第十九講-桿及板的穩(wěn)定性(共30張PPT)精選

第十九講第十章桿及板的穩(wěn)定性第一頁(yè)，共30頁(yè)。ExitNextPre通常是指由甲板縱骨與橫梁組成(zǔchénɡ)的縱骨架式船的甲板板架這種板架在船體總彎曲的壓應(yīng)力作用(zuòyòng)下,有可能整體喪失穩(wěn)定性。這種整體性的失穩(wěn)是不允許的?，F(xiàn)在就來(lái)研究這種甲板板架的臨界壓應(yīng)力的計(jì)算問(wèn)題。實(shí)際船體中甲板板架的結(jié)構(gòu)形式可能有許多種,我們現(xiàn)在只限于(xiànyú)討論一種最簡(jiǎn)單的情況:即甲板板架的縱骨相同并且是等間距布置的,縱骨兩端自由支持;板架的橫梁亦是相同和等間距。

只有一根縱骨的情況來(lái)看:橫梁可以直接化為縱骨的彈性支座,這時(shí)板架的穩(wěn)定性問(wèn)題就化成了在彈性支座上連續(xù)的穩(wěn)定性問(wèn)題?！?0-4甲板板架的穩(wěn)定性1、簡(jiǎn)單甲板板架穩(wěn)定性的解第二頁(yè)，共30頁(yè)。現(xiàn)在來(lái)分析縱骨不只一根的情形。為了推導(dǎo)公式清楚起見(jiàn),先討論有三根縱骨的甲板板架(如圖10-20)。對(duì)于這種板架,根據(jù)物理意義來(lái)判斷,可知橫梁對(duì)縱骨的影響仍相當(dāng)于中間彈性支座,問(wèn)題是彈性支座的剛性系數(shù)不容易直接(zhíjiē)求到。為此我們先進(jìn)行下面的分析后再來(lái)計(jì)算彈性支座的剛性系數(shù)。所論的甲扳板架,由于實(shí)際上所有的縱骨所受的壓力都相同(此壓力即為船體總彎曲時(shí)之壓應(yīng)力),在這種壓力作用下,甲板板架失穩(wěn)時(shí),實(shí)踐和理論都證明板架中所有縱骨的彎曲形狀都相同。這樣,如果我們將板架的縱骨與橫梁(hénɡliánɡ)在相交點(diǎn)分開(kāi)并加上相互作用的節(jié)點(diǎn)力,縱骨將具有圖10-20(b)中的情形(橫梁(hénɡliánɡ)的計(jì)算圖形可參看圖（10-21）。第三頁(yè)，共30頁(yè)。第一根縱骨任意一點(diǎn)(yīdiǎn)的撓度：式中R1(1)、R2(1)、R3(1)分別為第一根縱骨上的節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)反力;γx1、γx2、γx3為影響系數(shù)。同理可寫(xiě)出第二根縱骨與第三根縱骨任一點(diǎn)(yīdiǎn)的撓度為:以上諸式中的影響系數(shù)與縱骨所受的壓力有關(guān),但因各根縱骨所受的壓力相同，故這些系數(shù)不隨縱骨的號(hào)碼而變化。因?yàn)槭街笑?、β2為比例常數(shù),所以由前面三式有:這表明板架中每一根橫梁上各節(jié)點(diǎn)力之間成比例第四頁(yè)，共30頁(yè)。有了這個(gè)結(jié)論，就可以來(lái)計(jì)算橫梁(hénɡliánɡ)作為縱骨彈性支座的剛性系數(shù)。為此考慮板架中任意一根橫梁(hénɡliánɡ)(如圖10-21),梁上受到縱骨作用的三個(gè)節(jié)點(diǎn)力：R(1)、R(2)、R(3)（這里我們略去了R的下標(biāo))。對(duì)于圖中所示的情況,由于對(duì)稱條件,有R(1)=R(3),并設(shè)R(2)=βR(1)。暫時(shí)先討論橫梁兩端是自由支持的情形,查兩端自由支持單跨梁的彎曲要素表,可以寫(xiě)出橫梁與縱骨相交節(jié)點(diǎn)(jiédiǎn)處的撓度式子如下：式中B為橫梁(hénɡliánɡ)的長(zhǎng)度;I為橫梁(hénɡliánɡ)的斷面慣性矩。