隨機-過程譜分析

3.13.1、隨機過程的3.1.1、簡單回顧（確定信號

x2t、簡單回顧（確定信號TlimT

x2

Ax2(t)

x2(t)

2TTtt3.1.1、簡單回顧（確定信號下述頻譜（包括幅度譜和相位譜

x(t)e|X()二、能量信號的譜分析（能量譜密度3.1.1、簡單回顧（確定信號x(t)

x2(t)dt

x(t)1X()ejtddt

1

X()x(t)ejtdtd

X()X()d

|X()|2二、能量信號的譜分析（能量譜密度3.1.1、簡單回顧（確定信號

|X(T,)|2P

x2(t)dt

lim dT2T

T

x2(t)dt

xT(t)XT() x2(t)dt

|X()|2TT

|X()|2P

x2(t)dt

lim dT2T

T

Tt3.1.2、隨機信號的（平均）功率譜密度PowerSpectraDensity: t3.1.2、隨機信號的（平均）功率譜密度PowerSpectraDensity:|X()|2確定信號功率譜密度S() T

隨機信號平均功率譜密度 |X(T,)|2 E[|X(T,)|2]SX()

li

隨機信隨機t3.1.2、隨機信號的（平均）功率譜密度PowerSpectraDensity:T 1 TEli X

T 2TT T2TTTAE[X2(t)]E[X2(t)] |X(T,)|2 E lim d

1

E|X(T,)|2 lim T

121

SX二、隨機信號的（平均）3.1.2、隨機信號的（平均）功率譜密度PowerSpectraDensity:E[X2(t)] S2 二、隨機信號的（平均）Ex.Ex.3.1：平穩(wěn)隨機信號X(t)X(t)abcos(0t其中a，b和0均為常數(shù)，：U[0,2)，求X(t)解TXX(T,)T

t)]e ejsin[( ejsin[(

b

XE[|X(T,)|2]X

sin2(T)4a2

sin2[( sin2[(

( ( S()lim1E[|X(T,)|2 T sin(T)2lim2a2T T

b2Tsin[()T]2 b2Tsin[()T]2 (0

(0

sin(T)2下面求lim

（1）當12/

0時，由于sin(T)1，所sin(T)2lim

0,（2）當

0時，由于

1，所sin(T)2綜上

lim

,sin(T)2lim

又因2Tsin(T)

x(t)，其中x(t)為三角波，如下圖所示113/113/0Tt 所lim

Tsin(T)

dx(0)2 2

K()dK最終可以SX()

2a2()

b2()

b2( 14/3.1.3、功率譜密度與復(fù)頻率 斯變換（Laplacex(t)X(s):sx2(t)dt

x(t)1 jX(s)estdsdt

2j

jX(s)

x(t)estdtds2jj1 j

XT(t)XX(T,s)sS(s)lim1EX(T,s)X(T,

SX T

系統(tǒng)分析\求平均功率(均方

QAE[X2

S2j Ex.3.2:Ex.3.2:WSS.X(t),PSD:S()3.1.32X4102,E[X2(t)](s2

(s2)(s解SX(sSX(|js

s410s29

(s1)(s3)(s1)(sQE[X2(t)]

S

2j r3 r3 3Kpmm (s1)(s3)(s3)

(s2)(s (s1)(s3)(s3)

E[X2(t)]

3516/

、PropertiesofWSS S()

limE[|XX(T,)|2] T

(P2) S()S* (P3) SX()SX()onlyforrealRPX(t):X(T,)X*(T,)|X(T,)|2|X(T,)(P4)

XS()d:E[X2(t)]XX X1

SX2SX17/ sin

|

,e(1)2,

632

4 j62

422

632 3.2、i) pak2kS()k0 :(P4)pq bkk0

2k

XS(s)X

(sa1 (sa2p)(sb1 (sb2q

i Bydefinition:SX(s)SX(s)

RealX(t):S(s)S(s*S(s)

a pa(s1 (sp (sa p

S(s)S (s1 (sq)

(s* (s*) 18/

S(s)

S(s) 極點全在s左平零點在s左平面或虛軸

極全在s右平零點在s右平面或虛軸維納- RX()

SX1894-1RX()1

X2X

數(shù)學(xué)家,1894-XSXSX()

R()eSSX()RXR()1XS(f)ej2fdfX2SX證明：若X(t)為寬平穩(wěn)隨機信號，E[|X(T,)|2 S()lim lim E[X(T,)X(T,TT T TT

1E

X(t)ejt1

X(t)ejt2dtT

T

1

2 lim E[X(t)X(t)]ej(t2t1)dt 20/

T2TT

lim TR

t)ej(t2t1)dtT2TT

理的證TT0TT0

t1,

t,

t

dt,

tt

t S()

lim

t)ej(t2t1)dt T2T

lim R()eT2T lim1 R()ejdtd

2TTR()ejdtdT2T T

lim1 (2T)R()ejd

2T(2T)R()e21/2T2T

2T1

||R()ejdT2T

2T RR()eX維納-辛理（續(xù) 200-201頁證明：無論隨機過程平穩(wěn)與否，總存在功率譜密度SX()

X1R(t,t)eX1XXRX(t,t)

