全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解答及評分標(biāo)準(zhǔn)(非數(shù)學(xué)類)【范本模板】

全國大學(xué)生競賽歷年試題名師精講（非數(shù)學(xué)類）（2009——2013）第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一、解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1。求極限解因?yàn)??！?分)；原式………………………(2分)；……(2分)2。證明廣義積分不是絕對收斂的解記因?yàn)?只要證明發(fā)散即可?！?分）.…………(2分）而發(fā)散,故由比較判別法發(fā)散.……（2分）3。設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。解方程兩邊對求導(dǎo)，得………………（1分）故將將又，令代入所給方程得代入所給方程得，得或………（2分），，…………………(2分），故為極大值,為極小值?！?分）4.過曲線上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為，曲線過A點(diǎn)的切線方程為……………（2分）；令,由切線方程得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。從而作圖可知,所求平面圖形的面積，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為.……………………（4分）二、(滿分12）計(jì)算定積分解…………………（4分）……（2分）……………（4分)…………………（2分)三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明:級數(shù)收斂。解由于在處可導(dǎo)必連續(xù)，由得…………（2分）……（2分）由洛必塔法則及定義…(3分）所以……………(2分)由于級數(shù)收斂，從而由比較判別法的極限形式收斂.……（3分）四、(滿分12分）設(shè),證明解因?yàn)樯蠂?yán)格單調(diào)增,從而有反函，所以在數(shù)………………（2分）。設(shè)又是的反函數(shù),則………（3分），則，所以…（3分）…（2分)五、（滿分14分)設(shè)是一個(gè)光滑封閉曲面，方向朝外。給定第二型的曲面積分。試確定曲面，使積分I的值最小，并求該最小值。解記圍成的立體為V,由高斯公式……………（3分）為了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空間區(qū)域，即取，曲面……（3分)為求最小值，作變換,則，從而……（4分)使用球坐標(biāo)計(jì)算,得……（4分)六、(滿分14分）設(shè),其中為常數(shù),曲線C為橢圓,取正向。求極限解作變換（觀察發(fā)現(xiàn)或用線性代數(shù)里正交變換化二次型的方法)，曲線C變?yōu)椋▽?shí)現(xiàn)了簡化積分曲線），也是取正向…(2分)平面上的橢圓而且（被積表達(dá)式?jīng)]變,同樣簡單?。?分）曲線參數(shù)化，則有,…（3分）令而,則由于,從而。因此當(dāng)時(shí)或時(shí)………(2分）…（3分）。故所求極限為……………（2分）七(滿分14分）判斷級數(shù)解(1）記的斂散性，若收斂,求其和。因?yàn)槌浞执髸r(shí)…………（3分）收斂…(2分)所以，而收斂，故，則（2）記=………………(2分）=…（2分）=………（2分）因?yàn)椋?從而，故。因此.（也可由此用定義推知級數(shù)的收斂性）……………(3分）第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類)一．計(jì)算下列各題（本題共3小題,每小題各5分，共15分,要求寫出重要步驟。）（1）.求；解：方法一(用兩個(gè)重要極限）：方法二（取對數(shù)）:(2）.求;解：方法一（用歐拉公式）令其中，表示時(shí)的無窮小量,方法二(用定積分的定義)（3)已知,求。解：二．(本題10分）求方程的通解。解：設(shè)，則是一個(gè)全微分方程,設(shè)方法一：由得由得方法二:該曲線積分與路徑無關(guān)三．（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且均不為0，證明:存在唯一一組實(shí)數(shù),使得.證明:由極限的存在性：即，又，①由洛比達(dá)法則得由極限的存在性得即，又，②再次使用洛比達(dá)法則得③由①②③得是齊次線性方程組的解設(shè)，則，增廣矩陣，則所以，方程且有唯一解，即存在唯一一組實(shí)數(shù)滿足題意，。四．（本題17分）設(shè)，其中，，為與的交線，求橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值.解：設(shè)上任一點(diǎn)則,令，橢球面在上點(diǎn)M處的法向量為：在點(diǎn)M處的切平面為:原點(diǎn)到平面的距離為，令則，現(xiàn)在求令在條件,下的條件極值，則由拉格朗日乘數(shù)法得:，解得或,對應(yīng)此時(shí)的或此時(shí)的或又因?yàn)?，則所以，橢球面在上各點(diǎn)的切平面到原點(diǎn)距離的最大值和最小值分別為：，五．（本題16分）已知S是空間曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的橢球面的上半部分（)取上側(cè),是S在點(diǎn)處的切平面，是原點(diǎn)到切平面的距離，表示S的正法向的方向余弦.計(jì)算：(1）；（2）解：（1）由題意得：橢球面S的方程為令則，切平面的法向量為的方程為，，原點(diǎn)到切平面的距離將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二重積分得：記(2)方法一：方法二（將一型曲面積分轉(zhuǎn)化為二型)：記，取面向下,向外，由高斯公式得：，求該三重積分的方法很多，現(xiàn)給出如下幾種常見方法：1先一后二:②先二后一:③廣義極坐標(biāo)代換:六．（本題12分)設(shè)f（x)是在內(nèi)的可微函數(shù),且，其中，任取實(shí)數(shù)證明：,定義證明：絕對收斂。由拉格朗日中值定理得：介于之間，使得，又得級數(shù)收斂，級數(shù)收斂,即絕對收斂。七．（本題15分）是否存在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)f(x)，滿足,?請說明理由。解：假設(shè)存在,當(dāng)時(shí),由拉格朗日中值定理得：介于0,x之間,使得,同理，當(dāng)時(shí)，由拉格朗日中值定理得：介于x,2之間，使得即，顯然，，又由題意得即,不存在，又因?yàn)閒(x）是在區(qū)間上的連續(xù)可微函數(shù)，即存在,矛盾，故，原假設(shè)不成立，所以，不存在滿足題意的函數(shù)f(x)。第二屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）第一屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)類）一、填空題（每小題5分，共20分）1．計(jì)算____________，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域。解:令，則，，（*）令,則，,，2．設(shè)解:令是連續(xù)函數(shù)，且滿足，則,則____________。，,解得。因此。3．曲面平行平面的切平面方程是__________。解：因平面的法向量為，故，而曲面在處的法向量為與平行，因此,由，知，即，又,于是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是由方程.4．設(shè)函數(shù)確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則________________.解:方程的兩邊對求導(dǎo)，得因，故，即,因此二、（5分)求極限解:因,其中是給定的正整數(shù)。故因此三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，,且,為常數(shù),求并討論在處的連續(xù)性。解：由和函數(shù)連續(xù)知,因，故，因此，當(dāng)時(shí)，,故當(dāng)時(shí),，這表明在處連續(xù).四、（15分）已知平面區(qū)域（1）,為的正向邊界,試證：;(2)。證：因被積函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)在上連續(xù)，故由格林公式知（1)而關(guān)于和是對稱的，即知因此（2）因故由知即五、（10分）已知，，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解,試求此微分方程.解設(shè)，,是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程，而的解，因此式是的特征多項(xiàng)式是的特征多項(xiàng)因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，，由和知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過原點(diǎn)。當(dāng)時(shí),，又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定，使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。解因拋物線過原點(diǎn)，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周