排列組合二項(xiàng)式定理練習(xí)題

-.z.1.用1，2，3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A.36個(gè)B.18個(gè)C.9個(gè)D.6個(gè)答案B解析利用樹(shù)狀圖考察四個(gè)數(shù)位上填充數(shù)字的情況，如：1eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,3)),3\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,2)))),3\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,3)),2\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,3))))))，共可確定8個(gè)四位數(shù)，但其中不符合要求的有2個(gè)，所以所確定的四位數(shù)應(yīng)有18個(gè)，應(yīng)選B.2.*學(xué)習(xí)小組男女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人，分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，則男，女生人數(shù)為()A.2，6B.3，5C.5，3D.6，2答案B解析設(shè)男生人數(shù)為n，則女生人數(shù)為8－n，由題意可知Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)Aeq\o\al(3,3)＝90，即Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)＝15，解得n＝3，所以男，女生人數(shù)為3，5，應(yīng)選B.3.將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到大學(xué)，清華大學(xué)，**大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有()A.150種B.180種C.240種D.540種答案A解析先將5個(gè)人分成三組，(3，1，1)或(1，2，2)，分組方法有Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),2)＝25(種)，再將三組全排列有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，故總的方法數(shù)有25×6＝150(種).4.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有()A.210種B.420種C.630種D.840種答案B解析因?yàn)橐?位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女.假設(shè)選出的3位教師是1男2女則共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)不同的選派方法，假設(shè)選出的3位教師是2男1女則共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝240(種)不同的選派方法，所以共有180＋240＝420(種)不同的方案，應(yīng)選B.5.假設(shè)二項(xiàng)式(2*＋eq\f(a,*))7的展開(kāi)式中eq\f(1,*3)的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a等于()A.2B.eq\r(5,4)C.1D.eq\f(\r(2),4)答案C解析二項(xiàng)式(2*＋eq\f(a,*))7的通項(xiàng)公式為T(mén)k＋1＝Ceq\o\al(k,7)(2*)7－k(eq\f(a,*))k＝Ceq\o\al(k,7)27－kak*7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展開(kāi)式中eq\f(1,*3)的系數(shù)是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.6.(*－1)4－4*(*－1)3＋6*2(*－1)2－4*3(*－1)＋*4等于()A.－1B.1C.(2*－1)4D.(1－2*)5答案B解析(*－1)4－4*(*－1)3＋6*2(*－1)2－4*3(*－1)＋*4＝((*－1)－*)4＝1.7.*班準(zhǔn)備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要求甲乙中兩人至少有一人參加，則不同的發(fā)言順序有()A.30種B.600種C.720種D.840種答案C解析Aeq\o\al(4,7)－Aeq\o\al(4,5)＝720(種).8.如圖，花壇內(nèi)有5個(gè)花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數(shù)為()A.180B.240C.360D.420答案D解析假設(shè)5個(gè)花池栽了5種顏色的花卉，方法有Aeq\o\al(5,5)種，假設(shè)5個(gè)花池栽了4種顏色的花卉，則2，4兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，或3，5兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，方法有2Aeq\o\al(4,5)種；假設(shè)5個(gè)花池栽了3種顏色的花卉，方法有Aeq\o\al(3,5)種，所以最多有Aeq\o\al(5,5)＋2Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420(種).9.(*＋eq\f(1,a*))5的各項(xiàng)系數(shù)和是1024，則由曲線y＝*2和y＝*a圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____.答案eq\f(5,12)解析設(shè)*＝1，則各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋eq\f(1,a))5＝1024＝45，所以a＝eq\f(1,3)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝*2,y＝*))可得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，1)，所以曲線y＝*2和y＝*圍成的封閉圖形的面積為eq\i\in(0,1,)(*－*2)d*＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)*－\f(1,3)*3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).10.圓上有10個(gè)點(diǎn)，過(guò)每三個(gè)點(diǎn)畫(huà)一個(gè)圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫(huà)的三角形個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.答案120解析圓上任意三點(diǎn)都不共線，因此有三角形Ceq\o\al(3,10)＝120(個(gè)).11.一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3人就坐，假設(shè)他們每?jī)扇硕疾荒芟噜?，每人左右都有空座，而且至多有兩個(gè)空座，則不同坐法共有________種.答案36解析可先考慮3人已經(jīng)就座，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，再考慮剩余的6個(gè)空位怎么排放，根據(jù)要求可產(chǎn)生把6個(gè)空位分為1，1，2，2，放置在由已經(jīng)坐定的3人產(chǎn)生的4個(gè)空中，共有Ceq\o\al(2,4)＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(種).12.