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文檔簡介
第二章 矩陣的定 矩陣的運第三節(jié)第四節(jié)方程組的矩陣解§ 矩陣的例1.某商場9月份電視機銷售統(tǒng)21 29 34 長 康 107 107
與數(shù)表應例2.線性方
a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2a31x+a32y+a33z=b3
b1
b2 b 二、矩陣的定義mn個數(shù)aiji1,2,Lm;j1,2,Lm行n列的表 表 am
M稱為mn矩陣. a1nA
2n m
mn
的元
a這mn個數(shù)稱為A的元素,簡稱為元元素都是實數(shù)——實矩
512 12 4 是一個14矩陣(4維的行向量
4是一11矩陣(一個數(shù) 2 3 6
與
4是同型矩 定義2兩個矩陣A(aij)mn 與B(bij)mn為同型矩陣,且對應元素相等,即:aij (i1,2,L, j1,2,L,則稱A與B相等 記為A如 2
1 幾種特殊矩陣Specialformofomno 0例
0 000 00 0只有一行的矩陣A an
B m m3、A(aij稱A(aij
為A的負矩 a1n
2n
L
nn主對角5、除主對角線上元素外,其它
OOn(diagonal6、
方陣E L L1 1
全為稱為單位矩陣(或單位陣 0 0 L k8、
0A0
nn9、下三角形矩陣 0A nn10、
a11
a1n若aija
A 2n(i,j=1,2,…,
MMO M 如
1/
nn 3 311、稱矩naijaji
0
a1n(i,j=1,2,…,
A
2naLMMaL如 2
0 3 稱矩 0 0線性方程組的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=………………am1x1+am2x2+…+amnxn=
b1
b 線性方
2
增廣 b m線性方程組的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=………………am1x1+am2x2+…+amnxn=
a1n
x1
x
A
2n
X
2
B L
x
系數(shù) mn系數(shù)
n
m§ 矩陣的一、矩陣的加1、定設有兩
矩陣A ,B
,那么矩A與B的和記作AB,規(guī)定
AB L
2 2n am
am
bmn說明1.只有當兩個矩陣是同型矩陣時,才能進2.兩個 5例 5
1 1
2 2
04
4. 62 81 2陣加法的運算1交換律ABB2結(jié)合律ABCAB3A矩陣的減法:A-BA-B)bijA1、定數(shù)與矩陣A的乘積記作A或 ,規(guī)定 a1n AA
2n
mn2、數(shù)(A、B為mn矩陣,,為數(shù)1結(jié)合律A2分配律AAA;ABA例1設 ,求2A+B解2A+B= 3 0 4 7 1、定設A
矩陣B sn矩陣,那么規(guī)定矩陣A與矩陣B 矩陣C ,其s ai1b1jai2b2
L
aikki1,2,Lm;j1,2,L,并把此乘積記 Ccijai1b1jai2b2jL
a1s
L
1n
b2n第i行
i L
L
snsn m ms
L
c1n
第i行第j
mn例C 4 4 222
622?224(3) 244(6)? 12(2)(3) 14(2)(6)2 2例 1 2
4 1
求ABA1 0 B
1 1 4 1 QA
B
ABC
03403412131121 2 A B04 04
4 1CAB
4 1 7 2 注意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣1
例 1
不存在
12 312 2
13223
13
1 312 2
13223
13
13
2 2 2
33
1 1 1
3 AB
9 6 3 例
A
1 B
1AB
BA
2 故AB注矩陣的乘法不滿換律,即在一般情況下,AB≠BA.另外,A≠O B≠O時,可以AB=O因此由AB=O,不能推出A=O或例 設A 2,B
0,C 1 3
4 0 AC 1 BC 1 0 0 即ACBC,但A可見,矩陣乘法不滿足消注:
ABABCB AC 或B因為,A≠O,B≠O時,可以 0
B 例外:A 2
1 1AB
,BA
2, 2 2 此時AB2、矩陣乘法的運算>分配律(B+C))=5若A是n階方陣,則 為A的k次冪,142 AALA并且Am Amk, k142kmk為正整注意矩陣不滿換律,即ABkAk(AB)k1424例5設 ,求1 1 解A2AA 1
1 1,
A3A2A 21
1 3, 1
例6設ABC其中B
2,C=3
則A=
6,A2013 CB= 3]3
=11+22+33=A2013==B(CB)(CB)C…B(CB)(CB)C==結(jié)合m個方程n個未知量的線性方程ax
x...
x
若B=0,稱之
齊次線性方a21
a22
...a2n
若B≠0,稱之為齊次線性方
...amnxn系數(shù)矩陣
a1n
x1 b1 記A a2n
Xx2 Bb2
...
