為樣點幅值xnx(n)x(n (8-差分的階

xnx(n)x(n (8-2

xn[x(n)x(n1)][x(n1)x(nx(n)2x(n1)x(n

(8-n階差分，即樣點處n-1階差分之 nxn1x

(8-nn

xxn-n

n-2n- (a)一階差 (b)二階差一差分的方向n，則依據(jù)當前時刻的差分與所需要的數(shù)據(jù)之間的依賴關系，后向差分xnx(n)x(n (8-nnx(nn-1x(n1)之差。2

xn[x(n)x(n1)][x(n1)x(nx(n)2x(n1)x(n (8-從上式可以看出，當前時刻n的二階差分值決定于當前時刻的一階后向差分xn與前一時刻的一階后向差分xn1nx(n)，還要依賴于前兩個時刻n-1、n-2x(n1)x(n2)。n階后向差分nxnn1xnn1x

(8-nn-1n1xnn-1差分n1xn1。前向差分

xnx(n1) (8-點值x(n1)。 2x [x(n2)x(n1)][x(n1)x(n2)2x(n1) (8-從上式可以看出，當前時刻n的二階差分值決定于當前時刻的一階前向差分xn與下一時刻的一階前向差分xn1nx(n)，還要依賴于未來兩個時刻n+1、n+2x(n1)x(n2)。n階前向差分nxnn1xn1

(8-nnn-1n1xn-n階差分n1xn1可以看出，各階前向差分的獲得要依賴于當前數(shù)據(jù)與未來數(shù)據(jù)的，與歷史數(shù)據(jù)無關。在自控理論中，由于差分的應用對象為采樣控制系統(tǒng)，具有因果關系，即歷史時刻、當前時刻、未來時刻之間的數(shù)據(jù)相互依賴關系是明確的。因此經常應用的是后向 y(n) y(n1)ayaybx(m) x(m1)bxb nm x(ty(tx(t)與輸出信號y(t)的各階導數(shù)的線性組合來構成。x(nT)與y(nT)，它們均為離散時間序列。而確定兩個離散時間序列關系的方程就稱為差分方y(tǒng)knan1ykn1a1yk1a0ykbkmxkmbkm1xkm1b1xk1b0xk，nm(8-式中，省略了采樣T，a0a1,an和b0b1,,bm為常系數(shù)。方程的左邊，yki0jmxkyk所確定的，表現(xiàn)為輸入xkykxkjyki的線性組合。由于方程各差分項中的最高階數(shù)為n階，因此稱為n階差分方程。8-79yk稱為差分方程性系統(tǒng)理論中，對于n階差分方程，當給定了初始條件，即y0,,yn x0,, (8-的解yk。差分方程的求解方法有兩種。法是基于解析方法的z變換法，另法z變換法求解z變換法求解差分方程的方法與用拉氏變換法求解微分方程的方法類似，求解 aiykibjxkj，和y0,,yn1,x0,, (8- j將方程兩邊作z Z[aiyki]y0,,yn1,Z[bjxkj]x0, jA(z)Y(z)B(z)X (8-Y(z)B(z)X yZ1[Y(z)] 1B(z)X

(8-(8-yk23yk12yk0 試用z變換法求差分方程的解yk。

y00,y1z[yk]Y

Z[yk23yk12yk]Z[yk2]Z[3yk1]z[2yk]

z[yk1]zY(z)zy0zYk z[ ]z2Y(z)z2yzy1z2Y(zk [z2Y(z)z]3[zY(z)]2Y(z)0(z23z2)Y(z)z得到輸出量的z變換作z反變

Y(z) z23zY(z)z

z23z

z

z查z變換表有Z[ak] z

Y(z)

z

z迭代法求解

ykZ1[Y(z)](1)k與微分方程不同，差分方程式自身就是方程求解的迭代式。因此，可以將差分方y(tǒng)k，這對于采用計算機求解是非常方便的。yk23yk12k012345…01-7-……1-7-……-7-………

{yk}{0，1，-3，7，-y(kT)0(t)1(tT)3(t2T)7(t3T)§8-4脈沖傳遞函數(shù)對于連續(xù)時間系統(tǒng)，采用拉氏變換，定義了變換域傳遞函數(shù)。與其相類似，對于采樣控制系統(tǒng)，可以定義變換域的脈沖傳遞函數(shù)。z脈沖傳遞函數(shù)差分方程確定了一類動力學系統(tǒng)，該動力學系統(tǒng)的輸入信號為離散時間序列xk，yk，這樣的動力學系統(tǒng)稱為離散動力學系統(tǒng)如圖8-19