我國(guó)第一艘航母"**艦〞在*次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機(jī)(甲、乙、丙、丁、戊)準(zhǔn)備著艦，如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，則不同的著艦方法有________種.答案24解析先把甲、乙捆綁在一起有Aeq\o\al(2,2)種情況，然后對(duì)甲、乙整體和戊進(jìn)展排列，有Aeq\o\al(2,2)種情況，這樣產(chǎn)生了三個(gè)空位，插入丙、丁，有Aeq\o\al(2,3)種情況，所以著艦方法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝2×2×6＝24(種).13.實(shí)驗(yàn)員進(jìn)展一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，先后要實(shí)施5個(gè)程序(A，B，C，D，E)，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序C或D在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有______種.答案24解析依題意，當(dāng)A在第一步時(shí)，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(種)；當(dāng)A在最后一步時(shí)，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12(種).所以實(shí)驗(yàn)的編排方法共有24種.14.用1，2，3，4，5，6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左右兩端，2，4，6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.答案288解析從2，4，6三個(gè)偶數(shù)中任意選出2個(gè)看作一個(gè)"整體〞，方法有Aeq\o\al(2,3)＝6(種)，先排3個(gè)奇數(shù)，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，形成了4個(gè)空，將"整體〞和另一個(gè)偶數(shù)插在3個(gè)奇數(shù)形成的4個(gè)空中，方法有Aeq\o\al(2,4)＝12(種).根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得此時(shí)滿足條件的六位數(shù)共有6×6×12＝432(種).假設(shè)1排在兩端，1的排法有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4(種)，形成了3個(gè)空，將"整體〞和另一個(gè)偶數(shù)插在3個(gè)奇數(shù)形成的3個(gè)空中，方法有Aeq\o\al(2,3)＝6(種)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求得此時(shí)滿足條件的六位數(shù)共有6×4×6＝144(種)，故滿足1不在左右兩端，2，4，6三個(gè)偶數(shù)中有且只有兩個(gè)偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為432－144＝288(種).12.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 典例精析題型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】在1到20這20個(gè)整數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相加，使其和大于20，共有種取法.【解析】當(dāng)一個(gè)加數(shù)是1時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是2時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是19,20，有2種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是3時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法；……當(dāng)一個(gè)加數(shù)是10時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是11,12，…，19,20，有10種取法；當(dāng)一個(gè)加數(shù)是11時(shí)，另一個(gè)加數(shù)可以是12,13，…，19,20，有9種取法；……當(dāng)一個(gè)加數(shù)是19時(shí)，另一個(gè)加數(shù)只能是20，有1種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100種取法.【點(diǎn)撥】采用列舉法分類，先確定一個(gè)加數(shù)，再利用"和大于20〞確定另一個(gè)加數(shù).【變式訓(xùn)練1】(2010**市模擬)從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()【解析】當(dāng)公比為2時(shí)，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時(shí)，等比數(shù)列可為1,3,9；當(dāng)公比為eq\f(3,2)時(shí)，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為eq\f(1,2)、eq\f(1,3)、eq\f(2,3)時(shí)，也有4個(gè).應(yīng)選D.題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】從6人中選4人分別到**、韶山、衡山、桃花源四個(gè)旅游景點(diǎn)游覽，要求每個(gè)旅游景點(diǎn)只有一人游覽，每人只游覽一個(gè)旅游景點(diǎn)，且6個(gè)人中甲、乙兩人不去**游覽，則不同的選擇方案共有種.【解析】能去**的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的選擇方案有4×5×4×3＝240種.【點(diǎn)撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.【變式訓(xùn)練2】(2010**市調(diào)研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問(wèn)此值班表共有種不同的排法.【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1280種方法.題型三分類和分步計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用【例3】(2011長(zhǎng)郡中學(xué))如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂一樣的顏色，則不同的涂色種數(shù)有.【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個(gè)區(qū)域涂一樣的顏色，分為4類：1與5同；2與5同；3與5同；1與3同.對(duì)于每一類有Aeq\o\al(4,4)種涂法，共有4Aeq\o\al(4,4)＝96種方法.方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)；第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時(shí)區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法.