2022-2023學年人教A版必修第二冊 6.2.4　向量的數(shù)量積 課件（46張）

6.2.4向量的數(shù)量積第六章2023課標要求1.通過物理中功等實例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.3.會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.內(nèi)容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

向量數(shù)量積的定義1.向量a與向量b的夾角(1)夾角的定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作

,則

=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.確定a,b的夾角時,起點要重合,記作<a,b>(2)顯然,當θ=0時,a與b

;當θ=π時,a與b

.

(3)如果a與b的夾角是

,我們說a與b垂直,記作

.

∠AOB同向

反向

a⊥b2.向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量____________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作

,即a·b=|a||b|cosθ.

在書寫時不能用a×b或ab表示

(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為

.

(3)向量數(shù)量積的大小與兩個向量的長度及其夾角有關.|a||b|cosθa·b0過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)在等邊三角形ABC中,<>=60°.(

)(2)兩個向量夾角的取值范圍是[0,π].(

)(3)a·b=|a||b|.(

)2.兩個向量的數(shù)量積是向量嗎?×√×提示

兩個向量的數(shù)量積是實數(shù),可能大于0,可能小于0,可能等于0.知識點2

向量a在向量b上的投影向量

投影

投影向量

過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)向量a在向量b上的投影向量與向量b平行.(

)(2)向量a與向量b的數(shù)量積等于向量a與向量b在向量a上的投影向量的數(shù)量積.(

)√√2.若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120°,與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量為

.

3.若a·b=-6,|a|=8,與a方向相同的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為

.

知識點3

平面向量數(shù)量積的性質設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=

.

(2)a⊥b?

.

(3)當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=

或|a|=

.

常記作a2

(4)|a·b|

|a||b|.|a|cosθa·b=0|a|2≤過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若a·b=0,則a與b中至少有一個是零向量.(

)(2)若a·b>0,則a與b的夾角為銳角.(

)(3)對于任意向量a,都有a·a=|a|2.(

)2.已知|a|=7,則a·a=

.

3.在△ABC中,

=0,則△ABC為

三角形.

××√49解析

a·a=|a|2=72=49.直角

知識點4

平面向量數(shù)量積的運算律

交換律

數(shù)乘的結合律

分配律

名師點睛1.向量數(shù)量積的運算不適合約分,即a·b=a·cb=c.2.向量數(shù)量積運算也不適合結合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量.a·b=b·a

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

(a+b)·c=a·c+b·c過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)a·b-a·c=a·(b-c)=(b-c)·a.(

)(2)若a·c=b·c(c為非零向量),則a=b.(

)(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.(

)2.設a,b,c是向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立嗎?√×√提示

因為向量的數(shù)量積是實數(shù),所以(a·b)c是與c共線的向量,同理,a(b·c)是與a共線的向量,而a與c的關系不確定,所以這個式子不一定成立.重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一求平面向量的數(shù)量積角度1數(shù)量積的簡單計算【例1】

已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).解(1)a·b=|a||b|cos

120°=2×3×=-3.(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.規(guī)律方法

求向量的數(shù)量積時,需明確兩個關鍵點:相關向量的模和夾角.若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算,則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.變式訓練1若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,且(a+2b)·(a-3b)=-72,則a的模為(

)A.2 B.4 C.6 D.12答案C

解析

由(a+2b)·(a-3b)=-72,得a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-4|a|cos

60°-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,解得|a|=6(負值舍去).故選C.角度2求向量的投影向量【例2】

已知|a|=4,e為單位向量,它們的夾角θ為,則向量a在向量e上的投影向量是

;向量e在向量a上的投影向量是

.

規(guī)律方法

向量a在向量b上的投影向量的求法將已知量代入a在b方向上的投影向量公式|a|cos

θ

e(θ為向量a與向量b的夾角,e是與b方向相同的單位向量,且e=)中計算即可.變式訓練2已知|a|=4,|b|=6,a與b的夾角為60°,則向量a在向量b上的投影向量是

.

角度3幾何圖形中向量數(shù)量積的計算

規(guī)律方法

平面向量的數(shù)量積在平面幾何中的應用(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運算問題,要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.(2)向量的夾角是由向量的方向確定的,在△ABC中,的夾角不是角C,角A,角B,而是它們的補角.變式訓練3已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則

的值為

.

答案

1探究點二向量模的相關問題角度1利用數(shù)量積求向量的?！纠?】

(1)已知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

∴|a|2+2|a||b|cos

135°+|b|2=5.∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3或|b|=-1(舍去).規(guī)律方法

向量模的求解方法根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得|a|=,這是求向量的模的一種方法.即要求一個向量的模,先求這個向量模的平方,再求它的算術平方根.對于復雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術平方根即為|a+b|.變式訓練4已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解因為|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因為|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因為(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,角度2與模有關的最值問題【例5】

(1)若平面向量a,b,c滿足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值范圍是(

)AB解析

(1)設向量a,c的夾角為θ,因為c·(a-b)=0,所以b·c=a·c=|a||c|cos

θ=cos

θ,所以-1≤b·c≤1,規(guī)律方法

向量模的最值問題的求法涉及向量模的最值問題,一般是把模平方,利用平面向量的數(shù)量積運算,把問題轉化為關于某個量的函數(shù),進而求出最值.需要掌握向量模的一些簡單幾何意義:①|a|為正值,則說明當表示向量的有向線段的起點確定后,其終點在以起點為圓心,以|a|為半徑的圓上運動;②若|a+b|=|a-b|,則有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,則|a|=|b|.變式訓練5若兩個單位向量a,b的夾角為120°,k∈R,則|a-kb|的最小值為(

)答案

B探究點三利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題【例6】

(1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30°

B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.

(1)

答案

C解析

因為(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.設a,b的夾角為θ,則2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos

θ+|b|2=0,∴∠AOC=60°,即a與a+b的夾角為60°.∵∠AOC=60°,∴∠AOB=120°.規(guī)律方法

1.求平面向量夾角的方法

2.求向量的夾角,還可以結合向量線性運算、模的幾何意義,利用數(shù)形結合的方法求解.變式探究本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|,當(a+2b)⊥(ka-b)時,求實數(shù)k的值.解因為(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)向量數(shù)量積的定義.(2)向量數(shù)量積的性質.(3)向量數(shù)量積的運算律.2.方法歸納:數(shù)形結合.3.常見誤區(qū):(1)向量夾角共起點;(2)向量數(shù)量