理論力學達朗貝爾原理課件

達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的一個新的普遍的方法，即用動力學中研究平衡問題的方法來研究動力學問題，故又稱為動靜法。它借助于的質點和質點系虛加慣性力，動靜法在形式上將動力學問題化為靜力平衡問題，以靜力平衡方程的形式列出動力學方程。

達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的一個新的普

受非零力系作用的物體將改變運動狀態(tài)。由于物體具有慣性，力圖保持其慣性運動，所以它同時給予施力體以反作用力，這種反作用力稱為慣性力。例如，一質量為m的小球M，用細繩系住，繩的另一端用手握住，使小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，其速度為v，半徑為r，如圖14－1所示?！?4-1慣性力的基本概念受非零力系作用的物體將改變運動狀態(tài)。§14-(b)(a)

與上述例子實質相同的力學現(xiàn)象不勝枚舉。可將質點慣性力的概念歸結如下：一質量為m的質點受到力F的作用，具有加速度a。則由動力學第二定律有(b)(a)與上述例子實質相同的力學現(xiàn)象不勝枚舉。可質點對施力體的反作用力并記作，則有,稱為質點的慣性力，

可見，質點慣性力的大小等于質點質量與其加速度的乘積，方向與加速度方向相反，而作用在迫使質點改變運動狀態(tài)的施力物體上。將（14－1）式可向固定直角坐標系投影有

（14－2）

（14－1）質點對施力體的反作用力并記作，則有,稱為質點的慣性力，若在自然軸系上投影則有（14－3）

上式表明，質點的慣性力也可分解為沿軌跡的切線和法線的兩個分力：切向慣性力和法向慣性力，他們的方向分別與切向加速度和法向加速度相反。若在自然軸系上投影則有（14－3）上式表明，質點的慣一、質點的達朗貝爾原理

設質量m為的質點，在主動力、約束反力的作用下運動，其加速度為a，如圖（a）所示。(a)(b)§14－2質點和質點系的達朗貝爾原理一、質點的達朗貝爾原理設質量m為的質點，在主對質點M應有上式可改寫為由于，則上式記作：

（14－4）

這說明，在質點運動的任一瞬時，質點所受的主動力、約束反力與質點的慣性力的矢量和為零。也可理解為：在質點運動的任一瞬時，質點所受的主動力、約束反力與虛加的質點的慣性力構成一零力系，這即為質點的達朗貝爾原理。應該明確：式（14－3）只具有靜力平衡方程的形式，而沒有平衡的實質。對質點M應有上式可改寫為由于，則上式記【解】以擺錘為研究對象，設它的質量為。擺錘與車廂一樣，有向右的加速度。則擺錘上作用的力有：(a)(b)(c)

、和，其中。例14-1如圖所示，一沿水平直線向右作勻加速運動的車廂內(nèi)懸掛一單擺，在正常狀態(tài)下擺的懸線向左偏斜，與鉛垂線成角，相對于車廂靜止。試求車廂的加速度a?！窘狻恳詳[錘為研究對象，設它的質量為。擺錘與車廂一樣，有向右由靜力平衡方程則即二、質點系的達朗貝爾原理

對質點系中每一個質點應用質點的達朗貝爾原理，然后加以綜合，就得到質點系的達朗貝爾原理。由靜力平衡方程則即二、質點系的達朗貝爾原理對質點系

設質點系由n個質點組成，其中第個質點的質量為。它在主動力和約束反力作用下運動，其加速度為。則點虛加的慣性力，相應地有（14－5）

對整個質點系而言，這樣的零力系共有個，它們綜合在一起仍構成一零力系。因此，在質點系運動的任一瞬時，作用于質點系的主動力、約束反力與虛加的質點系的慣性力構成一零力系。這即為質點系的達朗貝爾原理。

在應用質點系的動靜法時，應當分析并畫出質點系所受的外力，再虛加上質點系的慣性力，兩者共同構成一個虛擬的零力系?？砂挫o力學方法列出該力系的平衡方程。設質點系由n個質點組成，其中第個質點的質量為

