薄板的小撓度彎曲問(wèn)題及經(jīng)典解法

關(guān)于薄板的小撓度彎曲問(wèn)題及經(jīng)典解法第1頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六§9-1有關(guān)概念及計(jì)算假定圖9-11.名詞解釋

（1）板兩個(gè)平行面與垂直于該平面的棱柱面所圍成的物體稱為平板，簡(jiǎn)稱板。（2）中面平分板厚度d的平面稱為中面。（3）彈性曲面板彎曲時(shí)中面所形成的曲面。第2頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（4）撓度中面在z方向上的位移。（5）薄板板的厚度d遠(yuǎn)小于中面的最小尺寸b。（3）彈性曲面板彎曲時(shí)中面所形成的曲面。（如小于b/8至b/5）的平板。

2.荷載的分解

將板受到的一般荷載分解為兩種：作用于中面之內(nèi)的荷載（平面應(yīng)力問(wèn)題）。垂直于中面的荷載（板的彎曲問(wèn)題）。3.小撓度彎曲理論4.三個(gè)基本假定

板的彎曲剛度較大，板的撓度遠(yuǎn)小于其厚度。（1）形變分量、、都可以不計(jì)。

第3頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六1）由幾何方程，，知即在垂直于中面的任一法線上，薄板全厚度內(nèi)各點(diǎn)的撓度相同。2）由幾何方程，，，得，

（9-1）

（2）引起的形變可以不計(jì)。由物理方程（7-12），有：（9-2）即薄板小撓度彎曲問(wèn)題的物理方程和薄板平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程相同。第4頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（3）薄板中面內(nèi)各點(diǎn)都沒(méi)有平行于中面的位移，（9-3）

、、即投影保持形狀不變。

、、第5頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六§9-2彈性曲面微分方程按位移求解，基本未知量。1.用w表示形變分量

將假定（1），即式（9-1）對(duì)z積分：，應(yīng)用假定（3），即式（9-3），有：，，即，（a）

第6頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六2.用w表示應(yīng)力分量

（1）由物理方程（9-2）式解得應(yīng)力分量：，，

（b）

（2）用w表示應(yīng)力分量sx、sy、txy

將（a）式代入（b）式，有（9-4）

第7頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（3）用w表示應(yīng)力分量tzx、tzy

由空間問(wèn)題的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：，將（9-4）式代入，有：由邊界條件，有，即有：

同理，有：

第8頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（9-5）

（4）用w表示應(yīng)力分量sz

由平衡方程（7-1）式的第三式有（取fz=0）：

（c）若體力不為零，可把薄板單位面積內(nèi)的體力及面力歸入薄板上面的面力，并用q表示。（d）第9頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六由于、，將（9-5）式代入（c）式，在薄板下面，邊界條件（面力已等效），可得：回代（e）式，有：（9-6）第10頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六3.彈性曲面微分方程

（1）在薄板上邊界，，q薄板單位面積內(nèi)的橫向荷載，包括橫向面力及體力。（2）將（9-6）式代入上式，有：其中:

稱為薄板的彎曲剛度，它的量綱是：L2MT-2

（9-7）

（9-8）

（9-9）

第11頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六方程（9-8）稱為薄板的彈性曲面微分方程。是薄板彎曲問(wèn)題的基本微分方程。具體求解時(shí)要考慮（板邊上）薄板側(cè)面的邊界條件?！?-3薄板橫截面上的內(nèi)力及應(yīng)力1.橫截面上的內(nèi)力

一般情況下，很難使應(yīng)力分量精確滿足邊界條件，應(yīng)用圣維南原理，應(yīng)使應(yīng)力組成的內(nèi)力整體地滿足邊界條件。圖9-2取出平行六面體dxdyd。（1）在x為常量的截面上，作用有sx、txz、txy。由于應(yīng)力分量sx和txy都與z成正比，全截面上其合力為零，只能合成為彎矩和扭矩。1）彎矩（沿y方向取單位寬度）由sx合成：

第12頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六將（9-4）式中的第一式代入，對(duì)z積分，有：

