上海市長寧區(qū)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 帶詳解

2021學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1.已知在中,,那么長為（）A. B. C. D.2.如果向量與向量方向相反,且,那么向量用向量表示為（）A. B. C. D.3.如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的長等于（）A.2 B.4 C. D.4.拋物線(其中)一定不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.下列命題中,說法正確的是（）A.所有菱形都相似B.兩邊對應(yīng)成比例且有一組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似C.三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊距離的兩倍D.斜邊和直角邊對應(yīng)成比例,兩個直角三角形相似6.如圖,點是線段的中點,,下列結(jié)論中,說法錯誤的是（）A.與相似 B.與相似C. D.二、填空題（本大題共12題,每題4分,滿分48分）7.已知,那么的值為______．8.拋物線的頂點坐標(biāo)是________．9.在比例尺為1：10000的地圖上，相距5厘米的兩地A、B的實際距離為___米．10.已知點是線段的黃金分割點,?果,則_______．11.如果兩個相似三角形周長之比為,那么這兩個三角形的面積之比為_______．12.點是的重心,過點作邊的平行線與邊交于點與邊交于點,則______．13.如圖,小明沿著坡度的坡面由到直行走了13米時,他上升的高度_______米．14.已知拋物線與軸交于點,過點作軸的平行線交拋物線于點,若,則點坐標(biāo)為______．15.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有邑方不知大小,各中開門.出北門三十步有木,出西門七百五十步有木.問邑方幾何?”示意圖如圖,正方形中,分別是和的中點,若,且過點,那么正方形的邊長為______．16.如圖,在中,是斜邊上的中線,點是直線左側(cè)一點,聯(lián)結(jié),若,則的值為______．17.定義:在中,點和點分別在邊、邊上,且DE//BC，點點之間距離與直線與直線間的距離之比稱為關(guān)于的橫縱比.已知,在中,上的高長為關(guān)于的橫縱比為,則_______．18.如圖,在中，，點分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點落在邊上，記點，如果，則_______．

三、解答題（本大題共7?,滿分78分）19.計算：.20拋物線經(jīng)過點．（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）填空：如果將該拋物線平移,使它的頂點移到點的位置，那么其平移的過程是平移后的拋物線表達(dá)式是．21.如圖,在梯形中，AB//CD，且,點是邊中點,聯(lián)結(jié)交對角線于點,若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求寫作法,但要保留作圖痕跡,并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）22.如圖,某種路燈燈柱垂直于地面,與燈桿相連.已知直線與直線的夾角是.在地面點處測得點的仰角是,點仰角是,點與點之間的距離為米．求：（1）點到地面的距離；（2）的長度．（精確到米）（參考數(shù)據(jù):）23.如圖,線段是的角平分線,點點分別在線段的延長線上,聯(lián)結(jié),且．（1）求證:；（2）如果,求證:．24.拋物線與軸相交于兩點(點在點左側(cè)),與軸交于點,其頂點的縱坐標(biāo)為4．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）求的正切值；（3）點在線段的延長線上,且,求的長．25.已知,在中,,點是射線上的動點,點是邊上的動點，且,射線交射線于點．

（1）如圖1,如果,求的值；（2）聯(lián)結(jié),如果是以為腰等腰三角形，求線段的長；（3）當(dāng)點在邊上時,聯(lián)結(jié),求線段的長．