圖8-19離散系統(tǒng)數(shù)學模型信號的z變換X(z)之比為脈沖傳遞函數(shù)，表為G(z)YX

(8-xkx(t)y(t)yky(t)獲得輸出信號的離散時間序列y或者輸出信號的采樣信號yt，從而上述離散系統(tǒng)采樣開關，對輸出的連續(xù)時間信號y(t)想采樣，來獲得輸出信號的采樣信號yt8-20Tx(t)Tx(t)

圖8-20等價離散模型開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)使用了。下面講述采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)的求取。對于圖8-20所示的采樣系統(tǒng)，輸入信x(t)經采樣器采樣得到了輸入信號的采樣信x(t)zX(z)。由于系統(tǒng)環(huán)節(jié)為連續(xù)系統(tǒng)G(s)，因此在采x(t)的輸入下，其輸出信號y(t)為連續(xù)信號，不是采樣信號y(t)y(t)y(nT)(tnT則Y(z)y(nT)z

(8-(8-y(t)x(0)g(t)x(T)g(tT)g(t)g(tT)L1[G(s)eTsg(t2T)L1[G(s)e2Ts則在tkT

x(nT)g(tnT)

(8-y(kT)x(0)g(kT)x(T)g(kTT)x(nT)g(kTnT)(8-兩邊乘以zk并取和式，得到輸出信號y(t)的z變換為Y(z)y(kT)zk[x(0)g(kT)x(T)g(kTT)x(nT)g(kTnT)]zk(8-x(0)g(kT)zkx(0) g(kT)zkx(0)[g(0)g(T)z1g(T)g(2T)z2

(8-x(T)g(kTT)kg(Tx(T)[g(T g(0)z1g(T)zg(Tx(T)z1[g(0)g(T)z1g(2T)z2x(2T)g(kT2T)zk

(8-x(2T)z2g(kT)zkx(2T)z2[g(0)g(T)z1g(2T)z2

(8-k[g(0)g(T)z1g(2T)z2][x(0)x(T)z1x(2T)z2 [g(kT)zk][x(kT)zk (8-k kx(kTx(tg(kT即系統(tǒng)G(sg(t的離散式，由z變換的定義式，有輸出信號的z變換為

Y(z)G(z)XG(z)YX

(8-(8-已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)由z變換的定義式求得脈沖傳遞函數(shù)G(z)8-9]G(s)試求取離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)

s(sg(t)L1[G(s)] s(sL 11L

1]1

sg(kT)1(kT)由z變換的定義式得G(z) g(kT)zk [1(kT)e10kT]zk[1(kT)zk][e10kTzkk z

zz

k k (1e10T)z2(1e10T)z當給定了采樣間隔時間T的大小，e10T是常數(shù)，因此上式中，脈沖傳遞函數(shù)G(z)的分子多項式與分母多項式的各項系數(shù)均為常數(shù)，和連續(xù)時間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s表達式相似。連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)情況如圖8-21第二個環(huán)節(jié)的輸出端想采樣來得到輸

x(t)

8-21續(xù)環(huán)節(jié)

G(s)G1(s)G2G(z)Z[G1(s)G2(s)]G1G2如例題8-9就屬于這種情況。

(8-(8-Tx(tT連連續(xù)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開關時，由于每個環(huán)節(jié)的輸入變量與輸出變量的離散關

(8-T1ssT1ssT1sTsT1sTs8-23節(jié)之間有無采樣開關G(z)Z[G(s)G(s)]Z[

(1e10T) ] ss z2(1 )z1G(z)Z[G1(s)]Z[G2(s)]Z[]s

10s zz

z

z2(1e10T)zZ[G1(s)G2(s)]Z[G1(s)]Z[G2T1eTsT1eTs8-25有零階保持器的控制系G(z)Z[Gh(s)G(s)]由z變換的線性定理有

1sG(z)Z[1G(s)]Z[1G(s)eTs Z[1G(s)eTs]z1Z[1 G(z)Z[1G(s)]z1Z[1G(s)] (1z1)Z[1s

(8-Ts(sTs(s8-25采樣保持器的采樣控解由于1G(s)1 0.11 ss(s s2(s s sZ[1G(s)]Z[0.11

] s z (z z]G(z)(1z1)Z[1G(s)]z1[0.1z z (z z(T0.10.1e10T)z(0.1Te10T0.1e10T(z1)(ze10T 8-26入端無采樣器

z變換

Y(s)[G(s)X

(8-(8-Y1(z)Z[G1(s)X(s)]G1X (8-第二個環(huán)節(jié)的輸入為采樣信號y(t)，輸出為假想采樣信號y(t)，則 Y2(z)G2(z)Y1(z)G2(z)G1X (8-由于G1X(z為G1sX(s)乘積的z變換，所以在z域的系統(tǒng)輸出表達式Y2z)中，輸入信號不是獨立的，而是與系統(tǒng)環(huán)節(jié)復合為一個信號G1X(z)，因此當輸入端無采樣器時，不能寫出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)，只能寫出系統(tǒng)輸出信號的z變換(z閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)T T++ 8-27樣控制閉環(huán)系統(tǒng)結構E(s)E(s)R(s)(8-(8-E(z)R(z)(8-B(s)H(s)(8-C(s)G(s)E(8-反饋方程輸出方程B(s)H(s)