（a）

2）扭矩由txy合成：

（b）將（9-4）式中的第三式代入，對(duì)z積分，有：

第13頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六3）橫向剪力（由txz合成）

（c）將（9-5）式中的第一式代入，對(duì)z積分，有：

（2）同樣在y為常量的截面上，每單位寬度內(nèi)的sy、tyx、tyz也分別合成為如下的彎矩、扭矩和橫向剪力：

（d）第14頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（e）（f）（3）利用（9-9）式，各個(gè)內(nèi)力的表達(dá)式可以簡(jiǎn)寫為：

（9-10），，第15頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六圖9-3

薄板內(nèi)力的正負(fù)方向的規(guī)定，是從應(yīng)力的正負(fù)方向的規(guī)定得出：正的應(yīng)力合成的主矢量為正，正的應(yīng)力乘以正的矩臂合成的主矩為正；反之為負(fù)。薄板內(nèi)力的正方向如圖9-3所示。第16頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六2.橫截面上的應(yīng)力

由式（9-4）至（9-6）及（9-10）式，有：（9-11），，，3.分析

（1）上述各內(nèi)力分量均為薄板單位寬度上的內(nèi)力，彎矩、扭矩的量綱為L(zhǎng)MT-2，橫向剪力的量綱是MT-2

。第17頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六

（2）一定荷載引起的彎應(yīng)力和扭應(yīng)力數(shù)值上最大，是主要的應(yīng)力；橫向剪應(yīng)力數(shù)值較小，是次要的應(yīng)力；擠壓應(yīng)力數(shù)值更小，是更次要的應(yīng)力。所以計(jì)算薄板內(nèi)力時(shí)，主要計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力無(wú)須計(jì)算。

（3）應(yīng)用時(shí)可查相關(guān)手冊(cè)，若是雙向配筋時(shí)，扭矩的影響也可不考慮。第18頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六§9-4邊界條件扭矩的等效剪力矩形薄板，OC邊簡(jiǎn)支；OA邊固支；AB和BC邊自由。圖9-41.固支邊，OA邊（x=0）

（9-13）

2.簡(jiǎn)支邊，OC邊（y=0）

（a）

（b）（1）無(wú)外力作用時(shí)：第19頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六若（a）第一條件滿足，則w在OC邊上處處為零，則，故（9-14）（2）若在OC邊上作用有分布力矩M（為x的函數(shù)）時(shí)，則（b）式及（9-14）的第二式為：（b’）3.自由邊，AB邊（y=b）（1）薄板的彎矩、扭矩和橫向剪力都應(yīng)為零，即：

第20頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六

（c），，（2）薄板邊上的扭矩可以變換為等效的橫向剪力，即扭矩的等效剪力?？偟姆植技袅κ牵簣D9-5第21頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六角點(diǎn)A、B處的集中剪力（集中反力）為：

（d），則邊界條件（c）變?yōu)椋?/p>

，（e）由式（9-10）可知，自由邊AB的邊界條件為：（9-15）4.自由邊，BC邊（x=a）同樣，有總的分布剪力是：

第22頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（9-16）角點(diǎn)C、B處的集中剪力（集中反力）為：

（f），則邊界條件可變換為：

（g），由式（9-10）可知，自由邊BC的邊界條件為：（9-17）

第23頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六在兩邊相交的點(diǎn)，如B點(diǎn)，總的集中反力是

由式（9-10）第三式，可知：（9-18）

集中剪力或集中反力的正負(fù)號(hào)決定于角點(diǎn)處的扭矩的正負(fù)號(hào)，而不能另行規(guī)定。據(jù)此，A點(diǎn)和C點(diǎn)處的剪力以沿z軸的正方向?yàn)檎?，而O點(diǎn)和B點(diǎn)處的剪力以沿z軸的負(fù)向時(shí)為正。

如果點(diǎn)B是自由邊AB和自由邊BC的交點(diǎn)，而點(diǎn)B并沒(méi)有任何支柱對(duì)薄板施以此向集中力，則應(yīng)有FRB=0，亦即：第24頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六如果點(diǎn)B處有支柱阻止撓度發(fā)生，則交點(diǎn)條件應(yīng)為：