若研究整個剛體的運動，可以用靜力學中所描述的方法將剛體的慣性力系向一點簡化，用簡化結果等效地代替原來的慣性力系。

設將剛體的慣性力系向任選一點O的簡化，則慣性力系的主矢為又有，故有（14－6）§14－3剛體慣性力系的簡化若研究整個剛體的運動，可以用靜力學中所描述的方法將剛

即慣性力系主矢的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度相反。不論剛體作任何運動，這個結論均成立。

至于剛體慣性力系的主矩，則與簡化中心的位置和剛體的運動形式有關。

現(xiàn)討論剛體作平行移動、定軸轉動和平面運動三種情況下剛體慣性力系的簡化結果。一、剛體作平行移動

在同一瞬時，平動剛體上各質點具有相同的加速度。任一質點的慣性力為即慣性力系主矢的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積

可見各質點的慣性力的大小與各自的質量成正比，方向都與共同的加速度相反。即此時平動剛體的慣性力系是一個同向平行力系，各力大小與各點質點質量成正比，如圖所示。＝

由平行力系中心的概念，可知此力系合成為通過質心c之合力?？梢姼髻|點的慣性力的大小與各自的質量成正比，即（14－7）

此式表明：剛體平動時，其慣性力系向質心c簡化為一力，這個力的大小等于剛體質量與加速度的乘積，方向與加速度相反。二、剛體作定軸轉動

這里限于研究剛體具有垂直于轉軸系的質量對成平面N的情況，如圖所示。即（14－7）此式表明：剛體平動時，其慣性力系向質心c＝(a)(b)

通過上圖可將整個剛體的慣性力系從空間力系轉化為對稱平面內(nèi)的平面力系。再將該平面力系向對成平面的轉動中心o（即為轉軸與對稱平面的交點o

）簡化，可得到一個力和一個矩為的力偶。＝(a)(b)通過上圖可將整個剛體的慣性力系從空間力力矢可由（14－5）式求得，即（14－8）

而應等于慣性力系對o點的主矩。設剛體轉動的角速度為ω，角加速度為α。記的轉動半徑為，則相應地

方向如圖（b）。于是力矢可由（14－5）式求得，即（14－8）而即（14－9）上式的負號表示慣性力主矩的轉向與角加速度相反。

式（14－7）和式（14－8）表明：剛體定軸轉動時，其慣性力系向轉動中心簡化為一個力和一個力偶。其中這個力的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反，作用線通過轉化中心。這個力偶的矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，作用在垂直于轉軸的對稱平面內(nèi)，轉角與角加速度的轉向相反。得出上述的結論有兩個限制條件：即（14－9）上式的負號表示慣性力主矩的轉向與角加速度相反。（1）剛體具有垂直于轉軸系的質量對稱平面；（2）以轉動中心（轉軸系與質量對稱平面的交點）為簡化中心。特殊情況：（1）轉軸通過剛體的質心o，如圖（a）所示。此時（2）剛體作勻速轉動，如圖（b）所示。此時（1）剛體具有垂直于轉軸系的質量對稱平面；（2）以轉動中心（(a)(b)（α=0）三、剛體作平面運動（1）平面運動剛體慣性力系的簡化設剛體的角速度為ω，角加速度為α，質心加速度為。選質心c為基點，則剛體對稱平面內(nèi)任意代表點的加速度可以分解為牽連加速度和相對加速度，相應地慣性力也有此關系，如圖（a）所示。(a)(b)（α=0）三、剛體作平面運動（1）平面運動剛體慣

這樣，剛體的慣性力系可設想為分成兩組：一組是牽連慣性力，它的分布情況與剛體以加速度作平動時相同；另一組是相對慣性力，它的分布情況與剛體繞質心軸轉動時相同。則由剛體作平行移動和剛體作定軸轉動（轉軸通過剛體質心）的結果可知：前一組慣性力合成為作用在質心的一個力，后一組慣性力合成為一個力偶。(a)(b)這樣，剛體的慣性力系可設想為分成兩組：一組是牽連慣性即

（14－10）

（14－11）

式（14－9）和（14－10）即為平面運動剛體的慣性力系的簡化結果。例14-2重量為P，半徑為R的均質圓盤可繞垂直于盤面的水平軸O轉動，O軸正好通過圓盤的邊緣，如圖所示。圓盤從半徑CO處于鉛垂位置1無初速度釋放轉下，求當圓盤轉到OC成為水平位置2時軸的動反力。即（14－10）（14－11）式（14－9）和（【解】（1）應用動能定理求在位置2時的瞬時角速度ω，有