所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96種.【點(diǎn)撥】染色問(wèn)題是排列組合中的一類難題.此題能運(yùn)用兩個(gè)根本原理求解，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.【變式訓(xùn)練3】(2009**市調(diào)研)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2，…，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不一樣，且1,5,9號(hào)小正方形涂一樣顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號(hào)有Ceq\o\al(1,3)種涂法；第二步，涂2,3,6號(hào)，假設(shè)2,6同色，有4種涂法，假設(shè)2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；第三步，涂4,7,8號(hào)，同第二步，共有6種涂法.由分步乘法原理知共有3×6×6＝108種涂法.總結(jié)提高分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理答復(fù)的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問(wèn)題，其區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分假設(shè)干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨(dú)立完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理是完成一件事要分假設(shè)干步，步驟之間相互獨(dú)立，各個(gè)步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個(gè)根本計(jì)數(shù)原理的根底.12.2排列與組合典例精析題型一排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算【例1】計(jì)算：(1)eq\f(8！＋A\o\al(6,6),A\o\al(2,8)－A\o\al(4,10))；(2)Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋…＋Ceq\o\al(3,10).【解析】(1)原式＝eq\f(8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×1,8×7－10×9×8×7)＝eq\f(57×6×5×4×3×2,56×(－89))＝－eq\f(5130,623).(2)原式＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,11)＝330.【點(diǎn)撥】在使用排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)進(jìn)展計(jì)算時(shí)，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤n.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用.【變式訓(xùn)練1】解不等式＞6.【解析】原不等式即eq\f(9！,(9－*)！)＞6×eq\f(9！,(11－*)！)，也就是eq\f(1,(9－*)！)＞，化簡(jiǎn)得*2－21*＋104＞0，解得*＜8或*＞13，又因?yàn)?≤*≤9，且*∈N*，所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.題型二有限制條件的排列問(wèn)題【例2】3男3女共6個(gè)同學(xué)排成一行.(1)女生都排在一起，有多少種排法？(2)女生與男生相間，有多少種排法？(3)任何兩個(gè)男生都不相鄰，有多少種排法？(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法？【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個(gè)元素的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法.又3名女生內(nèi)部可有Aeq\o\al(3,3)種排法，所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144種排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時(shí)有2種插法)，所以女生與男生相間共有2Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝72種排法.(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個(gè)空隙，任取其中3個(gè)安插男生即可，因而任何兩個(gè)男生都不相鄰的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144種.(4)直接分類較復(fù)雜，可用間接法.即從6個(gè)人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝576種.(5)先將2個(gè)女生排在男生甲、乙之間，有Aeq\o\al(2,3)種排法.又甲、乙之間還有Aeq\o\al(2,2)種排法.這樣就有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)種排法.然后把他們4人看成一個(gè)元素(相當(dāng)于一個(gè)男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有Aeq\o\al(2,2)種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24種.【點(diǎn)撥】排列問(wèn)題的本質(zhì)就是"元素〞占"位子〞問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題的限制主要表現(xiàn)在：*些元素"排〞或"不排〞在哪個(gè)位子上，*些元素"相鄰〞或"不相鄰〞.對(duì)于這類問(wèn)題，在分析時(shí)，主要按照"優(yōu)先〞原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對(duì)于"相鄰〞問(wèn)題可用"捆綁法〞，對(duì)于"不相鄰〞問(wèn)題可用"插空法〞.對(duì)于直接考慮較困難的問(wèn)題，可以采用間接法.【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.(1)43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？(2)這個(gè)數(shù)列的第97項(xiàng)是多少？【解析】(1)不大于43251的五位數(shù)Aeq\o\al(5,5)－(Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2))＝88個(gè)，即為此數(shù)列的第88項(xiàng).(2)此數(shù)列共有120項(xiàng)，而以5開(kāi)頭的五位數(shù)恰好有Aeq\o\al(4,4)＝24個(gè)，所以以5開(kāi)頭的五位數(shù)中最小的一個(gè)就是該數(shù)列的第97項(xiàng)，即51234.題型三有限制條件的組合問(wèn)題【例3】要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng).(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法？