而支柱對(duì)薄板所施加的反力按式（9-18）計(jì)算。（9-19）

（9-20）

第25頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六§9-5簡(jiǎn)單例題1.夾支橢圓板

設(shè)有橢圓形薄板，圖9-6，其邊界方程是圖9-6（a）

（b）

試取撓度的表達(dá)式為由式（b）及式（a）可見(jiàn)，在薄板的邊界上有w=0，同時(shí)也有

第26頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六為了式（b）能滿足邊界條件，薄板的邊界必須是夾支邊。將式（b）代入彈性曲面微分方程（9-8），得（c）

因?yàn)閙是常數(shù)，所以q也必須是常數(shù)，可見(jiàn)薄板所受的荷載必須是均布荷載，即q=q0，由（c）式求出m，再代入式（b），得第27頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六再按照式（9-10）求內(nèi)力，由式（d）得到彎矩（d）

（e）

（f）第28頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六對(duì)于O點(diǎn)及A點(diǎn)，圖9-6，得到

，對(duì)于O點(diǎn)及B點(diǎn)，圖9-6，得到（g）第29頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（h）假定a>b，則上兩式求出的是薄板中的最大及最小彎矩，變化見(jiàn)圖9-6。

命a趨于無(wú)窮大，薄板變成跨度為2b的平面應(yīng)變情況下的固端梁，可得在梁的中央及兩端，彎矩分別為，

同材力解答。第30頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六對(duì)圓板（a=b），彎矩、扭矩及橫向剪力的最大絕對(duì)值分別為

，，而應(yīng)力分量的最大絕對(duì)值為，，第31頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六2.簡(jiǎn)支矩形板

設(shè)有四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，圖9-7，其交點(diǎn)B由于支承構(gòu)件的沉陷而發(fā)生撓度wB=z，則BC邊及AB邊保持為直線，而它們的撓度為（i），在該兩邊處，還有邊界條件，

（j）在OA邊及OC邊，邊界條件為（k）第32頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六取薄板撓度的表達(dá)式為:（l）

則有

（m）

第33頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六交點(diǎn)B處的集中反力為

可見(jiàn)，薄板在B點(diǎn)處受有與z方向相同的反力（向上為正）。同樣，薄板在O點(diǎn)處受有與z方向相同的反力，并在A點(diǎn)及C點(diǎn)還受有同樣大小的與z反向的反力（向下為正）。第34頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六§9-6四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的重三角級(jí)數(shù)解對(duì)四邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，圖9-7，邊界條件是

圖9-7（a）

納維把撓度的表達(dá)式取為如下的重三角級(jí)數(shù)，求得了重三角級(jí)數(shù)解。第35頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（b）能滿足（a）的全部邊界條件。為求系數(shù)Amn，將式（b）代入微分方程（9-8），得：（c）

1.任意荷載作用下

將上式右邊的q=q(x,y)展開(kāi)為重三角級(jí)數(shù)：（d）

第36頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（e）（f）由傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)公式，有代回式（b），可求得系數(shù)

對(duì)上式中分子進(jìn)行積分，求出Amn，再代入（b）式，即可求出撓度w的表達(dá)式，再應(yīng)用式（9-10）便可求得內(nèi)力。第37頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六2.均布荷載作用下

當(dāng)薄板受均布荷載q=q0時(shí)，式（e）中的積分成為:由式（f）求得第38頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六或代入（b）式，即可求出撓度w的表達(dá)式（g）再應(yīng)用式（9-10）可求得內(nèi)力。第39頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六3.集中荷載作用下

當(dāng)薄板的任意一點(diǎn)（x，h）受集中荷載F時(shí)，可以用微分面積上的均布荷載F/dxdy來(lái)代替分布荷載。于是，（e）式中的q除了在點(diǎn)（x，h）處的微分面積上等于F/dxdy以外，其余各處都等于零。（e）式成為：

代入（b）式，即可求出撓度w的表達(dá)式：第40頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六（g）由此可以用式（9-10）求得內(nèi)力。第41頁(yè)，共47頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)35分，星期六§9-7矩形薄板的單三角級(jí)數(shù)解1.矩形薄板的單三角級(jí)數(shù)解對(duì)于有兩個(gè)對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形薄板，圖9-8，可求得單三角奇數(shù)解。圖9-8萊維把撓度的表達(dá)式取為如下的單三角級(jí)數(shù)：（a）

級(jí)數(shù)（a