...
x
b
mn
n
mm×n線性方程組的矩陣
AX四、矩陣的其1、轉(zhuǎn)置定義A …a1n a22 …定義A……… … …am1 …
的轉(zhuǎn)置矩………AT……… …
5; 66B18
轉(zhuǎn)置矩陣的運算2ABT3ATAT
BT4ABTBTAT BTAT BpnpCij
ajkk1
BTAT的(i,j)位置元素 BT的i行元素乘AT的j列元的i的jdijCij
pkp
bkiajk例 已
A
B 3
求ABT210 2 210 解法
3 QAB
1
3, 10例 已
A
B 3
求ABT210 2 210 解法ABTBT
1 3 132 2
n2、方陣可參與多n多項式
f(x)an
L
xA是n階方陣f(A)aAn
L a0 如 A
1,
f(x)2x2x f(A)2A2A 13 0 2 2 1 0 5 1 3 6 五、關于特殊矩陣的幾點1、對角矩陣
n仍為同階對角T
則kAAB2、單位矩陣 1 EmAmnAmn AmnEnAmn A0En.3、數(shù)量矩陣
1 A
a a 1 AAB(ABaEnB4、
0 0A
0 0
A
ann ann
則kAAB5、對稱陣與稱定義設為階方陣,如果滿足 即aija i,j1,2,L,那么A稱為對稱陣 對任意矩陣Amn, (ATA)T?ATA(ATA)TAT(AT)TAT ""AB(AB)TBTAT
ABAn階方陣,如果滿
ATAaijajiij12L那么A稱為稱陣設A與B為n階方陣,問等A2B2 A A成立的充要條件是什么思考題QABABA2BAABB2A2B2ABAB成立的充要條AB§ 逆矩一、逆矩陣的概念和 對于n階方陣A,如果有一個n階方陣B, ABBAE,則說矩陣是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣A的逆A1.即BA1A
1 11 1 1 1Q B是A的一個逆矩陣A 0 0
00 aiaa0n QABEn0
BAEn B 2 2
a
設B,C都是的逆矩陣 則ABBA ACCA BBEnB(AC)(BA)CEnC結(jié)論:可逆矩陣的逆矩陣唯逆矩陣的(A1)1若k
(kA)11k(AB)(B1A1)?(AB)(B1A1)?EnB)(B1A1)1(B1A1)(AB) )A1AEn證:A
(
C1B1AA1(B1A1)(AB)B1(A1A)B (AT)(A1)TEn(A1)(AT)(A1)TEn(A1)T(AT)En 證 (AT)(A1 (A1A)T(E)T (A1)T(AT (AA1)T(En)T例
A
求A的逆陣 解設B b 利用待定系數(shù)法
的逆矩陣 dAB
b
0 d 12a 2bd 12ac a2a 2bd 0
2bd
b
1
a
cAB
b
1 1 0,
1 1
所
. . 2問題1:方陣都可問題2:在什么條件下,方陣是可逆問題3:如果方陣是可逆的,如何求它的逆矩應用的前提是 A是方陣;AnnXn1Bn1 AXB(A1A)XA1BXm×n線性方程組的一般形式a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=……………… …amnxn=問題:如何來求解一般的線性方程組§ 線性方程組的a11x1+a12x2+…+a1nxn=
b1 x x+… x=
b
2………………
am1x1+am2x2+…+amnxn=
b m下面三種矩陣行之間的變換稱為矩陣的初等行變換兩行互換(對調(diào)i,j兩行,記為rirj某一行的每一個元素乘以不為零的常數(shù)(i行乘k,記為rik把某一行的每一個元素乘以常數(shù)k后,加(第i行的k倍加到j行,記為rikrj 1
1
r2r3
記作 ri2一非零常數(shù)乘矩陣的某行—1
1
1012
ri注: 3某一行k倍加到另一行—1
注注用矩陣的初等行變換解方§1.2引例求消元法解下列線 2x1x2x3x4 x1x22x3x4 4x6x2x
324
解:增廣
214 14 439 39 2
4(2) 4
2 1
4
2 9 4
9 4
6 6
4 4 3 913113146001300130 0 00 00
上11411436001300004x1x22x3x4 43x2
3
(B對應的方程組為解方
x4 0 行階梯形
14 14 的下方全為零
3 0、每個 有一階梯線的122個元素為非零元
不是行階梯形矩陣 0行階梯形矩陣后,再求解所對應的線性方程 x2 x3例1求解線性方程組 x x x2x2 2x x 對增廣矩陣進行行初等變換
1
2A
1
2
1 5
1 5
1
2 2
2 0 x1
x3 對應的方程
x2x31x1
解之
唯一
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