代入（1）式得又（1）（2）（2）設圓盤得角加速度為α，則有得（3）【解】（1）應用動能定理求在位置2時的瞬時角速度ω，有代入代入（3）式有（4）將（2）式代入有（5）代入（3）式有（4）將（2）式代入有（5）【解】例14-3滾子半徑為R，質量為m，質心在其對稱中心C點，如圖(a)所示。在滾子得鼓輪上纏繞細繩，已知水平力沿著細繩作用，使?jié)L子在粗糙水平面上作無滑動得滾動。鼓輪得半徑為r，滾子對質心軸得回轉半徑為ρ。試求滾子質心的加速度和滾子所受的摩擦力。以滾子為研究對象。作用于滾子上的外力有重力、水平拉力、地面法向反力和滑動摩擦力，如圖所示。設滾子的質心加速度為，則由純滾動條件有，相應地有【解】例14-3滾子半徑為R，質量為m，質心在其對稱中心C對圖（b），由平衡方程得將代入上式有則代入，有討論：靜摩擦因數(shù)滿足什么條件，滾子才能發(fā)生純滾動？對圖（b），由平衡方程得將

作定軸轉動的剛體，若重心不在轉軸上，將引起軸承的附加動反力。如剛體轉速較高，附加動反力將十分巨大，會造成各種嚴重的后果。下面結合例題進行說明?！窘狻繎眠_朗貝爾原理求解。以整個轉子為研究對象，轉子受到的外力有重力、軸承反力、。轉動中心O虛加離心慣性力、。則在形式上組成一平衡力系。§14－4剛體定軸轉動時軸承的動反力例14-4轉子的質量m=20kg，水平的轉軸垂直于轉子的對稱面，轉子的重心偏離轉軸，偏心距e=0.1mm，如圖所示。若轉子作勻速轉動，轉速n=12000r/min，試求軸承A、B的動反力。作定軸轉動的剛體，若重心不在轉軸上，將引起軸承將反力分成兩部分來討論。（1）靜反力靜反力的方向始終鉛垂向上。（2）附加動反力

與靜反力不同，附加動反力和的方向隨著慣性力的方向而變化。將靜反力與附加動反力合成，就得到動動反力。一般情況下，不一定共線，應采用矢量合成。當它們同向或反向的瞬時，動反力取最大值或最小值有將反力分成兩部分來討論。（1）靜反力靜反力的

從以上分析可知，在高速轉動時，由于離心慣性力與角速度的平方成正比，即使轉子的偏心距很小，也會引起相當巨大的軸承附加動反力。為清除附加動反力，首先應消除轉動剛體的偏心現(xiàn)象。無偏心的剛體，僅受重力作用，則無論剛體轉到什么位置，它都能靜止，這種情形稱為靜平衡。討論：靜平衡的剛體在轉動時是否不再引起附加動反力？從以上分析可知，在高速轉動時，由于離心慣性力與角速度【典型題精解】例14-5半徑為r的均質圓柱形滾子重，被繩子拉住沿水平面作純滾動，此繩跨過滑輪B（不計重量）后懸掛重為的物體A。如重物A下降的加速度大小為2a，試求各物體的慣性力并將他們分別畫于圖中各相應物體上?！窘狻恳蚶K長不可伸長，故因滾子作純滾動，故【典型題精解】例14-5半徑為r的均質圓柱形滾子重，被將滾子的慣性力系向質心C簡化，主矢為主矩為重物A的慣性力為如圖（b）所示。例14-6均質細桿支承如圖（a）所示。已知桿長為l，重為G，斜面傾角。若桿與水平面交角瞬時，A端的加速度為，桿的角速度為零，角加速度為。試求此瞬時桿上慣性力系的簡化結果。(b)將滾子的慣性力系向質心C簡化，主矢為主矩為重物A的慣性力為如【解】(a)(b)桿AB作平面運動，可將慣性力系向質心C簡化，故需求得質心C的加速度，以桿端點A為基點，則上式中方向如圖（b）所示，故【解】(a)(b)桿AB作平面運動，可將慣性力系向質心C簡化因此得此桿慣性力系得主矢為式中慣性力系向質心簡化得主矩為方向如圖（a）所示。因此得此桿慣性力系得主矢為式中慣性力系向質心簡化得主矩為方向例14-7均質棒AB得質量為m=4kg，其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖（a）所示。其中一繩BD突然斷了，求此瞬時AC繩得張力F。(a)(b)【解】當BD繩斷了以后，棒開始作平面運動，則慣性力系得簡化中心在質心C上。因瞬時系統(tǒng)得速度特征量均為零，則點加速度為。以A為基點，有例14-7均質棒AB得質量為m=4kg，其兩端懸掛在兩條平其中,l為棒長。虛加慣性力系，如圖（b）所示，有則因，得