2021學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1.已知在中,,那么的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出，根據(jù)三角函數(shù)進(jìn)行解題即可．【詳解】解：由圖可知，∵，∴BC=．故選：A．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握所學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.如果向量與向量方向相反,且,那么向量用向量表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的表示方法直接解答即可【詳解】解：向量與向量方向相反,且,那么向量用向量表示為故選D【點睛】本題考查了向量的表示方法，理解是解題的關(guān)鍵．3.如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的長等于（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到，然后利用比例性質(zhì)計算出BC，從而求出CE即可．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴，即，∴BC=，∴CE=BE-BC=12-=，故選C．【點睛】本題考查了平行線線段成比例，熟練掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．4.拋物線(其中)一定不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的各項系數(shù)進(jìn)行判斷對稱軸以及與點的坐標(biāo)，畫出草圖，進(jìn)而即可求得答案【詳解】解：拋物線的對稱軸為則對稱軸在軸的右側(cè)，且開口向上，令，即拋物線與點的坐標(biāo)大于0，如圖，故該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限故選C【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.下列命題中,說法正確的是（）A.所有菱形都相似B.兩邊對應(yīng)成比例且有一組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似C.三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊距離的兩倍D.斜邊和直角邊對應(yīng)成比例,兩個直角三角形相似【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，三角形重心的性質(zhì)逐項分析判斷即可詳解】解：A.所有菱形不一定相似，故該選項不正確，不符合題意；B.兩邊對應(yīng)成比例且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，故該選項不正確，不符合題意；C.三角形的重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊中點距離的兩倍，故該選項不正確，不符合題意；D.斜邊和直角邊對應(yīng)成比例,兩個直角三角形相似，故該選項正確，符合題意；故選D【點睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，三角形重心的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6.如圖,點是線段的中點,,下列結(jié)論中,說法錯誤的是（）A.與相似 B.與相似C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可證明，從而判斷A，進(jìn)而可得，根據(jù)是中點，代換，進(jìn)而根據(jù)兩邊成比例夾角相等可證，進(jìn)而判斷B，C，對于D選項，利用反證法證明即可．【詳解】解：，又故A選項正確為的中點又故B、C選項正確若則根據(jù)現(xiàn)有條件無法判斷，故故D選項不正確故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共12題,每題4分,滿分48分）7.已知,那么的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求得，代入代數(shù)式求值即可【詳解】解：∵∴∴故答案為：【點睛】本題考查了比例性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.拋物線的頂點坐標(biāo)是________．【答案】（0，-1）【解析】【詳解】∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0，，∴拋物線的頂點坐標(biāo)是(0，-1)，故答案為（0，-1）.9.在比例尺為1：10000的地圖上，相距5厘米的兩地A、B的實際距離為___米．【答案】500【解析】【分析】設(shè)相距5厘米的兩地A、B的實際距離為x厘米，根據(jù)題意可得方程，解此方程即可求得答案．【詳解】解：設(shè)相距5厘米的兩地A、B的實際距離為x厘米，根據(jù)題意得：，解得：x=50000，經(jīng)檢驗，x=50000是上述方程的解，∵50000cm=500m，∴相距5厘米的兩地A、B的實際距離為500m，故答案為：500．【點睛】本題考查比例線段，比例尺．解題的關(guān)鍵是注意理解題意，根據(jù)題意列方程，注意單位之間的換算．10.已知點是線段黃金分割點,?果,則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)黃金分割比可直接進(jìn)行列式求解．【詳解】解：∵點C是線段AB黃金分制點，且AC>BC,∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了黃金分割點的定義，即：把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，黃金分割比為．11.如果兩個相似三角形周長之比為,那么這兩個三角形的面積之比為_______．【答案】9:4##【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可【詳解】解：兩個三角形的周長比為3:2，兩個三角形的相似比為3:2，兩個三角形的面積比即為9:4故答案為：9:4．【點睛】本題考查相似三角形的面積比，本題難度不大，主要是掌握相似三角形面積比等于邊長的平方比．12.點是的重心,過點作邊的平行線與邊交于點與邊交于點,則______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍得到，在根據(jù)EF∥BC找到與EF、BC有關(guān)的比例即可．詳解】如圖所示，設(shè)AG交BC于D∵點G是△ABC的重心，