根據(jù)彈性支座的概念,剛性系數(shù)應(yīng)為橫梁節(jié)點(diǎn)力與相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)撓度之比,即第五頁(yè)，共30頁(yè)。由于R(2)=βR(1)時(shí),v(2)=βv(1),所以由上式可知K1與K2必然相等,即K1=K2=K3,這說(shuō)明(shuōmíng)板架中橫梁作為縱骨彈性支座的剛性系數(shù)全部相同。將以上關(guān)系(guānxì)代入撓度式子(10-34)得:從聯(lián)立方程(liánlìfānɡchénɡ)式中消去β,即可得到一個(gè)只包含K的方程式如下：解之,取K的一個(gè)小的根,得:計(jì)及B=4b,此式b為縱骨的間距,可將上式改寫(xiě)為:這樣,我們就求出了縱骨的中間彈性支座的剛性系數(shù)。并且由以上的分析可見(jiàn),對(duì)于每一根縱骨,其所有的彈性支座剛性系數(shù)都相同,對(duì)于不同的縱骨，其彈性支座的剛性系數(shù)也都相同，見(jiàn)圖10-20(c)第六頁(yè)，共30頁(yè)。(1)不論縱骨數(shù)目有多少,只要縱骨是等間距的,并且橫梁兩端是自由支持的,則所得的彈性支座的剛性(ɡānɡxìnɡ)系數(shù)均可表示為:結(jié)論式中b為縱骨的間距(jiānjù)。(2)如果橫梁兩端不是自由支持而是彈性(tánxìng)固定端,則亦可用同樣方法算出彈性(tánxìng)支座的剛性系數(shù),并可用一通式表示如下：式中μ值隨橫梁兩端的彈性固定的程度而變。若橫梁兩端彈性固定的柔性系數(shù)分別為α1、α2,則可按左式將柔性系數(shù)化為無(wú)因次的相當(dāng)固定系數(shù)v1、v2后,由圖10-22中的曲線查出μ的值。第七頁(yè)，共30頁(yè)。顯然,當(dāng)v1=v2=0時(shí),μ=π,這就是(jiùshì)橫梁兩端為自由支持的情形。求得了縱骨的彈性支座的剛性系數(shù)(xìshù)后,甲板板架的穩(wěn)定性問(wèn)題就成了在彈性支座上連續(xù)桿的穩(wěn)定性問(wèn)題。于是我們(wǒmen)借助于附錄G中的曲線就可以來(lái)解決板架歐拉力的計(jì)算,并可把甲板板架的歐拉力計(jì)算公式寫(xiě)成下面的形式：式中f(λ)為λ的函數(shù),即歐拉應(yīng)力的函數(shù),因?yàn)?式中σE為縱骨的歐拉應(yīng)力,i為縱骨的斷面慣性矩;A為縱骨的斷面積;l為縱骨的跨長(zhǎng),即橫梁的間距。(10-39)由于上節(jié)中有關(guān)系式,所以我們可借此將公式(10-39)改寫(xiě)為目前計(jì)算甲板板架穩(wěn)定性的通用形式:或(10-43)(10-42)第八頁(yè)，共30頁(yè)。顯然,如果彈性支座(zhīzuò)的剛度大于臨界剛度,即K＞K0時(shí),甲板板架的歐拉應(yīng)力就等于縱骨作為單跨桿時(shí)的歐拉應(yīng)力,即當(dāng)K＜K0時(shí),則需用公式(10-43)來(lái)計(jì)算甲板(jiǎbǎn)板架的歐拉應(yīng)力。這個(gè)彈性支座的臨界剛度—亦就是(jiùshì)橫梁的臨界剛度,可根據(jù)公式(10-42)當(dāng)Xj(λ)=Xj,max時(shí)求到,此Xj,max就是(jiùshì)當(dāng)λ=1時(shí)Xj的值,因此有:此I0為橫梁的臨界斷面慣性矩。