(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法？(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法？(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法？【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，Ceq\o\al(2,9)＝36種不同選法.(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝126種選法.(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有Ceq\o\al(1,3)種選法，再?gòu)挠嘞碌?人中選4人，有Ceq\o\al(4,9)種選法，所以共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)＝378種選法.(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有Ceq\o\al(5,12)種，再減去A，B，C三人都不入選的情況Ceq\o\al(5,9)，共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(5,9)＝666種選法.(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有Ceq\o\al(5,12)種，再減去A，B，C三人都入選的情況Ceq\o\al(2,9)種，所以共有Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756種選法.【點(diǎn)撥】遇到至多、至少的有關(guān)計(jì)數(shù)問(wèn)題，可以用間接法求解.對(duì)于有限制條件的問(wèn)題，一般要根據(jù)特殊元素分類.【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn).(1)在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？(2)在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？【解析】(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類.第一類：在同一個(gè)面上取，共有4Ceq\o\al(4,6)種；第二類：在一條棱上取三點(diǎn)，再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有6種；第三類：在六條棱的六個(gè)中點(diǎn)中取，取兩對(duì)對(duì)棱的4個(gè)中點(diǎn)，共有Ceq\o\al(2,3)＝3種.故有69種.(2)用間接法.共Ceq\o\al(4,10)－69＝141種.總結(jié)提高解有條件限制的排列與組合問(wèn)題的思路：(1)正確選擇原理，確定分類或分步計(jì)數(shù)；(2)特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮；(3)再考慮其余元素或其余位置.二項(xiàng)式定理典例精析題型一二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及應(yīng)用【例1】的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.(1)求證：展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).【解析】由題意得2Ceq\o\al(1,n)·＝1＋Ceq\o\al(2,n)·()2，即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去).所以Tr＋1＝·()·＝(－)r···＝(－1)r··(0≤r≤8，r∈Z).(1)假設(shè)Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)，則eq\f(16－3r,4)＝0，即16－3r＝0，因?yàn)閞∈Z，這不可能，所以展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng).(2)假設(shè)Tr＋1是有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16－3r,4)為整數(shù)，又0≤r≤8，r∈Z，所以r＝0,4,8，即展開(kāi)式中有三項(xiàng)有理項(xiàng)，分別是T1＝*4，T5＝eq\f(35,8)*，T9＝eq\f(1,256)*-2.【點(diǎn)撥】(1)把握住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，是掌握二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵.除通項(xiàng)公式外，還應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)式的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、展開(kāi)式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)；(2)應(yīng)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)，如求*一項(xiàng)，含**次冪的項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，有理項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)等，一般是應(yīng)用通項(xiàng)公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(xiàng)(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)；(3)注意區(qū)分展開(kāi)式"第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)〞與"第r＋1項(xiàng)的系數(shù)〞.【變式訓(xùn)練1】假設(shè)(*eq\r(*)＋)n的展開(kāi)式的前3項(xiàng)系數(shù)和為129，則這個(gè)展開(kāi)式中是否含有常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)？如果有，求出該項(xiàng)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由題知Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)·2＋Ceq\o\al(2,n)·22＝129，所以n＝8，所以通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,8)(*eq\r(*))8-r＝，故r＝6時(shí)，T7＝26Ceq\o\al(2,8)*＝1792*，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，而存在一次項(xiàng)，為1792*.題型二運(yùn)用賦值法求值an－1＝29－n，則n＝；(2)(1－*)n＝a0＋a1*＋a2*2＋…＋an*n，假設(shè)5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝.【解析】(1)易知an＝1，令*＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30.又令*＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30，即2n＋1－2＝30，所以n＝4.(2)由二項(xiàng)式定理得，a1＝－Ceq\o\al(1,n)＝－n，a2＝Ceq