數(shù)學(xué)歸納法的知識體系

數(shù)一數(shù)歸法明全性證數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的證題方法多涉及正整數(shù)的問題往往使用它人們驗(yàn)算起始命題成立后，只要證明了遞推依據(jù)（由

(k)

成立，可推出

(k

成立）就完成了數(shù)學(xué)歸納法的證明（1么，數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基是什么？下面從兩個方面給予說明．?dāng)?shù)學(xué)歸納法合理性是建立在以下自然數(shù)公理系公系統(tǒng)礎(chǔ)上的Peano把自然數(shù)集N定義滿足如下五條公理的集合．（1

N

（2任給N則存在a（a后面加個元“1的后繼數(shù)）（3若

，則

（即

N

中任何元素不能作為

N

中多于一個元素的后繼數(shù)）（4任給

N

，則

（即是

N

中任一元素的后繼數(shù)）（5）若N的一子集M具性質(zhì)（集合M就有集合N的所有元素）下用Peano理明學(xué)歸法合性記

(n)

表示含自然數(shù)n的一命題，若（）P（1為真命題）任給

n0

，若)0

真，則

(0

真．則對一切

N

,P

真．證：記

MkP(k)}

，由①知

M(1)真)

。又由②，對一切MM(n真P(n真)0

，由Peano公可知

MN

，即M應(yīng)該包含一切自然數(shù)．()

對一切自然數(shù)都正確．．學(xué)歸納法的合理性也可用自然數(shù)最小數(shù)原理來明，它的邏輯基礎(chǔ)是自然數(shù)的最小數(shù)原理．用反證法證明如下：設(shè)滿足（1命P)

不是對所有自然數(shù)都成立．記

M|m

(m)不}M根據(jù)自然數(shù)最小數(shù)原理的些自然數(shù)組成的集合中一定存在最小自然數(shù)M中一定存在一個最小自然數(shù)妨為

l

然

l

則

l

lM

不真，這與條件）矛盾．由l

知

l2

，于是

l

，又

l

是使

()

不真的自然數(shù)中的最小者，所以

l

就使題為真，即

(l

真，由（2）

[(l(l)

為真，/

所以

lM

，這與

l

矛盾．故

(n)

對所有自然數(shù)都成立．二數(shù)歸法其形．一定從媽．初值可據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)提前或推后，例如，求證：

3n

2n對一切

N

，能被整．第一步驗(yàn)證

時，因

2

數(shù)字太大，不易驗(yàn)算，可將初值提前至

，這樣，通過證明命題對一切

的整數(shù)成立，從而證明命題對一切n立．．一定由k推．于某些命題：（1驗(yàn)證，命題成立；（2n時立明命題成立．

k2

時題立一N，例證：適合

xy(y

的整數(shù)解組數(shù)

r(

11([124

].證ⅰ）

n

時，

xy

僅不一組解，即

x1r(1)而(11]24

，命題成立．n

時，

xy

有兩組解，即

x2,y或1r而2

]

，命題成立．（ⅱ）設(shè)

nk

時，

r(k)

11(n224

時，

xy

的解分兩類．y時x

，解組數(shù)為；y時xy2(y.

解的組數(shù)為

r(k),r((k

111([1k][(k2)[12424

k

].n

時，命題成立．根據(jù)（ⅰ對切成立．一地若）證

,l

時命題成立．（2若

成立，則

成立．根據(jù)（1知，

N

時，命題成立．．向納對于命題

()

，若）

()

對無窮個值真．（2若

(k)

真，則

(k

真．根據(jù)（1N，

(n)

真．例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

,a,1

,an

為非負(fù)實(shí)數(shù)，/

k.kkk.kk有

a2

a

a2n

(nN在證明中，由

(k)

真，不易證出

(k

真；然而卻很容易證出

(k

真，又容易證明不等式對無窮多個

（只要

型的自然數(shù)）為真；從而證N

，不等式成立．（證明過程略）．重納設(shè)

(mn)

是一個含有兩上獨(dú)立自然數(shù)mn的題．（1

與

(m

對任意自然數(shù)

m、n

成立；（2若由

()

和

(n

成立，能推出

(mn

成立；根據(jù)1可斷定，

(mn)

對一切自然數(shù)mn均立．例設(shè)

m、N

證程

x12

的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為

(!(m1)!

.

（證明過程略）．二學(xué)納對命題

(n)（1

n

時，

(n)

成立；（2）設(shè)k

時，

()

成立，則

(k

成立；根據(jù)

N

,Pn)

成立．例題設(shè)

ax

1，求證：x可示的n次多式．xx證1n時命題成立．（2設(shè)時命題成立．那么當(dāng)

時，x

k

x

1k

k

1x

k

x

1k

由歸納假設(shè)知，

x

k

1xk

為

a

的

k

1次多項(xiàng)式，