一般來(lái)說(shuō)提高橫梁的慣性矩可以提高甲板板架的穩(wěn)定性,但是若橫梁的慣性矩已超過(guò)其臨界慣性矩I0,則再加大橫梁尺寸對(duì)甲板板架的穩(wěn)定性并無(wú)好處。在這種情況下,要提高甲板板架的穩(wěn)定性只有增大甲板縱骨的尺寸。結(jié)論:第九頁(yè)，共30頁(yè)。以上公式的推導(dǎo)都是假定材料是在彈性范圍之內(nèi)的。如果實(shí)際板架失穩(wěn)時(shí),縱骨的材料已超過(guò)了彈性范圍,則根據(jù)§10-2中關(guān)于壓桿非彈性穩(wěn)定性的分析,我們需要將原來(lái)公式中的縱骨的彈性模數(shù)E用切線模數(shù)Et來(lái)代替(注意橫梁的彈性模數(shù)不變),就可以得到相應(yīng)的臨界力計(jì)算公式。因?yàn)镋t=ψE式中ψ為修正系數(shù)(xìshù),所以將前面公式(10-42)中的Ei用ψEi代替后,即得材料在超過(guò)彈性范圍時(shí)的甲板板架穩(wěn)定性計(jì)算公式如下：或相應(yīng)(xiāngyīng)的柔度計(jì)算公式(10-40)亦應(yīng)改為:式中σ0仍保持(bǎochí)公式(10-41)的形式不變。橫梁的臨界慣性矩公式亦相應(yīng)變?yōu)?以上公式中的修正系數(shù)ψ與材料的性質(zhì)有關(guān),并且其數(shù)值直接取決于臨界應(yīng)力σcr的大小。因此實(shí)際上算板架臨界應(yīng)力只能用“試算法”。2、非彈性穩(wěn)定性問(wèn)題第十頁(yè)，共30頁(yè)。用簡(jiǎn)單板架的穩(wěn)定性公式計(jì)算某遠(yuǎn)洋貨輪舯部貨艙(huòcāng)上甲板板架的臨界應(yīng)力(圖10-23)。已知L=24m,Bm,lm,bm;甲板厚t=22mm;縱骨為200×44×10球扁鋼,面積f=27.36×102mm2;連帶板的慣性矩為i=4230×104mm4橫梁的斷面(duànmiàn)慣性矩為I=45100×104mm4橫梁兩端的相當(dāng)固定系數(shù)為v1=0,v2甲板的材料為高強(qiáng)度鋼σy=400N/mm2解:我們應(yīng)用公式(10-45)來(lái)計(jì)算(jìsuàn)甲板板架的臨界應(yīng)力,為比先算出系數(shù)μ,因橫梁兩端的相當(dāng)固定系數(shù)為v1=0及v2=0.25,故由圖10-22可得μ=。然后,把已知數(shù)據(jù)全部代入式(10-45)的右端,得:3、例題第十一頁(yè)，共30頁(yè)。在第九章中是在沒(méi)有(méiyǒu)中面力時(shí)已導(dǎo)得剛性板的彎曲微分方程式:由此可見(jiàn)縱骨架式船體板與已知L=24m,Bm,lm,以上公式的推導(dǎo)都是假定材料是在彈性范圍之內(nèi)的。的分析可見(jiàn),對(duì)于每一根縱骨,其所有的彈性支座剛性系數(shù)都相同,對(duì)于所論的甲扳板架,由于實(shí)際上所有的縱骨所受的壓力都相同(此壓力即為船體總彎曲時(shí)之壓應(yīng)力),在這種壓力作用下,甲板板架失穩(wěn)時(shí),實(shí)踐和理論都證明板架中所有縱骨的彎曲形狀都相同。中性平衡時(shí)的撓曲面為單三角級(jí)數(shù):即K1=K2=K3,這說(shuō)明(shuōmíng)板架中橫梁作為縱骨彈性支座的剛性系數(shù)全部再由附錄G中的圖G-7(因?yàn)槟壳皀=11,可以用n=10的曲線(qūxiàn)計(jì)算,不致顯然,如果彈性支座(zhīzuò)的剛度大于臨界剛度,即K＞K0時(shí),甲板板架的歐拉應(yīng)力就等于縱骨作為單跨桿時(shí)的歐拉應(yīng)力,即i為縱骨的斷面慣性矩;A為縱骨的斷面積;l為縱骨的跨長(zhǎng),即橫梁的間距。