C(

[G(s)H(s)]E (8-則反饋信號的z變換B(z)E(z

B(s)[G(s)H(s)]EB(z)GH(z)

(8-(8-E(z)R(z)B(z)R(z)GH(z)即E(z)E(z)

1GH11GH

(8-(8-得到輸出信號的z變換

C(s)G(s)EC(z)G(z)

(8-(8-C(z)G(z)

E(z) 1GH(z)

R(z) (8-1GH

C(z)

(8-++s(s 解系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)

10(1eT]s(s z2(1eT)zC(z)

H(s)1

1 z2(1eT)z 10(1eT10(1eT1z2(1eT)z

z2(911eT)z8-13]采樣控制系統(tǒng)的結構圖如圖8-29T+KsT+Ks1s圖8-29樣控制系 G(s)

1eTs

(1

Ts)

(1eTs)k1

1s

s

s(s

a skG(z)(1z1) a

1 s (1z1)ka

z

zk(1eaT)(z z2(1eaT)z由于G(sH(s GH(z)Z[G(s)H(s)]Z[

1 saka

[(aT1eaT)z(1eaTaTeaTz2(1eaT)zk(1eaT)(zaC(z)

1a

z2(1eaT)z[(aT1eaT)z(1eaTaTeaTz2(1eaT)zk(1eaT)(z z2 (aT1eaT)(1eaT)]z[ (1eaTaTeaT)eaTa aTRTRT TR采解對于系統(tǒng)(C(z)

1GH(z)對于系統(tǒng)(bG(zH(zC(z)

1G(z)H獨立存在，所以沒有閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，只有其輸出信號的z變換為C(z)RG1(z)G21G1G2H表8-21 HC(z) 1GH2 HC(z) 1G(z)H(z)3 HC(z) 1G(z)H(z)4 -HC(z) RG(z)1GH(z)5 -HC(z) G2(z)G2 1G1(z)G2(z)H6 -HC(z) G1(Z)G2 1G1(Z)G2H7 -HC(z) G2(z) RG(z)1G(Z)GH(z) 8 -HC(z) G2(z) RG(z)1GGH(z) 1§8-5經典的采樣控制現(xiàn)在應用已經比較少，隨著計算硬、技術的高速度發(fā)展，數(shù)字化的控制方法已經逐步在取代傳統(tǒng)的模擬控制方法。因此，本小節(jié)只介紹一些采樣系統(tǒng)性能與控制方面的基本內容，更加深入和詳細的內容，讀者可以查閱有關計算機控制方面的書籍。采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析采樣控制系統(tǒng)是用閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)作為數(shù)學模型來描述的，那么與連續(xù)系zz的穩(wěn)定性分析也是間接分析方法。1．s平面與z平面的關在s平面上可以確定連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。也就是說，如果系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根sii1,2,ns在定義z變換z(8-該式確s平面與z平面s(8-為復自變量，將其代入z表達式zse(jeTe(8- ---0jx-01-s0

zz01

(8-(8-z的幅角為z的幅角以2s以 為周期分段，即s平面上的分段虛軸為z平面上的單位圓如圖8-31所示Ts平面上的帶域，為z平面上的圓域s平面上的虛軸，為z平面上的單位圓s平面上的左半平面，為z平面上的單位圓內2．z由s平面到z平面的，可以方便地得到采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。設采樣控制系統(tǒng)的結構圖如圖8-32所示。其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為C(z)

1GH(z)