又其中,l為棒長。虛加慣性得【思考題】

1、是非題（1）不論剛體作何種運動，其慣性力系向一點簡化得主矢都等于剛體得質量與其質心加速度的乘積，而取相反方向。（）對

（2）質點有運動就有慣性力。（）錯（3）質點的慣性力不是它本身所受的作用力，其施力體事質點本身。（）對得【思考題】1、是非題（1）不論剛體作何種運動，其慣性力系1．選擇題

（1）設質點在空中，只受到重力作用，試問在下列兩種情況下，質點慣性力的大小和方向如何？（a）質點作自由落體運動；（b）質點被鉛垂上拋

（）A．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向下

B．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向上C．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向上、（b）向下D．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向下、（b）向上B1．選擇題（1）設質點在空中，只受到重力作用，試問在下列兩（2）如圖所示，半徑為R，質量為m的均質細圓環(huán)沿水平直線軌道作勻速純滾動，試問應如何虛加慣性力系？()A.虛加慣性力且過速度瞬心O，鉛直向下B.虛加慣性力且過速度瞬心O，鉛直向上C.虛加慣性力偶矩，且為反時針轉向D.慣性力系組成平衡力系D（2）如圖所示，半徑為R，質量為m的均質細圓環(huán)沿水平直線軌道（3）如圖所示，車頂懸掛一質量為m的單擺，當車加速度a沿直線加速行駛時，擺向后偏移。用達朗貝爾原理求的小車的加速度a為()A.B.C.D.D（3）如圖所示，車頂懸掛一質量為m的單擺，當車加速度a沿直線3．如圖所示，均質桿AB的質量為4kg，B端置于光滑的水平面上。在桿的端作用一水平推力P=60N，使桿AB沿P力方向作直線平移。試用動靜法求AB桿的加速度和角θ之值。答案：3．如圖所示，均質桿AB的質量為4kg，B端置于光滑的水平面4.如圖所示，板的質量為m，受水平力F作用，沿水平面運動，板與平面間的摩擦系數(shù)為f。在板上放一質量為的均質實心圓柱，此圓柱對板只滾動而不滑動。求板的加速度。答案：4.如圖所示，板的質量為m，受水平力F作用，沿水平面運動，板5．勻質細桿彎成圖示形狀，位于鉛垂面內(nèi)，如圖所示。已知：桿單位長度的質量為q=0.6kg/m，半徑r=0.2m。試用動靜法求桿在圖示位置由靜止釋放瞬時軸承處的約束力。（提示：半圓環(huán)質心與軸的距離）答案：5．勻質細桿彎成圖示形狀，位于鉛垂面內(nèi)，如圖所示。已知：桿單

達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的一個新的普遍的方法，即用動力學中研究平衡問題的方法來研究動力學問題，故又稱為動靜法。它借助于的質點和質點系虛加慣性力，動靜法在形式上將動力學問題化為靜力平衡問題，以靜力平衡方程的形式列出動力學方程。

達朗貝爾原理提供了研究動力學問題的一個新的普

受非零力系作用的物體將改變運動狀態(tài)。由于物體具有慣性，力圖保持其慣性運動，所以它同時給予施力體以反作用力，這種反作用力稱為慣性力。例如，一質量為m的小球M，用細繩系住，繩的另一端用手握住，使小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動，其速度為v，半徑為r，如圖14－1所示?！?4-1慣性力的基本概念受非零力系作用的物體將改變運動狀態(tài)?！?4-(b)(a)