計(jì)算表明,無(wú)論a/b為多少,總是(zǒnɡshì)在m=1時(shí)臨界應(yīng)力為最小,這表示板再按公式(gōngshì)(10-41)算出σ0的值：所論的甲扳板架,由于實(shí)際上所有的縱骨所受的壓力都相同(此壓力即為船體總彎曲時(shí)之壓應(yīng)力),在這種壓力作用下,甲板板架失穩(wěn)時(shí),實(shí)踐和理論都證明板架中所有縱骨的彎曲形狀都相同。大多數(shù)的船體板可認(rèn)為在一個(gè)方向受壓,四周自由(zìyóu)支持在剛性周我們討論這種情況(qíngkuàng)下的矩形板的解(見(jiàn)圖l0-29):從而(cóngér)臨界應(yīng)力為:再按公式(gōngshì)(10-41)算出σ0的值：于是可假定一系列臨界應(yīng)力σcr的值,由附錄F表F-l中找出相應(yīng)的ψ值,從而可以求出一系列的λ值:λ=σcr/(ψσ0)。再由附錄G中的圖G-7(因?yàn)槟壳皀=11,可以用n=10的曲線(qūxiàn)計(jì)算,不致有大的誤差)求出不同λ時(shí)的Xj值,代入式(10-48)的左端,當(dāng)ψXj剛好等于時(shí)的λ值,就代表板架的臨界應(yīng)力.上述計(jì)算在表10-2中進(jìn)行.σcr(N/mm2)ψ

ψσ0

λ=σcr/(ψσ0)Xj(λ)ψXj(λ)2803003203400.8400.7500.6400.510720.3643.1548.8437.30.3890.4660.5830.7780.0380.0510.0850.1660.03190.03830.05440.0847表10-2第十二頁(yè)，共30頁(yè)。y軸形成(xíngchéng)的力矩為:而相應(yīng)(xiāngyīng)的板失穩(wěn)的形狀為:由于上節(jié)中有關(guān)系式,所以我們可借此將公式(10-39)改寫(xiě)為由微塊的平衡條件可知這些中面力滿足(mǎnzú)以下的關(guān)系：此I0為橫梁的臨界斷面慣性矩。σcr—ψXj(λ)的曲線(圖10-24),當(dāng)ψXj(λ時(shí),由曲線上得方程式(10-72)的通解(tōngjiě)可以寫(xiě)成:γx1、γx2、γx3為影響系數(shù)。生的項(xiàng),然后把這些項(xiàng)加到第九章(9-39),(9-40)式中,就可以得到最后(zuìhòu)的σcr—ψXj(λ)的曲線(圖10-24),當(dāng)ψXj(λ時(shí),由曲線上得設(shè)板在x和y方向單位寬度的中面壓力為T(mén)x,Ty,單位寬度的中面剪力為T(mén)xy,它們分別為σx,σy及τxy在板斷面上的合力,如圖10-26(a)所示。這樣,如果我們將板架的縱骨與橫梁(hénɡliánɡ)在相交點(diǎn)分開(kāi)并加上相互作用的節(jié)點(diǎn)力,縱骨將具有圖10-20(b)中的情形(橫梁(hénɡliánɡ)的計(jì)算圖形可參看圖（10-21）。板的中性平衡狀態(tài)可以用微分方程式來(lái)描述,其中性平衡微分方程式式子(10-34)得:由于當(dāng)n增大時(shí)σx亦隨著增大.根據(jù)下表的結(jié)果,用σcr為橫坐標(biāo),ψXj(λ)為縱坐標(biāo),畫(huà)出σcr—ψXj(λ)的曲線(圖10-24),當(dāng)ψXj(λ時(shí),由曲線上得σcr=318N/mm2,這就是(jiùshì)甲板板架的臨界應(yīng)力。第十三頁(yè)，共30頁(yè)。