∴AG=2GD，

∴，∵DE∥BC，∴

∴，∴∴∴

故答案為：【點睛】本題考查了三角形的重心，平行線分線段成比例．熟記三角形的重心到頂點的距離等于到對邊中點的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．13.如圖,小明沿著坡度的坡面由到直行走了13米時,他上升的高度_______米．【答案】【解析】【分析】根據(jù)坡度的定義求得，即可求得的長【詳解】解：∵∴設(shè)，則根據(jù)勾股定理可得故答案為：5【點睛】考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題和勾股定理，熟悉且會靈活應(yīng)用公式：坡度=垂直高度÷水平寬度是解題的關(guān)鍵。14.已知拋物線與軸交于點,過點作軸的平行線交拋物線于點,若,則點坐標(biāo)為______．【答案】（-2，-2）【解析】【分析】根據(jù)表達(dá)式求出A點坐標(biāo)再根據(jù)AB平行于x軸，AB=2可得B點坐標(biāo)為（2，-2）、（-2，-2），再根據(jù)ab＞0得，所以B點坐標(biāo)為（-2，-2）．【詳解】解：∵，∵當(dāng)x=0時，y=-2，∴A點坐標(biāo)（0，-2），又∵AB=2，直線AB平行x軸∴B點坐標(biāo)為（2，-2）、（-2，-2），∵ab＞0，∴，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴B點坐標(biāo)為（-2，-2）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與y軸得交點，二次函數(shù)對稱軸和兩點之間的距離，熟練掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．15.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載：“今有邑方不知大小,各中開門.出北門三十步有木,出西門七百五十步有木.問邑方幾何?”示意圖如圖,正方形中,分別是和的中點,若,且過點,那么正方形的邊長為______．【答案】300【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)題意證明，從而得到對應(yīng)邊的比相等，列出方程即可求得，進(jìn)而求得正方形的邊長【詳解】解：正方形中，分別是和的中點，，

設(shè)AF=AG=x，即解得故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16.如圖,在中,是斜邊上的中線,點是直線左側(cè)一點,聯(lián)結(jié),若,則的值為______．【答案】【解析】【分析】先證明，則，進(jìn)而證明，據(jù)求得相似比，根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解【詳解】解：是斜邊上的中線，即又又又設(shè)，則故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，三角形全等的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，垂直平分線的性質(zhì)與判定，正切的定義，證明是解題的關(guān)鍵．17.定義:在中,點和點分別在邊、邊上,且DE//BC，點點之間距離與直線與直線間的距離之比稱為關(guān)于的橫縱比.已知,在中,上的高長為關(guān)于的橫縱比為,則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖形，由平行可得相似，列出比例式，設(shè)，則，代入數(shù)值求解即可．【詳解】如圖，于，交于點，，，關(guān)于的橫縱比為，設(shè)，則解得故答案為：【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，理解橫縱比的定義是解題的關(guān)鍵．18.如圖,在中，，點分別在邊和邊上，沿著直線翻折，點落在邊上，記為點，如果，則_______．