與上述例子實質相同的力學現(xiàn)象不勝枚舉。可將質點慣性力的概念歸結如下：一質量為m的質點受到力F的作用，具有加速度a。則由動力學第二定律有(b)(a)與上述例子實質相同的力學現(xiàn)象不勝枚舉?？少|點對施力體的反作用力并記作，則有,稱為質點的慣性力，

可見，質點慣性力的大小等于質點質量與其加速度的乘積，方向與加速度方向相反，而作用在迫使質點改變運動狀態(tài)的施力物體上。將（14－1）式可向固定直角坐標系投影有

（14－2）

（14－1）質點對施力體的反作用力并記作，則有,稱為質點的慣性力，若在自然軸系上投影則有（14－3）

上式表明，質點的慣性力也可分解為沿軌跡的切線和法線的兩個分力：切向慣性力和法向慣性力，他們的方向分別與切向加速度和法向加速度相反。若在自然軸系上投影則有（14－3）上式表明，質點的慣一、質點的達朗貝爾原理

設質量m為的質點，在主動力、約束反力的作用下運動，其加速度為a，如圖（a）所示。(a)(b)§14－2質點和質點系的達朗貝爾原理一、質點的達朗貝爾原理設質量m為的質點，在主對質點M應有上式可改寫為由于，則上式記作：

（14－4）

這說明，在質點運動的任一瞬時，質點所受的主動力、約束反力與質點的慣性力的矢量和為零。也可理解為：在質點運動的任一瞬時，質點所受的主動力、約束反力與虛加的質點的慣性力構成一零力系，這即為質點的達朗貝爾原理。應該明確：式（14－3）只具有靜力平衡方程的形式，而沒有平衡的實質。對質點M應有上式可改寫為由于，則上式記【解】以擺錘為研究對象，設它的質量為。擺錘與車廂一樣，有向右的加速度。則擺錘上作用的力有：(a)(b)(c)

、和，其中。例14-1如圖所示，一沿水平直線向右作勻加速運動的車廂內(nèi)懸掛一單擺，在正常狀態(tài)下擺的懸線向左偏斜，與鉛垂線成角，相對于車廂靜止。試求車廂的加速度a?！窘狻恳詳[錘為研究對象，設它的質量為。擺錘與車廂一樣，有向右由靜力平衡方程則即二、質點系的達朗貝爾原理

對質點系中每一個質點應用質點的達朗貝爾原理，然后加以綜合，就得到質點系的達朗貝爾原理。由靜力平衡方程則即二、質點系的達朗貝爾原理對質點系

設質點系由n個質點組成，其中第個質點的質量為。它在主動力和約束反力作用下運動，其加速度為。則點虛加的慣性力，相應地有（14－5）

對整個質點系而言，這樣的零力系共有個，它們綜合在一起仍構成一零力系。因此，在質點系運動的任一瞬時，作用于質點系的主動力、約束反力與虛加的質點系的慣性力構成一零力系。這即為質點系的達朗貝爾原理。

在應用質點系的動靜法時，應當分析并畫出質點系所受的外力，再虛加上質點系的慣性力，兩者共同構成一個虛擬的零力系?？砂挫o力學方法列出該力系的平衡方程。設質點系由n個質點組成，其中第個質點的質量為

若研究整個剛體的運動，可以用靜力學中所描述的方法將剛體的慣性力系向一點簡化，用簡化結果等效地代替原來的慣性力系。

設將剛體的慣性力系向任選一點O的簡化，則慣性力系的主矢為又有，故有（14－6）§14－3剛體慣性力系的簡化若研究整個剛體的運動，可以用靜力學中所描述的方法將剛

即慣性力系主矢的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度相反。不論剛體作任何運動，這個結論均成立。

至于剛體慣性力系的主矩，則與簡化中心的位置和剛體的運動形式有關。

現(xiàn)討論剛體作平行移動、定軸轉動和平面運動三種情況下剛體慣性力系的簡化結果。一、剛體作平行移動

在同一瞬時，平動剛體上各質點具有相同的加速度。任一質點的慣性力為即慣性力系主矢的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積