2

S****E[X2(t)] S

E[X2(t)] S()dR2

2 1**利用自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)的性質(zhì)，又可將維納—辛理表示成：122/SX

RX()cosd,RX()

SX()cosd維納維納理（續(xù)Ex.Ex.3.3：隨機信號X(t)X(t)acos(0t式中a和0均為常數(shù)，~U(02)，求X(t)解（1）通過均方值的時間平均值求平均功率0E[X2(t)]E[a2cos2(t0 a2 a2 22cos(20t2) a2

/22cos(2t

23/

2

0t)號的平均功率：QAE[X2

lim1E[X2(t)]dtT2T2TT T2（2利用維納-辛理即通過自相關(guān)函數(shù)時間平均值的傅立葉變換獲得信號功率譜密度，再對頻率積分：RX(t,t)

a2E{cos(t)cos[(t) a2cos()a22a a2cos()a22a20cos()2a224/2a20cos()2a2/2 cos[0(2t)

sin[0(2t)所ARX(t,t于

2

SX()平均功率為

a2()

a2( Q2SX()d25/Ex.Ex.3.4：若平穩(wěn)信號X(t)的功率譜密度為SX()，又有Y(t)式中a和0均為常數(shù)，求Y(t)解：RY(tt

2RX(){cos(0cos[0(2t)]}，所ARY(t,t于

2RX()cos(0)SY()

SXSX26//2 /2SY0Ex.3.5Ex.3.5：已知X(t)acos(t)，其中a為實常數(shù)，和是兩獨立的 量，的概率密度函數(shù)為f()f()，~U(02]()2Xa()RX(t,t)

E{X(t)X(t1a2E{cos(2t2

2)}1a2E(cos)1a2 cosf 12

ej]fa2 a2

f()ejd

f()e

2

IFT{f27

2所以SX(a2f()2常見常見W.S.S自相關(guān)函數(shù)8/8/RXSXea| 2/ a 4sin2(T/2)/(T2T ea||cos(0 1/0 0 RXSXsin00//0 10 0 01 1 0 0 223.4、3.4、離散時間隨、平穩(wěn)離散時間隨機過程的相關(guān)函X(n為由X(t)經(jīng)采樣間隔T均勻采樣后得到的廣義關(guān)函數(shù)序列是X(t)自相關(guān)函數(shù)的采樣序列，即X(n)

X(nT)

X(t)30/

RX(m)

E[X(n)X(nE[X(nT)X(nTmT)]RX()

RX

SS()XRXX二、離散維納- X

1RX(m)1

2

S131/1

E[|X(n)|2]

RX(0)

2

SX、譜分解定SXzSXzR(m)zm,R(m)XX2j1SX性

RX(m)

RX(m),SX

XS(z1)X③譜分解定

SX(z)

B(z)B(z1(z (z

(z1 (z1B(z)

C

B(z1) (z (z

(z1 (z132/

3.53.5、聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密 Elim Elim TX(t)Y(t)d 2TT limT

T

TE{XT

im

2TXT(t)YT(t)dtRXY(t,t)

Eli Elim TY(t)X(t)d 2TT limT

XTtXTttTT

im

2TYT(t)XT(t)dt (t,t) 33/注意：對于實隨機信 3.5、聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密TTX(t)Y(t)dtTTX(t)Y(t)dtX(t)YTTXX(t)Y(t)11X(T,)XY(T,)1X(T,)XTTXY(T,X(T,)XXY(T,TX(t)Y(t)dt1X(T,XY(T,)d1X(T,XY(T,

2T

2T2 Eli X(t)Y(t)d

im

(T,)X(T,4 2

(T,)X(T,)}

3.53.5、聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密、互功率TT

Y(t)X(t)dt

Y(t)X

2 Y(t)X(t)1

X(T,)X(T,)

X(T,)X(T,

(T,)X(T,TT

Y(t)X(t)dt

X(T,)X(T,EEli Y(t)X(t)dim (T,)X(T,Q Q

2T

2T2 5 2

(T,)X(T,)}

3.53.5、聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密、互功率 ()lim1E{X(T,)X(T, T X(T,)X(T,)X()Y() X(t)Y(t)dtX(t)Y( T (T,)X(T,)}E{X(T,)X(T,)}E{X(t)Y(t)}dteT RXY(t,t)

T

T2T ()

(T,)X(T,)}

T

(t,t)dte RXY(t,t RXY(t,t)e (t,t)dtejdT2TT 、互功率 ()lim1E{X(T,)X(T, T X(T,)X(T,)Y()X() Y(t)X(t)dtY(t)X( T (T,)X(T,)}E{Y(T,)X(T,)}E{Y(t)X(t)}dteT RYX(t,t)

T

T2T ()

(T,)X(T,)}

T

(t,t)dte37/

(t,t)dtejd

(t,t)eT2TT

若兩隨機過程聯(lián)合平穩(wěn)， (t,t) () ()

()e

(t,t) () ()

()e 此時平均互功率

2 (t,t) (0)

(0)1 (0)1 Q (t,t)Q (t,t)

2 對于實隨機信號 () (),

()d

2

2 對于復(fù)隨機信號38/ () (),

()d

2

2 Ex.Ex.3.6：已知X(t)的自相關(guān)函數(shù)為RX()2，SXX()RXX(t,t)E{X(t)X(tEX(t