理科數(shù)學(xué)空間點(diǎn)、直線(xiàn)平面之間位置關(guān)系

第3講空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系[

考綱]理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.知識(shí)梳理平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線(xiàn)上的

兩點(diǎn)

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)．公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有

一個(gè)

公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)．(4)公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條

平行直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面．2．空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系異面直線(xiàn)：不同在

任何

一個(gè)平面內(nèi)

平行共面直線(xiàn)

相交②范圍：

.

(2)異面直線(xiàn)所成的角①定義：設(shè)

a，b

是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)

O

作直線(xiàn)

a′∥a，b′∥b，把

a′與

b′所成的

銳角(或直角)

叫做異面直線(xiàn)

a與b

所成的角(或夾角)．

π0，2(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于

同一條直線(xiàn)

的兩條直線(xiàn)互相平行．②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

相等或互補(bǔ)

．空間直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有相交、

平行、

在平面內(nèi)

三種情況．平面與平面的位置關(guān)系有

平行、

相交

兩種情況．辨析感悟?qū)ζ矫婊拘再|(zhì)的認(rèn)識(shí)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分．

(×)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于A(yíng)點(diǎn)，記作α∩β＝A.

(×)兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面．(√)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(×)2．對(duì)空間直線(xiàn)關(guān)系的認(rèn)識(shí)(5)已知a，b是異面直線(xiàn)、直線(xiàn)c平行于直線(xiàn)a，那么c與b不可能是平行直線(xiàn)．(6)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．(√)(×)[感悟·提升]1．一點(diǎn)提醒詞，做有關(guān)平面基本性質(zhì)的判斷題時(shí)，要抓住關(guān)鍵且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中兩個(gè)不重合的平面還可把空間分成三部分．兩個(gè)防范一是兩個(gè)不重合的平面只要有一個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)平面一定相交得到的是一條直線(xiàn)，如(2)；二是搞清“三個(gè)公共點(diǎn)”是共線(xiàn)還是不共線(xiàn)，如(4)．一個(gè)理解異面直線(xiàn)是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)就是異面直線(xiàn)，如(6).考點(diǎn)一 平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】(1)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)；(

)．②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線(xiàn)a，b共面，直線(xiàn)a，c共面，則直線(xiàn)b，c共面；④依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面．A．0C．2B．1D．3(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1

中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么正方體的過(guò)P，Q，R的截面圖形是

(

)．A．三角形C．五邊形B．四邊形D．六邊形解析(1)①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線(xiàn)，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．(2)

，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長(zhǎng)與CB延長(zhǎng)線(xiàn)交于M，連接MR交BB1于E，連接PE，則PE，RE為截面的部分外形．同理連PQ并延長(zhǎng)交CD于N，連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G.∴截面為六邊形PQFGRE.答案

(1)B

(2)D規(guī)律方法

(1)公理1是判斷一條直線(xiàn)是否在某個(gè)平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線(xiàn)共面的依據(jù)；公理3是證明三線(xiàn)共點(diǎn)或三點(diǎn)共線(xiàn)的依據(jù)．要能夠熟練用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言來(lái)表示公理．(2)畫(huà)幾何體的截面，關(guān)鍵是畫(huà)截面與幾何體各面的交線(xiàn)，此交線(xiàn)只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線(xiàn)的位置．【訓(xùn)練1】

是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形的序號(hào)是

．解析

可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中， ，取A1A和BC的中點(diǎn)分別為M，N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P，Q，R，S四點(diǎn)不共面．答案

①②③考點(diǎn)二 空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系【例2】如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線(xiàn)；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是

．解析

把正四面體的平面展開(kāi)圖還原．

，GH與EF為異面直線(xiàn)，BD與MN為異面直線(xiàn)，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案

②③④規(guī)律方法

空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線(xiàn)，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線(xiàn)，可利用三角形(梯形)中位線(xiàn)的性質(zhì)、平行公理及線(xiàn)面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．【訓(xùn)練2】

在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線(xiàn)GH，MN是異面直線(xiàn)的圖形有

(填上所有正確答案的序號(hào))．解析

圖①中，直線(xiàn)GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，

因此直線(xiàn)GH

與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．答案

②④考點(diǎn)三 異面直線(xiàn)所成的角【例3】在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)DE與PA所成角的余弦值．審題路線(xiàn)

(1)找出PB與平面ABCD所成角?計(jì)算出PO的長(zhǎng)?求出四棱錐的體積．(2)取AB的中點(diǎn)F?作△PAB的中位線(xiàn)?找到異面直線(xiàn)DE與PA所成的角?計(jì)算其余弦值．解

(1)在四棱錐

P－ABCD

中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO

是PB

與面ABCD

所成的角，即∠PBO＝60°，∵BO＝AB·sin

30°＝1，∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan

60°＝

3，∵底面菱形的面積

S＝2×

3

22＝2

3.4

×∴四棱錐P－ABCD

的體積V1P－ABCD＝3×2 3×

3＝2.(2)取AB的中點(diǎn)

F，連接

EF，DF，∵E

為PB

中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF

為異面直線(xiàn)

DE

與PA

所成角(或其補(bǔ)角)．在

Rt△AOB

中，AO＝AB·cos 30°＝

3＝OP，∴在

Rt△POA

中，PA＝

6，6∴EF＝

2

.在正△ABD

和正△PDB

中，DF＝DE＝

3，在△DEF

中，由余弦定理，得cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF22DE·EF

62 32＋

2

－＝322×

3×62643

2＝

＝24.2即異面直線(xiàn)

DE

與PA

所成角的余弦值為

4

.規(guī)律方法

(1)平移線(xiàn)段法是求異面直線(xiàn)所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線(xiàn)，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體

步驟如下：①平移：平移異面直線(xiàn)中的一條或兩條，作出異面直線(xiàn)所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線(xiàn)所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；

π④取舍：由異面直線(xiàn)所成的角的取值范圍是0，2，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線(xiàn)所成的角．(2)求異面直線(xiàn)所成的角要特別注意異面直線(xiàn)之間所成角的范圍．【訓(xùn)練3】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則A1B與EF所成角的大小為

．解析

如圖，連接

B1D1，D1C，B1C.由題意知

EF

是△A1B1D1

的中位線(xiàn)，所以

EF∥B1D1.又A1B∥D1C，所以

A1B與EF所成的角等于

B1D1

與D1C

所成的角．1

1

1

13π因?yàn)椤鱀

B

C

為正三角形，所以∠B

D

C＝

.13故A

B

與EF

所成角的大小為π.答案π3證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，常用的方法是：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線(xiàn)上．證明點(diǎn)或線(xiàn)共面問(wèn)題，一般有以下兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(xiàn)(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線(xiàn)(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合．異面直線(xiàn)的判定方法判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線(xiàn)和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)；反證法：證明兩線(xiàn)不可能平行、相交或證明兩線(xiàn)不可能共面，從而可得兩線(xiàn)異面．思想方法7——構(gòu)造模型判斷空間線(xiàn)面的位置關(guān)系【典例】已知空間三條直線(xiàn)l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則

A．m與n異面

B．m與n相交

C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能(

)．[解析]

在 的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．[答案]

D[

感悟]這類(lèi)試題一般稱(chēng)為空間線(xiàn)面位置關(guān)系的組合判斷

題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線(xiàn)面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過(guò)舉出反例說(shuō)明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見(jiàn)的空間幾何體(如正方體、正四面體等)為模型進(jìn)行推理或者反駁．【自主體驗(yàn)】1．設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面(

)．A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β

，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m∥α，α⊥β，則