藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片

第四節(jié)中值定理洛必達(dá)法則一、中值定理二、洛必達(dá)法則

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一、中值定理

定理2-1（羅爾(Rolle)中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

(a<<b),使得f()=0成立。

證明（1）若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上為常數(shù)，則f(x)=0，因而，(a,b)內(nèi)任何一點(diǎn)都可取作。（2）若函數(shù)f(x)在[a,b]上不是常數(shù),必存在最大值M和最小值m，且M與m至少有一個不等于f(a)。xyoa1bCy=f(x)

藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!不妨設(shè)M≠f(a),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得f()=M。由于∈(a,b),故f()存在。而f()=M，所以，當(dāng)x足夠小時，f(+x)-f()≤0,若若二者又相等，所以f()=0成立。藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!

拉格朗日，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年1月25日生于意大利西北部的都靈，1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討“等周問題”的過程中，他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的論著使他成為當(dāng)時歐洲公認(rèn)的流數(shù)學(xué)家。1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了《分析力學(xué)》一書，建立起完整和諧的力學(xué)體系。1786年，他接受法王路易十六的邀請，定居巴黎，直至去世。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。

藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!所以函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[a,b]上滿足羅爾中值定理的條件,則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得即

拉格朗日中值定理的幾何意義：一段連續(xù)曲線y=f(x)除端點(diǎn)外，處處有不垂直于x軸的切線，則在該段曲線上至少有一點(diǎn)(,f())的切線，與曲線端點(diǎn)的連線平行。藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

例2-27求證不等式sinx-siny≤x-y。

證明建立函數(shù)z=sint。函數(shù)z=sint在區(qū)間[x,y]（不妨設(shè)x≤y）上滿足拉格朗日中值定理的條件，則在(x,y)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得所以即sinx-siny≤x-y藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!構(gòu)造輔助函數(shù)因?yàn)?/p>

，且F(a)=F(b)=0所以函數(shù)F(x)在[a,b]上滿足羅爾中值定理的條件，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得即藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!當(dāng)x→x0（或x→±∞）時的極限

lim

f(x)=lim

g(x)=0或∞，那么極限

可能存在，也可能不存在，通常稱為不定式(未定式)(indefiniteform)記作

不定式：0/0,∞/∞,0·∞,1∞,00,∞-∞

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證明在條件（1）的鄰域中任取一點(diǎn)x0，不妨設(shè)x>x0。由條件（1）知，函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間[x,x0]上滿足柯西中值定理的條件（若在x0點(diǎn)不連續(xù)，則補(bǔ)充定義f(x0)=0,g(x0)=0），則至少存在一點(diǎn)(x0,x)，使得當(dāng)xx0時，必有x0

，所以藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!

例2-28求

解設(shè)f(x)=e2x-1,g(x)=3x。兩個函數(shù)滿足洛必達(dá)法則中條件（1）、（2），且f

(x)=2e2x,g(x)=3。

由于所以，根據(jù)洛必達(dá)法則，藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!

型未定式解法

方法：把它們轉(zhuǎn)化成或型后，再用洛必達(dá)法則求極限。

型

例2-31求

解

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-型

例2-32求

解

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例2-34求

解設(shè)，則所以藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!其他不定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!

羅爾中值定理的幾何意義：一段連續(xù)曲線y=f(x)除端點(diǎn)外，處處有不垂直于x軸的切線（即可導(dǎo)），且在兩個端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等（即f(a)=f(b)），則在該段曲線上至少有一點(diǎn)(,f())的切線與x軸平行。

例2-26已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)。不求導(dǎo)，判斷方程f

(x)=0的實(shí)根個數(shù)和范圍。

解

f(x)的連續(xù)性和可導(dǎo)性是明顯的，且f(1)=f(2)=f(3)=0，故在區(qū)間[1，2]、[2，3]上均滿足羅爾中值定理的條件，則在（1，2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)1，使得f

(1)=0；在（2，3）內(nèi)至少存在一點(diǎn)2，使得f

(2)=0。而f

(x)=0是一元二次方程，最多有兩個實(shí)根，分別在開區(qū)間（1，2）、（2，3）內(nèi)。藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理）如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

(a<<b),使下面等式成立。

或f(b)-f(a)=f

()(b-a)

證明構(gòu)造輔助函數(shù)則且F(a)=F(b)=0藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!

推論2-3如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零,則函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)為常數(shù)。

證明任取x1、x2∈(a,b),則f(x)在閉區(qū)間[x1,x2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,在（x1,x2）內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得由于f

()=0，即f(x2)-f(x1)=0，f(x2)=f(x1)所以函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)為常數(shù)。

推論2-4如果函數(shù)f(x)、g(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)恒有f

(x)=g(x),則在(a,b)內(nèi)f(x)、g(x)相差一個常數(shù)，即f(x)=g(x)+C，其中C為常數(shù)。藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!

定理2-3（柯西(Cauchy)中值定理）如果函數(shù)f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)≠0。則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

成立。

證明

g(x)在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理的條件,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得即g(b)-g(a)=g()(b-a)。由于g()≠0,故g(b)-g(a)≠0。藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!二、洛必達(dá)法則洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家。1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎。洛必達(dá)出生于法國貴族家庭，青年時期一度任騎兵軍官，因眼睛近視而自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究。15歲時解決了帕斯卡所提出的一個擺線難題。他是萊布尼茨微積分的忠實(shí)信徒，并且是約伯努利的高徒，法國科學(xué)院院士。.

藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!洛必達(dá)法則(L′Hospital)法則如果函數(shù)f(x)、g(x)滿足以下條件：（1）在x0點(diǎn)的某個鄰域(x0點(diǎn)可除外)內(nèi)可導(dǎo),且g(x)≠0;（2）（3）存在。則存在，且藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!

將xx0改為x，結(jié)論仍成立。因?yàn)?，設(shè)，則當(dāng)x時，t0。故

將條件（2）改為，即

為型不定式，結(jié)論也成立。藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片共26頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

例2-29