板的中性平衡狀態(tài),即板受中面壓力(yālì)或剪力作用并獲得小偏移(彎曲)時(shí)的平衡狀態(tài)。板在中性平衡狀態(tài)時(shí)對(duì)應(yīng)的外力就是板的臨界力。板的中性平衡狀態(tài)可以用微分方程式來(lái)描述,其中性平衡微分方程式可借板在復(fù)雜彎曲(既有橫荷重又有中面力作用)時(shí)的彎曲微分方程式導(dǎo)得,為此(wéicǐ)我們先來(lái)導(dǎo)出矩形板的復(fù)雜彎曲微分方程式。在第九章中是在沒(méi)有(méiyǒu)中面力時(shí)已導(dǎo)得剛性板的彎曲微分方程式:現(xiàn)在考慮中面力,設(shè)板因中面力在板內(nèi)產(chǎn)生有中面應(yīng)力σx,σy及τxy,由于研究的是穩(wěn)定性問(wèn)題,故中面應(yīng)力σx與σy均假定為壓應(yīng)力,這時(shí)板的斷面中除了彎矩Mx,My,扭矩Mxy,垂向剪力Nx,Ny,之外還有中面壓力與剪力。設(shè)板在x和y方向單位寬度的中面壓力為T(mén)x,Ty,單位寬度的中面剪力為T(mén)xy,它們分別為σx,σy及τxy在板斷面上的合力,如圖10-26(a)所示?！?0-5板的中性平衡微分方程式及其解1、矩形板的中性平衡微分方程式第十四頁(yè)，共30頁(yè)。由微塊的平衡條件可知這些中面力滿足(mǎnzú)以下的關(guān)系：∵要建立計(jì)及上述中面力的微塊靜力平衡方程式,為此需考慮(kǎolǜ)徵塊在變形后的位置,在圖10-26(b)中畫(huà)出了微塊變形后的中面及其受力情況.現(xiàn)保留彎矩Mx,My,扭矩Mxy及垂向剪力Nx,Ny,間的靜力平衡關(guān)系為第九章公式(9-39),(9-40),(9-41),僅考慮中面力Tx,Ty,Txy在平衡方程式中產(chǎn)生的項(xiàng),然后把這些項(xiàng)加到第九章(9-39),(9-40)式中,就可以得到最后(zuìhòu)的結(jié)果。(10-51)第十五頁(yè)，共30頁(yè)。事實(shí)上Tx,Ty的存在,對(duì)x軸及y軸形成(xíngchéng)了力矩,參看圖10-27,有Tx對(duì)y軸形成(xíngchéng)的力矩為:此外(cǐwài)有Ty對(duì)x軸形成的力矩為:此力矩矢量朝向(cháoxiànɡ)x軸的正向。此力矩矢量朝向y軸的負(fù)向,故式中有負(fù)號(hào).Txy的存在相當(dāng)于板上增加有附加橫荷重,參看圖10-28,

Txy在z方向的分力為:(10-53)(10-52)第十六頁(yè)，共30頁(yè)。略去(lüèqù)高階微量后得:同理可得Tyx在z方向(fāngxiàng)的分力為:將以上(yǐshàng)兩式所表示的力相加,得:現(xiàn)先將(10-52)和(10-53)式中的力矩除以dxdy后分別加到第九章公式(9-39)與(9-40)中等號(hào)的左端,并考慮到(9-39)式中的力矩矢量與y軸正向相同,(9-40)式中的力矩矢量與x軸的正向相反,即得:從而有:(10-54)第十七頁(yè)，共30頁(yè)。再利用(lìyòng)第九章(9-41)式將(10-54)式除以dxdy后與該式等號(hào)右邊的q合并(hébìng),并計(jì)及關(guān)系式(10-51),最后可得:最后利用(lìyòng)第九章中的關(guān)系式(9-36),代入(10-55)式中即得板的復(fù)雜彎曲微分方程式為:當(dāng)q=0時(shí),即得板在中面力Tx,Ty,Txy作用下的中性平衡方程式如下：(10-57)(10-56)(10-55)第十八頁(yè)，共30頁(yè)。