(8-

T T1GH(z) (8-有n個特征根zi,i1,2,nsz

++

i1,2,nzzi i1,2,, (8-+s(s[例8-15]已知采樣系統(tǒng)如圖8-33所示，采樣間隔為T+s(s8-1210(1eT

G(z)

z2(1eT)z

8-33題系統(tǒng)結構

C(z) 1

10(1eTz2(911eT)z當采樣間隔為T1

z2(911eT)zeTz24.952z0.368z10.076，和由z域穩(wěn)定的充分必要條件有

z2z1 z2由于特征根z1位于z平面的單位圓之內，滿足穩(wěn)定條件，但是，特征根z2位于z平面的單位圓之外，不滿足穩(wěn)定條件，所以，該系統(tǒng)在采樣間隔為1秒時系統(tǒng)是不穩(wěn)定由s到z平了z域穩(wěn)定的充分必要條件，但是，特征根z8-15環(huán)特征根，可以求解二次方程來得到。由于三階以上的高階系統(tǒng)，其特征方程的求根是很的。另外，在控制系統(tǒng)分析中，除了準確地獲得系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性信息之外，還要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對于系統(tǒng)的影響，直接判別法是極不方便的，所以類似于連續(xù)時間系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時的間接方法，即不去求解方程的根，根據(jù)特征方程已知的n個常系數(shù)，通過判別的方法來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別z域穩(wěn)定性有幾種不同的方法，在此只介紹一種變換域上的勞斯判據(jù)法。在連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時，可以采用勞斯判據(jù)。作為一種代數(shù)判據(jù)，在s平面上zs去直接應用勞斯判據(jù)是否就可以了？否！s平面至z平面的是多對一的，即s平面的帶域為z平面的圓域。那么z平面上的單位圓回s平面只是周期帶域中的一條帶域如圖8-31所示。可以尋找另外的變換，使得z平面的單位圓域為變將復自變量z取雙線性變zw1wz

(8-由于z與w均為復

wzxjywu

z

(8-zxjywwujvzz

zx

xjyxjyx2y21 2(x1)2令實部為零，即w平面的虛

(x1)2 (8-x2y2 (8-上式即為z平面的單位圓。對于z平面的單位圓外有x2y2 (8-

Re[w]u (8-x2y2 (8-

Re[w]uw

(8-wz

w

就將z平面的單位圓內，jjzx-01-u0zwww

(8-(8-w1w (8-反之如z平面的單位圓外的任意矢量其模為zwww1

(8-(8-w1w (8-圖8-35所示。w11w- ww+1w-1wu08-35w平面的矢量關45z3117z2119z39wz

w1w1 w w

) ) )z39w w ww32w22w40 - (2)試確定在采樣間隔T1時，系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K取值范圍；(3)試作出系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)增益K與采樣間隔T的函數(shù)關系。K(1eT

G(z)

z2(1eT)z

C(z) 1

K(1eTz2[K(1eT)(1eT)]zz2[K(1eT)(1eT)]zeTK10z2(911eT)zeTw

10(1eT)w22(1eT)w(812eT)

1eT812eTTT例中，采樣間隔T1T是有利于T1z2[0.368K1.368]z0.368w

0.368Kw21.264w(0.368K2.736)

K0.368K2.736KK由于zz2[K(1eT)(1eT)]zeTw

K(1eT)w22(1eT)w[K(1eT)2(1eT)]

K(1eT)02(1eT)K(1eT)2(1eT)KTK21系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定條件K21 1T0 閉環(huán)極點分布與動態(tài)響應的關系采樣控制系統(tǒng)的研究方法與連續(xù)時間系統(tǒng)的研究方法一樣，也是通過系統(tǒng)的結由于計算機控制的廣泛應用，以及計算機的運算速度極快地提高，現(xiàn)在已經有幾十個納秒(ns)指令周期的高速問世，所以采樣間隔時間T可以取得很小，以至于可以忽略不計。這種條件下，基本上采用模擬相似法來研究，即系統(tǒng)的響應品質以連續(xù)時間系統(tǒng)研究為基礎。但是，采樣系統(tǒng)有其自身的特點，如zz bzm zm1bzGC(z) 0，n (8-即

anznan1zn1a1zG(z)M(z)，n N

(8-以z平面上的零、極點來表示可 (zz)(zz2)(zz

m(zzjG(z)m

bmj (zp)(zp)(zp

n(zpi

(8-式中，pi, i1,2,n為系統(tǒng)的n個極點，zj, 點，bm稱為系統(tǒng)的閉環(huán)增益。

r(t)1(t),R(z) zzC(z)GC(z)z (8-C(z)M(1)z

ci

n(8-nz反變

NM

z i1znc(nT)N(1)cipi n1,2, (8-cpnp在zi 情況一:pi位于單由z域的穩(wěn)定性決定，系統(tǒng)的動態(tài)分量項cpnp pipipi的奇次方小于零，故交錯收斂。pi為共軛復數(shù)時，振蕩收斂。這種情況下，pi具有正實部時，其序列項實部交錯。pi具有負實部時，其序列項虛部交錯。因計算較繁，就不詳述了。pipiz域的穩(wěn)定性決定，系統(tǒng)的動態(tài)分量項cpnp1 pi1piz域的穩(wěn)定性決定，系統(tǒng)的動態(tài)分量項cpnp 情況四:pi位于圓心zj0-1-數(shù)字控制器計算機控制系統(tǒng)的等價關系如圖8-示，受控對象為G(s)，計算機的輸入輸 +1s-

