江西省南昌二中2022年數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．閱讀下側(cè)程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為31，則①處應(yīng)填的數(shù)字為A．4 B．5 C．6 D．73．在中，在邊上滿(mǎn)足，為的中點(diǎn)，則（）.A． B． C． D．4．若數(shù)列滿(mǎn)足且，則使的的值為()A． B． C． D．5．若為純虛數(shù)，則z＝（）A． B．6i C． D．206．如圖，在正方體中，已知、、分別是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且.則下列直線(xiàn)與平面平行的是（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．10．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．11．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．12．如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長(zhǎng)為（）A．4 B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，的夾角為30°，，則_________.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且周期為，當(dāng)時(shí)，，則的值為_(kāi)__________________．15．已知是偶函數(shù)，則的最小值為_(kāi)__________.16．已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的體積是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.（1）若軸，且滿(mǎn)足直線(xiàn)與圓相切，求圓的方程；（2）若圓的半徑為，點(diǎn)滿(mǎn)足，求直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.18．（12分）已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4時(shí)，求直線(xiàn)的斜率；（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率分別為，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線(xiàn)的方程.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與交于，兩點(diǎn)．（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的普通方程；（2）設(shè)點(diǎn)；若、、成等比數(shù)列，求的值20．（12分）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）若，，求的值；（2）若，求的值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).22．（10分）已知函數(shù)u（x）＝xlnx，v（x）x﹣1，m∈R．（1）令m＝2，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）令f（x）＝u（x）﹣v（x），若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且滿(mǎn)足1e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）求x1?x2的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

變形為，由得，轉(zhuǎn)化在中，利用三點(diǎn)共線(xiàn)可得.【詳解】解：依題：，又三點(diǎn)共線(xiàn)，，解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線(xiàn)定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.利用向量共線(xiàn)定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線(xiàn)的向量式參數(shù)方程：三點(diǎn)共線(xiàn)?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)2、B【解析】考點(diǎn)：程序框圖．分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)求S的值，我們用表格列出程序運(yùn)行過(guò)程中各變量的值的變化情況，不難給出答案．解：程序在運(yùn)行過(guò)程中各變量的值如下表示：Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i＜5時(shí)退出，故選B．3、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因?yàn)椋?，?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.4、C【解析】因?yàn)?，所以是等差?shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．5、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念，可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù)，∴且得，此時(shí)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

連接，使交于點(diǎn)，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得解．【詳解】如圖，連接，使交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．7、D【解析】

設(shè)雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8、B【解析】

求得的導(dǎo)函數(shù)，由此構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可知在上有變號(hào)零點(diǎn).由此令，利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得的取值范圍.【詳解】，設(shè)，要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，即在上有變號(hào)零點(diǎn)，令，則，令，則問(wèn)題即在上有零點(diǎn)，由于在上遞增，所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、A【解析】

所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價(jià)變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因?yàn)闈M(mǎn)足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.10、C【解析】

根據(jù)表示出線(xiàn)段長(zhǎng)度，由勾股定理，解出每條線(xiàn)段的長(zhǎng)度，再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系，求出離心率.【詳解】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過(guò)幾何關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)系，得到離心率.屬于中檔題.11、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由，兩邊平方后展開(kāi)整理，即可求得，則的長(zhǎng)可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由求出，代入，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即得.【詳解】，存在實(shí)數(shù)，使得.不共線(xiàn)，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線(xiàn)定理和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可得：，周期為，可得，可求出，最后再求的值即可.【詳解】解：函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，.由周期為，可知，，..故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：2【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】Aa設(shè)正四棱柱的高為h得到故得到正四棱柱的體積為故答案為54.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：（1）確定圓的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，所以先確定直線(xiàn)方程，即確定點(diǎn)坐標(biāo)：因?yàn)檩S，所以，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可取，則直線(xiàn)的方程為，根據(jù)圓心到切線(xiàn)距離等于半徑得（2）根據(jù)垂徑定理，求直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)的最大值，就是求圓心到直線(xiàn)的距離的最小值.設(shè)直線(xiàn)的方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離，利用得，化簡(jiǎn)得，利用直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得，因此，當(dāng)時(shí)，取最小值，取最大值為.試題解析：解：（1）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，.因?yàn)檩S，所以，而直線(xiàn)與圓相切，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可取，則直線(xiàn)的方程為，即.由圓與直線(xiàn)相切，得，所以圓的方程為.（2）易知，圓的方程為.①當(dāng)軸時(shí)，，所以，此時(shí)得直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為.②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，首先由，得，即，所以（*）.聯(lián)立，消去，得，將代入（*）式，得.由于圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為，故當(dāng)時(shí)，有最大值為.綜上，因?yàn)?，所以直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為.考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓位置關(guān)系18、（1）（2）【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)直線(xiàn)的斜率公式即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理得，，結(jié)合直線(xiàn)的斜率公式得到，換元后討論的符號(hào)，求最值可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，即直線(xiàn)的斜率為1.（2）顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立方程組，可得則，令，則則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，解得時(shí)，取“=”號(hào)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)直線(xiàn)的方程是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)的斜率公式，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，換元法，均值不等式，考查了運(yùn)算能力，屬于難題.19、(1)曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的普通方程為；(2)【解析】

(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化，即可求解曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的普通方程；(2)把的參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)方程中，利用韋達(dá)定理得，，可得到，根據(jù)因?yàn)?，，成等比?shù)列，列出方程，即可求解．【詳解】(1)由題意，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可化為，又由，可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為，由直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，即直線(xiàn)的普通方程為；(2)把的參數(shù)方程代入拋物線(xiàn)方程中，得，由，設(shè)方程的兩根分別為，，則，，可得，．所以，，．因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，即，則，解得解得或（舍），所以實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線(xiàn)參數(shù)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用直線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦定理得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合，可求出的值；（2）利用兩角和的余弦公式以及誘導(dǎo)公式可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得或（舍），所以；（2）由及得，，所以，又因?yàn)?，所以，從而，所?【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了兩角和的余弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式求值，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導(dǎo)分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.（2）,有零點(diǎn)等價(jià)于方程實(shí)數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.如圖可知①當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí),有唯一零點(diǎn),即有唯一零點(diǎn)；④時(shí),此時(shí)無(wú)零點(diǎn),即此時(shí)無(wú)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題,屬于中檔題.22、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）【解析】

（1）化簡(jiǎn)函數(shù)h（x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出（2）函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)正根，由此得到m（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，消參數(shù)m化簡(jiǎn)整理可得ln（x1x2）＝ln?，設(shè)t，構(gòu)造函數(shù)g（t）＝（）lnt，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值即可求出x1?x2的最大值．【詳解】（1）令m＝2，函數(shù)h（x），∴h′（x），令h′（x）＝0，解得x＝e，∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e），單調(diào)遞減區(qū)間是（e，+∞）（2）f（x）＝u（x）﹣v（x）＝xlnxx+1，∴f′（x）＝1+lnx﹣mx﹣1＝lnx﹣mx，∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，∴f′（x）＝lnx﹣mx＝0有兩個(gè)不等正根，∴l(xiāng)nx1﹣mx1＝0，lnx2﹣mx2＝0，兩式相減可得lnx2﹣lnx1＝m（x2﹣x1），兩式相加可得m（x2+x1）＝lnx2+lnx1，∴∴l(xiāng)n（x1x2）＝ln?，