習(xí)題3：基本不等式

§基本不等式1．已知正數(shù)a，b滿足ab＝10，則a＋b的最小值是()A．10B．25C．5 D．2eq\r(10)2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是()A．100 B．50C．20 D．103．設(shè)x、y滿足x＋4y＝40，且x，y都是正數(shù)，則lgx＋lgy的最大值為()A．40B．10C．4D．24．實數(shù)x，y滿足x＋2y＝4，則3x＋9y的最小值為()A．18 B．12C．2eq\r(3) \r(4,3)5．若a>0，b>0且a＋b＝4，則下列不等式恒成立的是()\f(1,ab)>eq\f(1,2)\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1\r(ab)≥2\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)6．設(shè)a，b是實數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是()A．6B．4eq\r(2)C．2eq\r(6) D．87．已知不等式(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為________．8．已知：a，b，x，y都是正實數(shù)，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，x2＋y2＝8，則ab與xy的大小關(guān)系是________．9．已知正常數(shù)a、b和正變數(shù)x、y，滿足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a、b的值．10.某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價20元．試求：(1)倉庫面積S的取值范圍是多少？(2)為使S達到最大，而實際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計多長？

詳解答案1.[答案]D[解析]a＋b≥2eq\r(ab)＝2eq\r(10)，等號在a＝b＝eq\r(10)時成立，∴選D.2.[答案]B[解析]由m2＋n2≥2mn得，mn≤eq\f(m2＋n2,2)＝50，等號在m＝n＝5eq\r(2)時成立，故選B.3.[答案]D[解析]∵x，y∈R＋，∴40＝x＋4y≥2eq\r(4xy)＝4eq\r(xy)∴xy≤100.∴l(xiāng)gx＋lgy＝lg(xy)≤lg100＝2.等號在x＝4y＝20，即x＝20，y＝5時成立．4.[答案]A[解析]∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2eq\r(3x·32y)＝2eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(34)＝18，等號在3x＝32y即x＝2y時成立．∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1時取到最小值18.5.[答案]D[解析]∵a>0，b>0，a＋b＝4，∴eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝2，∴ab≤4，∴eq\f(1,ab)≥eq\f(1,4)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(4,ab)≥1，故A、B、C均錯，[點評]對于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8).6.[答案]B[解析]∵2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2)，等號成立時，2a＝2b，∴a＝b＝eq\f(3,2).7.[答案]4[解析]∵a>0，∴(x＋y)(eq\f(1,x)＋eq\f(a,y))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(xa,y)≥1＋a＋2eq\r(a)，由條件知a＋2eq\r(a)＋1＝9，∴a＝4.8.[答案]ab≥xy[解析]ab＝ab·(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≥4，等號在a＝2，b＝2時成立，xy≤eq\f(x2＋y2,2)＝4，等號在x＝y(tǒng)＝2時成立，∴ab≥xy.9.[解析]x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(eq\f(a,x)＋eq\f(b,y))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，等號在eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)即eq\f(y,x)＝eq\r(\f(b,a))時成立，∴x＋y的最小值為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a，b是方程x2－10x＋16＝0的兩根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.10.[解析](1)設(shè)正面鐵柵長xm，側(cè)面長為ym，總造價為z元，則z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，倉庫面積S＝xy.由條件知z≤3200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥2eq\r(4x·9y)＝12eq\r(xy).∴6eq\r(S)＋S≤160，即(eq\r(S))2＋6eq\r(S)－160≤0.∴0<eq\r(S)≤10，∴0<S≤10