【答案】##【解析】【分析】過點作于點，設(shè)，則，，解直角三角形即可求得，即的值【詳解】解：如圖，過點作于點

在中，，，是等腰直角三角形=設(shè)，則，沿著直線翻折，點落在邊上，記為點，在中，即解得故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7?,滿分78分）19.計算：.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行混合運算即可【詳解】【點睛】本題考查了特殊角的三角形函數(shù)值的混合運算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．20.拋物線經(jīng)過點．（1）求拋物線的表達(dá)式及其頂點坐標(biāo)；（2）填空：如果將該拋物線平移,使它的頂點移到點的位置，那么其平移的過程是平移后的拋物線表達(dá)式是．【答案】（1）y＝-x2+2x+3；頂點坐標(biāo)為（1，2）；（2）向左平移1個單位，向上平移1個單位；y＝-x2+3．【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）利用頂點式寫出平移過程和所得新拋物線的表達(dá)式即可．【詳解】解：（1）把代入得，，解得．所以這個二次函數(shù)的解析式為y＝-x2+2x+3；將y＝-x2+2x+3化成頂點式為y＝-(x-1)2+2，頂點坐標(biāo)為（1，2）；（2）由于y＝-x2+2x+3的頂點坐標(biāo)為（1，2），將該拋物線平移，使它的頂點移到點的位置，那么其平移的過程是向左平移1個單位，向上平移1個單位；所以新拋物線的解析式為y＝-(x-0)2+3即y＝-x2+3，故答案為：向左平移1個單位，向上平移1個單位；y＝-x2+3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．21.如圖,在梯形中，AB//CD，且,點是邊的中點,聯(lián)結(jié)交對角線于點,若．（1）用表示；（2）求作在方向上的分向量．（不要求寫作法,但要保留作圖痕跡,并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）【答案】（1）=，；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）利用向量的表示方法，表示出，再由=即可求出，利用平行線段成比例，求出AF=，即可求出；（2）利用向量中分向量的畫法畫圖即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵=，，∴=，∵AB//CD，，DE=EC，∴，∴AF=∴．（２）在方向上的分向量如圖所示，即為所求；【點睛】本題主要考查圖形中向量的表示方法，以及分向量在平行四邊形中的畫法，熟練掌握向量的基本應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，初中的向量問題只在上海地區(qū)出現(xiàn)，其他地方在高中才會學(xué)到，需要注意．22.如圖,某種路燈燈柱垂直于地面,與燈桿相連.已知直線與直線的夾角是.在地面點處測得點的仰角是,點仰角是,點與點之間的距離為米．求：（1）點到地面的距離；（2）的長度．（精確到米）（參考數(shù)據(jù):）【答案】（1）2.8米；（2）AB的長度為0.6米【解析】【分析】（1）過點A作交于點F，則，在中，用三角函數(shù)即可得；（2）過點A作交于點H，根據(jù)，證明四邊形AFCH是矩形，則，，設(shè)BC=x，則米，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得，即，根據(jù)三角函數(shù)得DF=2.1米，米，在中，根據(jù)三角函數(shù)得，則，即可得，則，根據(jù)三角函數(shù)即可得米．【詳解】解：（1）過點A作交于點F，則，在中，（米），即點A到地面的距離為2.8米；（2）過點A作交于點H，在四邊形AFCH中，，∴四邊形AFCH是矩形，∴，，設(shè)BC=x，則米，∵，，∴，∴，∴（米），∴（米），∴米，∵在中，，∴，∴，∴（米），∵，∴（米）．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運用這些知識點．23.如圖,線段是的角平分線,點點分別在線段的延長線上,聯(lián)結(jié),且．（1）求證:；（2）如果,求證:．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)可得，根據(jù)線段是的角平分線，可得，即可證明，進(jìn)而可得，根據(jù)對頂角相等可得，等量代換可得，根據(jù)等邊對等角即可證明（2）由，可得，證明，可得根據(jù)，，代入進(jìn)行變形即可證明【詳解】證明：（1）線段是的角平分線，（2）設(shè)，則即又即又，即即又【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，對于第二問恒等式的證明，不能直接找到對應(yīng)的相似三角形，解題的關(guān)鍵是要理清各相等線段之間的關(guān)系．24.拋物線與軸相交于兩點(點在點左側(cè)),與軸交于點,其頂點的縱坐標(biāo)為4．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）求的正切值；（3）點在線段的延長線上,且,求的長．【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為；（2）；（3）【解析】【分析】（1）點代入即可得出c的值，再根據(jù)點D的縱坐標(biāo)得出a的值，由此得出點D的坐標(biāo)；（2）過點B作，求出交點坐標(biāo)，得出，；由面積公式列出方程計算出BE、EC的長度，即可得出的正切值；（3）過點D作軸，過點A作，得出；證明，根據(jù)相似比得出NB、NA的長度，根據(jù)線段加減推論出CF的長度．【詳解】解：（1）把點代入得：當(dāng)時，頂點的縱坐