在控制系統(tǒng)設計中，常常采用模擬相似法來設計數(shù)字控制器。即根據(jù)受控對象的動態(tài)特性，以連續(xù)時間系統(tǒng)的設計方法來設計校正裝置c(s)，然后再采用脈沖傳遞函數(shù)的求取方法將模擬控制器c(scz。cz)的控制作用，或者校正作用時，可以采用不同的計算方法，如直接程序法、串聯(lián)程序法及并聯(lián)程序法等。在此只介紹直接程序算cz的基本原理。由于數(shù)字控制器Dc(z)一般可以表

D(z)U

bzbz1bz (1az1azn)U(z)(bzbz1bzn) 兩邊取z

(8-uka1uk1anuknb0ekb1ek1bnekn(8-上式中k為當前時刻，uk為當前時刻的輸出，uki, i1,2,n為過去第i個時刻的輸出，ek為當前時刻控制器的輸入，eki, i1,2,n為過去第i個時刻控制器的輸入，所以當前時刻的控制輸出uk表為過去時刻輸入與輸出的線性組合uk(a1uk1anukn)(b0ekb1ek1bnekn

(8-作為線性系統(tǒng)的控制，上式清晰地表明了當前的控制與歷史數(shù)據(jù)之間的依賴關系。如果當前的控制只依賴于前一時刻的數(shù)據(jù)，則為一階控制器，如果當前的控制依采樣間隔時間Ts的確在數(shù)字控制方法的設計中，還有一個重要的問題，就是采樣間隔s的大小如何來確定？由于實際控制系統(tǒng)的頻帶寬度均不是銳截止的，所以得不到系統(tǒng)頻帶寬度的上限，此時準確的依據(jù)采樣定理來確定采樣頻率s的。來確定采樣頻率s。一般情況下，可以得到系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率c。雖然系統(tǒng)的頻率響應在高于c之后的頻段不是銳截止的，但是一般具有常數(shù)斜率。因此，在設計時，可以選擇采樣頻率s為開環(huán)截止頻率c的十倍頻以上，即s (8-T相應地，由于sTs

T

(8-由于系統(tǒng)具有低通特性，以上面的方法確定的采樣頻率基本不會丟掉信號的主要頻率分量，是切實可行的。 -

-----------

8-39開環(huán)截止頻率c與采樣頻率如果已知模擬控制器Gc ，除了應用前面講過脈沖傳遞函數(shù)的求取方法來得Dc(zDc(z。模擬控制器Gc(s)一般寫為s U bsm sm1bss

Gc(s)

0，n (8-asas(sn

sn1asa)U(s)

sm sm1bsb x xk

xkxkTx 2

xkT n1xn1 xk kT整理即可得到uk

ukf(uk1,uk2,,ek,ek1, (8-由于 uk為過去時刻的控制uk1uk2的函數(shù)，以及當前時刻的輸入ek

的函數(shù)，且為線性函數(shù)。也就是說，ukuk1uk2,ekek1,

u(t)ukKu(t)1

(8-(8-e(t) (8- kkuTs

(8-T T uTsk

e e e e

k k

sk iik iiTuT

Ts Ts Ts

k

ik iku Ts (8-T k1 TTuu Ts (8-T

k1 d

u

u(t)TDdtekek1TD[e

(8-(8-

k U(s)K

)K(1TITI

(8-sU(s)K(1Ts)ITITK[E(s)Ts (8-

ukuk1K

Tekek1 (8-

K

ukuk1 [(TITs)ekTIek1 (8-TITU(s)K(1T (8-

U(s)K(1TDs) (8-ukK

ekek1sK[(1TD)s

TD

(8-PID控制關系為

kU(s)K

TD

K(1TIsTITDs2TI

(8-sU(s)K(1TsTTs2) (8-

kek

ekek1

I1[e (8-k k

k

2eekek11[e kk kkT1[1(e )1T

k 1

ks

k k

2[ek2ek1ek2TsT

(8-ukuk

K[e

TI(e

ek

)TITDT2ksT2k

k

ek2kkkku KTs[(1TITITD)e )

