專題4 雙變量存在恒成立與存在性問題-(人教A版2019選擇性必修第二、三冊) (教師版)

雙變量存在---恒成立問題恒成立問題、存在性問題歸根到底是最值問題.1恒成立問題(1)?x∈D,f(2)?x∈D,f2存在性問題(1)?x∈D,f(2)?x∈D,f3雙變量存在—恒成立問題(1)?x(2)?x(3)?x(4)?x4常見處理方法方法1直接構(gòu)造函數(shù)法：求fx≥g(方法2分離參數(shù)法：求fx≥a?g(x)方法3變更主元：題型特征(已知誰的范圍把誰作為主元)；方法4數(shù)形結(jié)合法：求fx-gx≥0恒成立?方法5同構(gòu)法：對不等式進行變形，使得不等式左右兩邊式子的結(jié)構(gòu)一致，再通過構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性進行求解；方法6放縮法：利用常見的不等式或切線放縮或三角函數(shù)有界性等手段對所求不等式逐步放縮達到證明所求不等式恒成立的目的；學(xué)習(xí)各種方法時，要注意理解它們各自之間的優(yōu)劣性，有了比較才能快速判斷某種題境中采取哪種方法較簡潔，建議學(xué)習(xí)時一題多解，多發(fā)散思考.【典題1】已知兩個函數(shù)fx=8x2(1)對任意x∈[-3,3]，都有fx≤g(x)成立，求(2)存在x∈[-3,3]，使fx≤g(x)成立，求(3)對任意x1,x2∈[-3,3]，都有【解析】(1)設(shè)h問題轉(zhuǎn)化為x∈[-3,3]時，hx≥0恒成立，故易得hxmin≥-45+k(2)據(jù)題意：存在x∈[-3,3]，使fx?hx=gx易得hxmax=k+7(3)問題轉(zhuǎn)化為fx易得gxmin=g則120-k≤-21?k≥141.【點撥】①第一問是恒成立問題，第二問是存在性問題，第三問是雙變量成立問題；②第三問怎么確定fx可把問題轉(zhuǎn)化為第一、二問的問題，具體如下，先把g(x2)看成定值m，那?x1再把fx1看成定值n，那?x2∈[-3,3]故問題轉(zhuǎn)化為fx其他形式的雙變量成立問題同理.【典題2】已知函數(shù)f(x)=x2e-x，gx=-13x3+2x2【解析】(若要滿足f(x1)=g(x2)因為f(x)=x2e所以f'(x)=x(2-x)ex，令f'(x)=0故f(x)在(0,2)遞增，在(2,+∞)遞減，故fx而x→0時，f(x)→0，x→+∞時，f(x)→+∞，故f(x)∈(0,4因為gx=-1所以當(dāng)x∈1,3時，g'(x)>0，故g(x)在[1,3]則gxmin=g(1)=-故g(x)∈[-4若對?x1∈(0,+∞)，?則(0,4故-43+c≤0【典題3】已知函數(shù)fx=lnx-x+1，x∈(0,+∞)，(1)求f(x)的最大值；(2)若對?x1∈(0,+∞)，總存在x2∈(0,(3)證明不等式sin(1n)n+sin(【解析】(1)過程略，當(dāng)x=1時f(x)取得最大值為f(1)=0；(2)解：對?x1∈(0,+∞)，總存在x等價于fx由(1)知，fxmax=0，因為gx=sinx-ax，所以當(dāng)x∈(0,π2)時，cosx∈(0,1)，①當(dāng)a≥1時，若x∈(0,π2)，g'(x)<0，g(x)②當(dāng)0<a<1時，?x0∈(0,若x∈(0,x0)，g'(x)>0，若x∈即當(dāng)gx則?x2∈(0,π③當(dāng)a≤0時，若x∈(0,π2)，g'(x)>0，g(x)則?x2∈(0,π綜上可知，所求實數(shù)a的范圍是(-∞,1)；(3)證明：由(2)可知，當(dāng)a=1時，若x∈(0,1]，sinx<x，令x=kn(有sin(k再由(1)可得lnx<x﹣則lnkn≤∴(kn∴(1則sin(1(放縮法證明，利用不等式sinx<x和lnx<x﹣11(★★)已知1<a<4，函數(shù)f(x)=x+9x,?x1∈[1,a],x2∈[a,4]【答案】(1，4-7【解析】f′(x)=1-9令f′(x)=0，得x=±3，所以在(1，3)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，在(3，4)上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，f(1)=10，f(4)=6.25，f(3)=6，若?x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f(x1)f(x2)≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f(x1)f(x2)]max≥80，而f(x1)max=f(1)=10，所以f(x2)max≥8，過點B作BC⊥y軸，與函數(shù)f(x)