可見各質點的慣性力的大小與各自的質量成正比，方向都與共同的加速度相反。即此時平動剛體的慣性力系是一個同向平行力系，各力大小與各點質點質量成正比，如圖所示。＝

由平行力系中心的概念，可知此力系合成為通過質心c之合力。可見各質點的慣性力的大小與各自的質量成正比，即（14－7）

此式表明：剛體平動時，其慣性力系向質心c簡化為一力，這個力的大小等于剛體質量與加速度的乘積，方向與加速度相反。二、剛體作定軸轉動

這里限于研究剛體具有垂直于轉軸系的質量對成平面N的情況，如圖所示。即（14－7）此式表明：剛體平動時，其慣性力系向質心c＝(a)(b)

通過上圖可將整個剛體的慣性力系從空間力系轉化為對稱平面內(nèi)的平面力系。再將該平面力系向對成平面的轉動中心o（即為轉軸與對稱平面的交點o

）簡化，可得到一個力和一個矩為的力偶。＝(a)(b)通過上圖可將整個剛體的慣性力系從空間力力矢可由（14－5）式求得，即（14－8）

而應等于慣性力系對o點的主矩。設剛體轉動的角速度為ω，角加速度為α。記的轉動半徑為，則相應地

方向如圖（b）。于是力矢可由（14－5）式求得，即（14－8）而即（14－9）上式的負號表示慣性力主矩的轉向與角加速度相反。

式（14－7）和式（14－8）表明：剛體定軸轉動時，其慣性力系向轉動中心簡化為一個力和一個力偶。其中這個力的大小等于剛體的質量與質心加速度的乘積，方向與質心加速度方向相反，作用線通過轉化中心。這個力偶的矩等于剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，作用在垂直于轉軸的對稱平面內(nèi)，轉角與角加速度的轉向相反。得出上述的結論有兩個限制條件：即（14－9）上式的負號表示慣性力主矩的轉向與角加速度相反。（1）剛體具有垂直于轉軸系的質量對稱平面；（2）以轉動中心（轉軸系與質量對稱平面的交點）為簡化中心。特殊情況：（1）轉軸通過剛體的質心o，如圖（a）所示。此時（2）剛體作勻速轉動，如圖（b）所示。此時（1）剛體具有垂直于轉軸系的質量對稱平面；（2）以轉動中心（(a)(b)（α=0）三、剛體作平面運動（1）平面運動剛體慣性力系的簡化設剛體的角速度為ω，角加速度為α，質心加速度為。選質心c為基點，則剛體對稱平面內(nèi)任意代表點的加速度可以分解為牽連加速度和相對加速度，相應地慣性力也有此關系，如圖（a）所示。(a)(b)（α=0）三、剛體作平面運動（1）平面運動剛體慣

這樣，剛體的慣性力系可設想為分成兩組：一組是牽連慣性力，它的分布情況與剛體以加速度作平動時相同；另一組是相對慣性力，它的分布情況與剛體繞質心軸轉動時相同。則由剛體作平行移動和剛體作定軸轉動（轉軸通過剛體質心）的結果可知：前一組慣性力合成為作用在質心的一個力，后一組慣性力合成為一個力偶。(a)(b)這樣，剛體的慣性力系可設想為分成兩組：一組是牽連慣性即

（14－10）

（14－11）

式（14－9）和（14－10）即為平面運動剛體的慣性力系的簡化結果。例14-2重量為P，半徑為R的均質圓盤可繞垂直于盤面的水平軸O轉動，O軸正好通過圓盤的邊緣，如圖所示。圓盤從半徑CO處于鉛垂位置1無初速度釋放轉下，求當圓盤轉到OC成為水平位置2時軸的動反力。即（14－10）（14－11）式（14－9）和（【解】（1）應用動能定理求在位置2時的瞬時角速度ω，有