2TI TI k

T

T k

T k

(8-8-18]8-40GC(s25(s為GC(s) ，用微s解由于

25(ss25(ssG(s25(s50)U s (s2)U(s)25(s50)sU(s)2U(s)25[sE(s)50

u2u25(eukuk12u

ekek

50e

u 25(150T 1

k

e1 1

ek

1s(s1s(s(1)s2(0.1KTD)sK根據(jù)給定的性能指標Mp20%，調節(jié)時間ts10秒可以確定出 0.5

nnKnKTDKTDTuK[(1TD)eTD TT Ts

ksu0.36[(11.39)ek當Ts0.01秒時，控制量為當Ts0.02

k uk50.4ekuk25.38ek

ek1從以上的計算可以看出，當ek與ek1等值時，控制uk0.36。當ek與ek1不等值時，控制輸出uk反映出ek與ek1的差值，且差值越大，控制uk就越首先是采樣間隔時間Ts的確

-- 已知系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率

定采樣頻率s為c的十倍頻以s

36-G(s)3.6(1.39s開上讀到c3.6，則確定采樣頻率為

s(10scs10c36c相應地，采樣間隔時間Ts的上限確定Ts0.175所以對于微機運算速度的要求為控制輸出uk算式需要計算兩次乘法和一次加法，A/DD/A175(ms)內完成。z在采樣控制中，通常稱一個采樣周期為一拍。使得采樣系統(tǒng)的響應可以在有限個設典型輸入信號為1(tt1(t1t21(tz21Z[1(t)]1z

(8-Z[t]

(1

(8-Z[2

t2]

1T2(1z (1z

(8-由于上述信號均含有(1z1)因子，一般表達式可以R(z)

(8-其中Az)為不含(1z1)因子的以z1為變量的多項式。

()lim(1z1)lim(1z1)G(z) lim(1z1)G(z) 0 (8- (1zG(z為誤差脈沖傳遞函數(shù)。則要求G(z應該具有(1z1) G(z)(1z1)G x其中，因式G(z為不含有(1z1z1的有理分式。當系統(tǒng)為單位反饋時，系xGC(z)1Ge (8-為了使得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GC(z)具有無窮大穩(wěn)定度極點z0，且含有

Gx(z)Ge(z)(1z1)GC(z)1(1z1)

(8-(8-上兩式即為使得采樣系統(tǒng)的響應具有最少拍的條件。此時閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GC(z)z0當1當2

(z)1(1z1)z1z(z)1(1z1)22z1z22zz

(8-(8-當 G(z)(1z1)33z13z2z33z3z2時，

(8-z由于輸入信號是帶有(1z1)因子的，輸入信號不同，

的值就不同，所以

Ge(z)(1z1)GC(z)1(1z1)C(z)GC(z)R(z)[1Ge(z)]R(z)[1Ge(z)]R(z)

R(z

A(z(1z1

(8-R(z) 1z1

1z1z2znA(z1及1Ge(z)1z (8-GC(z)zC(z)R(z)A(z) 1z1z2zn (8-1z8-43所示。tt0T2T3T 0T2T3T圖8-43一階最少拍響 圖8-44二階最少拍響r(ttzR(z)

Tz(1z1

Tz12Tz2nTznGe(z)(1z1)212z1z (8-GC(z)2z1z

Tz C(z)R(z)A(z)(1z1)22Tz23Tz3nTzn (8-r(t1t2z222R(z)

2(1z1)3

z1

2z

2

n2T2zn2，，C(z)

Ge(z)(1z1)313z13z2z (8-GC(z)3z13z2zT2z1(1z1)T2z1(1zR(z) 2(1 1.5T2z24.5T2z3

nT222

zn (8-t圖8-45所示。表8-4最少拍系統(tǒng)的條件與參 0T2T3TGeGC11z1zzTtTz(1z12z1z2z1z1t21T2(1 (113z13z2z3z13z2z3.

G(z) 1

z (8-D(z)

1

(8-D(z)2z1z2(1

1(8-D(z)3z13z2z3

(8-(1 [例8-20]設單位反饋離散控制系統(tǒng)如圖8-47TTTTs(s 試求在輸入信號為r(t)t時，使得系統(tǒng)成為最少拍系統(tǒng)的最少拍控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)，并分析該最少拍系統(tǒng)對其他類型信號時的響應。(1)計算最少拍控制器G(s)

(s)

(s)1es

s(s3.68z1(1G(z)Z[Gh(z)G0(z)](1z1)(10.368z1

2z1z2

(1 將開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)0.543(10.368z1)(1D(z)

(1z1)(1

GC(z)2z1zC(z)GC(z)R(z)(2z1z2)t當輸入階躍信號r(t)t1C(z)GC(z)R(z)(2z1z2)1z2z1z2z3zn最少拍系統(tǒng)相比，響應時間需要2拍，且在tT時的當輸入勻加速信號r(t)1t22

0T2T3TC(z)