ExitNextPre大多數(shù)的船體板可認(rèn)為在一個(gè)方向受壓,四周自由(zìyóu)支持在剛性周界上矩形板,因?yàn)榇w板僅受船總彎曲時(shí)沿船長(zhǎng)方向的壓力,并且四周可認(rèn)為自由(zìyóu)支持在骨架上。我們討論這種情況(qíngkuàng)下的矩形板的解(見(jiàn)圖l0-29):由于板在x=0及x=b的邊上受到均布的壓應(yīng)力σx,因此(yīncǐ)有Tx=σxt,此處t為板厚.將此Tx及Ty=Txy=0代入方程式(10-57),得:相應(yīng)的邊界條件為:(10-58)(10-59)2、四邊自由支持單向受壓板的解第十九頁(yè)，共30頁(yè)。滿足邊界條件的方程式(10-58)的解可用下面的雙三角級(jí)數(shù)(jíshù)表示：將此解代入(10-58)式中,得:由于(yóuyú)在荷重有Tx=σxt作用下,上式中任一大括號(hào)內(nèi)的式子為零時(shí),所論的板都可能失去穩(wěn)定性,所以板失穩(wěn)時(shí)的力可由中求到,此式給出:或而相應(yīng)(xiāngyīng)的板失穩(wěn)的形狀為:(10-61)第二十頁(yè)，共30頁(yè)。為了求得板的臨界應(yīng)力,必須選擇m與n使得式(10-61)中括號(hào)內(nèi)的值為最小.由于當(dāng)n增大時(shí)σx亦隨著增大.故必須取n=1,這表示板在失穩(wěn)時(shí)在y方向形成一個(gè)半波形(bōxínɡ),這樣(10-62)為了求得σx的最小值,相應(yīng)于不同的邊長(zhǎng)比a/b,假定(jiǎdìng)m=1,2,3,…即可畫(huà)出σx的曲線(見(jiàn)圖10-30),此曲線的最低部分(即圖中的實(shí)線部分)即為所需的臨界應(yīng)力。圖中縱坐標(biāo)k為:從而(cóngér)臨界應(yīng)力為:(10-63)第二十一頁(yè)，共30頁(yè)。這就是在x方向受壓的板條梁的歐拉應(yīng)力,這說(shuō)明(shuōmíng)板在失穩(wěn)時(shí)將按筒形面發(fā)生彎曲。在船舶結(jié)構(gòu)計(jì)算中,公式(10-64)與(10-66)可用來(lái)分別計(jì)算縱骨架(gǔjià)式板及橫骨架(gǔjià)式板的臨界應(yīng)力。由圖10-30可知:

1)當(dāng)a/b＞1時(shí),k≈4,所以實(shí)用上可取:

2)當(dāng)a/b＜1時(shí),m=1,k(b/a+a/b)2,所以（10-64）（10-65）3)如a/b＜＜1,或b＞＞a,則在上式中可略去括號(hào)內(nèi)的a2/b2,于是（10-66）縱骨架式板橫骨架式板第二十二頁(yè)，共30頁(yè)。將彎曲(wānqū)剛度D中的E=2.1×105N/mm2及μ代入,即得通常的計(jì)算公式如下：<1>縱骨架(gǔjià)式船體板(圖10-31a)<2>橫骨架(gǔjià)式船體板(圖l0-3lb)（10-67）（10-68）由此可見(jiàn)縱骨架式船體板與橫骨架式船體板相比,如果骨架的間距相同,則前者的臨界應(yīng)力約為后者的四倍,這就說(shuō)明縱骨架式板在穩(wěn)定性方面比橫骨架式板有明顯的優(yōu)越性第二十三頁(yè)，共30頁(yè)。ExitNextPre現(xiàn)研究三邊自由支持在剛性支座上,另一邊完全自由的矩形(jǔxíng)板,單向受壓的穩(wěn)定性(見(jiàn)圖10-32)。對(duì)于(duìyú)此種板,其中性平衡方程式將仍為式（10-58)的形式.邊界條件為:(10-69)y=b處為自由(zìyóu)邊,其邊界條件為:(10-70)