代入（1）式得又（1）（2）（2）設圓盤得角加速度為α，則有得（3）【解】（1）應用動能定理求在位置2時的瞬時角速度ω，有代入代入（3）式有（4）將（2）式代入有（5）代入（3）式有（4）將（2）式代入有（5）【解】例14-3滾子半徑為R，質量為m，質心在其對稱中心C點，如圖(a)所示。在滾子得鼓輪上纏繞細繩，已知水平力沿著細繩作用，使?jié)L子在粗糙水平面上作無滑動得滾動。鼓輪得半徑為r，滾子對質心軸得回轉半徑為ρ。試求滾子質心的加速度和滾子所受的摩擦力。以滾子為研究對象。作用于滾子上的外力有重力、水平拉力、地面法向反力和滑動摩擦力，如圖所示。設滾子的質心加速度為，則由純滾動條件有，相應地有【解】例14-3滾子半徑為R，質量為m，質心在其對稱中心C對圖（b），由平衡方程得將代入上式有則代入，有討論：靜摩擦因數(shù)滿足什么條件，滾子才能發(fā)生純滾動？對圖（b），由平衡方程得將

作定軸轉動的剛體，若重心不在轉軸上，將引起軸承的附加動反力。如剛體轉速較高，附加動反力將十分巨大，會造成各種嚴重的后果。下面結合例題進行說明?！窘狻繎眠_朗貝爾原理求解。以整個轉子為研究對象，轉子受到的外力有重力、軸承反力、。轉動中心O虛加離心慣性力、。則在形式上組成一平衡力系?！?4－4剛體定軸轉動時軸承的動反力例14-4轉子的質量m=20kg，水平的轉軸垂直于轉子的對稱面，轉子的重心偏離轉軸，偏心距e=0.1mm，如圖所示。若轉子作勻速轉動，轉速n=12000r/min，試求軸承A、B的動反力。作定軸轉動的剛體，若重心不在轉軸上，將引起軸承將反力分成兩部分來討論。（1）靜反力靜反力的方向始終鉛垂向上。（2）附加動反力

與靜反力不同，附加動反力和的方向隨著慣性力的方向而變化。將靜反力與附加動反力合成，就得到動動反力。一般情況下，不一定共線，應采用矢量合成。當它們同向或反向的瞬時，動反力取最大值或最小值有將反力分成兩部分來討論。（1）靜反力靜反力的

從以上分析可知，在高速轉動時，由于離心慣性力與角速度的平方成正比，即使轉子的偏心距很小，也會引起相當巨大的軸承附加動反力。為清除附加動反力，首先應消除轉動剛體的偏心現(xiàn)象。無偏心的剛體，僅受重力作用，則無論剛體轉到什么位置，它都能靜止，這種情形稱為靜平衡。討論：靜平衡的剛體在轉動時是否不再引起附加動反力？從以上分析可知，在高速轉動時，由于離心慣性力與角速度【典型題精解】例14-5半徑為r的均質圓柱形滾子重，被繩子拉住沿水平面作純滾動，此繩跨過滑輪B（不計重量）后懸掛重為的物體A。如重物A下降的加速度大小為2a，試求各物體的慣性力并將他們分別畫于圖中各相應物體上?！窘狻恳蚶K長不可伸長，故因滾子作純滾動，故【典型題精解】例14-5半徑為r的均質圓柱形滾子重，被將滾子的慣性力系向質心C簡化，主矢為主矩為重物A的慣性力為如圖（b）所示。例14-6均質細桿支承如圖（a）所示。已知桿長為l，重為G，斜面傾角。若桿與水平面交角瞬時，A端的加速度為，桿的角速度為零，角加速度為。試求此瞬時桿上慣性力系的簡化結果。(b)將滾子的慣性力系向質心C簡化，主矢為主矩為重物A的慣性力為如【解】(a)(b)桿AB作平面運動，可將慣性力系向質心C簡化，故需求得質心C的加速度，以桿端點A為基點，則上式中方向如圖（b）所示，故【解】(a)(b)桿AB作平面運動，可將慣性力系向質心C簡化因此得此桿慣性力系得主矢為式中慣性力系向質心簡化得主矩為方向如圖（a）所示。因此得此桿慣性力系得主矢為式中慣性力系向質心簡化得主矩為方向例14-7均質棒AB得質量為m=4kg，其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖（a）所示。其中一繩BD突然斷了，求此瞬時AC繩得張力F