2(1z1)3z23.5z37z411.5z517z6(1n21)zn2t信號時，可以實現(xiàn)快速，但是為有差。與三t0T2T3T思考什么叫信號的采樣實際的采樣與理想采樣有什么區(qū)別？對系統(tǒng)會產生什么影響對連續(xù)時間信號進行采樣，應滿足什么條件才能作到不丟什么叫保持器？保持器的功能是什么零階保持器的傳遞函數(shù)是什么零階保持器的頻率特性有什么用零階保持器恢復的連續(xù)時間信號有何顯為什么采樣信號的數(shù)學描述采用z變換而不采用拉氏變換試解釋z變換試解釋z變換的時間試解釋z變換的收斂z反變換有哪幾種方法？各有什么優(yōu)z反變換恢復的信xtx(t嗎？為什么什么叫差分？差分有哪幾種？主要有些什么區(qū)別差分方程求解有什么方法？各有什么優(yōu)脈沖傳遞函數(shù)是如何來描述采樣系統(tǒng)敘述求取系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的計算步驟如何求得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)試推導帶零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)試推導閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)對于用閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)描述的采樣控制系統(tǒng)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么？如何采用變換域勞斯判據(jù)來確定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)試敘述采樣間隔T的變化對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響如何用數(shù)值微分法寫出數(shù)D(z最少拍控制的理論依據(jù)是什么？在應用中有哪確定數(shù)字控制系統(tǒng)采樣頻率s的依據(jù)是如何確定的 x(t)Ax(t)tx(t)1x(t)2tx(t)eatsinX(s)X(s)

(s5)(s10)(s5)(s1X(s)s2(s1X(s)

s2(sz變換X(z)zx(t)zX(z)X(z)

(z1)(zz

X(z) (zeT)(ze2T

X(z)

(z1)2(z分別用z變換法和迭代法(解出5x(k2)3x(k1)2x(k)u(kx(k2)3x(k1)2x(k)

初始條件x(0)0,x(1)初始條件：x(0)1,x(1)x(t)=1(t)

T1s

8- 波形c(t)。

T1T1ssT1sTs11sTs8-已知系統(tǒng)結構圖如題圖所示，采樣間隔為T1秒，試求取開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)GO(z，閉環(huán)s1s沖傳遞函數(shù)Gs1s +

8-

TT

TT8-TTT+8-(z1)(z0.2)(z2)z31.5z20.25z0.4Ks(s已知采樣系統(tǒng)的結構圖如題圖所示，試確定Ks(s +

1s1s1s1s+

8-給定采樣間隔為T0.2秒，試分析題圖系統(tǒng)的穩(wěn)定性T+s(0.05s1)(0.1s28-C(z)

zz2az校正后的控制系統(tǒng)如題圖所示，如采用計算機控制，由數(shù)字控制器Dc(z)代替模擬控制 對象+118-校正后的控制系統(tǒng)如題圖所示，如采用計算機控制，由數(shù)字控制 Dc(z)代替模擬控制Gc(s)，試寫出迭代控制算式的表達式，并確定采樣間隔時間T的上限 對象+s(0.025s1)(0.1s8-)2s(s2s(s

8-1采樣信號的將采樣信號作z變換，具有應用方便，物理意義明確等優(yōu)點，因此得到了廣泛的zz變換在以下幾個方面是不令人滿意為了提高離散模型的精度而將采樣間隔T取得過小，則由z變換所確定的離散系統(tǒng) 1附近，造成較大的模型誤差。(3)對于某些最小相位的連續(xù)系統(tǒng)，由z變換所確定的離散系統(tǒng)，有可能產生不穩(wěn)定零點，著控制工程技術。從80年代初期開始，國內外學者相繼開展了采用變換的離散模型的研究，取代z變換，可以有效地克服上述z變換所帶來的缺點。在該研究方向上研究成果比較突出的有澳大利亞的Goodwin教授和防衛(wèi)大學的金井教授。在金井教授的專著和其他人的專門文獻中，是采用了時域算子作為變換的名稱來使用的，所以均稱為z稱作為變換的名稱，因此在此稱其為變換。這樣從前后知識的關系上和對于內容的理解上更為方便一些。在此僅對變換作一些基本的介紹，有關變換的更為詳細的內容，請參閱有關的專門書籍。f(t，在規(guī)定了采樣間隔時間Tftf(t)k

f(kT)(tkT (F-式中，TF(s)L[f(t)]k

f(kT) (F-F(z)

f(kT)

