二次函數(shù)和一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

二次函數(shù)和一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)和一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)和一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)xxx公司二次函數(shù)和一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度二次函數(shù)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

"二次項(xiàng)系數(shù)&fr=qb_search_exp&ie=utf8"二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。

"常數(shù)項(xiàng)&fr=qb_search_exp&ie=utf8"常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax^2;+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

畫拋物線y＝ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)。

二次函數(shù)解析式的幾種形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0).

(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).

(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，a≠0.

說明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時(shí)，拋物線y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時(shí)，拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)

如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對(duì)稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對(duì)稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k

定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。還可以決定開口大小,越大開口就越小,越小開口就越大。）

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

x是自變量，y是x的函數(shù)

二次函數(shù)的三種表達(dá)式

①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k

③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)

以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：

①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系

對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b^2)/4a

②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)函數(shù)性質(zhì)：

的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為為常數(shù).即：y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），∵當(dāng)x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的點(diǎn),坐標(biāo)為(0，b)。

3當(dāng)b=0時(shí)(即y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

4.在兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式中：

當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b也相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像重合；

當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k相同，b不相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像平行；

當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b不相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像相交；

當(dāng)兩一次函數(shù)表達(dá)式中的k不相同，b相同時(shí)，兩一次函數(shù)圖像交于y軸上的同一點(diǎn)（0，b）。若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(k,b為常數(shù)，k不等于0）則稱y是x的一次函數(shù)

y=kx+b時(shí)：

當(dāng)k>0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；

當(dāng)k>0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；

當(dāng)k<0,b>0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；

當(dāng)k<0,b<0,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；

當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過第一、二象限；

當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過第三、四象限。1、正比例函數(shù)

一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).

2、正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和（1,k）的一條直線，我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著x的增大，y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小.

3、正比例函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=kx(k≠0)中的常數(shù)k，其基本步驟是：

（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)；

（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程；

（3）解方程，求出待定系數(shù)k；

（4）將求得的待定系數(shù)的值代回解析式.

4、一次函數(shù)

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

5、一次函數(shù)的圖象

（1）一次函數(shù)y=kx＋b(k≠0)的圖象是經(jīng)過（0，b）和兩點(diǎn)的一條直線，因此一次函數(shù)y=kx＋b的圖象也稱為直線y=kx＋b.

（2）一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.

根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0，b），.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).

6、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）.

7、直線y=kx＋b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：

k>0,b>0經(jīng)過第一、二、三象限

k>0,b<0經(jīng)過第一、三、四象限

k>0,b=0經(jīng)過第一、三象限k>0時(shí)，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大

k<0b>0經(jīng)過第一、二、四象限

k<0,b<0經(jīng)過第二、三、四象限

K,0,b=0經(jīng)過第二、四象限

k<0圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小

8、直線y1=kx＋b與y2=kx圖象的位置關(guān)系：

(1)當(dāng)b>0時(shí)，將y2=kx圖象向x軸上方平移b個(gè)單位，就得到y(tǒng)1=kx＋b的圖象．

(2)當(dāng)b<0時(shí)，將y2=kx圖象向x軸下方平移－b個(gè)單位，就得到了y1=kx＋b的圖象．

9、直線l1：y1=k1x＋b1與l2：y2=k2x＋b2的位置關(guān)系可由其解析式中的比例系數(shù)和常數(shù)來確定：

當(dāng)k1≠k2時(shí)，l1與l2相交，交點(diǎn)是(0，b)．

10、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．

(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點(diǎn)都是(0，0)；

(2)直線y=kx＋b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)．

一、選擇題

1、如圖4，直線l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(4,-2)B.(2,-4)C.(-4,2)D.(3,-1)

2、一次函數(shù)的圖象大致是（）

3、一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）

A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限

4、一次函數(shù)不經(jīng)過的象限是（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

5、如果點(diǎn)M在直線上，則M點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）

A．（－1，0）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，－1）

6、如圖，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）

A．B．

C．D．

8、已知反比例函數(shù)=(≠0)的圖象，在每一象限內(nèi)，的值隨值的增大而減少，則一次函數(shù)=-+的圖象不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

9、一次函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）

A．B．C．D．

11、一次函數(shù)（是常數(shù)，）的圖象如圖2所示，

則不等式的解集是（）

A．B．

C．D．

12、在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過（）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限

13、一次函數(shù)y=kx+b中，k<0,b>0.那么它的圖像不經(jīng)過

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

15、已知：一次函數(shù)的圖象如圖1所示，那么，a的取值范圍是

A.B.C.D.

16、如圖，直線y1=與y2=-x+3相交于點(diǎn)A，若y1<y2，那么（）

>2<2>1<11、正比例函數(shù)

一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).

2、正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和（1,k）的一條直線，我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著x的增大，y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小.

3、正比例函數(shù)解析式的確定

確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=kx(k≠0)中的常數(shù)k，其基本步驟是：

（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k≠0)；

（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值）代入解析式，得到關(guān)于系數(shù)k的一元一次方程；

（3）解方程，求出待定系數(shù)k；

（4）將求得的待定系數(shù)的值代回解析式.

4、一次函數(shù)

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