的圖象交于點C，令x+9x=6.25，解得x=4所以當(dāng)x∈[2.25，4]時，f(x)∈[6，6.25]，所以x2∈(1，2.25)，所以a∈(1，2.25)，才能使得x2∈[a，4]時，f(x2)max≥8，即f(a)≥8，所以a+9a≥8，解得a≥4+7(舍去)或所以1<a≤4-7所以實數(shù)a的取值范圍為(1，4-7]故答案為：(1，4-7]2(★★)已知函數(shù)f(x)=x+4x，g(x)=2x+a，若任意x1∈[12,1]，都存在【答案】(【解析】任意x1∈[12，1]，都存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，?f(x1)min≥[g(xx2∈[2，3]，對于函數(shù)f(x)=x+4x，x∈[12，1]，f因此函數(shù)f(x)在x∈[12，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min對于函數(shù)g(x)=2x+a，在x∈[2，3]單調(diào)遞增，∴g(x)min=4+a．∴5≥4+a，解得a≤1．∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]．故答案為：(－∞，3(★★★)已知函數(shù)fx=-x|x-a|，若對任意的x1∈(2,+∞)，都存在x2∈(-1,0)，使得fx【答案】1【解析】①a≥2時，當(dāng)x≥a時，f(x)=－x(x－a)，當(dāng)x<a時，f(x)=－x(a－x)，畫出y=f(x)的圖象(如右圖)：x1∈(2，+∞)時，f(x1)∈(－∞，0]，而對任意的x1∈(2，+∞)，都存在x2∈(－1，0)，使得f(x1)?f(x2)=－4，要求f(x2)∈(0，+∞)．而x2∈(－1，0)時，令f(－1)=a，則有f(x2)∈(0，a)，不符題意；②a<2時，當(dāng)x≥a時，f(x)=－x(x－a)，當(dāng)x<a時，f(x)=－x(a－x)，畫出y=f(x)的圖象(如下圖)：當(dāng)x1∈(2，+∞)時，f(x1)∈(－∞，f(2))，即f(x1)∈(－∞，2a－4)，則f(x2)∈(0，22-a)時，f(x1)f(x2)=－4x2∈(－1，0)，則f(x2)∈(0，f(－1))，f(－1)=a+1，需滿足f(－1)≥22-a，即1+a即(a+1)(2－a)≥2，a(a－1)≤0，解得0≤a≤1，所以a的最大值為1．故答案為：1．4(★★★)已知函數(shù)f(x)=lnx，若對任意的x1,x2∈(0,+∞)，都有[fx1【答案】0【解析】∵f(x)=lnx，∴∵[f(x1)－f(x2)](x1∴x1x2+x22>0，x1+x2>0，得k<ln令t=x1x2，g(t)=tlnt－lnt，(t>0則g′(t)=lnt+1-1t，令g′(t)=0，得t∴當(dāng)t∈(0，1)時，g′(t)<0，g(t)單調(diào)遞減，當(dāng)t∈(1，+∞)時，g′(t)>0，g(t)單調(diào)遞增，∴g(t)min>g(1)=0．∴k≤0．則實數(shù)k的最大值是0．5(★★★)設(shè)f(x)=2x2(1)求f(x)在x∈[0,1]上的值域；(2)若對于任意x1∈[0,1]，總存在x0∈[0,1]，使得【答案】(1)[0,1](2)5【解析】(1)法一：(導(dǎo)數(shù)法)f'(x)=4x(x+1)-2x∴f(x)在[0，∴f(x)值域[0，法二：f(x)=0x=0法三：f(x)=用雙勾函數(shù)求值域．(2)f(x)值域[0，1]，g(x)=ax+5－2a(a>0)在由條件，只須[0，∴5-2a≤06(★★★)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-2ax-1-a(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x1∈(0,1),x【答案】(1)(-∞,-14【解析】(1)解：函數(shù)f(x)的定義域是(0，1)∪(1，+∞)，f′(x)=x由f′(x)=0在(0，12)令g(x)=x2－(2－2a)x+1，由g(0)=1>0，所以g(12)解得：a<-1即a的取值范圍是(－∞，(2)證明：由(1)f′(x)<0，令g(x)=x2－(2－2a)x+1=(x－α)(x－β)，不妨設(shè)0<α<12，則β>2，則αβ=1，α+β=2－2故f′(x)<0?α<x<1，1<x<β，由f′(x)>0?x<α或x>β，得f(x)在(0，α)內(nèi)遞增，在(α，1)內(nèi)遞減，在(1，β)內(nèi)遞減，在(β，+∞)遞增，由x1∈(0，1)，得f(x1)≤f(α)=lnα-2aα-1由x2∈(1，+∞)，得f(x2)≥f(β