Ts

f(kT)z (F-k

z

k當采樣間隔時間T0ftf(tlimf(t)fT

(F-但是在變換域中，當采樣間隔時間T0ftzF(z并不是趨于連續(xù)時間信號f(t)的拉氏變換F(s)，即limF(z)FT

(F-對于離散時間信號ft的變換域描述Tft，在采樣間隔時間T0時，要有變換域描述T[f(t)]趨于原連續(xù)時間信號的拉氏變換F(s)，表為]

limT[f(t)]FT

(F-首先，取連續(xù)時間信號f(t)的離散面積近f(t)為f(t)

k

[f(kT)T](tkT (F-tt0T2T…kT 0T2T…kT(a)脈沖離散信 (b)面積離散信對式(F-7)作z變換

圖F－1續(xù)信號的離散近Z[f(t)][f(kT)T]zkTk

f(kT)zTF (F-因子T，即采樣間隔時間，在掌握了普通z變換的基礎上是很容易得到的。

zT (F-F()Tk

f(kT)(T (F-式(F-10)定義的變換，當采樣間隔時間T0f(t)的趨于連續(xù)時間信號的拉氏變換F(s)(不考慮算子表示符號的差別)，滿足式(F-6)的先limF()FTF()TFzT

(F-F()Tk

I(k)100f(kT)z(T

kkf(kT)I(k

TT

(F-1(F-其普通z

f(k)00

k(F-k

F()TF

F(z)1zT

(F-TzT 1z1zT

(F-1當采樣間隔時間T0時，有階躍信號的變換趨變1F(

T

T

T0

(F-其普通z

f(kT)00

kkTz

(F-TzTz(1z1

F(z)(1z1

T

(F-F()TF(z)zT1T當采樣間隔時間T0時，有斜坡信號的

zT

(F-F(

T

T

T

(F-E[af1(k)bf2(k)]aF1()bF2(

(F-E[1(km)f(km)](T1)mF()T1(i)f(i)(T當T0時，有變換的時間移位定理

(F-E[mf(k)]mF()(T1)m1iif

(F-當T0時，有變換的前向差分定理趨變換的微分定理

E[mf(k)]mF()(T1)mii1f當T0時，有變換的逆前向差分定理趨變換的積分定理

(F-E[(T1)kf(k)]F(T1T

(F-當T0時，有變換的頻率移位定理趨變換的位移定理f(0) F( (F-T當T0時，有變換的初值定理趨變換的初值定理f() F( (F-0T當T0時，有變換的終值定理 kE[Tf1(i)f2(ki)]F1()F2(當T0時，有變換的卷積和定理趨變換的卷積定理

(F-似，也可以用兩種方法。法是部分分式法，另法是基于復變函數(shù)逆積分F()一般表為自變量的分子多項式與分母多bm m1b

(F-本項，由f(k。根據(jù)分解項的分子上是否含有因F(的分子上含有因子(T1)

F((T

的各項乘以因子(T1)f(k為各分量項反變換fi(k)的代數(shù)和。F(的分子上不包含因子(T1)時，直接將F()展開部分分式，再將分解的各項乘以因子(T1)。由于因子(T1)表示一步延遲，所以離散時間序列f(k)為各分量項反變換fi(k一步延遲fi(k1)的代數(shù)和。反變換的結果為f(k1)。F()5(T(

(F-F(的分子上含有因子(T1)F()(TF()(T兩邊乘以因子(T1)

(

1

(F-F()(T1)(T

(F-

(T(T

1(kTf(kT)E1[F()]1(kT)F() (

(F-(F-兩邊乘以因子(T1)

F() (

1

(F-(T1)F()(T1)(T

(F-

(T(T

1(kT

f[(k1)T]E1[F()]1[(k1)T] (F-zG(z)的求法，可以得到域的脈沖傳遞函數(shù)G(。在此不對G()重新定義，只要利用傳統(tǒng)z變換的方法就可以得到域的脈沖傳遞函數(shù)。由于連續(xù)時間系統(tǒng)G(s)g(t) (F-g(t)中的各項時間分量fi(t)與其Fi()都可以從變換表中查到，也就得到了域的脈沖傳遞函數(shù)G()。使用域的脈沖傳遞函數(shù)G()作為離散系統(tǒng)的數(shù)學模型其特點是原理性的。當離散化使用的采樣間隔時間T改變時，離散模型G()也隨著改變。當采樣間隔時間T0時，有離散模型G()趨于連續(xù)時間模型G(s)，即limG()T關于s平面、z平面、平面上關系的比較如圖F-2所示平x00jz平x

(F-- - z域離散模型G(z)在采樣間隔時間T0時，并不趨于連續(xù)時間模型G(s)，與實際情況不相符合，所以會產生較大的模型誤差。因此，從原理上域上的離散系統(tǒng)模型G(z域上的系統(tǒng)模型G(z)。G(s) s(s1)(s

(F-解(1)求域的脈沖傳遞函數(shù)G(系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)G(s) s(s1)(s

15s

30s

s

g(t)L1[G(s)]115